סיכום בנושא לוגיקה למדעי המחשב. תורת הקבוצות, הגדרות כלליות, סימונים, תכונות וקבוצות מספרים חשובות.

1. ‫תורת הקבוצות‬
‫מהי קבוצה?‬
‫כאינטואיציה, קבוצה היא אוסף של איברים שיש ביניהם כלל משותף.‬
‫אבל אי אפשר להגדיר כך קבוצה !‬
‫בשנת 0091 הסביר ברנארד ראסל את העניין כך:‬
‫קבוצה קטנה‬
‫קבוצה שלא כוללת את עצמה בתור איבר.‬
‫אלו רוב הקבוצות שאנו מכירים.‬
‫קבוצה גדולה‬
‫קבוצה שכוללת את עצמה בתור איבר.‬
‫דוגמא:‬
‫{קבוצת כל הקבוצות שהגדרתן היא באמצעות שמונה מילים}= ‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪A A‬‬
‫‪‬‬
‫קבוצה גדולה‬
‫הפרדוקס‬
‫לדוגמא:‬
‫{קבוצת כל הקבוצות הקטנות}=‪X‬‬
‫השאלה מהי ‪?X‬‬
‫‪ ‬אם ‪ X‬קטנה, אז דרוש ‪X  X‬‬
‫אז ‪ X‬גדולה (כי היא מכילה את עצמה בתור איבר)‬
‫‪ ‬סתירה‬
‫‪ ‬אם ‪ X‬גדולה, אז דרוש ‪X  X‬‬
‫ולכן, עפ"י ההגדרה היא קטנה.‬
‫‪ ‬סתירה‬
‫לכן, לא ניתן להגדיר קבוצה בתור אוסף איברים שיש ביניהם כלל משותף.‬
‫בתורת הקבוצות הנאיבית אנו מניחים שלושה מושגים כאטומים:‬
‫}‬
‫1) איבר‬
‫מושגים ללא הגדרה פורמאלית‬ ‫2) קבוצה‬
‫3) הפעולה של שייכות איבר לקבוצה‬

2. ‫איך מסמנים קבוצות?‬
‫מסמנים קבוצות בד"כ באותיות לטיניות גדולות.‬
‫איך מגדירים קבוצות?‬
‫דרך א‬
‫ע"י רשימת האיברים שלהן:‬
‫{חתול, מזלג, סכין}=‪A‬‬
‫מסקנה: איברי הקבוצה לא חייבים להיות מספרים‬
‫דרך ב‬
‫ע"י כלל מסוים שמאחד את כל איברי הקבוצה:‬
‫{91, 71, 31, 11}={‪ x‬הוא מס' ראשוני בין 01 ל-02 |‪B=}x‬‬
‫נוכל להגדיר קבוצה זו גם בצורה נוספת:‬
‫{91, 71, 31, 11}={‪ x‬הוא מס' אי זוגי בין 01 ל-02 למעט 51 |‪B=}x‬‬
‫מסקנה: קבוצה ניתנת לתיאור בדרכים שונות.‬
‫שוויון בין קבוצות‬
‫תהיינה ‪ A, B‬קבוצות נאמר ש ‪ A‬ו ‪ B‬שוות ונסמן ‪ , A  B‬אם כל איבר בקבוצה ‪ A‬הוא גם איבר ב ‪ B‬וההיפך.‬
‫בצורה פורמאלית:‬
‫)‪A  B  ( X  A  X  B‬‬
‫לדוגמא:‬
‫{‪ x‬הוא מס' אי זוגי בין 01 ל-02 למעט 51 |‪ x{=}x‬הוא מס' ראשוני בין 01 ל-02 |‪}x‬‬
‫תרגיל‬
‫מהו היחס בין זוגות הקבוצות הבאות?‬
‫שוות‬ ‫}‬ ‫1) {2,3} {3,2}‬
‫2) {3,2} {3,2,2}‬
‫מסקנה: בקבוצה לא משנה סדר האיברים וריבויים.‬

3. ‫תכונות של שוויון‬
‫1) ‪A  A‬‬
‫2) אם ‪ A  B‬אז ‪B  A‬‬
‫3) אם ‪ B  C , A  B‬אז ‪A  C‬‬
‫הוכחה:‬
‫1) כדי להוכיח ש ‪ A  A‬דרוש לבדוק האם מתקיים ‪X  A  X  A‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬
‫לעולם אמת‬
‫ולכן עפ"י הגדרת שוויון קבוצות: ‪A  A‬‬
‫2) אם ‪ A  B‬אז עפ"י ההגדרה ‪X  A  X  B‬‬
‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬
‫לעולם אמת‬
‫‪ , P  Q  Q  P‬ומכאן ‪X  B  X  A‬‬ ‫אבל,‬
‫לעולם אמת‬
‫‪BA‬‬ ‫הגדרה:‬
‫3) נתון ‪ A  B, B  C‬אז מתקיים ‪X  A  X  B‬‬
‫לעולם אמת‬
‫‪X  B  X C‬‬ ‫וגם‬
‫לעולם אמת‬
‫‪X  A  X C‬‬ ‫משילוב שניהם יחד נובע ש‬
‫לעולם אמת‬
‫‪AC‬‬ ‫הגדרה:‬
‫סימונים של קבוצות מספרים חשובות‬
‫קבוצה של מס' טבעיים (מס' שלמים וחיוביים) }...,3,2,1{ ‪( Natural ) N ‬‬
‫קבוצה של מס' טבעיים עם אפס (מס' שלמים וחיוביים כולל 0) }...,3,2,1,0{ ‪N 0 ‬‬
‫קבוצה של מס' שלמים (מס' שלמים שליליים, חיוביים וגם 0) }...,3,2,1,0,1‪(Zahlen)Z  {...,3,2,‬‬
‫‪m‬‬
‫קבוצה של מס' רציונאליים }0 ‪(Quotients )Q  {  Z , n ‬‬
‫‪n‬‬
‫קבוצה של מס' ממשיים {כל ציר המס' הממשי} ‪(Re al) R‬‬
‫‪a, b  R‬‬
‫}‪(a, b)  {x | a  x  b‬‬
‫}‪(a, b]  {x | a  x  b‬‬
‫}‪[a, b)  {x | a  x  b‬‬

4. ‫הכלה של קבוצות‬
‫תהיינה ‪ A, B‬קבוצות, נאמר ש ‪ A‬מוכלת ב ‪ B‬או ש ‪ B‬מכילה את ‪ A‬אם כל איבר ב ‪ A‬הוא גם איבר ב ‪. B‬‬
‫בצורה פורמאלית:‬
‫‪( x, x  A  x  B‬לכל ‪ x‬ששייך לקבוצה ‪ ,A‬שייך לקבוצה ‪.)B‬‬
‫סימון: ‪A  B‬‬
‫הערה: מה שסימנו כולל גם הכלה ממש (שבקבוצות לא שוות) וגם שוויון.‬
‫אם נרצה להדגיש שמדובר בהכלה ממש ולא שוויון נסמן ‪ A  B‬או ‪A  B‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא:‬
‫1) }3,2,1{ ‪{1,2} ‬‬
‫2) }3,2,1{ ‪{1,2,3} ‬‬
‫3) ‪N  N 0  Z  Q  R‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫תזכורת:‬
‫שייכות של איבר לקבוצה ‪x  A‬‬
‫הכלה בין שתי קבוצות ‪ A  B‬שקול לתנאי ‪x, x  A  x  B‬‬
‫היחס בין שייכות להכלה‬
‫דוגמא:‬
‫}}2{,}1{,1{ ‪A ‬‬
‫ענו נכון או לא נכון ונמקו:‬
‫1) ‪ 1  A‬נכון, כי 1 נמצא ב ‪A‬‬
‫2) ‪ 1  A‬לא נכון, כי היחס "הכלה" הוא בין קבוצות ו"1" הוא לא קבוצה‬
‫3) ‪ {1}  A‬נכון, היות וה }1{ האמצעי בקבוצה‬
‫?‬
‫4) ‪ {1}  A‬נכון, בגלל ה1 השמאלי - ‪ - { A}  A  1  {1}1  A‬בהכלה אנו מקלפים את הסוגריים‬
‫החיצוניים ובודקים אם האיברים נמצאים בקבוצה הנותרת.‬
‫5) ‪ {{1}}  A‬לא נכון, האיבר }1{ לא נמצא ב ‪A‬‬
‫6) ‪ {{1}}  A‬נכון, בגלל ה1 האמצעי‬
‫7) ‪ 2  A‬לא נכון, האיבר 2 אינו ב ‪A‬‬
‫8) ‪ 2  A‬לא נכון, מאותה הסיבה של (2)‬
‫9) ‪ {2}  A‬נכון, האיבר אכן נמצא‬
‫10) ‪ {2}  A‬לא נכון, כדי שיהיה נכון צריך ‪2  A‬‬
‫11) ‪ {{2}}  A‬לא נכון, האיבר לא נמצא‬
‫12) ‪ {{2}}  A‬נכון, שקול ל ‪{2}  A‬‬
‫הכלל:‬
‫ב"הכלה"‬
‫ע"מ לבדוק בהכלה, נוריד סוגריים אחד ונבדוק אם הביטוי החדש שייך (‪) ‬‬
‫ב"שייכות"‬
‫לבדוק האם קיים בדיוק כמו שהוא, כמו תמונה.‬
‫דוגמא נוספת:‬
‫}}2,1{,1{ ‪B ‬‬
‫‪ ‬האם ‪ ? {1}  B‬לא! כי }1{ לא נמצא ב ‪B‬‬
‫‪ ‬האם ‪ ? {1,2}  B‬כן!‬

5. ‫נכונות של הכלה‬
‫1) ‪ A  A‬רפלקסיביות‬
‫2) אם ‪ A  B‬ו ‪ , B  C‬אז ‪ A  C‬טרנזיטיביות – כלל המעבר‬
‫3) אם ‪ A  B‬ו ‪ B  A‬אם ורק אם ‪ A  B‬אנטי סימטריות – לתכונה זו חשיבות מאוד גדולה – לעתים‬
‫במקום להוכיח שוויון, נוכיח הכלה דו כיוונית.‬
‫הוכחה‬
‫?‬
‫1) ‪ x, x  A  x  A‬אבל זה תמיד נכון‬
‫2) נתון ‪ x, x  A  x  B , A  B‬וכן ‪B  C‬‬
‫‪x, x  B  x  C‬‬
‫ולכן יתקיים תמיד ‪ x  A  A  C‬ומכאן, ש ‪A  C‬‬
‫3) דומה‬
‫הקבוצה הריקה‬
‫הקבוצה הריקה היא קבוצה שאף איבר לא משתייך אליה.‬
‫בסימון פורמאלי‬
‫‪ A‬ריקה אם ‪x, x  A‬‬
‫תכונה יסודית‬
‫תהי ‪ A‬קבוצה ריקה, אזי, לכל קבוצה ‪ B‬מתקיים ‪A  B‬‬
‫עפ"י הוכחה, תהי ‪ B‬קבוצה.‬
‫? ‪‬‬
‫‪‬‬‫‪F‬‬
‫כדי להוכיח ‪ A  B‬דרוש לבדוק ‪x, x  A  x  B‬‬
‫‪ A‬ריקה ולכן ‪F‬‬
‫שקר גורר כל דבר הוא ביטוי אמת ולכן מתקיים ‪ x  A  x  B‬ולכן ‪A  B‬‬
‫מסקנה מילולית: קבוצה ריקה מוכלת בכל קבוצה אחרת ולא בהכרח שייכת.‬
‫תכונה‬
‫הקבוצה הריקה היא יחידה ומכיוון שכך, נוכל לסמנה ‪Ø‬‬
‫הוכחה:‬
‫שתי קבוצות ריקות (1 ‪ )Ø‬ו(2 ‪)Ø‬‬
‫נניח שהן שוות, (1 ‪ )Ø‬ריקה ולכן לפי התכונה הקודמת, היא מוכלת בכל קבוצה אחרת, בפרט (2 ‪.)Ø‬‬
‫מצד שני, גם (2 ‪ )Ø‬ריקה, לכן עפ"י אותה תכונה, ‪)Ø 2(  )Ø 1(  B‬‬
‫קיבלנו (2 ‪ )Ø 1(  )Ø‬ולכן (1 ‪)Ø 2(  )Ø‬‬
‫ולכן, (2 ‪ )Ø 1(  )Ø‬כדרוש.‬
‫שאלה‬
‫?‬
‫{‪Ø  } Ø‬‬
‫תשובה‬
‫לא‬
‫הסבר‬
‫בצד שמאל כתובה קבוצה ריקה, בצד ימין יש קבוצה עם איבר אחד ואיבר זה הוא הקבוצה הריקה.‬