1. דיאגראמת ון
ג'ון ון (באנגלית: 4 ;John Vennבאוגוסט 4381 – 4 באפריל 3291 ), מתמטיקאי ולוגיקן בריטי.
דיאגרמת ון היא תרשים המבטא קשרים בין קבוצות.
כלל בסיסי לשימוש בדיאגרמת ון הוא שחיתוך מבוטא באמצעות השטח המשותף לשתיים או יותר מהקבוצות
ואיחוד מיוצג על ידי כל השטח השייך לפחות לאחת הקבוצות. בדרך כלל אין קשר בין גודל העיגול (או כל שטח
אחר) ובין גודל הקבוצה המיוצגת.
שימוש נפוץ לדיאגרמת ון הוא פישוט של ביטויים לוגיים ארוכים. ניתן לעשות זאת בקלות באמצעות התייחסות
גרפית לקשרים הנתונים ותיאור מחדש של אותו חלק בגרף בצורה פשוטה.
דיאגראמת ון אינה מהווה כלי להוכחה !
העולם
2. פעולות בין קבוצות
איחוד בין קבוצות
הגדרה: תהינה A, Bקבוצות.
האיחוד של ( A, Bמסומן ) A Bהוא הקבוצה שנמצאים בה האיברים מ Aוכן האיברים מ . B
בסימון פורמאלי
}A B {x | x A x B
לוח השתייכות עבור "איחוד"
x A xB x A B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
דוגמא:
}3,2,1{ A
}4,3{ B
}4,3,2,1{ B
A
האיחוד
תכונות של "איחוד"
A A A 1)
AØ A 2)
A B B A 3)
) ( A B)C A ( B C 4)
( A B A B Bאפיון של הכלה באמצעות איחוד) 5)
הערה: התכונות 4-1 נובעות ישירות מהתכונות המקבילות בלוגיקה.
3. לדוגמא
הוכחה לתכונה מס' 3:
A B {x | x A x B} {x | x B x A} B A
הוכחה לתכונה מס' 5:
לפי דיאגראמת ון ניתן לראות
A B B
הוכחה פורמאלית:
היות והקשר הוא "אם ורק אם", נפעל בשני כיוונים:
) (נתון A Bוצ"ל A B B
נוכיח את השוויון ע"י הכלה דו כיוונית:
ברור מהגדרת איחוד ש Bמוכל באיחוד: . B A B
כעת, נוכיח ש A B B
ניקח איבר כללי כלשהו , x A Bלכן, עפ"י הגדרת איחוד: x Aאו . x B
אם , x Bסיימנו, אחרת, : x A
מהנתון ש A Bנובע מיידית ש x Bשוב, ולכן בכל מקרה קיבלנו x Bומכאן שהוכחנו . A B B
משתי ההכלות יחד קיבלנו ש . A B B
) (נתון A B Bוצ"ל A B
כדי להוכיח הכלה, יהי x Aאיבר כלשהו וצריך להראות ש . x B
אם , x Aעפ"י הגדרת "איחוד", . x A Bעפ"י הנתון , A B Bמכאן נובע ש x Bוהוכחנו כנדרש.
-סוגר הוכחה (5)-
4. חיתוך בין קבוצות
הגדרה: תהינה A, Bקבוצות.
החיתוך של הקבוצות יסומן , A Bהוא קבוצת האיברים המשותפים ל Aול . B
בסימון פורמאלי
}A B {x | x A x B
לוח השתייכות עבור "חיתוך"
x A xB x A B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
דוגמא:
}3,2,1{ A
}4,3{ B
}3{ B
A
החיתוך
תכונות של "חיתוך"
A A A 1)
AØ Ø 2)
A B B A 3)
) ( A B) C A ( B C 4)
( A B A B Aאפיון של הכלה באמצעות חיתוך) 5)
הערה: התכונות 4-1 נובעות ישירות מהתכונות המקבילות בלוגיקה.
(הוכחה לתכונה מס' 5 ניתן למצוא באתר)
לפי דיאגראמת ון ניתן לראות
A B A
5. הפרש בין קבוצות
הגדרה: תהינה A, Bקבוצות.
ההפרש בין הקבוצות יסומן A Bאו , A Bהוא קבוצת האיברים שנמצאים ב Aולא נמצאים ב . B
בסימון פורמאלי
}A B {x | x A x B
לוח השתייכות עבור "הפרש"
x A xB x A B
1 1 0
1 0 1
0 1 0
0 0 0
דוגמא:
}3,2,1{ A
}4,3{ B
}2,1{
AB
ההפרש
תכונות של "הפרש"
A A Ø 1)
AØ A 2)
)A B A ( A B 3)
( A B Ø A B אפיון של הכלה באמצעות הפרש) 4)
לפי דיאגראמת ון ניתן לראות
A B Ø
6. הפרש סימטרי בין קבוצות
הגדרה: תהינה A, Bקבוצות.
ההפרש הסימטרי בין הקבוצות יסומן , ABהוא האיברים שאינם משותפים ל Aול . B
בסימון פורמאלי
}AB {x | x A B x A B
לוח השתייכות עבור "הפרש סימטרי"
x A xB x AB
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
דוגמא:
}3,2,1{ A
}4,3{ B
}4,2,1{
AB
ההפרש
הסימטרי
תכונות של "הפרש סימטרי"
1) AB BA
2) )AB ( A B) ( A B
3) )AB ( A B) ( B A
הוכחה לתכונה מס' 1:
A B B A
AB {x | x A B x A B} לפי ההגדרה {x | x B A x B A} BA
A B B A
הוכחה לתכונה מס' 3:
נוכיח ע"י לוח השתייכות: נראה שהקבוצות המופיעות בשני צדי השוויון – יש להן אותו לוח השתייכות.
x A xB x AB )x A B x B A x ( A B) ( B A
1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0
אותה העמודה – שוויון בין הקבוצות
7. קבוצות זרות
הגדרה: תהינה A, Bקבוצות.
נאמר ש A, Bזרות אם A B Ø
דוגמא: }1{}3,2{ זרות.
תכונות פילוג ובליעה
פילוג
)A ( B C ) ( A B) ( A C 1)
) A ( B C ) ( A B) ( A C 2)
בליעה
A ( A B) A 3)
A ( A B) A 4)
שתי הוכחות לתכונה מס' 1:
א) ע"י לוח השתייכות (דומה למה שעשינו רבות בלוגיקה).
ב) הוכחה ע"י איבר כללי: ברצוננו להשוות ) A ( B C ) ( A B) ( A C
x x
הגדרת
x A (B C)
איחוד
הגדרת
( x A) ( x B C )
חיתוך
שקילות
לוגית
( x A) (( x B ) ( x C ))
של
פילוג
הגדרת
(( x A) ( x B )) (( x A) ( x C ))
איחוד
הגדרת
( x ( A B )) ( x ( A C ))
חיתוך
) ( x ( A B) ( A C
לכן הוכחנו: )x A ( B C ) x ( A B) ( A C
ולכן: )A ( B C ) ( A B) ( A C
קבוצה אוניברסאלית
קבוצה אוניברסאלית מסומנת , uהיא קבוצת כל האיברים הרלוונטיים לדיון.
הרבה פעמים היא נקבעת בהתאם להקשר.
8. משלים של קבוצה
הגדרה: תהי Aקבוצה.
המשלים complementשל , Aיסומן Aאו , Aהוא קבוצת כל האיברים שאינם נמצאים ב Aונמצאים ב u
c
האוניברסאלית.
בסימון פורמאלי
Ac {x | x A} u A
Ac u A
לוח השתייכות עבור "משלים"
A Ac
1 0
0 1
דוגמאות:
1)
}01,...,1{ u
}7,5,3,2{ A
}01,9,8,6,4,1{
Ac
המשלים
2)
uZ
זוגיים A
אי זוגיים
c
A
המשלים
תכונות של "משלים" וכן תכונות נוספות
( Ac ) c A 1)
uc Ø 2)
Øc u 3)
A Ac u 4)
A Ac Ø 5)
( A B) c Ac B cדה מורגן 6)
( A B) c Ac B cדה מורגן 7)
אם A Bאז B c Ac 8)
A B A Bc 9)
הערה: הוכחת כל התכונות למעט 8, ניתן לבצע ע"י איבר כללי וע"י טבלת השתייכות.
9. הוכחה לתכונה מס' 8:
נתון , A Bצ"ל B A
מהנתון: x A x Bתמיד אמת
עפ"י זהות לוגית: : P Q Q P
)( x B) ( x A
תמיד אמת
)( x B) ( x A
) ( x B c ) ( x Ac
B c Ac
הוכחה לתכונה מס' 9:
הגדרה משלים חיתוך
A B {x | x A x B} {x | x A x Bc } {x | x A Bc } A Bc
חוק הדואליות לקבוצות
אם נתונה זהות הקושרת בין קבוצות, המכילה רק את הפעולות "איחוד" ו"חיתוך", וסימן ה"משלים" מופיע רק על
הקבוצות הבסיסיות, אז ניתן לקבל זהות חדשה ע"י הפעולות הבאות:
א) כל קבוצה תהפוך למשלימתה
ב) כל איחוד יהפוך לחיתוך ולהיפך
לדוגמא:
פילוג A ( B C ) ( A B) ( A C ) I
אז הזהות שתתקבל מתוך הדואליות תהיה:
פילוג Ac ( B c C c ) ( Ac B c ) ( Ac C c ) II