10.b uravnenie kasatelnoi po grafiku

1. Уравнение касательной к
графику функции
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

2. Верно ли определение?
Касательная – это прямая,
имеющая с данной кривой
одну общую точку.

3. Пусть дана и две прямые и ,
имеющая с данной параболой одну общую точку М
(1;1),но в первом случае-это не касательная !
1=x
2
xy = 1=x 12 −= xy

4. На данном уроке:
1. выясним, что же такое касательная к
графику функции в точке, как составить
уравнение касательной;
2. рассмотрим основные задачи на
составление уравнения касательной.
Для этого:
 вспомним общий вид уравнения прямой
 условия параллельности прямых
 определение производной
 правила дифференцирования
 Формулы дифференцирования

5. Определение производной
Пусть функция определена в
некотором интервале, содержащем внутри
себя точку . Дадим аргументу
приращение такое, чтобы не выйти из этого
интервала. Найдем соответствующее
приращение функции и составим
отношение .Если существует предел
отношения при , то указанный предел
называют производной функции
в точке и обозначают .
)(xfy =
x∆
x
y
∆
∆
0→∆x
0x
)( 0
'
xf
)(lim 0
'
0
xf
x
y
x
=
∆
∆
→∆
)(xfy =
0x
y∆

6. Правила дифференцирования
1. Производная суммы равна сумме производных.
2. Постоянный множитель можно вынести за знак
производной.
3. Производная произведения двух функций равна сумме двух
слагаемых; первое слагаемое есть произведение
производной первой функции на вторую функцию, а второе
слагаемое есть произведение первой функции на
производную второй функции.
4. Производная частного
( ) ( )( ) ( ) ( )xgxfxgxf '''
+=+
( )( ) ( )xkfxkf ''
=
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf '''
+=
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )xg
xgxfxgxf
xg
xf
2
'''
−
=






7. Основные формулы
дифференцирования
С
)(xf )('
xf
α
x
1−
⋅ α
α x
x
1
2
1
x
−
x
x2
1
xsin xcos
xsin−xcos
tgx
ctgx
x2
cos
1
x2
sin
1
−
)(xf )('
xf
0

8. Две прямые параллельны тогда и
только тогда, когда их угловые
коэффициенты равны
Параллельны ли прямые:
.13в)
;22б)
;12)
−=
+=
−=
xy
xy
xya

9. Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка
M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная
(мы предполагаем, что она существует). Найти угловой
коэффициент касательной.
( ) ( )( )afaMxfy ;,=
x
y
k
∆
∆
=сек
ек
0
lim c
x
кас kk
→∆
=
x
y
k
x
кас
∆
∆
=
→∆ 0
lim

10. Геометрический смысл
производной
Если к графику функции y = f (x) в точке
можно провести касательную,
непараллельную оси у, то
выражает угловой коэффициент
касательной
( )af
axa
afxaf
x
y
k
axx
кас
'
0 )(
)()(
limlim =
−∆+
−∆+
=
∆
∆
=
→→∆
)('
af
ax =

11. Геометрический смысл
производной
Производная в точке
равна
угловому коэффициенту
касательной к
графику функции
y = f(x) в этой точке.
Т.е. αtgxf =)( 0
'
0xx =
острыйтоtgxf −>= αα ,0)(.1 0
'
йразвернутытоtgxf −== αα ,0)(.2 0
'
тупой,0)(.3 0
'
−<= αα тоtgxf
Причем, если :
.

12. Вывод уравнения касательной
( )( )afaMmkxy ;,+=
)('
afk =
( ) mkaaf +=
( ) kaafm −=
( )( )kaafkxy −+=
( ) ( )( )axafafy −+= '
Пусть прямая задана уравнением:
уравнение касательной к
графику функции
)(xfy =

13. Составить уравнение касательной:
 к графику функции в точке2
)( xxf =
( )1;1M
12
221
)1(21
))(()(
212)1(
2)(
11)1(
'
'
'
2
−=
−+=
−⋅+=
−+=
=⋅=
=
==
xy
xy
xy
axafafy
f
xxf
f

14. Составить уравнение касательной:
 к графику функции в точкеtgxy = ( )0;0M
xy
xy
axafafy
f
x
xf
tgf
=
−⋅+=
−+=
==
=
==
)0(10
))(()(
1
0cos
1
)0(
cos
1
)(
00)0(
'
2
'
2
'

15. Алгоритм нахождения уравнения
касательной к графику функции
y=f(x).
1. Обозначим абсциссу точки касания буквой
x=a.
2. Вычислим .
3. Найдем и .
4. Подставим найденные числа a , в формулу
)(af
)('
xf )('
af
( ) ( )( ).'
axafafy −+=

16. Составить уравнение касательной к
графику функции в точке .
x
y
1
= 1=x
x
xf
1
)( =
1)1 =a
1)1()()2 == faf
2
' 1
)()3
x
xf −=
1
1
1
)1()( 2
''
−=−== faf
)1(1)4 −−= xy
xy −= 2
Ответ
:
xy −= 2

17. К графику функции провести касательную так,
чтобы она была параллельна прямой .
3
3
x
y =
54 −= xy
,4кас =k )('
кас xfk =
22
'3
'
3
3
1
3
)( xx
x
xf =⋅⋅=





=
⇒= 2'
)( aaf
4)('
=xf
,42
=a
,2)1 1 =a 22 −=a
.
3
8
3
2
)()2
3
1 ==af
3
8
3
)2(
)(,
3
2 −=
−
=af
4)()()3 2
'
1
'
== afaf
3
16
4, −= xy
3
16
4)4 += xy
,

18. )(lim 0
'
0
xf
x
y
x
=
∆
∆
→∆
αtgxf =)( 0
'
5,0
2
1
4
2
)( 0
'
===xf
5,0)2(:Ответ =′f
0>⇒− αα tgострый

19. Самостоятельная работа
5,1)1( −=−′f

20. Ответьте на вопросы:
1. Что называется касательной к
графику функции в точке?
2. В чем заключается геометрический
смысл производной?
3. Сформулируйте алгоритм нахождения
уравнения касательной?