xử lý tín hiệu số

1. ChChương 4ương 4::
BIBIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONGỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠCMIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC
BÀI 1 KHÁI NiỆM DFT
BÀI 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
BÀI 3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
BÀI 4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)

2. BÀI 1 KHÁI NIỆM DFTBÀI 1 KHÁI NIỆM DFT
X(X(ωω) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
Tần sốTần số ωω liên tụcliên tục
Độ dài x(n) là vô hạn:Độ dài x(n) là vô hạn: nn biến thiên -biến thiên -∞ đến ∞∞ đến ∞
Biến đổi Fourier dãy x(n): ∑
−∞
∞=
−
=
n
nj
enxX ω
ω )()(
Khi xử lý X(Khi xử lý X(ΩΩ) trên thiết bị, máy tính cần:) trên thiết bị, máy tính cần:
Rời rạc tần sốRời rạc tần số ωω ->-> ωωKK
Độ dài x(n) hữu hạn là N:Độ dài x(n) hữu hạn là N: nn = 0= 0 ÷÷ N -1N -1
⇒⇒ BBiến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tầniến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
số rời rạc, gọi tắt làsố rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFTbiến đổi Fourier rời rạc – DFT
(Discrete Fourier Transform)(Discrete Fourier Transform)

3. BÀI 2 BIBÀI 2 BIẾẾNN ĐỔIĐỔI FOURIER RỜI RẠC - DFTFOURIER RỜI RẠC - DFT
DFTDFT củacủa x(n) có độ dài N định nghĩa:x(n) có độ dài N định nghĩa:





−≤≤
= ∑
−
=
−
:0
10:)(
)(
1
0
2
k
Nkenx
kX
N
n
kn
N
j
π
còn lại
r
N
r
N
jmNr
N
j
mNr
N WeeW ===
−+−
+
ππ 2
)(
2
)(





−≤≤
=
∑
−
=
:0
10:)(
)(
1
0
k
NkWnx
kX
N
n
kn
N
còn lại
N
j
N eW
π2
−
=
WWNN tuần hòan với độ dàituần hòan với độ dài N:N:

4. X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:
)(
)()( kj
ekXkX ϕ
=
Trong đó:Trong đó:
)(kX - phổ rời rạc biên độ- phổ rời rạc biên độ
)](arg[)( kXk =ϕ - phổ rời rạc pha- phổ rời rạc pha
IDFT:





−≤≤
= ∑
−
=
:0
10:)(
1
)(
1
0
2
n
NnekX
Nnx
N
k
kn
N
j
π
còn lại







−≤≤=
−≤≤=
∑
∑
−
=
−
−
=
10:)(
1
)(
10:)()(
1
0
1
0
NnWkX
N
nx
NkWnxkX
N
k
kn
N
N
n
kn
N
Cặp biến đổi Fourier rời rạc:

5. Ví dụ 1: Tìm DFT của dãy: { }4,3,2,1)(
↑
=nx
∑=
=
3
0
4)()(
n
kn
WnxkX
jWWjeW
j
=−=−==
−
3
4
2
4
4
2
1
4 ;1;
π
10)3()2()1()0()()0(
3
0
0
4 =+++== ∑
=
xxxxWnxX
n
22)3()2()1()0()()1( 3
4
2
4
1
4
3
0
4 jWxWxWxxWnxX
n
n
+−=+++== ∑
=
2)3()2()1()0()()2( 6
4
4
4
2
4
3
0
2
4 −=+++== ∑
=
WxWxWxxWnxX
n
n
22)3()2()1()0()()3( 9
4
6
4
3
4
3
0
3
4 jWxWxWxxWnxX
n
n
−−=+++== ∑
=

6. BÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFTBÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFT
a) Tuyến tính
N
DFT
N kXnx )()( 11  →←
NN
DFT
NN kXakXanxanxa )()()()( 22112211 + →←+
Nếu:Nếu:
Thì:Thì:
N
DFT
N kXnx )()( 22  →←
b) Dịch vòng:
)()( N
DFT
N kXnx  →←Nếu:Nếu:
)()( 0
0 N
kn
N
DFT
N kXWnnx  →←−Thì:Thì:
Với:Với: (n)rect)(~)( N00 NN nnxnnx −=−
gọi là dịch vòng của
x(n)N đi n0 đơn vị
21 21 xx LNNL =≠=Nếu:Nếu: Chọn:Chọn: },max{ 21 NNN =

7. Ví dụ 1: Cho:
a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)4, x(n-2)4
{ }4,3,2,1)(
↑
=nx
x(n)x(n)
nn
0 1 2 30 1 2 3
44
33
22
11
a)
nn
x(n-2)x(n-2)
0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5
44
33
22
11nn
x(n+3)x(n+3)
-3 -2 -1 0-3 -2 -1 0
44
33
22
11

8. b)
x(n)
nn
0 1 2 30 1 2 3
44
33
22
11
N
x(n-1)4
nn
0 1 2 3
44
33
22
11
x(n+1)x(n+1)44
nn
0 1 2 30 1 2 3
44
33
22
11

9. c) Chập vòng:
N
DFT
N kXnx )()( 11  →←
NN
DFT
NN kXkXnxnx )()()()( 2121  →←⊗
Nếu:Nếu:
Thì:Thì:
N
DFT
N kXnx )()( 22  →←
∑
−
=
−=⊗
1
0
2121 )()()()(
N
m
NNNN mnxmxnxnxVới:Với:
Chập vòng 2 dãy
x1(n) & x2(n)
21 21 xx LNNL =≠=Nếu:Nếu: Chọn:Chọn: },max{ 21 NNN =
Chập vòng có tính giao hóan:Chập vòng có tính giao hóan:
NNNN nxnxnxnx )()()()( 1221 ⊗=⊗
)()(~)( 22 nrectmnxmnx NNN −=−Và:Và: Dịch vòng dãy
x2(-m) đi n đ/vị

10. Ví dụ 1: Tìm chập vòng 2 dãy
30:)()()()()(
3
0
4241424143 ≤≤−=⊗= ∑
=
nmnxmxnxnxnx
m
4},max{4,3 2121 ==⇒== NNNNN
 Đổi biến n->m:
 Xác định x2(-m)4:
 Chọn độ dài N:

11. mm
-3 -2 -1 0 1 2 3 4-3 -2 -1 0 1 2 3 4
44
33
22
11
)(~
2 mx −
xx22(m)(m)
mm
0 1 2 30 1 2 3
44
33
22
11
xx22(-m)(-m)
mm
-3 -2 -1 0-3 -2 -1 0
44
33
22
11
mm
0 1 2 30 1 2 3
44
33
22
11
)()(~)( 4242 nrectmxmx −=−
mm
0 1 2 30 1 2 3
44
33
22
11
)()(~)( 4242 nrectmxmx −=−

12.  Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị
n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái
xx22(1-m)(1-m)44
mm
0 1 2 30 1 2 3
44
33
22
11
xx22(2-m)(2-m)44
mm
0 1 2 30 1 2 3
44
33
22
11 mm
0 1 2 30 1 2 3
44
33
22
11
xx22(3-m)(3-m)44
mm
0 1 2 30 1 2 3
44
33
22
11
x2(-m)4

13. 30:)()()(
3
0
424143 ≤≤−= ∑
=
nmnxmxnx
m
 n=0:
 Nhân các mẫu
x1(m) & x2(n-m)
và cộng lại:
26)0()()0(
3
0
424143 =−= ∑
=m
mxmxx
 n=1: 23)1()()1(
3
0
424143 =−= ∑
=m
mxmxx
 n=2: 16)2()()2(
3
0
424143 =−= ∑
=m
mxmxx
 n=3: 25)3()()3(
3
0
424143 =−= ∑
=m
mxmxx
Vậy:

14. BÀI 4. BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFTBÀI 4. BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
1. KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT1. KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
 Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát
triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên
máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối
lớn.
 DFT của x(n) có độ dài N: 10:)()(
1
0
−≤≤= ∑
−
=
NkWnxkX
N
n
kn
N
 Để tính X(k), với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-1)
phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N2
phép nhân và
N(N-1) phép cộng.
 Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT,
nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên DFT
gọi là FFT (Fast Fourier Transform).

15. 2. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 22. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2
a. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIANa. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN
Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các
dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi là
phân chia theo thời gian.
∑
−
=
=
1
0
)()(
N
n
kn
NWnxkX ∑∑
−
=
−
=
+=
1
3,5...,1n
1
2,4...,0n
)()(
N
kn
N
N
kn
N WnxWnx
∑∑
−
=
+
−
=
++=
1)2/(
0r
)12(
1)2/(
0r
2
)12()2()(
N
rk
N
N
kr
N WrxWrxkX
Thay n=2r với n chẵn và n=2r+1 với n lẽ:
Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2M
, nếu không có dạng lũy
thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).

16. X0(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n chẵn
X1(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n lẽ
∑
−
=
=
1)2/(
0r
2/0 )2()(
N
kr
NWrxkX ∑
−
=
+=
1)2/(
0r
2/1 )12()(
N
kr
NWrxkXĐặt:
)(.)()( 10 kXWkXkX k
N+=
Lấy ví dụ minh họa cho x(n) với N=8
∑∑
−
=
−
=
++=
1)2/(
0r
2/
1)2/(
0r
2/ )12(.)2()(
N
kr
N
k
N
N
kr
N WrxWWrxkX
kr
N
kr
N
jrk
N
j
rk
N WeeW 2/
2/
2
2
2
2
===
ππ
Do:

17. DFT
N/2
điểm
x(0)
x(2)
x(4)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
DFT
N/2
điểm
x(1)
x(3)
x(5)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
W0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W7
X0(0)
X0(1)
X0(2)
X0(3)
X1(0)
X1(1)
X1(2)
X1(3)
n chẵn
n lẽ
 Phân chia DFT- N điểm -> 2 DFT- N/2 điểm;
Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ:
- Nhánh ra của 1 nút bằng tổng các nhánh vào nút đó
- Giá trị mỗi nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân hệ số

18. Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu x(n), tiếp tục
phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm
theo chỉ số n chẵn và lẽ và cứ thế tiếp tục phân chia cho
đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại.
Ví dụ X0(k) được phân chia:
∑∑
−
=
−
=
==
1)2/(
0r
2/
1)2/(
0r
2/0 )()2()(
N
kr
N
N
kr
N WrgWrxkX
∑∑
−
=
−
=
+=
1)2/(
...5,3,1r
2/
1)2/(
...4,2,0r
2/ )()(
N
kr
N
N
kr
N WrgWrg
∑∑
−
=
−
=
++=
1)4/(
0l
4/2/
1)4/(
0l
4/ )12()2(
N
kl
N
k
N
N
kl
N WlgWWlg
)(.)( 012/00 kXWkX k
N+=

19.  Phân chia DFT- N/2 điểm -> 2 DFT- N/4 điểm của X0(k)
DFT
N/4
x(0)
x(4)
W0
N/2
W1
N/2
X00(0)
X00(1)
X0(0)
X0(1)
DFT
N/4
x(2)
x(6)
X0(2)
X0(3)
X01(0)
X01(1)
W2
N/2
W3
N/2
 Phân chia X1(k) tương tự: )(.)()( 112/101 kXWkXkX k
N+=
DFT
N/4
x(1)
x(5)
W0
N/2
W1
N/2
X10(0)
X10(1)
X1(0)
X1(1)
DFT
N/4
x(3)
x(7)
X1(2)
X1(3)
X11(0)
X11(1)
W2
N/2
W3
N/2

20.  Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 2 lần phân chia với N=8
DFT
N/4
x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
W0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W7
DFT
N/4
DFT
N/4
DFT
N/4
W0
W2
W4
W6
X00(0)
X00(1)
X01(0)
X01(1)
X10(0)
X10(1)
X11(0)
X11(1)
W0
W2
W4
W6
x(0)
x(4)
W0
N = 1
WN
N/2
=-1
X00(0)
X00(1)
 Lưu đồ DFT
2 điểm:

21.  Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8
x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
W0
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W7
W0
W2
W4
W6
W0
W2
W4
W6
-1
-1
-1
-1
Xm(p)
Xm(q)
-1
Xm+1(p)
Xm+1(q)
Wr
N
Xm(p)
Xm(q)
Xm+1(p)
Xm+1(q)
Wr
N
WN
(r+N/2)
= - WN
r

22.  Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8
x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
W0
W1
W2
W3
-1
-1
-1
-1
W0
W2
-1
-1
-1
-1
W0
W2
-1
-1
-1
-1
Đảo
bít
Với N=2M
-> M lần phân chia
Số phép nhân = số phép cộng = NM/2=(N/2)log2N

23. Chæ soá
töï
nhieân
Soá nhò phaân
chöa ñaûo
(n2
,n1
,n0
)
Soá nhò phaân
ñaûo (n0
,n1
,n2
)
Chæ
soá
ñaûo
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 4
2 0 1 0 0 1 0 2
3 0 1 1 1 1 0 6
4 1 0 0 0 0 1 1
5 1 0 1 1 0 1 5
6 1 1 0 0 1 1 3
7 1 1 1 1 1 1 7
 Bảng mô tả qui luật đảo bít:

24. Ví dụ 1: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/g
x(0)
x(2)
x(1)
x(3)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
W0
W1
-1
-1 -1
-1
 k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + W0
[x(1) + x(3)] = 10.
 k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1
[x(1) - x(3)] = - 2 + j2.
 k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - W0
[x(1) + x(3)] = - 2.
 k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1
[x(1) - x(3)] = - 2 - j2.

25. b. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐb. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐ
Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy ra X(k) thành các
dãy nhỏ, do biến k biểu thị cho trục tần số nên gọi là
phân chia theo tần số.
∑
−
=
=
1
0
)()(
N
n
kn
NWnxkX ∑∑
−
=
−
=
+=
1
2/n
1)2/(
0n
)()(
N
N
kn
N
N
kn
N WnxWnx
∑∑
−
=
+
−
=
++=
1)2/(
0n
)2/(
1)2/(
0n
)2/()(
N
Nnk
N
N
kn
N WNnxWnx
∑∑
−
=
−
=
++=
1)2/(
0n
2/
1)2/(
0n
)2/()(
N
kn
N
kN
N
N
kn
N WNnxWWnx
[ ]∑
−
=
+−+=
1)2/(
0n
)2/()1()(
N
kn
N
k
WNnxnx

26. Với k chẵn, thay k=2r:
[ ]∑
−
=
++=
1)2/(
0n
2/)2/()()2(
N
rn
NWNnxnxrX
Với k lẽ, thay k=2r+1
[ ]{ }∑
−
=
+−=+
1)2/(
0n
2/)2/()()12(
N
rn
N
n
N WWNnxnxrX
)2/()()();2/()()( NnxnxnhNnxnxng +−=++=Đặt:
∑
−
=
=
1)2/(
0n
2/)()2(
N
rn
NWngrX [ ]∑
−
=
=+
1)2/(
0n
2/)()12(
N
rn
N
n
N WWnhrX
X(2r) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k chẵn
X(2r+1) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k lẽ

27.  Phân chia DFT N=8 điểm -> 2 DFT N/2= 4 điểm
k chẵn
k lẻ
DFT
N/2
điểm
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
X(0)
X(2)
X(4)
X(6)
DFT
N/2
điểm
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
X(1)
X(3)
X(5)
X(7)
W0
W1
W2
W3
g(0)
g(1)
g(2)
g(3)
h(0)
h(1)
h(2)
h(3)
-1
-1
-1
-1

28. Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu X(k), tiếp tục
phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm
theo chỉ số k chẵn và lẽ. Tiếp tục phân chia cho đến khi
nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại.
Dữ liệu ra X(k) được sắp xếp theo thứ tự đảo bít, còn
dữ liệu vào được sắp theo thứ tự tự nhiên.
Số phép nhân và phép cộng trong lưu đồ phân theo tần
số bằng với số phép nhân và cộng trong lưu đồ phân
theo thời gian.

29.  Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
X(0)
X(4)
X(2)
X(6)
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
X(1)
X(5)
X(3)
X(7)
W0
W1
W2
W3
-1
-1
-1
-1
W0
W2
-1
-1
-1
-1
W0
W2
-1
-1
-1
-1
Đảo
bít

30. k=0: X(0) = [x(0) + x(2)] + [x(1) + x(3)] = 10.
k=2: X(2) = [x(0) + x(2)] - [x(1) + x(3)] = - 2.
k=1: X(1) = [x(0) - x(2)] + W1
[x(1) - x(3)] = - 2 + j2.
k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1
[x(1) - x(3)] = - 2 - j2.
Ví dụ 2: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/s
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
X(0)
X(2)
X(1)
X(3)
W0
W1
-1
-1-1
-1

31. 3. THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N3. THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N11NN22
Giả thiết dữ liệu vào được sắp xếp vào trong mảng theo
thứ tự từng cột với số cột N1 và số hàng N2:
Giả thiết độ dài dãy x(n) có thể phân tích N=N1N2, nếu
độ dài không thể biểu diễn dưới dạng trên thì thêm vài
mẫu 0 vào sau dãy x(n).
nn2 nn11 00 11 …… NN11-1-1
00 x(0)x(0) x(Nx(N22)) …… x[Nx[N22(N(N11-1)]-1)]
11 x(1)x(1) x(Nx(N22+1)+1) …… x[Nx[N22(N(N22-1)+1]-1)+1]
…… …… …… …… ……
NN22-1-1 x(Nx(N22-1)-1) x(2Nx(2N22-1)-1) …… x[Nx[N11NN22-1]-1]

32. Lấy ví dụ sắp xếp dãy x(n) với N=12, chọn N1=3 và N2=4
n2 n1 0 1 2
0 x(0)x(0) x(4)x(4) x(8)x(8)
1 x(1)x(1) x(5)x(5) x(9)x(9)
2 x(2)x(2) x(6)x(6) x(10)x(10)
3 x(3)x(3) x(7)x(7) x(11)x(11)
Các chỉ số n của x(n), k của X(k) xác định:
n = n1N2 + n2
0 ≤ n1 ≤ N1
0 ≤ n2 ≤ N2
k = k1 + k2N1
0 ≤ n1 ≤ N1
0 ≤ n2 ≤ N2

33. DFT N điểm dãy x(n) được phân
tích:
∑ ∑
−
=
−
=
++
+=+=
1
0
1
0
))((
212121
2
2
1
1
212121
)()()(
N
n
N
n
NnnNkk
NWNnnxNkkXkX
∑ ∑
−
=
−
=
+=
1
0
1
0
2
212
2
2
1
1
21211222111
)(
N
n
N
n
NNkn
N
Nkn
N
Nkn
N
kn
N WWWWNnnx
1;;:Do 212122122
2
11
1
211
=== NNkn
N
kn
N
Nkn
N
kn
N
Nkn
N WWWWW
∑ ∑
−
=
−
= 













+=⇒
1
0
1
0
212
2
2
22
2
12
1
1
11
1
)()(
N
n
kn
N
kn
N
N
n
kn
N WWWNnnxkX

34. ∑
−
=
=
1
0
12
2
2
22
2
),()(
N
n
kn
NWknGkX
∑
−
=
+=
1
0
21212
1
1
11
1
)(),(
N
n
kn
NWNnnxknF
12
).,(),( 1212
kn
NWknFknG =
Đặt:
Các bước tiến hành thuật tóan:Các bước tiến hành thuật tóan:
Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột, mảng x
Tính DFT theo từng hàng mảng x, được F(n2,k1)
Tính mảng hệ số WN
n2k1
Nhân mảng F(n2,k1) với WN
n2k1
, được G(n2,k1)
Tính DFT theo từng cột mảng G(n2,k1), được X(k)
Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k).

35. Ví dụ 1: Nêu các bước tính và vẽ lưu đồ thuật tóan FFT dãy
x(n) với N=N1N2=12, chọn N1=3 và N2=4
Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột như bảng:
nn2 nn11 00 11 22
0 x(0)x(0) x(4)x(4) x(8)x(8)
1 x(1)x(1) x(5)x(5) x(9)x(9)
2 x(2)x(2) x(6)x(6) x(10)x(10)
3 x(3)x(3) x(7)x(7) x(11)x(11)

36. Tính DFT theo từng hàng mảng x, được F(n2,k1):
nn2 kk11 0 1 2
00 F(0,0)F(0,0) F(0,1)F(0,1) F(0,2)F(0,2)
11 F(1,0)F(1,0) F(1,1)F(1,1) F(1,2)F(1,2)
22 F(2,0)F(2,0) F(2,1)F(2,1) F(2,2)F(2,2)
33 F(3,0)F(3,0) F(3,1)F(3,1) F(3,2)F(3,2)
∑
−
=
+=
1
0
21212
1
1
11
1
)(),(
N
n
kn
NWNnnxknF

37. Tính mảng hệ số WN
n2k1
nn2 kk11 0 1 2
00 WWNN
00
WWNN
00
WWNN
00
11 WWNN
00
WWNN
11
WWNN
22
22 WWNN
00
WWNN
22
WWNN
44
33 WWNN
00
WWNN
33
WWNN
66

38. Nhân các phần tử mảng F(n2,k1) với các hệ số của
mảng WN
n2k1
tương ứng, được G(n2,k1) :
nn2 kk11 0 1 2
00 G(0,0)G(0,0) G(0,1)G(0,1) G(0,2)G(0,2)
11 G(1,0)G(1,0) G(1,1)G(1,1) G(1,2)G(1,2)
22 G(2,0)G(2,0) G(2,1)G(2,1) G(2,2)G(2,2)
33 G(3,0)G(3,0) G(3,1)G(3,1) G(3,2)G(3,2)
Phần tử: G(ni,kj) = F(ni,kj). WN
nikj

39. Tính DFT theo từng cột mảng G(n2,k1), được X(k):
kk2 kk11 0 1 2
00 X(0)X(0) X(1)X(1) X(2)X(2)
11 X(3)X(3) X(4)X(4) X(5)X(5)
22 X(6)X(6) X(7)X(7) X(8)X(8)
33 X(9)X(9) X(10)X(10) X(11)X(11)
∑
−
=
=+=
1
0
12211
2
2
22
2
),()()(
N
n
kn
NWknGkNkXkX
Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k)

40.  Lưu đồ FFT dãy x(n) N=N1N2, với N1=3, N2=4:
DFT
N1
điểm
x(0)
x(4)
x(8)
W0
W1
W2
DFT
N1
điểm
x(1)
x(5)
x(9)
DFT
N1
điểm
x(2)
x(6)
x(10)
DFT
N1
điểm
x(3)
x(7)
x(11)
W0
W2
W4
W0
W3
W6
DFT
N2
điểm
DFT
N2
điểm
DFT
N2
điểm
X(0)
X(3)
X(6)
X(9)
X(1)
X(4)
X(7)
X(10)
X(2)
X(5)
X(8)
X(11)