Tuần 2_dinhthuc_nghịch đảo.pptx

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
---------------------------------------------------------------
Môn học: Đại số tuyến tính
Tuần 2. Định thức
Ma trận nghịch đảo
Mô hình Input – Output Leontief
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh

I. Định thức của ma trận vuông
--------------------------------------------------------------------
Lớp 10 Hệ phương trình
5 2 1
7 3 4
x y
x y
 


 

5 2
7 3
A
 
  
 
5 2
5 3 7 2 1
7 3
D      
  determinant 1
d of A
5 2
e =
t
7 3
A  
Lớp 12 Tích có hướng của hai véctơ
 
 
2,1,3 ,
1,4,5
a
b

 
1 3 2 3 2 1
, , ,
4 5 1 5 1 4
a b
 
   
 
   
 
 
7, 13,9
  

Cho là ma trận vuông cấp n.
Định thức của A là một số ký hiệu bởi det .
  n
n
ij
a
A 

A
a
A n
n
ij 
 
)
(
--------------------------------------------------------------------
ij
( 1)i j
ij
A M

 
Phần bù đại số của phần tử aij là đại lượng .
Định thức con của phần tử , ký hiệu bởi , là định thức thu được
từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A.
ij
M
ij
a

2 5 2
3 1 2
4 7 6
A

 
 

 
 
 
Ví dụ Tính các phần bù đại số của những phần tử ở hàng 1 của

b) cấp 2:
11 12
11 22 12 21 11 11 12 12
21 22
det( )
a a
A a a a a a A a A
a a
    
a) cấp 1:  
11 11
det( )
A a A a
  
c) cấp 3:  
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33
det
a a a
A a a a a A a A a A
a a a
   
d) cấp n:   11 12 1
11 11 12 12 1 1
det
*
n
n n
a a a
A a A a A a A
    
...............
Định nghĩa định thức bằng truy hồi theo cấp của ma trận
--------------------------------------------------------------------

1
2
1 1 2 2
* *
j
j
j j j j nj nj
nj
a
a
A a A a A a A
a
    
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo hàng hoặc
cột tùy ý nào đó
1 2 1 1 2 2
*
*
i i in i i i i in in
A a a a a A a A a A
    
Tính chất 1

Khẳng định nào đúng về bậc của f (x)?
2 3
1 2 1 3
2 5 1 4
( )
2
4 1 3 6
f x
x x x x



Ví dụ
A/ Bậc 5 B/ Bậc 4 C/ Bậc 3 D/ Các câu kia sai

Định thức của ma trận tam giác (trên hoặc dưới) bằng tích
các phần tử nằm trên đường chéo.
Tính chất 2
11
22
* * * *
0 * * *
0 0 * *
0 0 0 0 nn
a
a
a

120
1
4
5
)
3
(
2
1
0
0
0
0
9
4
0
0
0
8
2
5
0
0
1
7
6
3
0
4
0
3
1
2











A
Ví dụ

Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức
1.Nếu thì
i i
h h
A B



  
det( ) det
B A


2.Nếu thì
i i j
h h h
A B

 

 det( ) det( )
B A

3. Nếu thì
i j
h h
A B

 det( ) det( )
B A
 
Tính chất 3
Lưu ý: Nếu A vuông, cấp n, thì    
det det
n
A A
 

Tính chất tương tự cho các phép biến đổi sơ cấp đối với cột.

Ví dụ
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức của ma trận A,
với


















1
3
1
2
2
6
2
3
0
5
3
2
1
2
1
1
A

det (AT) = det (A)
Tính chất 4
det(AB) = det(A) det(B)
Tính chất 5
A có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0
Tính chất 6
A có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0
Tính chất 7
21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
a b a b a b a a
a a a a a a a a a
a a
b
a a a a a
b
a
a b
a

 


Tính chất 8

II. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại
ma trận B sao cho AB = BA = I. Khi đó B được gọi là nghịch
đảo của A và ký hiệu là A-1, với I là ma trận đơn vị cùng cấp A.
Ví dụ. Cho
5 2
7 3
A
 
  
 
1/ A có khả nghịch hay không?
2/ Tìm nghịch đảo của A nếu có

Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma
trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra
1 1
det( )
A
A P
A

 , với
11 12 1
21 22 2
1 2
T
n
n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
 
 
 

 
 
 
Chứng minh
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 0.

Định lý
Giả sử det(A) 0.

det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) 0

Phương pháp 1 (dùng định thức)
 
1 1
det
det( )
A
A



Ví dụ. Dùng định thức, tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của
1 1 1
2 3 1
3 4 0
A
 
 

 
 
 
11 12 13
1
21 22 23
31 32 33
1
det
T
A A A
A A A A
A
A A A

 
 

 
 
 

Ma trận thu được từ I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được
gọi là ma trận sơ cấp.
Định nghĩa ma trận sơ cấp
Ví dụ 3 3 1
5
2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 5 0 1
h h h
I E
 
   
   
 
 
   
   

   
3 1
3
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0
c c
I E

   
   
 
 
   
   
   
Phương pháp 2 (dùng biến đổi sơ cấp)

Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A là phép
nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng.
Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A là phép
nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng.
1 3 1
2 4 6
3 7 5
A
 
 
 

 
 
 
2 2 1
2
1 3 1
0 10 4
3 7 5
h h h
B
 
 
 
 

 
 
 
 
1 0 0 1 3 1
2 1 0 2 4 6
0 0 1 3 7 5
EA
 
  
  

  
  
  
1 3 1
0 10 4
3 7 5
 
 
 

 
 
 
B

2 2 1
2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 2 1 0
0 0 1 0 0 1
h h h
I E
 
   
   
 
 
   
   
   

Ví dụ. Dùng bđst, tìm ma trận nghịch đảo của
1 1 1
2 3 1
3 4 3
A
 
 

 
 
 
 
1 1 1 1 0 0
2 3 1 0 1 0
3 4 3 0 0 1
A I
 
 
  
 
 
1 1 1 1 0 0
0 1 1 2 1 0
0 1 0 3 0 1
 
 
  
 
 

 
1 1 1 1 0 0
0 1 1 2 1 0
0 0 1 1 1 1
 
 
  
 
 
 
 
1 1 0 2 1 1
0 1 0 3 0 1
0 0 1 1 1 1
 

 
 
 
 
 
 
1 0 0 5 1 2
0 1 0 3 0 1
0 0 1 1 1 1
 

 
 
 
 
 
 
 
1
I A

1
5 1 2
3 0 1
1 1 1
A

 
 
  
 
 
 
 

Tính chất của ma trận nghịch đảo
1. là duy nhất
1
A
2.    
1 1 T
T
A A
 

3.  
1
1
A A



4.   1 1 1
AB B A
  

5.   1 1
1
, 0
A A
 

 
 
6. A khả nghịch    
det 0
A r A n
   
7.  
   
1 1
det
det
A
A


8. 1
det( ) (det( ))n
A
P A 

Cho A và B là hai ma trận khả nghịch, A cấp n.

Ví dụ ( mô hình Input Output Leontief)
Mô hình Input Output Leontief còn gọi là mô hình I/O hay mô hình cân đối
liên ngành.
Giả thiết cho mô hình này:
1/ Mỗi ngành chỉ sản xuất một loại hàng hóa
2/ Mỗi ngành sử dụng một tỉ lệ cố định của các sản phẩm của ngành khác
làm đầu vào cho sản xuất đầu ra của ngành mình
Xét mô hình kinh tế có ba ngành: Công nghiệp, Nông nghiệp và dịch vụ.
Quy đổi hàng hóa thành tiền $.
Cầu trung gian là $ giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần
dùng để sản xuất ra 1$ sản phẩm của ngành j.
ij
x ij
x
Cầu cuối là $ giá trị hàng hóa của ngành i cần cho lao động, xuất
khẩu, tiêu dùng,...
i
b i
b

Tổng cầu của mỗi ngành là tổng cầu trung gian và cầu cuối của ngành
i
x i
x
1 11 12 13 1
2 21 22 23 2
3 31 32 33 3
x x x x b
x x x x b
x x x x b
   


   

    

Công nghiệp
Nông nghiệp
Dịch vụ
13
11 12
1 1 2 3 1
1 2 3
23
21 22
2 1 2 3 2
1 2 3
31 32 33
3 1 2 3 3
1 2 3
x
x x
x x x x b
x x x
x
x x
x x x x b
x x x
x x x
x x x x b
x x x

   



   



   


1 11 1 12 1 13 1 1
2 21 2 22 2 23 2 2
3 31 3 32 3 33 3 3
x a x a x a x b
x a x a x a x b
x a x a x a x b
   


   

    

ij
ij
j
x
a
x
 là tỉ lệ của cầu trung gian đối với ngành i từ ngành j so
với tổng cầu của ngành j.

1 11 12 13 1 1
2 21 22 23 2 2
3 31 32 33 3 3
x a a a x b
x a a a x b
x a a a x b
      
      
 
      
      
      
X AX b
  
Ví dụ. Giả sử để sản xuất ra hàng hóa có giá trị 1$ của ngành công nghiệp cần lượng
hàng hóa có giá trị 0.15$ của ngành công nghiệp, 0.12$ của ngành nông nghiệp và
0.05$ của ngành dịch vụ; để sản xuất lượng hàng giá trị 1$ của ngành nông nghiệp
cần 0.25$ của ngành công nghiệp, 0.18$ của ngành nông nghiệp và 0.03$ của ngành
dịch vụ; để sản xuất lượng hàng giá trị 1$ của ngành dịch vụ cần 0.1$ của ngành
công nghiệp, 0.2$ của ngành nông nghiệp và 0.07$ của ngành dịch vụ.
Tìm đầu ra cho mỗi ngành, biết nhu cầu cuối cùng của các ngành là 500, 300, 200
(đơn vị tính là triệu $).
0.15 0.25 0.1 500
0.12 0.18 0.2 , 300
0.05 0.03 0.07 200
A b
   
   
 
   
   
   
Đầu ra cho mỗi ngành:    
1
781.50,547.23,274.72
T
X I A b

  
I
n
1
I
n
2
I
n
3
out của ngành 1
out của ngành 2
out của ngành 3

Tuần 2_dinhthuc_nghịch đảo.pptx

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Tuần 2_dinhthuc_nghịch đảo.pptx

Similar a Tuần 2_dinhthuc_nghịch đảo.pptx (20)

Tuần 2_dinhthuc_nghịch đảo.pptx