فصل سوم DSP نمونه برداری.pdf

1. ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫ز‬ ‫در‬ ‫پیوسته‬ ‫های‬‫سیگنال‬ ‫مان‬ Sampling of Continuous-time Signals

2. ‫چرا‬ ‫نمونه‬ ‫برداری؟‬ • ‫برای‬ ‫کاهش‬ ‫حجم‬ ‫اطالعات‬ • ‫برای‬ ‫پردازش‬ ‫گسسته‬  ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫میتواند‬ ‫پریودیک‬ ‫باش‬ ‫د‬  ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫میتواند‬ ‫غیرپریودیک‬ ‫ب‬ ‫اشد‬  ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫میتواند‬ ‫تصادفی‬ ‫باشد‬ ‫بخش‬ ‫اعظم‬ ‫سیگنالهای‬ ‫گسسته‬ ‫از‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫سیگنالهای‬ ‫پیوسته‬ ‫حاصل‬ ‫میشوند‬ .

3. T : sapling period 𝛀𝒔 = 𝟐𝝅 𝑻 , 𝒇𝒔 = 𝟏 𝑻 : sampling frequency ‫نمایش‬ ‫در‬ ‫حوزه‬ ‫زمان‬ 𝑪/𝑫 ‫پیوسته‬: 𝑡, Ω ‫گسسته‬: n, 𝜔

4. ‫در‬ ‫این‬ ‫درس‬ ‫ما‬ ‫به‬ ‫سیستم‬ ‫مبدل‬ ‫سیگنال‬ ‫پیوسته‬ ‫به‬ ،‫گسسته‬ 𝑪/𝑫 ‫گوئیم‬ . ‫در‬ ‫عمل‬ ‫بجای‬ 𝑪/𝑫 ‫از‬ 𝑨/𝑫 ‫استفاده‬ ‫میشود‬ ‫که‬ ‫بخش‬ ‫کوانتایزیشن‬ ‫را‬ ‫هم‬ ‫دربر‬ ‫میگیرد‬ . ‫سوال‬ : ‫آیا‬ ‫سیستم‬ 𝑪/𝑫 ‫نمایش‬ ‫در‬ ‫حوزه‬ ‫فرکانس‬ ‫هم‬ ‫دارد؟‬ 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = ‫𝑋{تبدیل‬𝑐(𝑗Ω)}

5. ‫نمایش‬ ‫بلوک‬ ‫دیاگرام‬ ‫عملکرد‬ ‫سیستم‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ :

6. ‫نمایش‬ ‫حوزه‬ ‫فرکانس‬ : ‫پیوسته‬: 𝑡, Ω ‫گسسته‬: n, 𝜔

7. ‫نمایش‬ ‫تصویری‬ ‫حوزه‬ ‫فرکانس‬ : ‫اگر‬ 𝛀𝑺 − 𝛀𝑵 > 𝛀𝑵 ‫و‬ ‫یا‬ 𝛀𝑺 > 𝟐𝛀𝑵 ،‫شود‬ ‫تکرارهای‬ ‫مختلف‬ ‫با‬ ‫هم‬ ‫همپوشانی‬ ( aliasing ) ‫نداشته‬ ‫و‬ ‫در‬ ‫حالت‬ ،‫آل‬‫ایده‬ ‫با‬ ‫یک‬ ‫فیلتر‬ ‫پائین‬ ‫گذر‬ ‫میتوان‬ ‫از‬ ‫روی‬ 𝑿𝑺(𝒋𝛀) ، ‫سیگنال‬ 𝑿𝑪(𝒋𝛀) ‫را‬ ‫بدست‬ ‫آورد‬ . Nyquist frequency ‫سوال‬ : ‫آیا‬ ‫میتوان‬ ‫از‬ ‫روی‬ ‫سیگنال‬ 𝑿𝑺(𝒋𝛀) ، ‫سیگنال‬ 𝑿𝑪(𝒋𝛀) ‫را‬ ‫بدست‬ ‫آورد؟‬

8. Cutoff frequency ‫در‬ ‫حالت‬ ،‫آل‬‫ایده‬ ‫با‬ ‫یک‬ ‫فیلتر‬ ‫پائین‬ ‫گذر‬ ‫میتوان‬ ‫از‬ ‫روی‬ 𝑿𝑺(𝒋𝛀) ، ‫سیگنال‬ 𝑿𝑪(𝒋𝛀) ‫را‬ ‫بدست‬ ‫آورد‬ . ‫اگر‬ ‫شرط‬ 𝛀𝑺 > 𝟐𝛀𝑵 ‫برآورده‬ ،‫نشود‬ ‫تکرارهای‬ ‫مختلف‬ ‫باهم‬ ‫همپوشانی‬ ‫داشته‬ ‫که‬ ‫باعث‬ aliasing ‫میشود‬ .

9. ،‫بحث‬ ‫اینجای‬ ‫تا‬ 𝑿𝑺(𝒋𝛀) ‫برحسب‬ ‫را‬ 𝑿𝑪(𝒋𝛀) ‫آوردیم‬ ‫بدست‬ . ‫در‬ ‫ادامه‬ ‫سعی‬ ‫میکنیم‬ ‫رابطه‬ ‫بین‬ x[n] ‫یا‬ ‫تبدیل‬ ‫فوریه‬ ‫آن‬ 𝑿(𝒆𝒋𝝎 ) ‫برحسب‬ 𝒙𝒄(𝐭) ‫یا‬ ‫تبدیل‬ ‫فوریه‬ ‫آن‬ 𝑿𝑪(𝒋𝛀) ‫بدست‬ ‫آوردیم‬ . ‫دیده‬ ‫میشود‬ ‫که‬ 𝑿(𝒆𝒋𝝎) ‫در‬ ‫واقع‬ ‫همان‬ 𝑿𝑪(𝒋𝛀) ‫با‬ ‫تغیر‬ ‫مقیاس‬ ‫فرکانسی‬ 𝝎 = 𝛀𝐓 ‫است‬ . ‫با‬ ‫تعبیر‬ ‫دیگر‬ : ‫نرمالیزیشن‬ 𝛀 = 𝛀𝒔 = 𝟐𝝅 𝑻 ‫به‬ 𝝎 = 𝟐𝝅 ، ‫متناظر‬ ‫با‬ ‫نرمالیزیشن‬ ‫زمانی‬ 𝒙𝒔(𝒕) ‫به‬ x[n] ‫نمایش‬ ‫در‬ ‫حوزه‬ ‫فرکانس‬ 𝑪/𝑫

10. ‫نمایش‬ ‫تصویری‬ ‫حوزه‬ ‫فرکانس‬ ‫عملکرد‬ C/D : Ω𝑠 = 2𝜋 𝑇 𝜔 = Ω𝑇 = 2𝜋 𝑇 𝑇 = 2𝜋 ‫عملکرد‬ C/D : • ‫با‬ ‫طیف‬ ‫سازی‬ ‫پریودیک‬ 𝛀𝒔 ‫جمع‬ ‫و‬ • ‫با‬ ‫دامنه‬ ‫ضرب‬ 𝟏 𝑻 • Scale ‫رابطه‬ ‫با‬ ‫فرکانسی‬ 𝝎 = 𝛀𝐓

11. • ‫اما‬ ‫اگر‬ ‫سیگنال‬ ‫ما‬ ‫محدود‬ (Band limited) ‫باشد‬ ‫و‬ ‫حد‬ ‫اقل‬ ‫دو‬ ‫برابر‬ ‫از‬ ‫اعظمی‬ ‫فریکونسی‬ ‫سیگنال‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫شود‬ ‫سوال‬ : ‫آیا‬ ‫در‬ ،‫عمل‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫در‬ ‫حالت‬ ‫کلی‬ ‫یک‬ ‫پروسه‬ ‫پذیر‬‫معکوس‬ ‫است‬ ‫یا‬ ‫خیر؟‬ ‫یا‬ ‫به‬ ‫عبارت‬ ‫دیگر‬ C/D ‫معکوس‬ ‫پذیر‬ ‫است؟‬ ‫در‬ ‫حالت‬ ‫کلی‬ ‫جواب‬ ‫منفی‬ ‫است‬ . • ‫یا‬ ‫در‬ ‫صورت‬ ‫محدود‬ ‫بودن‬ ‫پهنای‬ ‫باند‬ ،‫سیگنال‬ ‫با‬ ‫انتخاب‬ ‫مناسب‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫میتوان‬ ‫به‬ ‫حال‬ ‫تی‬ ‫رسید‬ ‫که‬ ‫امکان‬ ‫بازسازی‬ ‫کامل‬ ‫ها‬‫نمونه‬ ‫وجود‬ ‫داشته‬ ‫باشد‬ .

12. ‫نایکویست‬ ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫قضیه‬ : ‫اگر‬ 𝑿𝑪(𝐭) ‫یک‬ ‫سیگنال‬ ‫با‬ ‫پهنای‬ ‫باند‬ ‫محدود‬ ‫فرض‬ ‫شود‬ (𝑿𝑪 𝒋𝛀 = 𝟎, |𝛀| ≥ 𝛀𝑵) ، ‫در‬ ‫این‬ ‫صورت‬ ‫میتوان‬ 𝑿𝑪(𝐭) ‫را‬ ‫از‬ ‫روی‬ ‫نمونه‬ ‫هایش‬ {𝒙 𝒏 = 𝑿𝑪 𝒏𝑻 } ، ‫بصورت‬ ‫یکتا‬ ‫بازیابی‬ ،‫کرد‬ ‫به‬ ‫شرطی‬ ‫که‬ 𝛀𝑺 = 𝟐𝝅 𝑻 ≥ 𝟐𝛀𝑵 ‫باشد‬ . ( = 𝟐𝛀𝑵 ‫نرخ‬ ‫نایکویست‬ ) 𝑿𝑺 𝒕 = 𝒙𝒄(𝒕) 𝒏=−∞ ∞ 𝜹(𝒕 − 𝒏𝑻) = 𝒏=−∞ ∞ 𝒙𝒄(𝒏𝑻)𝜹(𝒕 − 𝒏𝑻) ‫سیگنال‬ ‫برای‬ ‫دیگر‬ ‫طرف‬ ‫از‬ x[n] ‫داریم‬ : ‫داریم‬ ‫باال‬ ‫روابط‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ : ‫دیده‬ ‫میشود‬ ‫که‬ 𝑿(𝒆𝒋𝝎) ‫در‬ ‫واقع‬ ‫همان‬ 𝑿𝑪(𝒋𝛀) ‫با‬ ‫تغیر‬ ‫مقیاس‬ ‫فرکانسی‬ 𝝎 = 𝛀𝐓 ‫است‬ . ‫با‬ ‫تعبیر‬ ‫دیگر‬ : ‫نرمالیزیشن‬ 𝛀 = 𝛀𝒔 = 𝟐𝝅 𝑻 ‫به‬ 𝝎 = 𝟐𝝅 ، ‫متناظر‬ ‫با‬ ‫نرمالیزیشن‬ ‫زمانی‬ 𝒙𝒔(𝒕) ‫به‬ x[n]

13. ‫در‬ ‫بحث‬ ‫قبل‬ ‫دیدیم‬ ‫که‬ ‫با‬ ‫استفاده‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫فیلتر‬ ‫آل‬‫ایده‬ ‫میتوان‬ ‫از‬ ‫روی‬ 𝒙𝒔(𝐭) ‫سیگنال‬ 𝒙𝒄(𝐭) ‫را‬ ‫بدست‬ ‫آورد‬ . ‫هایش‬ ‫نمونه‬ ‫روی‬ ‫از‬ ‫پیوسته‬ ‫سیگنال‬ ‫یک‬ ‫بازسازی‬ : ‫در‬ ‫اینجا‬ ‫ابتدا‬ x[n] ‫را‬ ‫به‬ 𝒙𝒔(𝐭) ‫تبدیل‬ ‫نموده‬ ‫و‬ ‫سپس‬ ‫فیلتر‬ ‫پائین‬ ‫گذر‬ ‫آل‬‫ایده‬ ‫را‬ ‫برروی‬ ‫آن‬ ‫اعمال‬ ‫میکنیم‬ . ℎ𝑟 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑐( 𝑡 𝑇 )

14. ‫داریم‬ ‫ریاضی‬ ‫بیان‬ ‫به‬ : ‫نکته‬ : ‫میشود‬ ‫دیده‬ : 𝒙𝒓 𝒕 = 𝒙𝒔 𝒕 ∗ 𝒉𝒓 𝒕 = 𝒏=−∞ +∞ 𝒙 𝒏 𝒉𝒓[𝒕 − 𝒏𝑻] ℎ𝑟 𝑛𝑇 = 1, 𝑛 = 0 0, 𝑛 = ±1, ±2 … ‫و‬ ‫نکته‬ ‫این‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ 𝒙 𝒏 = 𝒙𝒄(𝒏𝑻) ‫که‬ ‫میشود‬ ‫دیده‬ : 𝒙𝒓 𝒕 |𝒕=𝒎𝑻 = 𝒏=−∞ +∞ 𝒙 𝒏 𝒉𝒓 𝒎𝑻 − 𝒏𝑻 = 𝒙𝒓 𝒎𝑻 = 𝒙𝒄 𝒏𝑻 ‫شده‬ ‫بازسازی‬ ‫سیگنال‬ ‫مطلب‬ 𝒙𝒓 𝒕 ‫اولیه‬ ‫سیگنال‬ ‫و‬ 𝒙𝒄(𝒏𝑻) ‫زمانهای‬ ‫در‬ ‫اقل‬ ‫حد‬ 𝒎𝑻 ‫است‬ ‫برابر‬ . ‫نمایش‬ ‫در‬ ‫حوزه‬ ‫زمان‬ 𝑫/𝑪

15. ‫یا‬ ‫پیوسته‬ ‫به‬ ‫گسسته‬ ‫سیگنال‬ ‫مبدل‬ ،‫فیلتر‬ ‫و‬ ‫ضربه‬ ‫قطار‬ ‫به‬ ‫گسسته‬ ‫سیگنال‬ ‫مبدل‬ ‫مجموعه‬ ‫به‬ D/C ‫گوئیم‬ . ‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫فرکانس‬ ‫حوزه‬ ‫و‬ ‫زمان‬ ‫حوزه‬ ‫در‬ ‫مبدل‬ ‫این‬ ‫خروجی‬ ‫و‬ ‫ورودی‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬ : 𝑥𝑟 𝑡 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑥 𝑛 ℎ𝑟[𝑡 − 𝑛𝑇] ‫کار‬ ‫خلص‬ D/C : ‫فرکانس‬ ‫مقیاس‬ ‫تغیر‬ ‫یک‬ ‫ابتدا‬ (𝛀 = 𝝎 𝑻 ) ‫فیلتر‬ ‫سپس‬ ‫و‬ ‫میشود‬ ‫اعمال‬ 𝑯𝒓(𝒋𝛀) ‫آن‬ ‫باالی‬ ‫میکند‬ ‫اثر‬ . ‫مؤلفه‬ ‫نگهداشتن‬ ‫هم‬ ‫فیلتر‬ ‫وظیفه‬ k=0 ‫میباشد‬ ‫طیفی‬ ‫تکرارهای‬ ‫سایر‬ ‫حذف‬ ‫و‬ .

16. ‫هدف‬ : ‫گسسته‬ ‫پردازنده‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫باال‬ ‫پیوسته‬ ‫سیستم‬ ‫جایگزینی‬ . ‫زمان‬ ‫در‬ ‫پیوسته‬ ‫سیگنال‬ ‫گسسته‬ ‫پردازش‬ : ‫پیوست‬ ‫سیستم‬ ‫ه‬ 𝑥𝐶 𝑡 𝑦𝑐 𝑡 ‫سوال‬ : ‫کرد؟‬ ‫ارایه‬ ‫را‬ ‫مدل‬ ‫یک‬ ‫گسسته‬ ‫در‬ ‫پیوسته‬ ‫سیستم‬ ‫یک‬ ‫برای‬ ‫میتوان‬ ‫همیشه‬ ‫آیا‬ ‫کرد‬ ‫کاری‬ ‫چنین‬ ‫نمیتوان‬ ‫کلی‬ ‫حالت‬ ‫در‬ . ‫کرد‬ ‫را‬ ‫کار‬ ‫این‬ ‫میتوان‬ ‫شریط‬ ‫با‬ ‫اما‬ : • 𝒙𝑪 𝒕 ‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫محدود‬ ‫باند‬ ‫باید‬ • 𝑻 ‫باشد‬ ‫کوچک‬ ‫کافی‬ ‫حد‬ ‫با‬ ‫باید‬ • ‫گسسته‬ ‫سیستم‬ LTI ‫باشد‬ ‫باندمحدود‬ ‫با‬

17. ‫زمان‬ ‫در‬ ‫پیوسته‬ ‫سیگنال‬ ‫گسسته‬ ‫پردازش‬ : ‫ورودی‬ ‫روابط‬ ‫قبل‬ ‫بخش‬ ‫در‬ - ‫خروجی‬ 𝑫/𝑪 ,𝑪/𝑫 ‫دیدیم‬ ‫را‬ : 𝑪/𝑫: 𝑫/𝑪:

18. ،‫قبلی‬ ‫سالید‬ ‫شکل‬ ‫در‬ ‫موجود‬ ‫گسسته‬ ‫سیستم‬ ‫که‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬ LTI ‫آن‬ ‫ضربه‬ ‫پاسخ‬ ‫و‬ ‫باشد‬ 𝒉[𝒏] ‫پاسخ‬ ‫و‬ ‫فرکانس‬ 𝑯(𝒆𝒋𝝎) ‫داریم‬ ،‫باشد‬ ‫آن‬ : 𝒀 𝒆𝒊𝝎 = 𝑯 𝒆𝒋𝝎 𝑿(𝒆𝒋𝝎) ‫میشود‬ ‫دیده‬ ‫قبلی‬ ‫روابط‬ ‫از‬ ‫سیگنال‬ ‫اگر‬ 𝑿𝑪(𝒋𝛀) ‫باند‬ ‫به‬ ‫محدود‬ |𝛀| < 𝝅 𝑻 ‫و‬ ‫نداریم‬ ‫ها‬‫تکرارشده‬ ‫بین‬ ‫همپوشانی‬ ،‫باشد‬ 𝑯𝒓(𝒋𝛀) ‫مولفه‬ k=0 ‫ضریب‬ ‫که‬ ‫نگهداشته‬ ‫را‬ 1/T ‫داشت‬ ‫خواهیم‬ ‫بنابراین‬ ،‫میکند‬ ‫جبران‬ ‫هم‬ ‫را‬ : 𝒀𝒓(𝒋𝛀) = 𝑯𝒆𝒇𝒇(𝒋𝛀) 𝑿𝒄(𝒋𝛀) 𝑯𝒆𝒇𝒇 𝒋𝛀 = 𝑯 𝒆𝒋𝛀𝐓 , |𝛀| < 𝝅 𝑻 𝟎 , 𝒆𝒍𝒔𝒆

19. ‫نکته‬ : ‫دیده‬ ‫میشود‬ ‫که‬ ‫سیستم‬ ‫پیوسته‬ ‫معادل‬ ‫یک‬ ‫سیستم‬ ،‫گسسته‬ ‫همواره‬ ‫یک‬ ‫سیستم‬ ‫محدودب‬ ‫اند‬ (Band limited) ‫است‬ . ‫مثال‬ : ‫فیلتر‬ ‫کردن‬ ‫گذر‬‫پایین‬ ‫پیوسته‬ ‫با‬ ‫استفاده‬ ‫از‬ ‫فیلتر‬ ‫گذر‬‫پایین‬ ‫گسسته‬ ‫در‬ ‫زمان‬ ( Ideal Continuous- Time Lowpass Filtering Using a Discrete-Time Lowpass Filter ) : ‫شکل‬ 4 - 10 ‫را‬ ‫با‬ ‫سیستم‬ ‫گسسته‬ LTI ‫دارای‬ ‫پاسخ‬ ‫فرکانسی‬ ‫ذیل‬ ‫در‬ ‫نظر‬ ‫بگیرید‬ ‫سیستم‬ ‫پیوسته‬ LTI ‫شکل‬ 4 - 10 ‫برای‬ ‫ورودی‬ ‫های‬ ‫باند‬ - ‫محدود‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫شده‬ ‫با‬ ‫فرکانس‬ ‫باالتر‬ ‫از‬ ‫نرخ‬ ،‫نایکویست‬ ‫با‬ ‫پاسخ‬ ‫فرکانسی‬ ‫ذیل‬ ‫رفتار‬ ‫میکند‬

20. ‫برد‬ ‫نمونه‬ ‫نرخ‬ ‫تغییر‬ ‫اری‬ : - ‫کاهش‬ ‫نرخ‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫به‬ ‫نسبت‬ ‫صحیح‬ (Down Sampling) - ‫افزایش‬ ‫نرخ‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫به‬ ‫نسبت‬ ‫صحیح‬ (Up Sampling) - ‫تغییر‬ ‫نرخ‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫به‬ ‫نسبت‬ ‫کسری‬ (Re-Sampling) ‫یک‬ ‫سیگنال‬ 𝒙 𝒏 = 𝒙𝒄(𝒏𝑻) ‫داریم‬ ‫و‬ ‫میخواهیم‬ ‫سیگنال‬ ‫جدید‬ 𝒙𝟏 𝒏 = 𝒙𝒄(𝒏𝑻𝟏) ‫را‬ ‫بدست‬ ‫آوریم‬ ‫که‬ ‫دوره‬ ‫تناوب‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫آن‬ ( 𝑻𝟏 ) ‫با‬ ‫اولی‬ ( 𝑻 ) ‫متفاوت‬ ‫است‬ . ‫راه‬ ‫حل‬ ‫اول‬ : ‫اول‬ ‫سیگنال‬ 𝒙 𝒏 ‫را‬ ‫به‬ ‫سیگنال‬ ‫پیوسته‬ ‫تبدیل‬ ‫میکنیم‬ ‫و‬ ‫بعد‬ ‫دوباره‬ ‫با‬ ‫نرخ‬ ‫دلخواه‬ ‫ن‬ ‫مونه‬ ‫برداری‬ ‫میکنیم‬ . ‫از‬ ‫نظر‬ ‫تئوری‬ ‫این‬ ‫راه‬ ‫حل‬ ‫کدام‬ ‫مشکلی‬ ،‫ندارد‬ ‫اما‬ ‫از‬ ‫نظر‬ ‫عملی‬ ‫دلچسپ‬ ‫نیست‬ . ‫چطور‬ ‫میتوان‬ ‫این‬ ‫کار‬ ‫را‬ ‫کرد‬ ‫؟‬ ‫هدف‬ : ‫راه‬ ‫حل‬ ‫برای‬ ‫تغیر‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫که‬ ً‫ال‬‫کام‬ ‫براساس‬ ‫پردازش‬ ‫گسسته‬ ‫باشد‬ .

21. ‫کاهش‬ ‫نرخ‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫با‬ ‫نسبت‬ ‫صحیح‬ (Down Sampling) : ‫نکته‬ : 𝒙𝒅[𝒏] ‫میتواند‬ ‫یک‬ ‫نمایش‬ ‫دقیق‬ ‫از‬ 𝒙𝒄(𝒕) ‫باشد‬ ‫یا‬ ‫به‬ ‫بیان‬ ،‫دیگر‬ ‫امکان‬ ‫بازسازی‬ ‫کامل‬ 𝒙𝒄(𝒕) ‫از‬ ‫روی‬ 𝒙𝒅[𝒏] ‫وجود‬ ،‫دارد‬ ‫اگر‬ 𝝅 𝑴𝑻 = 𝝅 𝑻𝒅 ≥ 𝛀𝑵 ‫که‬ 𝛀𝑵 ‫باالترین‬ ‫مولفه‬ ‫فرکانسی‬ ‫غیر‬ ‫صفر‬ 𝑿𝒄(𝒋𝛀) ‫است‬ . ‫مطلب‬ ‫نرخ‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫میتواند‬ ‫با‬ ‫فکتور‬ M ‫کاهش‬ ‫یابد‬ ( ‫بدون‬ ‫ایجاد‬ aliasing ) ‫اگر‬ ‫فرکانس‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫اولیه‬ ‫حد‬ ‫اقل‬ M ‫برابر‬ ‫نرخ‬ ‫نایکویست‬ ‫باشد‬ . ‫بلوک‬ ‫کامپریسور‬ ‫یک‬ ‫سیستم‬ ‫است‬ ‫که‬ ‫هم‬ ‫دارنده‬ ‫نمایش‬ ‫حوزه‬ ‫زمان‬ ‫و‬ ‫هم‬ ‫نمایش‬ ‫حوزه‬ ‫فرکانس‬ ‫میباشد‬ . ‫عملکرد‬ compressor : 1 : ‫باز‬ ‫کردن‬ ‫محدوده‬ ‫فرکانس‬ |𝝎| ≤ 𝝅 ‫باضریب‬ M 2 : ‫پریودیک‬ ‫سازی‬ ‫با‬ 𝟐𝝅 ‫و‬ ‫جمع‬ 3 : ‫ضریب‬ ‫دامنه‬ 1/M

22. ‫فرآیند‬ ‫تصویری‬ ‫نمایش‬ down sampling ‫فرکانس‬ ‫حوزه‬ ‫در‬ :

23. ‫در‬ ‫سالید‬ ‫قبل‬ ‫فرکانس‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ،‫اولیه‬ ‫دو‬ ‫برابر‬ ‫نرخ‬ ‫نایکویست‬ ‫است‬ . ‫پس‬ ‫کاهش‬ ‫نرخ‬ ‫با‬ ‫نس‬ ‫بت‬ 2 ‫نمی‬ ‫تواند‬ ‫موجب‬ aliasing ‫شود‬ . ‫قاعده‬ : ‫از‬ ‫جلوگری‬ ‫برای‬ aliasing ‫نسبت‬ ‫به‬ ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫نرخ‬ ‫کاهش‬ ‫در‬ M ‫باید‬ : ‫اگر‬ ‫همان‬ ‫سیگنال‬ ‫با‬ ‫نرخ‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫به‬ ‫نسبت‬ 3 ‫کاهش‬ ،‫کند‬ aliasing ‫رخ‬ ‫میدهد‬ ‫که‬ ‫در‬ ‫سالید‬ ‫بعدی‬ ‫نشان‬ ‫داده‬ ‫شده‬ ‫است‬ . ‫دیده‬ ‫میشود‬ ‫که‬ ‫در‬ ‫این‬ ‫حالت‬ ‫به‬ ‫دلیل‬ ‫رخدادن‬ aliasing ‫امکان‬ ‫بازسازی‬ ‫سیگنال‬ ‫پیوسته‬ ‫وجود‬ ‫ندارد‬ . ‫برای‬ ‫جلوگیری‬ ‫از‬ ‫رخداد‬ aliasing ‫در‬ ‫موارد‬ ‫که‬ ‫شرط‬ 𝝎𝑵 < 𝝅 𝑴 ‫برقرار‬ ،‫نیست‬ ‫میتوان‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫فیلتر‬ anti- aliasing ‫که‬ ‫فیلتری‬ ‫پایین‬ ‫گذر‬ ‫با‬ ‫فرکانس‬ ‫قطع‬ 𝝎𝒄 = 𝝅 𝑴 ،‫است‬ ‫قبل‬ ‫از‬ ‫فشرده‬ ‫ساز‬ ‫نرخ‬ ‫نمونه‬ ‫برداری‬ ‫استفاده‬ ‫نمود‬ ‫یعنی‬ :

24. ‫نکات‬ : • ‫کار‬ ‫کامپرسور‬ ‫این‬ ‫است‬ ‫که‬ ‫یک‬ ‫تعداد‬ ‫ها‬‫نمونه‬ ‫را‬ ‫دور‬ ‫میریزاند‬ ‫که‬ ‫احتمال‬ information loss ‫به‬ ‫وجود‬ ‫میاید‬ . - ‫چه‬ ‫وقت‬ information loss ‫نخواهیم‬ ‫داشت؟‬ - ‫تا‬ ‫وقتیکه‬ ‫در‬ ‫حوزه‬ ‫فرکانس‬ aliasing ‫رخ‬ ‫ندهد‬ . - Compressor ‫در‬ ‫حوزه‬ ‫زمان‬ ‫فشرده‬ ‫میکند‬ ‫اما‬ ‫در‬ ‫حوزه‬ ‫فرکانس‬ ‫باز‬ ‫میکند‬ . ‫به‬ ‫مجموعه‬ ‫بلوک‬ down sampler ‫و‬ anti-aliasing filter ‫را‬ decimator ‫گویند‬ ‫که‬ ‫در‬ ‫عمل‬ ‫ما‬ ‫با‬ decimator ‫سروکار‬ ‫داریم‬ . ‫از‬ ‫بعد‬ ‫و‬ ‫گذر‬ ‫پایین‬ ‫فیلتر‬ ‫یک‬ ‫اول‬ ‫که‬ ‫حلی‬ ‫راه‬ ‫خوب‬ down sampling ‫در‬ ،‫دارد‬ ‫خوبی‬ ‫چه‬ ،‫شود‬ ‫استفاده‬ ‫مشکل‬ ‫حالیکه‬ information loss ‫دارد؟‬ ‫را‬ ‫میدهد‬ ‫ما‬ ‫برای‬ ‫را‬ ‫زیادی‬ ‫صحت‬ ‫محدودۀ‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫اینجا‬ ‫در‬ ‫حل‬‫راه‬ ‫این‬ ‫خوبی‬ .

25. ‫ص‬ ‫نسبت‬ ‫با‬ ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫نرخ‬ ‫افزایش‬ ‫حیح‬ : ‫سیگنال‬ 𝒙 𝒏 = 𝒙𝒄(𝒏𝑻) ‫است‬ ‫موجود‬ . ‫هدف‬ : ‫تولید‬ 𝒙𝒊 𝒏 = 𝒙𝒄(𝒏𝑻𝒊) ‫با‬ 𝑻𝒊 = 𝑻 𝑳 ‫میباشد‬ . ‫میشود‬ ‫استفاده‬ ‫زیر‬ ‫دیاگرام‬ ‫بلوک‬ ‫از‬ ‫کار‬ ‫این‬ ‫برای‬ . Expander ‫سیستم‬ ‫مجموع‬ ‫به‬ expander ‫را‬ ‫آن‬ ‫از‬ ‫بعد‬ ‫فیلتر‬ ‫و‬ interpolator ‫گویند‬ .

26. Expander : ‫دارد‬ ‫فرکانس‬ ‫حوزه‬ ‫نمایش‬ ‫هم‬ ‫و‬ ‫زمان‬ ‫حوزه‬ ‫نمایش‬ ‫هم‬ . ‫فوریه‬ ‫تبدیل‬ ‫یعنی‬ 𝒙𝒆[𝒏] ‫فوریه‬ ‫تبدیل‬ ‫یافته‬ ‫مقیاس‬ ‫تغیر‬ ‫یک‬ 𝒙[𝒏] ‫نسبت‬ ‫به‬ L ‫میباشد‬ .

27. ‫تصویری‬ ‫نمایش‬ : ‫فرض‬ [ 𝒏 ] x ‫باشد‬ ‫شده‬ ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫نایکویست‬ ‫نرخ‬ ‫در‬ .

28. ‫کسری‬ ‫نسبت‬ ‫با‬ ‫برداری‬ ‫نمونه‬ ‫نرخ‬ ‫تغییر‬ M/L ( ‫نسبت‬ ‫با‬ ‫فرکانس‬ ‫تغییر‬ M/L :)

29. ‫تصویری‬ ‫نمایش‬ :

30. ‫سیگنال‬ ‫چندنرخی‬ ‫پردازش‬ (Multirate signal processing) :

31. ‫انلوگ‬ ‫های‬‫سیگنال‬ ‫دیجیتل‬ ‫پردازش‬ :

فصل سوم DSP نمونه برداری.pdf

Estás leyendo una previsualización.

Eche un vistazo a continuación

فصل سوم DSP نمونه برداری.pdf

Más Contenido Relacionado

Más reciente (20)

Destacado (20)

فصل سوم DSP نمونه برداری.pdf