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Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016
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Calcoli su reti elettriche lineari
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Prerequisiti - Nozioni di base - Numeri complessi
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La forma C=a+jb è...
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Numeri complessi in forma polare
I numeri complessi possono essere ...
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Rappresentazione grafica cartesiana e polare
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cartesiana polare
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Somme e differenze di numeri complessi
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Formula di Eulero - Conversioni da forma polare a cartesiana
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Conversioni da forma cartesiana a polare
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cartesiana polare
a+jb ...
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Conversioni da forma cartesiana a polare
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Per calcolare arctg (b/...
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Conversioni forma cartesiana ⇄ polare
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da polare a cartesiana da ...
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Rappresentazione di una grandezza sinusoidale come
funzione del tem...
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Fasore: come rappresentare una grandezza sinusoidale
con un vettore...
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Grandezza elettrica sinusoidale –> fasore
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v(t)=A·cos(𝝎t+𝝓) = Re ...
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Perché parte Re e non parte Im?
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v(t)=A·sin(𝝎t+𝝓) = Im { A·ej(𝝎t+...
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Nei fasori l’ampiezza o modulo è il valore di
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Definizione di Impedenza
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La Legge di Ohm in regime sinusoidale di...
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Impedenza e Ammettenza
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Y=
V
I
Il reciproco dell’impedenza Y = 1 ...
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Impedenza e Ammettenza
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Z = R + j X Y = G + j B
Le parti reali re...
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Impedenza di resistori, condensatori e induttori
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Z = R
~ R
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L’induttore
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L’induttore: transitorio nel dominio del tempo
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L’induttore: nel dominio del tempo e dei fasori
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Il condensatore
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Il condensatore
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Il condensatore: nel dominio del tempo e dei fasori
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La Putenza
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Si può definire la potenza come una grandezza
compless...
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Potenza attiva
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La potenza attiva P è reale e sempre positiva ed ...
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Potenza attiva = prodotto scalare
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P = Re{V•I*} = V·I· cos𝝓
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Perché si usa il complesso coniugato?
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Andiamo a risolvere circuiti
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Circuiti di base da analizzare
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PREMESSA
1. Tutti i calcoli saranno fatti usando la notazione
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Semplice circuito con resistore R
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Semplice circuito con condensatore
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Semplice circuito con induttore
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Circuito RL parallelo
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R + j 𝝎 L
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Circuito RC parallelo
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~ R
I
V
C
ZR//C =
R + 1/ j𝝎C
R / j𝝎C
I =
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Risonanza
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L
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I
V
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I
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Fintanto che i circuiti conteng...
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Calcoli reti lineari stazionarie in regime periodico mediante numeri complessi. Fasori.

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Numeri complessi e calcoli reti lineari regime periodico Impedenza Ammettenza Reattanza Suscettanza Condensatori Induttori Potenza apparente attiva reattiva
Regime sinusoidale Fasori

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Calcoli reti lineari stazionarie in regime periodico mediante numeri complessi. Fasori.

  1. 1. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 STAMPA SOLO SE NECESSARIO Calcoli su reti elettriche lineari stazionarie in regime periodico mediante i numeri complessi Abstract Numeri complessi e Formule di conversione forme cartesiana⇄polare. Rappresentazione dei numeri complessi sul piano di Argand-Gauss. Uso dei numeri complessi per rappresentare tensioni, correnti e impedenze in regime sinusoidale. Trasformata di Steinmetz e Fasori. Diagramma dei fasori di un circuito. 
 Impedenza, Resistenza e Reattanza. Ammettenza, Conduttanza e Suscettanza. Potenza Apparente, Attiva e Reattiva, Fattore Di Potenza. Circuiti R-L-C serie e parallelo, Risonanza. Problemi pratici: a) risolvere un circuito, b) rifasamento di un carico induttivo. 1 Pro manuscripto - Dispensa didattica - UDA Istituto Tecnico Industriale Prizzi
  2. 2. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Prerequisiti - Nozioni di base - Numeri complessi Numero complesso: a + j·b dove a e b sono numeri reali. Esempio: 34 + j 89 a è la parte reale del numero complesso j·b è la parte immaginaria del numero complesso b è pure un numero reale ed è chiamato coefficiente della parte immaginaria j è l’unità immaginaria ed è j = √-1 Nei calcoli tenete conto che j · j = -1 e che 1/j = -j Dato un numero complesso C=a+jb, si definisce complesso coniugato il numero C*=a-jb in cui la parte immaginaria è l’opposto. 2
  3. 3. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Prerequisiti - Nozioni di base - Numeri complessi La forma C=a+jb è chiamata forma cartesiana perché le due parti reale e immaginaria possono essere rappresentate come le due coordinate di un punto su un piano contenente tutti i numeri complessi. La parte reale a si rappresenta sull’asse orizzontale (ascissa) e la parte immaginaria jb sull’asse verticale (ordinata). Tale piano si chiama piano complesso di Argand-Gauss. 3 Piano di Argand-Gauss Re Im a b C
  4. 4. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Numeri complessi in forma polare I numeri complessi possono essere rappresentati anche in un’altra forma chiamata polare: m e j Φ 4 anche il sistema di coordinate polari individua ogni punto del piano complesso mediante due numeri che sono: modulo m: rappresenta la distanza dal punto di riferimento (detto origine o polo) argomento o anomalia ϕ: rappresenta l’angolo che il segmento tra il punto e l’origine forma rispetto ad una direzione di riferimento. Per riferimento si sceglie la direzione positiva dell’asse reale (ascissa). Notazione simbolica semplificata: m ∠ ϕ
  5. 5. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Rappresentazione grafica cartesiana e polare 5 cartesiana polare a+jb m·e jϕ Piano di Argand-Gauss Re Im a b m ϕ
  6. 6. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Somme e differenze di numeri complessi Somma e differenza di numeri complessi espressi in forma cartesiana: somma: (a + j·b) + (c + j·d) = a+c + j·(b+d) differenza: (a + j·b) - (c + j·d) = a-c + j·(b-d) Se i numeri sono in forma polare: m1 e j Φ1 + m2 e j Φ2 somme e differenze non si possono fare direttamente in questa forma: allora è necessario prima metterli in forma cartesiana 6
  7. 7. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Moltiplicazioni e divisioni di numeri complessi Se i numeri complessi espressi in forma cartesiana: prodotto: (a + j·b) · (c + j·d) = ac + jad + jbc -bd divisione: (a + j·b) / (c + j·d) in questo caso è necessario razionalizzare il denominatore moltiplicando sopra e sotto per il suo complesso coniugato: 7 (c + j·d) (a + j·b) (c - j·d) (c - j·d) c2 + d2 (a + j·b) (c - j·d) =
  8. 8. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Moltiplicazioni e divisioni di numeri complessi i moduli si moltiplicano o dividono mentre le fasi si sommano o sottraggono 
 (in particolare la fase al denominatore si sottrae a quella del numeratore). 8 Se i numeri sono in forma polare è semplicemente: m1 e j Φ1 · m2 e j Φ2 = m1·m2 ·e j (Φ1 + Φ2 ) m1 e j Φ1 m2 e j Φ2 = m1 m2 e j (Φ1-Φ2)
  9. 9. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Moltiplicazioni e divisioni di numeri complessi in notazione simbolica 9 (m1∡ Φ1) · ( m2 ∡ Φ2) = (m1·m2) ∡ (Φ1 + Φ2) = (m1 / m2)∡(Φ1 - Φ2) m1 ∡ Φ1 m2 ∡ Φ2
  10. 10. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Formula di Eulero - Conversioni da forma polare a cartesiana 10 cartesianapolare m (cos ϕ + j sen ϕ)m e j ϕ essa discende dalla formula di Eulero che è la relazione fondamentale tra la forma polare e la forma cartesiana e lega anche le funzioni trigonometriche alla funzione esponenziale complessa: e j ϕ = cos ϕ + j sen ϕ
  11. 11. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Conversioni da forma cartesiana a polare 11 cartesiana polare a+jb √(a2+b2)e j arctg (b/a) per il teorema di Pitagora il modulo è m=√(a2+b2) per la definizione di tangente la fase è 𝝓 = arctg (b/a) a b m ϕ Dimostrazione: b
  12. 12. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Conversioni da forma cartesiana a polare 12 Per calcolare arctg (b/a) con una calcolatrice scientifica: digitare b / a = poi usare la funzione arc tg che può essere indicata in uno dei seguenti modi: tg-1 tan-1 oppure è richiamabile premendo il tasto inversione INV o seconda funzione 2nd o SHIFT o simili e successivamente premendo il tasto tg o tan. Se la calcolatrice è impostata in gradi, sul display compare la scritta DEG o DEGREE e il risultato 𝝓 sarà espresso in gradi sessagesimali. Se compare RAD sarà in radianti. Se compare GRAD sarà in gradi centesimali (raramente usati). Nota bene: i segni di b e di a devono essere rispettati altrimenti si otterrà un angolo errato.
  13. 13. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Conversioni forma cartesiana ⇄ polare 13 da polare a cartesiana da cartesiana a polare m·(cos ϕ +jsen ϕ) √(a2+b2)e j arctg (b/a) Re Im a b m ϕ Piano di Argand-Gauss m=√(a2+b2) ϕ= arctg (b/a) a= m·cos ϕ b= m·sen ϕ
  14. 14. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Rappresentazione di una grandezza sinusoidale come funzione del tempo. Frequenza pulsazione e fase. 14 Una grandezza alternata sinusoidale può essere espressa in questo modo: v(t) = A·cos (𝝎t+𝝓) l’argomento del coseno (𝝎t+𝝓) è espresso in radianti, A è l’ampiezze di picco (cioè valore massimo), 𝝎 è la pulsazione definita come 𝝎=2πƒ, t è il tempo e 𝝓 la fase di partenza cioè la fase al tempo t=0. Più in generale, tutte le grandezze periodiche possono essere espresse come somma di grandezze sinusoidali.
  15. 15. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Fasore: come rappresentare una grandezza sinusoidale con un vettore che ne riassume tutte le caratteristiche di ampiezza e fase e conserva tutte le operazioni 15 Ma le grandezze sinusoidali possono essere rappresentate da numeri complessi: infatti la formula di Eulero permette di esprimere una grandezza sinusoidale come parte reale di un esponenziale complesso: A·e j (𝝎t+ 𝝓) = A·(cos (𝝎t+𝝓) + j·sen (𝝎t+𝝓)) v(t) = A·cos(𝝎t+𝝓) = Re { A·e j(𝝎t+ 𝝓) } = Re { A·e j𝝓 ·e j 𝝎t } Si definisce fasore la parte A·e j 𝝓 che conserva le informazioni solo su ampiezza e fase ed è epurata dalla dipendenza dal tempo t (come se fosse un’istantanea scattata al tempo t=0). L’operazione che esprime v(t) come fasore Ae j 𝝓 è nota come: Trasformata di Steinmetz. Se invece si prende tutto A·e j 𝝓 ·e j 𝝎 t inclusa la parte che dipende dal tempo, si ha quello che si chiama un vettore rotante. Il fasore è un numero complesso e quindi è un punto sul piano complesso di Argand- Gauss, e può essere rappresentato come un vettore fisso di lunghezza A e angolo 𝝓 che parte dall’origine e arriva proprio nel punto A·e j 𝝓 del piano complesso.
  16. 16. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Grandezza elettrica sinusoidale –> fasore 16 v(t)=A·cos(𝝎t+𝝓) = Re { A·ej(𝝎t+ 𝝓)} = Re { A·ej 𝝓·ej𝝎t} Il numero complesso A·ej 𝝓 è il fasore che rappresenta la grandezza sinusoidale V avente ampiezza di picco A e fase 𝝓. 
 Poiché il fasore è un vettore, esso viene rappresentato spesso con una lettera maiuscola in neretto e/o con un soprassegno (lineetta o freccia): V = A·ej 𝝓
  17. 17. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Perché parte Re e non parte Im? 17 v(t)=A·sin(𝝎t+𝝓) = Im { A·ej(𝝎t+ 𝝓)} = Im { A·ej 𝝓·ej𝝎t} Si potrebbe anche scegliere di rappresentare le grandezze sinusoidali mediante la parte Im di A·ej( 𝝎t+𝝓) quindi mediante il seno anziché il coseno quindi assumendo la proiezione del vettore rotante sull’ordinata. E`un modo equivalente. Infatti seno e coseno hanno la stessa forma sfasata di T/4 ossia un quarto di periodo pari a π/2.
  18. 18. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Nei fasori l’ampiezza o modulo è il valore di picco o quello efficace? 18 La rappresentazione mediante un fasore di una grandezza sinusoidale indica che A o VM o IM sono i valori di picco o massimi. Tuttavia, essendo i circuiti lineari, se sostituiamo al valore di picco di tensione o corrente quello efficace, otterremo tutte le grandezze calcolate anch’esse in valore efficace. Quindi se trattiamo solo tensioni o correnti possiamo scegliere di trattare con tutti valori di picco o tutti valori efficaci indifferentemente. Ma quando vogliamo calcolare le potenze elettriche, il valore efficace è quello idoneo per calcolare le potenze elettriche. Infatti in tale modo la potenza (media in un periodo della potenza istantanea) si otterrà semplicemente con le stesse formule viste per la continua cioè P=V·I=V2 /R=I2 R.
  19. 19. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Definizione di Impedenza 19 La Legge di Ohm in regime sinusoidale diventa: Z = V I Da questo momento consideriamo per le tensioni e correnti sinusoidali solo i loro fasori cioè grandezze complesse che contengono tutte le informazioni utili delle sinusoidi ossia l’ampiezza e la fase. V = V·ej 𝝓v I = I·ej 𝝓i (simile a R = V / I ) Z si chiama impedenza si misura in Ω ed è una grandezza anch’essa complessa poiché è il rapporto tra due grandezze complesse.
  20. 20. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Impedenza e Ammettenza 20 Y= V I Il reciproco dell’impedenza Y = 1 / Z si chiama ammettenza Z = 1 Impedenza e ammettenza essendo grandezze complesse, rappresentate in forma cartesiana hanno una parte reale e una parte immaginaria: Z = R + j X R parte reale si chiama Resistenza X parte imm. si chiama Reattanza Y = G + j B G parte reale si chiama Conduttanza B parte imm. si chiama Suscettanza si misura in S (siemens) = Ω-1 Nota: mentre Impedenza e Ammettenza sono una reciproca dell’altra, in generale non è vero che Conduttanza sia reciproco della Resistenza e Suscettanza reciproco della Reattanza.
  21. 21. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Impedenza e Ammettenza 21 Z = R + j X Y = G + j B Le parti reali resistenza R e conduttanza G sono sempre positive Le parti immaginarie reattanza X e suscettanza B possono essere positive o negative X > 0 reattanza induttiva X < 0 reattanza capacitiva B > 0 suscettanza capacitiva B < 0 suscettanza induttiva
  22. 22. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Impedenza di resistori, condensatori e induttori 22 Z = R ~ R I V ~ C I V ~ L I V Z = Z = j 𝝎 L j 𝝎 C 1 ove: 𝝎 = 2 π ƒ è la pulsazione, ƒ è la frequenza del generatore R è la resistenza del resistore, C è la capacità del condensatore, L è l’induttanza dell’induttore
  23. 23. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 L’induttore 23
  24. 24. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 L’induttore: transitorio nel dominio del tempo 24
  25. 25. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 L’induttore: nel dominio del tempo e dei fasori 25
  26. 26. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Il condensatore 26
  27. 27. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Il condensatore 27 ceramico SMD ceramico a disco film plastico
  28. 28. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Il condensatore: nel dominio del tempo e dei fasori 28
  29. 29. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 La Putenza 29 Si può definire la potenza come una grandezza complessa, che dipende dai fasori di V e I. La potenza complessa si chiama Potenza Apparente e si misura in voltampere [VA]. Essa non si indicherà con la lettera P ma con S: V · I* La potenza complessa è definita come prodotto del fasore V per il complesso coniugato I* del fasore corrente I dove V e I sono i valori efficaci (non quelli di picco o massimi). 𝝓v è la fase del fasore V e 𝝓i è la fase del fasore I. P parte reale della potenza complessa è detta Potenza Attiva e si misura in watt [W] Q parte immaginaria della potenza complessa è detta Potenza Reattiva e si misura in voltampere reattivi [VAr] S = = P + j Q = VI·[cos(𝝓v-𝝓i) + j·sen(𝝓v-𝝓i)] P=V·I·cos(𝝓v-𝝓i) Q=V·I·sen(𝝓v-𝝓i)]
  30. 30. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Potenza attiva 30 La potenza attiva P è reale e sempre positiva ed è la media in un periodo della potenza istantanea ed è legata all’energia effettiva che viene ceduta ad un carico (ad esempio un motore elettrico o trasformata in calore). Le resistenze pure assorbono solo potenza attiva. La potenza attiva di un circuito RLC è quella assorbita dai soli resistori. La potenza reattiva Q è una potenza bidirezionale che va alternativamente da generatore a carico e viceversa a frequenza doppia. Induttori e condensatori assorbono solo potenza reattiva. Concentriamo l’attenzione sulla potenza attiva poiché è fondamentale per calcolare la corrente di un carico monofase. Indicando con V e I i valori efficaci è: P = V·I· cos𝝓 dove 𝝓=𝝓v-𝝓i è l’angolo di sfasamento tra i fasori di V e di I
  31. 31. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Potenza attiva = prodotto scalare 31 P = Re{V•I*} = V·I· cos𝝓 dove 𝝓=𝝓v-𝝓i è l’angolo di sfasamento tra i fasori di V e di I V I 𝝓 I·cos 𝝓 I·sen𝝓 Il prodotto scalare tra due vettori è la parte reale del prodotto di un vettore per il coniugato dell’altro ed è uguale al prodotto dei moduli per il coseno dell’angolo tra i due. Ha il significato di ottenere la proiezione di un vettore sull’altro. L’altra parte, I·sen𝝓 si chiama parte in quadratura.
  32. 32. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Perché si usa il complesso coniugato? 32 Il complesso coniugato di un numero complesso ha la stessa parte reale mentre la parte immaginaria ha segno opposto. Ciò serve ad effettuare la differenza delle fasi dei due vettori, cioè a calcolare l’angolo tra i due. Questo si può vedere facilmente usando la forma polare: nel complesso coniugato la fase della corrente I* è invertita di segno pertanto viene sottratta dalla fase della tensione V.
  33. 33. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Andiamo a risolvere circuiti Ora che abbiamo gli strumenti, applichiamoli alla soluzioni di circuiti lineari stazionari in regime sinusoidale o in genere periodico. Qualsiasi rete elettrica lineare è formata da bipoli elementari che possono essere resistori, induttori, condensatori, generatori di tensione e di corrente. Essa si risolve con gli stessi metodi usati per una rete formata di resistenze e generatori… (cioè legge di Kirchhoff ai nodi e alle maglie, ed eventualmente utilizzando semplificazioni come: serie e parallelo di bipoli, sovrapposizione degli effetti, trasformazioni stella-triangolo, di Thévénin e Norton, teorema di Millman) utilizzando la Legge di Ohm in cui si considerano le impedenze Z al posto delle resistenze R. 33
  34. 34. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Circuiti di base da analizzare 34 ~ R I V ~ C I V ~ L I V ~ R I V C L ~ R I V ~ R I V C L ~ R I V L ~ R I V C L ~ R I V C
  35. 35. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 35 PREMESSA 1. Tutti i calcoli saranno fatti usando la notazione simbolica perché più semplice di quella esponenziale e di quella cartesiana. 2. Per semplificare, V sarà scelto con fase 0°. In realtà ciò che che importa è la fase relativa tra i fasori. Qualunque fasore può essere scelto come riferimento cioè con fase 0° V = V∡ 0°
  36. 36. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Semplice circuito con resistore R 36 ~ R I V I = R V = V/R ∡ 0° V I 𝝓=0° V = V∡ 0°
  37. 37. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Semplice circuito con condensatore 37 ~ C I V V I 𝝓=+90° ZC = j 𝝎 C 1 I = V = 𝝎 CV∡ 90° ZC V j 𝝎 C 1 =j 𝝎 C V I =
  38. 38. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 38 ~ L I V Semplice circuito con induttore ZL = j 𝝎 L V I 𝝓=-90° I = V = ZL V j 𝝎 L = -j 𝝎 L V 𝝎 LV∡ -90°I =
  39. 39. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Circuito RL parallelo 39 ~ R I V ZR//L = R + j 𝝎 L R j 𝝎 L I = V = ZR//L V R j 𝝎 L (R + j 𝝎 L) = 𝝎RL -j·V·(R + j 𝝎 L) V = V∡ 0° = 𝝎RL -j·VR + 𝝎 VL = R V - j V 𝝎L V I 𝝓 L 𝝓=arctg 𝝎L -R I =√ R V V 𝝎L +( ( )) 22
  40. 40. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Circuito RC parallelo 40 ~ R I V C ZR//C = R + 1/ j𝝎C R / j𝝎C I = V = ZR//C V R / j𝝎C (R + 1/j𝝎C) = R V·(R + 1/j𝝎C) V = V∡ 0° = V(1+ j𝝎RC) = R V + j V I 𝝓 j𝝎C R 𝝎VC 𝝓=arctg 𝝎RC I =√ R V +( ( )) 22 𝝎VC
  41. 41. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Risonanza 41 L ~ R I V CL ~ R I V C Fintanto che i circuiti contengono un solo tipo di componente reattivo (o solo condensatori, o solo induttori) non si verificano condizioni di risonanza. La risonanza si verifica quando sono presenti sia reattanze induttive che capacitive, perché l’energia viene accumulata sotto due forme diverse (campo elettrico proporzionale alla tensione e campo magnetico proporzionale alla corrente) e a determinate frequenze si verifica un palleggio di energia dai condensatori agli induttori. In questo contesto si vedrà la risonanza non nel dominio del tempo ma nel dominio della frequenza e dei fasori. Si analizzano due tipiche configurazioni: componenti C e L in serie e in parallelo.
  42. 42. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Risonanza parallelo 42 L ~ R I V C I = V =YR//L//C V 1 = Da questo punto in poi i fasori saranno rappresentati semplicemente con lettere maiuscole in grassetto senza soprassegno o freccia. j𝝎C 1 ( )++ j𝝎L Poiché abbiamo componenti in parallelo si procederà con l’ammettenza poiché è semplicemente uguale alla somma delle ammettenze. R V 1 =j 𝝎 C 1 ( )- j+ 𝝎 LR = V 1 j ( 𝝎 C 1 )-+ 𝝎 LR [ ] Poiché nel coefficiente della parte immaginaria sono due termini opposti, esistono dei valori tali che i due termini si annullano tra loro lasciando semplicemente I=V/R cioè i componenti reattivi C e L in parallelo si comportano come un circuito che non assorbe corrente ossia si comportano come un circuito aperto. La condizione di risonanza è: 𝝎 C 1- 𝝎 L =0 𝝎2LC 1- =0 𝝎 = 1 LC√
  43. 43. Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 Risonanza serie 43 I = V = V = j𝝎C 1++ j𝝎L Poiché abbiamo componenti in serie si procederà con l’impedenza poiché è uguale alla somma delle impedenze. R Poiché nel coefficiente della parte immaginaria sono due termini opposti, esistono dei valori tali che i due termini si annullano tra loro lasciando semplicemente I=V/R cioè i componenti reattivi C e L in serie, alla pulsazione di risonanza si comportano come un corto circuito. La condizione è: 𝝎 C 1- 𝝎 L =0 𝝎2LC 1- =0 𝝎 = 1 LC√ L ~ R I V C ZR//L//C V = 𝝎C 1 )-+j ( 𝝎LR
  44. 44. Tecnologie Elettriche Elettroniche e Applicazioni / Installazione e Manutenzione - Ing. Pasquale Alba 44 La presente dispensa ha scopo didattico senza fine di lucro. Contiene sia contenuto originale dell’autore che contenuti reperiti su Internet. Tutti diritti sui contenuti reperiti, appartengono, ove coperti da copyright, ai rispettivi proprietari. Ove si ritenga esistano violazioni di copyright, imprecisioni o errori si prega di segnalarli a: ing.pasqualealba@gmail.com . Questo materiale può essere diffuso citando la fonte. In caso si voglia stampare si consiglia di usare un layout con 4 diapositive per ogni pagina. Le informazioni qui contenute sono ritenute accurate, tuttavia l’autore non esclude che siano presenti errori o imprecisioni e declina ogni responsabilità diretta o indiretta per danni a persone o cose derivanti da un eventuale loro uso a scopo professionale; chi ne fa uso se ne assume pienamente la responsabilità.

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