Funciones matemáticas

1. FUNCIONS
Departament de Matemàtiques

2. Funcions
Funcions
1. Coordenades en el pla
2. Eixos de coordenades. Quadrants
3. Relació donada per taules
4. Relació donada per gràfiques
5. Relacions donades per fórmules
6. Idea de funció
7. Representació gràfica de funcioes
8. La funció lineal o de proporcionalitat directa
9. Funcions afins
10. Funcions quadràtiques
C
O
N
TIN
G
UTSDE
LT
E
M
A
11. Funcions de proporcionalitat inversa
12. Resolució de problemes

3. Funcions
Funcions
1. C
oordenadas enelplano
Observa:
– La catedral està en el punt (1, 3).
– L’ajuntament en el punt (4, 1).
Per situar un punt en el pla es necessiten dues
rectes perpendiculars que s’anomenen eixos de
coordenades.
El punt de tall dels eixos s’anomena origen.
• La primera es mesura sobre l’eix horitzontal
o de abscisses; s’anomena abscissa del punt.
• La segona es mesura sobre l’eix vertical o
d’ordenades; s’anomena ordenada del punt
Eix d’ordenades
Eix d’abscisses
Origen
– El jardí botànic en el punt (7, 2).
Aquest pla és el d’una ciutat.
Qualsevol punt té dues coordenades.
O

4. Funcions
Funcions
Eix d’abscisses
Eix d’ordenades
I quadrant
IV quadrant
III quadrant
II quadrant
O
Origen
Agafem una quadrícula i dibuixem els eixos de coordenades.
Tindrem:
2. E
ls eixos decoordenades: quadrants (I)

5. Funcions
Funcions
2. E
ls eixos decoordenades: quadrants (II)
Primer
quadrant
Quart
quadrant
Tercer
quadrant
Segon
quadrant
O
Els eixos de coordenades divideixen el pla en quatre quadrants.
(+, +)
(– , +)
(– , – ) (+, – )
• Els punts del primer quadrant tenen
abscissa i ordenada positives.
• Els del segon quadrant tenen
abscissa negativa i ordenada positiva.
• Els del tercer quadrant tenen
abscissa i ordenada negatives.
• Els del quart quadrant tenen
abscissa positiva i ordenada negativa.
X
Y

6. Funcions
Funcions
Cada punt del pla es designa per un parell ordenat (x,y) de nombres
que s’anomenen coordenades del punt.
Així: A (4, 1); B (-2, 1); C (0,
5);
D (-3, -4); E (5, -5)
El primer nombre x s’anomena abscissa; el segon y, ordenada.
Les abscisses positives estan
a la dreta del origen.
Les negatives, a l’esquerra.
Les ordenades positives estan
per sobre de l’origen.
Les negatives, per sota.
A(4, 1)
B(-2, 1)
C(0, 5)
D(-3, -4)
E(5, -5)
O
2. E
ls eixos decoordenades: quadrants (III)

7. Funcions
Funcions
Una funció pot donar-se mitjançant una
taula.
Exemple: a la taula següent tenim la longitud
d’un fetus (en cm) depenent del temps de
gestació (en mesos).
Edat
(mesos)
Longitud
(cm)
2 4
3 8
4 15
6 29
7 34
8 38
9 42
A cada mes de gestació li correspon una
longitud determinada.
(2, 4) significa que quan el fetus té 2 mesos,
mesura 4 cm.
(6, 29) indica que als 6 mesos el fetus mesura 29 cm.
La longitud del fetus està en funció del temps de gestació.
3
. R
elacions donades pertaules (I)

8. Funcions
Funcions
3
. R
elacions donades pertaules (II)
El nivell d’aigua que s’assoleix en un recipient depèn del temps que l’aixeta
estigui gotejant.
Aquesta dependència o relació s’expressa a la següent taula:
Temps
(minuts)
Nivell
d’aigua
(cm)
0 0
15 10
30 14
45 17
60 19
A la variable temps s’anomena variable independent, i a la variable
nivell d’aigua, variable dependent.
La dependència entre dues variables pot expressar-se mitjançant una taula.

9. Funcions
Funcions
4
. R
elacions donades pergr fiques (I)
à
En una etapa de la volta ciclista, a cada distància del punt de sortida li
correspon una determinada altitud.
.
Aquesta dependència o relació s’expressa per la següent gràfica:
A la variable quilòmetres recorreguts se l’anomena variable independent,
y a la variable altura en metres, variable dependent.
La dependència entre dues variables es pot expressar mitjançant una
gràfica.
Quan porten 100 km
recorreguts és quan estan
a més altitud.

10. Funcions
Funcions
Una funció pot expressar-se mitjançant una gráfica.
Exemple: A la gràfica següent tenim el cosum de gasolina d’un cotxe
segons la velocitat a la que circula.
Si el cotxe va a 130 km/h,
consumeix, aproximadament,
8 litres cada 100 km
El consum mínim s’aconsegueix
a 60 km/h:
punt (60, 4)
El consum de gasolina depèn (o està en funció) de la
velocitat del cotxe.
4
. R
elacions donades pergr fiques (II)
à

11. Funcions
Funcions
Si coneixes el costat d’un quadrat pots trobar la seva àrea.
1 cm 2 cm
3 cm
c cm
1 cm2
4 cm2 9 cm2 c2
cm2
A cada valor del costat li correspon una àrea.
L’ àrea és funció del costat: S = c 2
Costat
Àrea
S = c 2
A la variable costat c se l’anomena variable independent,
i a la variable àrea, variable dependent.
5. R
elacions donades perf rmules
ó

12. Funcions
Funcions
Una altra relació donada per una fórmula: y = 2x +1
Si x és -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Parell (-2, -3)
Si x és -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Parell (-1, -1)
Si x és 2, y = 2·2 +1 = 5. Parell (2, 5)
Observa que a cada nombre x li correspon
un únic nombre y.
El nombre y depèn del valor donat a x.
O també: y està en funció de x.
A x se l’anomena variable independent.
En aquest cas pot prendre qualsevol valor
A y se l’anomena variable dependent.
Pren valors que depenen de la x: y = 2x +1
Les relacions d’aquest
tipus s’anomenen
funcions.
En una funció,
la correspondència
entre las variables
ha de ser única
6. Ideadefunci (I)
ó

13. Funcions
Funcions
6. Ideadefunci (II)
ó
• Funció: és una relació o correspondència entre dues magnituds, de
manera que a cada valor de la primera li correspon un únic valor de la
segona, que anomenem imatge.
• Variable independent: la prefixada prèviament.
• Variable dependent: la que es dedueix de la variable independent.
La fórmul f(x) = 3x2
+ 1 defineix una funció.
f(x) = 3x2
+ 1
x és la variable independent
f(x) és la variable dependent
Fixada la variable independent, per exemple x = 5, el valor que pren la
variable dependent és f(5) = 3 · 52
+ 1 = 76.
(La imatge de 5 és 76; i és única, ja que l’operació 3 · 52
+ 1 és única.)
Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13.
A qualsevol funció a cada valor de la variable independent li correspon
un únic valor de la variable dependent.

14. Funcions
Funcions
La fórmula que expressa l’àrea d’un quadrat
en funció del seu costat és S = c2
Per representar-la gràficament:
Primer: construim la taula de valors
Costat: c Àrea: c 2
0 0
1 1
1,5 2,25
2 4
2,5 6,25
3 9
4 16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4
Segon: representem els parells
associats, fent la unió dels punts.
Exemple:
(2, 4)
(3, 9)
(4, 16)
7
. R
epresentaci gr ficadefuncions (I)
ó à

15. Funcions
Funcions
El preu del revelat d’un rodet de 36 fotos és de 1,50 euros i
per cada foto cobren 0,35 euros. Representem la gràfica
d’aquesta funció.
Primer: construim la taula de valors
Número
de fotos l
Import
en euros
0 1,50
1 1,85
2 2,20
3 2,55
4 2,90
5 3,25
6 3,60
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
fotos
euros
Segon: representem els parells
associats.
E
x
e
m
p
l
e
:
(En aquest cas
no té sentit fer la
unió dels punts:
no es revelen
fraccions de
fotos.)
Variable
dependent
Variable independent
7
. R
epresentaci gr ficadefuncions (II)
ó à

16. Funcions
Funcions
7
. R
epresentaci gr ficadefuncions (III)
ó à
La planta de l’Elena ha anat creixent amb el temps segons s’indica a la taula:
Per representar-la gràficament:
representem els parells de valors sobre uns
eixos de coordenades i obtenim diferents
punts de la gràfica.
Temps
(mesos)
Longitud
(cm)
0 2
1 6
2 11
3 17
4 21
5 24
6 26
7 27
8 28 0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Temps (mesos)
Longitud
(cm) (2, 11)
(6, 26)
Fent la unió dels punts s’obté la gràfica de la funció.

17. Funcions
Funcions
7
. R
epresentaci gr ficadefuncions (IV
)
ó à
Considerem la funció f que assigna a cada nombre enter el doble més 1.
Per representar-la gràficament:
x y = f(x)
–3 –5
–2 –3
–1 –1
0 1
1 3
2 5
En aquest cas no es pot fer la unió dels
punts ja que la funció està definida
únicament pels nombres enters.
És a dir, f(x) = 2x + 1.
1. Construim la taula de valors. 2. Representem els parells de valors
sobre uns eixos de coordenades.
(2, 5)
O
(–3, –5)

18. Funcions
Funcions
Exemple: Si el preu d’un quilo de taronges és de 1,2 euros:
(a) forma una taula que relacioni
pes amb el preu.
0
1,2
2,4
3,6
4,8
6
7,2
8,4
9,6
0 1 2 3 4 5 6 7
Pes en quilos
euros
(b) representa la gràfica de la
funció associada.
Pes
(quilos)
Cost
(euros)
1 1,2
2 2,4
3 3,6
4 4,8
8 9,6
10 12
35 42
Multiplicant per 1,2 el nombre
de quilos, tenim:
Dibuixant els parells (1, 1,2),
(2, 2,4), … (7, 8,4), obtenim:
La fórmula
d’aquesta
funció és:
y = 1,2x
Les funcions tals que la seva
gràfica és una recta que
passa per l’origen s’anomenen
funcions lineals o de
proporcionalitat
directa
8. Funci linealodeproporcionalitat directa(I)
ó

19. Funcions
Funcions
Representem gràficament altres funcions lineals.
5
1
y = 5x
–5
–1
2
1
y = 2x
4
2
– 4
4
y = – x
3
–3
0
0
y = 0,2x
1
5
x y
x y
x y
x y
8. Funci linealodeproporcionalitat directa(II)
ó
Representa les següents funcions: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x

20. Funcions
Funcions
8. F
unci linealo deproporcionalitat directa(III)
ó
En comprar al supermercat un tall de formatge ens fixem en la seva etiqueta i
que indiquem a continuació:
Pes en kg Preu per kg en € Total en €
0,820 5,12 4,20
Les magnituds preu i pes són
directament proporcionals.
Si x és el pes en kg, i y el preu, la
expressió que dona el preu en
euros és y = 5,12x.
0,5 1 1,5
7
6
5
4
3
2
1
Calculem valors, representem i fem
la unió dels punts.
Les funcions se la forma
y = mx s’anomenen funcions lineals.
Són rectes que passen por l’origen.
· m és el pendent o inclinació de la recta.
y = 5,12x
Pes (kg)
Euros

21. Funcions
Funcions
9. F
uncions afins (I).
Representa les sigüents funcions:
a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x – 4
–3
0
y = x – 3
1
4
–4
0
y = 2x – 4
2
3
1
0
y = x + 1
4
3
3
0
y = 2x + 3
–3
–3
x y
x y
x y
x y

22. Funcions
Funcions
9. F
uncions afins (II)
Quan un espeleòleg s’endinsa cap a l’interior de la terra, la temperatura
augmenta segons la següent fórmula:
Construim la taula de valors: Representem gràficament la
funció:
t = 0,01 d + 15, (t és la temperatura en ºC; d, la profunditat en m)
d t
0 15
150 16,5
600 21
1050 25,5
… …
400 800 1200
18
12
6
O
24
Temperatura
(ºC)
Profunditat (m)
t = 0,01d + 15
Les funcions de la forma y = mx + n (n ≠ 0)
s’anomenen funcions afins.
Són rectes que no passen per l’origen.
· m és el pendent o inclinació de la recta.
· n és l’ordenada per x = 0, i s’anomena ordenada a l’ origen.

23. Funcions
Funcions
10
. F
uncions quadr ques (I)
à
0
20
40
60
80
100
0 19
0 5 10 15 20
Amb una corda de 40 cm és poden formar diferents rectangles. Quin serà el
valor de la seva àrea?
Representem els parells obtinguts:
Construim una taula de
valors: (a l’àrea
l’anomenem y)
x y
1 19
3 51
8 96
10 100
12 96
14 84
17 51
19 19
2x + 2h = 40
x
h
x + h = 20
A = xh = x(20 –
x)
A = 20x – x2
Perímetre:
Àrea:
h = 20 – x
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15 20
Unim els punts i s’obté la gráfica.

24. Funcions
Funcions
10
. F
uncions quadr tiques (II)
à
La gràfica de les funcions quadràtiques s’anomena paràbola.
La funció y = 20x – x2
, vista anteriorment, s’anomena funció quadràtica.
Les funcions quadràtiques són de la forma y = ax2
+ bx + c amb a ≠ 0.
Si a > 0 la paràbola té les branques cap a amunt.
Si a < 0 la paràbola té les branques cap a avall.
y = x2
y = x2
– 4x
y = –x2
+ 2
y = –x2
y = –x2
– 3
a > 0 a < 0

25. Funcions
Funcions
11. Funci deproporcionalitat inversa(I)
ó
Si el producte de dos nombres és 24, quins valors podem prendre aquests
nombres?
Representem els parells obtinguts i
fem la unió dels punts:
Construim la taula de valors:
x
2 12
4 6
6 4
12 2
–12 –2
–6 4
–4 –6
–2 –12
x
y
24
=
x
24
y =
x · y = 24

26. Funcions
Funcions
11. Funci deproporcionalitat inversa(II)
ó
x
y
2
=
x
y
10
=
x
y
12
−
=
Si el producte dels valors corresponents de dues magnituds x i y és constant, es
diu que les magnituds són inversament proporcionals.
La gràfica de les funcions de proporcionalitat
inversa s’anomena hipèrbola.
x
k
y =
x · y = k o bé
Les funcions de la forma
s’anomenen funcions de proporcionalitat
inversa.
x
k
y =

27. Funcions
Funcions
Problema: Un cargol llisca per la vora d’una piscina a raó de 5 cm per
minut.
(a) Troba l’equacio associada a les magnituds espai recorregut i temps.
(b) Representa aquesta funció
3r. La fórmula d’aquesta funció és: y = 5x
(c) Quant de temps trigarà en recòrrer 23 cm?
Temps (min): 1 2 3 4 5 6 …
Espai (cm): 5 10 15 20 25 30 …
1r. Construim la taula
2n. Observem que les magnituds
són directament proporcionals:
5
1
10
2
5x
x
1 per 5
2 per 5
x per 5
y = 5x és una funció de
proporcionalidtat directa.
12. R
esoluci deproblemes (I)
ó

28. Funcions
Funcions
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
temps
espai
(2, 10)
(1, 5)
23
4,6
4t. Representem els punts: (1, 5), (2, 10)...
5è. En recòrrer 23 cm trigarà 23 : 5 = 4,6 min
Si y = 23, aleshores 23 = 5x, per tant x = 23 :
5
Observa que les escales dels eixos són diferents
Problema: Un cargol llisca per la vora d’una piscina a raó de 5 cm per
minut.
(a) Troba l’equació associada a les magnituds espai recorregut i temps.
(b) Representa aquesta función. (c) Quant de temps trigarà en recòrrer 23 cm?
Ya hemos visto que la función asociada es y = 5x
12. R
esoluci deproblemes (II)
ó