- The document discusses different measures of central tendency namely mean, median and mode. - It provides details on calculating and properties of mean for both grouped and ungrouped data. Mean is the average value obtained by dividing the sum of all values by total number of values. - Methods to calculate median for grouped and ungrouped data are described. Median is the middle value when values are arranged in ascending or descending order. - Mean, median and mode are used to describe the central or typical value in a data set.

1. केन्द्रवर्ती मान
(Measures of Central Tendency)
प्रो. अममर्ता पाण्डेय भारद्वाज
06-08-2021 1
Prof Amita Pandey Bhardwaj, Deptt. of
Education, SLBSNSU, N.Delhi

2. क
े न्द्रवर्ती
मान
मध्यमान
(Mean)
बहुलाांक
(Mode)
मध्याांक
(Median)
06-08-2021
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2

3. क
ें द्रवर्ती मान
• ऐसा प्रापर्ताांक जो सम्पूर्ण
समूह क
े प्रापर्ताांकों का
प्रतर्ततनधित्व करर्ता है I
• ककसी समूह की क
े न्द्रीय
प्रवृतर्त को प्रगट करर्ती है I
• प्रकार (र्तीन)- मध्यमान
(Mean), मध्याांक मान
(Median) एवां बहुलाांक मान
(Mode) I
बहुलाांक
मान
मध्यमान
मध्याांक
मान
06-08-2021
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3

4. मध्यमान(Mean)
• अांकगणर्र्तीय औसर्त
• ककसी समूह क
े प्रापर्ताांकों का वह मान जहााँ
से प्रापर्ताांकों का ववर्तरर् दो सामान भागों में
बांट जार्ता है I
• वह प्रापर्ताांक जजसक
े दोनों ओर प्रापर्ताांकों का
ववचलन समान होर्ता है I
06-08-2021
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4

5. मध्यमान की ववशेषर्ताएाँ
1. समूह क
े प्रापर्ताांकों क
े जो मध्यमान से ववचलन होर्ते हैं
उनका योग शून्द्य क
े बराबर होर्ता है । (The sum of
the deviations of all the scores in a set from their
mean is zero.)
2. समूह कर प्रापर्ताांकों क
े जो मध्यमान से ववचलन होर्ते
है उनक
े वगों का योग तनम्नर्तम होर्ता है। (the sum of
squares of deviations about the mean is less than
the sum of squares of deviations about any other
value.)
06-08-2021
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5

6. 06-08-2021
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6
अव्यवजथिर्त
प्रदत्र्त (Ungrouped
Data)
व्यवजथिर्त
प्रदत्र्त
(Grouped Data)
मध्यमान
ज्ञार्त करने
की ववधि

7. 06-08-2021
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7
अव्यवजथिर्त प्रदत्र्त से मध्यमान ज्ञार्त
करना (Ungrouped Data)
1. प्रापर्ताकों का योग ज्ञार्त करना (∑X)|
2. छात्रों की क
ु ल सांख्या ज्ञार्त करना (N)|
3. प्रापर्ताकों क
े योग को छात्रों की क
ु ल सांख्या से भाग
देना|
सूत्र : M=∑X/N
सोपान

8. 06-08-2021
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8
दस छात्रों पर ददए गए उपलजधि परीक्षर् क
े
प्रापर्ताांक है – 5, 7, 3, 8, 2, 5, 6, 4, 6, 4.
इनका मध्यमान ज्ञार्त करो|
सूत्र : M=∑X/N
M = 5+7+3+8+2+5+6+4+6+4/10
M = 50/10
उदाहरर्
(मध्यमान)
M = 5

9. 06-08-2021
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9
व्यवजथिर्त प्रदत्र्त से मध्यमान ज्ञार्त करना
(Grouped Data)
1. वगाांर्तर का आकार ज्ञार्त करना (i) |
2. कजपपर्त मध्यमान वाला वगाांर्तर ज्ञार्त करना (A.M.) |
3. क
ु ल सांख्या ज्ञार्त करना (N=∑f)|
4. मध्यमान की ववशेषर्ता अनुसार ववचलन ललखना (d)|
5. ववचलन एवां आवृतर्तयों का गुर्नफल ज्ञार्त करना (f x d )|
6. ववचलन एवां आवृतर्तयों क
े गुर्नफल का योग ज्ञार्त करना
(∑f x d )|
7. सूत्र द्वारा मध्यमान ज्ञार्त करना।
सोपान

10. 06-08-2021
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10
सूत्र
𝑴 = 𝑨. 𝑴 +
σ 𝒇𝒅
𝑵
x i
M = मध्यमान
A.M = कमपपर्त मध्यमान
∑fd = सभी आवृमियों एवं मवचलनों के गुणनफल का योग
N = छात्रों की कुल संख्या
i = वगाान्द्र्तर का आकार

11. 06-08-2021
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11
उदाहरर्
(मध्यमान)
वगाांर्तर
(i)
आवृतर्त
(f)
ववचलन
(d)
आवृतर्तx ववचलन
(fd)
30-34 2 +3 +6
25-29 3 +2 +6
20-24 5 +1 +5
15-19 10 0 0
10-14 8 -1 -8
5-9 5 -2 -10
0-4 3 -3 -9
N=36 ∑fd = +17-27
=-10

12. 06-08-2021
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12
M = 17+(-10/36)X 5
M = 17+(-50/36)
उदाहरर्
𝑴 = 𝑨. 𝑴 +
σ 𝒇𝒅
𝑵
x i
M=15.61

13. मध्याांक मान(Median)
• ककसी समूह क
े प्रापर्ताांकों कों आकार क
े
अनुसार व्यवजथिर्त रखने पर वह प्रापर्ताांक
जजसक
े ऊपर एवां नीचे प्रापर्ताांकों की सांख्या
समान होर्ती है I
• समूह में प्रापर्ताांक की मध्य जथितर्त का द्योर्तक
है|
06-08-2021
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13

14. 06-08-2021
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14
अव्यवजथिर्त
प्रदत्र्त (Ungrouped
Data)
व्यवजथिर्त
प्रदत्र्त
(Grouped Data)
मध्याांक
मान ज्ञार्त
करने की
ववधि

15. 06-08-2021
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15
अव्यवजथिर्त प्रदत्र्त से मध्याांक मान ज्ञार्त
करना (Ungrouped Data)
1. प्रापर्ताांको को आरोही/अवरोही क्रम में व्यवजथिर्त करना
2. सूत्र द्वारा मध्याांक मान ज्ञार्त करना
N=ववषम(odd) Md= 𝐍+𝟏
𝟐
वाां प्रापर्ताांक
N=सम(even) Md=
𝑵
𝟐
वाां प्रापर्ताांक
सोपान

16. 06-08-2021
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16
सार्त छात्रों क
े प्रापर्ताांक इस प्रकार है –
11, 15, 13, 10, 9, 12, 16. इनका मध्याांक मान ज्ञार्त करो
सोपान 1- प्रापर्ताांको को आरोही/अवरोही क्रम में व्यवजथिर्त
करना 16, 15, 13, 12, 11, 10, 9
सोपान 2- सूत्र द्वारा मध्याांक मान ज्ञार्त करना
सूत्र Md =
𝑵+𝟏
𝟐
वाां प्रापर्ताांक
=
𝟕+𝟏
𝟐
वाां प्रापर्ताांक =
𝟖
𝟐
वाां प्रापर्ताांक
उदाहरर्
Md = 𝟒वाां प्रापर्ताांक = 12

17. 06-08-2021
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17
व्यवजथिर्त प्रदत्र्त से मध्याांक मान ज्ञार्त
करना (Grouped Data)
1. वगाांर्तर का आकार ज्ञार्त करना (i) |
2. क
ु ल सांख्या ज्ञार्त करना (N=∑f)|
3. प्रत्येक वगाणन्द्र्तर की सांचयी आवृजत्र्त ज्ञार्त करना (Cf=उस वगाणन्द्र्तर की
आवृजत्र्त + उसक
े नीचे वाले सभी वगाांर्तरों की आवृजत्र्तयााँ या उसक
े नीचे वाले की
वगाांर्तर की सांचयी आवृजत्र्त)
4. मध्याांक मान वाले वगाांर्तर की ननम्नर्तम सीमा ज्ञार्त करना (L)|
5. मध्याांक मान वाले वगाणन्द्र्तर की आवृजत्र्त (f)|
6. मध्याांक मान वाले वगाणन्द्र्तर क
े नीचे वाले वगाणन्द्र्तर की सांचयी
आवृजत्र्त (Cfb)
7. सूत्र द्वारा मध्याांक मान ज्ञार्त करना।
सोपान

18. 06-08-2021
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18
सूत्र
𝑴𝒅 = 𝑳 +
ൗ
𝑵
𝟐−𝑪𝒇𝒃
𝒇
x i
Md = मध्यांक मान
L = मध्याांक मान वाले वगाान्द्र्तर की मनम्नर्तम सीमा
f = मध्याांक मान वाले वगाान्द्र्तर की आवृमि
Cfb= मध्याांक मान वाले वगाान्द्र्तर के नीचे वाले वगाान्द्र्तर
की संचयी आवृमि
N = कुल संख्या
i = वगाान्द्र्तर का आकार

19. 06-08-2021
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19
उदाहरर्
(मध्याांक)
वगाांर्तर
(i)
आवृतर्त
(f)
सांचयी आवृतर्त
(Cf)
30-34 2 36
25-29 3 34
20-24 5 31
15-19 10 26
10-14 8 16 = Cfb
5-9 5 8
0-4 3 3
N=36

20. 06-08-2021
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20
Md = 14.5+36/2-16/10) X5
=14.5+(18-16/10) X5
=14.5+(2/10) X5
=14.5+10/10
=14.5+1
उदाहरर्
𝑴𝒅 = 𝑳 +
ൗ
𝑵
𝟐−𝑪𝒇𝒃
𝒇
x i
Md=15.5

21. बहुलाांक मान (Mode)
• प्रापर्ताांकों की सवााधिक आवृनर्तयााँ या बारम्बाररर्ता I
• जिस प्रापर्ताांक की सबसे अधिक आवृनर्त होर्ती है I
• द्वव – बहुलाांकी(Bi-Modal)
• बहु –बहुलाांकी (Multi-Modal)
06-08-2021
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21

22. 06-08-2021
Prof Amita Pandey Bhardwaj, Deptt. of
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22
अव्यवजथिर्त
प्रदत्र्त (Ungrouped
Data)
व्यवजथिर्त
प्रदत्र्त
(Grouped Data)
बहुलाांक
मान ज्ञार्त
करने की
ववधि

23. 06-08-2021
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23
दस छात्रों क
े प्रापर्ताांक इस प्रकार है –
11, 15, 13, 15, 15, 12, 16, 15, 11, 10. इनका बहुलाांक मान
ज्ञार्त करो
सूत्र Mo = ऐसा प्रापर्ताांक जजसकी सबसे ज्यादा
आवृजत्र्त हो
उदाहरर्
Mo = 15

24. 06-08-2021
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24
व्यवजथिर्त प्रदत्र्त से बहुलाांक मान ज्ञार्त
करना (Grouped Data)
1. वगाांर्तर का आकार ज्ञार्त करना (i) |
2. बहुलाांक मान वाले वगाांर्तर की तनम्नर्तम सीमा ज्ञार्त करना (L)|
3. बहुलाांक मान वाले वगाणन्द्र्तर क
े ऊपर वाले वगाणन्द्र्तर की आवृजत्र्त
(fa)
4. बहुलाांक मान वाले वगाणन्द्र्तर क
े नीचे वाले वगाणन्द्र्तर की आवृजत्र्त(fb)
5. सूत्र द्वारा बहुलाांक मान ज्ञार्त करना।
सोपान

25. 06-08-2021
Prof Amita Pandey Bhardwaj, Deptt.
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25
𝑴𝒐 = 𝑳 +
𝒇𝒂
𝒇𝒂
+𝒇𝒃
x i
Mo = बहुलांक मान
L = बहुलांक मान वाले वगाान्द्र्तर की मनम्नर्तम सीमा
fa = बहुलांक मान वाले वगाान्द्र्तर के ऊपर वाले वगाान्द्र्तर
की आवृमि
fb = बहुलांक मान वाले वगाान्द्र्तर के नीचे वाले वगाान्द्र्तर की
आवृमि
i = वगाान्द्र्तर का आकार
सूत्र

26. 06-08-2021
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26
उदाहरर्
(बहुलाांक)
वगाांर्तर
(i)
आवृतर्त
(f)
30-34 2
25-29 3
20-24 5=fa
15-19 10
10-14 8=fb
5-9 5
0-4 3
N=36

27. 06-08-2021
Prof Amita Pandey Bhardwaj, Deptt.
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27
Mo = 14.5+(5/5+8) X5
= 14.5+(5/13) X5
= 14.5+25/13
= 14.5+1.92
उदाहरर्
(बहुलाांक)
𝑴𝒐 = 𝑳 +
𝒇𝒂
𝒇𝒂
+𝒇𝒃
x i
Mo=16.42

28. क
ें रवर्ती मानों की गर्ना (व्यवजथिर्त प्रदर्त )
वगाांर्तर
(i)
आवृतर्त
(f)
ववचलन
(d)
आवृतर्त x ववचलन
(fd)
सांचयी आवृतर्त
(Cf)
30-34 2 +3 2 x +3= +6 36
25-29 3 +2 3 x +2 = +6 34
20-24 5= fa +1 5 x +1 = +5 31
15-19 10 0 0 26
10-14 8= fb -1 8 x -1 = -8 6= Cfb
5-9 5 -2 5 x -2 = -10 8
0-4 3 -3 3 x -3 = -9 3
N=36 ∑fd = +17-27 = -10
06-08-2021
Prof Amita Pandey Bhardwaj, Deptt. of
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28

29. क
ें रवर्ती मानों की गर्ना (व्यवजथिर्त प्रदर्त)
मध्यमान
(Mean)
मध्याांक मान
(Median)
बहुलाांक मान
(Mode)
M=A.M+ (∑fd/N).i
=17+(-10/36)X 5
=17+(-50/36)
M=15.61
Md=L+(N/2-Cfb/f).i
=14.5+36/2-16/10) X5
=14.5+(18-16/10) X5
=14.5+(2/10) X5
=14.5+10/10 =14.5+1
Md=15.5
Mo=L+(fa/fa+fb).i
=14.5+(5/5+8) X5
=14.5+(5/13) X5
=14.5+25/13
=14.5+1.92
Mo=16.42
06-08-2021
Prof Amita Pandey Bhardwaj, Deptt. of
Education, SLBSNSU, N.Delhi
29

30. 06-08-2021
Prof Amita Pandey Bhardwaj, Deptt. of
Education, SLBSNSU, N.Delhi
30
Mode= 3 Median- 2 Mean
=3 X 15.5 – 2 X 15.61
= 46.5 - 31.22
=15.28

31. मध्यमान का प्रयोग कब?
• िब प्रापर्ताांकों का ववर्तरण सामान्य हो।
• िब प्रदत्र्तों का वववरण देने में क
े न्द्रवर्ती
झुकाव शुद्ध रूप में मालूम करना हो।
• िब सवााधिक ववश्वसनीयर्ता अपेक्षिर्त हो।
• िब अन्य साांजययकी ववधियों िैसे - प्रामाणणक
ववचलन र्तथा सहसम्बन्ि आदद ज्ञार्त करना
हो।

32. मध्यांक मान का प्रयोग
कब?
• िब क
े न्द्रवर्ती मान शीघ्रर्ता में मालूम करना हो।
• िब प्रापर्ताांकों का ववर्तरण सामान्य न हो। अथाार्त ् िहााँ
असामान्य प्रापर्ताांक या अत्यांर्त ववषजम्मर्त कोदि का
ववर्तरण ववद्यमान हों।
• िब ककसी समूह का ठीक मध्य-बबांदु मालूम करना हो
अथाार्त ् समूह का वह बबांदु जिसक
े ऊपर र्तथा नीचे
बराबर-बराबर मान हैं।
• िब कोई ऐसा ववर्तरण ददया गया हो िो अपूणा हो।
• िब हम यह ज्ञार्त करना चाहर्ते हों कक अमुक
प्रापर्ताांक क
े नीचे र्तथा ऊपर ककर्तने लोग हैं।

33. बहुलांक मान का प्रयोग
कब?
• िब क
े न्द्रवर्ती मान का शीघ्रानर्तशीघ्र अनुमान लगाना
हो।
• िब क
े वल सािारण प्रकार क
े क
े न्द्रवर्ती मान से काम
चल सकर्ता हो।
• िब क
े न्द्रवर्ती मान क
े ललए ऐसे प्रापर्ताांक मालूम करने
की आवश्यकर्ता हो जिसकी आवृजत्र्त सबसे अधिक हो।

34. साराांश
• क
े न्द्रवर्ती मान र्तीन प्रकार क
े होर्ते हैं- मध्यमान, मध्याांक
मान र्तथा बहुलाांक मान।
• मध्यमान सबसे अधिक ववश्वसनीय|
• बहुलाांक मान का प्रयोग मध्याांक मान र्तथा मध्य मान की
अपेिा कम होर्ता है।
• मध्याांक का प्रयोग र्तब ककया िार्ता है िब ककसी अध्ययन
या अनुसांिान क
े अांर्तगार्त वववरण की दृष्िी से अधिक
शुद्धर्ता की आवश्यकर्ता होर्ती है।
• ककसी समूह का क
े न्द्रवर्ती मान शीघ्रर्तापूवाक प्रकि करने क
े
ललये बहुलाांक का प्रयोग ककया िार्ता है।
• मध्याांक मान ऐसे समूह क
े प्रापर्ताांको क
े ललए मालूम करना
चादहए जिसका ववर्तरण प्रायः सामान्य न हो।

35. सन्द्दभाः
• पाण्डेय, क
े . पी. (2016), शिक्षा और मनोशिज्ञान में
साांशययकी, शिश्िशिद्यालय प्रकािन, चौक, िाराणसी
(उत्तर प्रदेि)।
• गुप्ता, एस. पी. (2007), साांशययकीय शिशियााँ, िारदा
पुस्तक भिन, 11, यूशनिशसिटी रोड, इलाहाबाद,
(उत्तर प्रदेि)।

36. 06-08-2021 Prof Amita Pandey Bhardwaj 36
िन्द्यवाद