Η παρουσίαση μου περιλαμβάνει μια εισαγωγή από κάποιες βασικές έννοιες των πραγματικών αριθμών, αλγεβρικές παραστάσεις και πολυώνυμα, εξισώσεις και ανισώσεις 1ου και 2ου βαθμού (μαζί φυσικά με τους τρόπους επίλυσης αυτών) και συναρτήσεις.

1. Παρασκευή, 25 Ιανουαρίου 2013
Άλγεβρα Α’ Λυκείου
Γενικά – Πολυώνυμα – Εξισώσεις – Ανισώσεις – Συναρτήσεις
Γενικά
1. Δυνάμεις
Γνωρίζουμε ότι, η δύναμη α v με βάση τον αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό
αριθμό v 1 είναι το γινόμενο από v παράγοντες ίσους με α .
Δηλαδή, α v α α α α α.
v παραγοντες
Ορίζουμε ακόμη ότι α1 α , α0 1 με α 0 και
ν 1
α με α 0 και ν 1,2,3, .
αν
Για τις δυνάμεις, με εκθέτες ακέραιους αριθμούς ισχύουν οι ιδιότητες :
α μ αν αμ ν
α μ : αν αμ ν
ν
ν ν ν αν α
α β (α β )
βν β
ν ν
μ ν μν α β
(α ) α
β α
2. Ρίζες
Γνωρίζουμε ότι, η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α είναι ο θετικός
αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α .
Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με α.
Επομένως, αν α x , τότε x 2 α ή ( α )2 α . Ορίζουμε ακόμα ότι 0 0.
Ιδιότητες ριζών μη αρνητικών αριθμών :
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 1

2. α α
α β α β , αν α 0 και β>0 .
β β
3. Διάταξη και Πράξεις
Γνωρίζουμε ότι από δύο αριθμούς, μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται
δεξιότερα πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών.
Έτσι το 2 1,5 1 0 0,5 1 κτλ.
ή 1 0,5 0 1 1,5 2 κτλ.
Δηλαδή, οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι πάνω στον άξονα των
πραγματικών αριθμών. Εάν πάρουμε δύο αριθμούς, για παράδειγμα τους 5 και
2 , για τους οποίους ισχύει ότι 5 2 , παρατηρούμε ότι είναι και 5 2 3 0 .
Ομοίως, για τους αριθμούς 6 και 8 .
Γενικά, για δύο πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύουν τα ακόλουθα :
 αν α β , τότε α β 0
 αν α β , τότε α β 0 .
Ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού :
 Αν προσθέσουμε και στα δύο μέλη μιας ανισότητας τον ίδιο αριθμό,
προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.
Δηλαδή, αν α β , τότε α γ β γ .
 Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ίδιας
φοράς, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς.
Δηλαδή, αν α β και γ δ , τότε α γ β δ .
 Αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με έναν θετικό αριθμό,
τότε προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς.
Δηλαδή, αν α β και γ 0 , τότε α γ β γ .
 Αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με αρνητικό αριθμό, τότε
προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς.
Δηλαδή, αν α β και γ 0 , τότε α γ β γ .
4. Απόλυτη Τιμή πραγματικού αριθμού
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 2

3. Θεωρούμε έναν αριθμό α , ο οποίος μπορεί να είναι κάποιος από τους αριθμούς
του άξονα των πραγματικών αριθμών που συναντήσαμε στην αρχή του
κεφαλαίου.
Απόλυτη τιμή αυτού του πραγματικού αριθμού είναι η απόστασή του από την
αρχή των αξόνων, δηλαδή από το σημείο ( 0,0 ) .
Η απόλυτη τιμή του αριθμού α συμβολίζεται με α .
Προκύπτουν τρείς διαφορετικές περιπτώσεις για την απόλυτη τιμή :
a) αν το α 0 , τότε η απόλυτη τιμή είναι α α , για παράδειγμα 3 3,
b) αν το α 0 , τότε η απόλυτη τιμή είναι 0 0 και
c) αν το α 0 , τότε η απόλυτη τιμή είναι α α , για παράδειγμα
3 ( 3) 3.
Ασκήσεις στο Απόλυτη Τιμή πραγματικού αριθμού
η
Άσκηση 1 : Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο x , αν α) x 5 και β) x 4 6.
η
Άσκηση 2 : Να λυθούν οι εξισώσεις α) x 4 2 x 1 και β) x 2 x.
η
Άσκηση 3 : Να λυθεί η εξίσωση 3 x 1 2x 1 .
η
Άσκηση 4 : Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει το x όταν α) x 1 0,
β) x 6 , γ) 2 x 3 , δ) x 1 1 και ε) x 5.
η
Άσκηση 5 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 7 x 4 2x 5,
β) ( 3 x 5) ( x 2 ) 2( x 1 ) 3 και
γ) ( 2 x 1) ( 3 x 7 ) 5 [( x 3) 4 x ] .
Αλγεβρικές Παραστάσεις
1. Μονώνυμα
Οι εκφράσεις 4 α , α 2 , 2α 3β , α β που περιέχουν μεταβλητές λέγονται
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 3

4. αλγεβρικές παραστάσεις.
Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς
και εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται, προκύπτει ένας αριθμός που
λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής αυτής παράστασης.
Έτσι, για α 5 η τιμή της αλγεβρικής παράστασης 4 α είναι 4 5 20 και η
τιμή της α 2 είναι 52 25 .
Στις αλγεβρικές παραστάσεις 4 α , α 2 , α β σημειώνεται μόνο η πράξη του
πολλαπλασιασμού. Τέτοιες παραστάσεις έχει επικρατήσει να τις λέμε μονώνυμα.
3 2 3
Σε ένα μονώνυμο, για παράδειγμα αβ , ο αριθμητικός παράγοντας που
8 8
συνήθως γράφεται πρώτος, λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το
γινόμενο όλων των άλλων μεταβλητών του αβ 2 , λέγεται κύριο μέρος του
μονωνύμου.
Δύο ή περισσότερα μονώνυμα που έχουν ίδιο κύριο μέρος, όπως τα
2
4x 3 y 2 ,8x 3 y 2 , x 3 y 2 , λέγονται όμοια μονώνυμα.
5
Ιδιότητες μονωνύμων :
Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι ένα όμοιο με αυτά μονώνυμο που
έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών.
Δηλαδή, 2x2 6 x2 ( 2 6 )x 2 8x 2 .
Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το
γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές
με εκθέτη σε καθεμία το άθροισμα των εκθετών της.
1 8α 2 β 8 α2 β
Δηλαδή, 8α β 2
4α .
2αβ 2αβ 2 α β
Το άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια μεταξύ τους, για
παράδειγμα 2x 2 6 x , λέγεται πολυώνυμο.
2. Αναγωγή Ομοίων Όρων
Σε ένα άθροισμα, για παράδειγμα το 3 5 1 7 , οι προσθετέοι 3,5, 1,7
λέγονται κα όροι του αθροίσματος.
Ομοίως και σε μια αλγεβρική παράσταση, για παράδειγμα την
3α 2 5β 4α β 2 , τα μονώνυμα 3α 2 , 5β,4α,β, 2 λέγονται επίσης
όροι της αλγεβρικής παράστασης. Στην παράσταση αυτή, αν αντικαταστήσουμε
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 4

5. με τα όμοια μονώνυμα ή όπως λέμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους,
έχουμε : 3α 2 5β 4α 2 β 2 3α 2 4α 2 5β β 2
( 3 4 )α 2 ( 5 1)β 2 7α 2 4β 2 .
Όπως βλέπουμε, η αρχική αλγεβρική παράσταση που είχε πέντε όρους, έχει
συμπτυχθεί σε μια άλλη με τρείς όρους.
Γενικά, σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαθιστούμε τους όρους με το άθροισμά
τους και η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή ομοίων όρων.
3. Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων
Στην αλγεβρική παράσταση 2x( 3x2 4 ) , που είναι γινόμενο με παράγοντες το
μονώνυμο 2x και το πολυώνυμο 3x 2 4 , μπορούμε να εφαρμόσουμε την
επιμεριστική ιδιότητα, οπότε έχουμε : 2x( 3x2 4 ) 2x 3x 2 2x 4
6 x3 8x .
Γενικά, για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε
το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που
προκύπτουν.
Το γινόμενο ( α β ) ( γ δ ) γράφεται σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα :
(α β ) (γ δ ) (α β ) γ (α β ) δ α γ β γ α δ β δ .
Δηλαδή, ( α β ) (γ δ) α γ β γ α δ β δ .
Γενικά, για να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο
του ενός με κάθε όρο του άλλου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν.
Όταν κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μονωνύμου με πολυώνυμο ή δύο
πολυωνύμων, λέμε πολλές φορές ότι αναπτύσσουμε τα γινόμενα αυτά και το
αποτέλεσμα λέγεται ανάπτυγμα του γινομένου.
Ασκήσεις στις αλγεβρικές Παραστάσεις
η
Άσκηση 1 : Να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων που ακολουθούν
α) 3α γδ , αν α 7 , γ 12 και δ 2
β) λ( 5 2κμ ) μ( 8 λν ) , αν κ 3, λ 7, μ 7 και ν 5.
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 5

6. η
Άσκηση 2 : Να κάνετε τις πράξεις : α) 13α 27α β) 14μ 2 15μ 2
γ) 4 β 3 8 2β 3 δ) 19R 2 R 2 3R 2 7R 2 ε) xyω 2xyω 5xyω .
η 5 2
Άσκηση 3 : Να βρείτε τα γινόμενα : α) 4ω ω β) ( 2ω )2 3ω3
4
1 1 2 3 3
γ) xx 2 x 3 αxy ( 9xy 2 ) δ) x x ( 4x ) .
3 2 2
η
Άσκηση 4 : Να κάνετε τις πράξεις : α) 10α 2( α 3 ) 3( α 4 )
β) 5x 2( 6 3x ) 4( 2 x ) γ) 3α( α β 2 ) 5β( β 2α )
δ) 2x( x2 1) 3x 2 ( x 3 ) 2x 5( x 2 1) ε) ( x2 x 1)( x 1) .
4. Αξιοσημείωτες Ταυτότητες
Αν αναπτύξουμε ένα γινόμενο, για παράδειγμα το 2x( x y ) έχουμε :
2x( x y ) 2x 2 2xy . Η ισότητα αυτή αληθεύει για κάθε τιμή των μεταβλητών
x, y , αφού ο δύο παραστάσεις 2x( x y ) και 2x 2 2xy αντιπροσωπεύουν τον
ίδιο αριθμό. Για αυτό λέμε ότι η παραπάνω ισότητα είναι μια ταυτότητα.
Γενικά, κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις
τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα.
Οι παρακάτω ταυτότητες είναι πολύ χρήσιμες και πρέπει να τις γνωρίζουμε
καλά.
 (α β )2 (α β )( α β ) α2 αβ βα β2 α2 2αβ β2 .
Επομένως, ( α β )2 α2 2αβ β2 .
 Αν στην παραπάνω ταυτότητα θέσουμε όπου β το β , έχουμε
[ α ( β )] 2 ( α β )2 α 2 2α( β ) ( β )2 α 2 2αβ β 2 .
Επομένως, ( α β )2 α2 2αβ β2 .
 Επίσης, ( α β )( α β ) α 2 αβ βα β 2 α2 β 2 . Επομένως,
(α β )( α β ) α2 β2 .
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 6

7.  Επιπλέον, ( α β )3 (α β )( α β )2 (α β )( α 2 2αβ β2 )
α3 2α 2 β αβ 2 βα 2 2αβ 2 β3 α 3 3α 2 β 3αβ 2 β3 .
Επομένως, ( α β )3 α3 3α 2 β 3αβ 2 β3 .
 Ισχύει επίσης, ( α β )3 (α β )( α β )2 (α β )( α 2 2αβ β2 )
α3 3α 2 β 3αβ 2 β3 .
Επομένως, ( α β )3 α 3 3α 2 β 3αβ 2 β3 .
η
Άσκηση 1 : Να βρείτε τα αναπτύγματα : α) ( μ ν )2 β) ( λ 1)2
1 2 1 2 2 1
γ) ( 2α 3 )2 δ) ( α ) ε) ( 2x ) στ) ( x 3y )2 ζ) ( x y )2 .
α 2x 3 2
η
Άσκηση 2 : Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες με ότι λείπει
α) ( 3 )2 9α 2
β) ( 3x )2 25 y 2
γ) ( )2 25x4 10x 2 y .
η
Άσκηση 3 : Αν α 6 5 και β 6 5 , να υπολογίσετε την αριθμητική
τιμή της παράστασης 3α 7αβ 3β .
2 2
5. Παραγοντοποίηση Πολυωνύμων
Για λόγους συντομίας των υπολογισμών αλλά για άλλους (απλοποίηση
παραστάσεων, επίλυση εξισώσεων κτλ.) είναι χρήσιμο να μετατρέπουμε μια
παράσταση από άθροισμα σε γινόμενο.
Η διαδικασία αυτή, της μετατροπής λέγεται παραγοντοποίηση.
Στη συνέχεια θα δούμε τις πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις παραγοντοποίησης
πολυωνύμων :
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 7

8.  Αν όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου έχουν κοινό παράγοντα, το πολυώνυμο
αυτό μετατρέπεται σε γινόμενο, σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα.
Έτσι, για παράδειγμα έχουμε μα μβ μγ μ( α β γ ) και λέμε ότι
“βγάζουμε κοινό παράγοντα” το μ .
 Στο πολυώνυμο αx αy βx βy δεν έχουν όλοι οι όροι κοινό
παράγοντα. Αν όμως βγάλουμε, για παράδειγμα κοινό παράγοντα στους
δύο πρώτους το α και στους δύο τελευταίους το β , εμφανίζεται ως
κοινός παράγοντας το ( x y ) , οπότε το πολυώνυμο μπορεί να
παραγοντοποιηθεί.
Πράγματι, αx αy βx βy α( x y ) β( x y ) ( x y )( α β ) .
 Όπως είδαμε, είναι ( α β )( α β ) α 2 β 2 . Επομένως, ισχύει ότι
α 2 β 2 ( α β )( α β ) . Παρατηρούμε λοιπόν, ότι με την ταυτότητα
αυτή μετατρέπουμε σε γινόμενο μια διαφορά τετραγώνων, όπως για
παράδειγμα x2 36 x 2 6 2 ( x 6 )( x 6 ) .
 Επειδή, ( α β )2 α 2 2αβ β 2 και ( α β )2 α 2 2αβ β 2 , ισχύει
ότι α 2 2αβ β 2 ( α β )2 και α 2 2αβ β 2 ( α β )2 αντίστοιχα.
Παρατηρούμε ότι με τις ταυτότητες αυτές μπορούμε να μετατρέψουμε ένα
άθροισμα τριών όρων σε γινόμενο, όταν αυτό είναι ανάπτυγμα
τετραγώνου. Έτσι, για παράδειγμα έχουμε
α 2 10α 25 α 2 10α 52 α 2 2 α 5 52 ( α 5 )2 .
Ασκήσεις στην Παραγοντοποίηση Πολυωνύμων
η
Άσκηση 1 : Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα : α) 4 y 6 β) 18 9κ
γ) 24t 40t 2 δ) 16 xy 12y 2 ε) 10α 2 β 8αβ 2 στ) 3x3 y 6 xy 9xy 2 .
η
Άσκηση 2 : Να παραγοντοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις :
α) α( x y ) β( x y) β) x( α β ) y( α β ) γ) 5κ( x y ) x y
δ) ( 2x 1)( 3y 2 ) 7 x 2 ( 3y 2 ) ε) ( α 2x )x 2 ( α 2x )( α β ).
6. Κλασματικές Αλγεβρικές Παραστάσεις
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 8

9. Μια αλγεβρική παράσταση, η οποία περιέχει ένα κλάσμα λέγεται κλασματική
αλγεβρική παράσταση.
Κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις είναι, για παράδειγμα, οι
1 20 2x 5
, , .
x α 7 x2 y 2
3x
Στην κλασματική αλγεβρική παράσταση , η μεταβλητή x δεν μπορεί να
x 2
πάρει την τιμή 2 , γιατί τότε μηδενίζεται ο παρονομαστής της
παράστασης αυτής.
Ιδιότητες κλασματικών παραστάσεων :
λ α λ α γ α γ α γ α δ α δ
α : .
ν ν β δ β δ β δ β γ β γ
Ασκήσεις Στις Κλασματικές Αλγεβρικές Παραστάσεις
η 1 1 1 1 3 1 x
Άσκηση 1 : Να κάνετε τις πράξεις : α) β) γ) 1 δ)
α β 2 x t 5 y
x2 4x 6 x2 x 9 x x 1 1
ε) στ) ζ) (x y)
3x 5 3x 5 x 5 x 5 x y
μ ν 1 1 1 1 1 2 α
η) : θ) xyω ι) .
ν μ μ ν x y ω α β α 2
β2
Εξισώσεις
1. Εξισώσεις 1ου βαθμού
Στο ορθογώνιο ABΓΔ με περίμετρο 18εκ. , η μια πλευρά του είναι διπλάσια
από την άλλη. Να βρεθούν οι πλευρές του.
Αν είναι x η μικρότερη πλευρά του ορθογωνίου, τότε η μεγαλύτερη θα είναι 2x
και η περίμετρος του είναι x 2x x 2x . Επειδή η περίμετρος αυτή είναι
18εκ., έχουμε την εξίσωση x 2x x 2x 18 και διαδοχικά
6 x 18 x 3.
Άρα, οι πλευρές του ορθογωνίου είναι 3εκ. και 6εκ. .
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 9

10. Η εξίσωση 6 x 18 έχει έναν άγνωστο, το x , και η μεγαλύτερη δύναμη αυτού
είναι η πρώτη. Επομένως, λέμε ότι έχουμε μια εξίσωση 1ου βαθμού ή μια
πρωτοβάθμια εξίσωση με έναν άγνωστο.
Ασκήσεις στις Εξισώσεις 1ου βαθμού
η
Άσκηση 1 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 3( x 2 ) 4( x 5 ) 10( x 4 )
x 1 4x 2 8x 22 5( x 7 )
β) και γ) 20 8.
3 14 4 2
η
Άσκηση 2 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2( 1 3x ) 4 6 x 1 β) 4x 3 7x
4x 6 8x 10 2x 3
γ) 5 4 και δ) 2( x 1 ) .
3 9 9
η
Άσκηση 3 : Δίνεται η εξίσωση 3x y 2 .
α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα λύσεων της εξίσωσης
x 0 2
y 5 0
β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση των λύσεων αυτής με σημεία του επιπέδου.
γ) Να εξετάσετε εάν τα ζεύγη ( 3, 7 ) και ( 1,5 ) είναι λύσεις της εξίσωσης.
η
Άσκηση 4 : Διαθέτουμε 20 ευρώ για την αγορά αναψυκτικών. Πόσες
λεμονάδες και πόσες πορτοκαλάδες μπορούμε να πάρουμε, εάν η κάθε λεμονάδα
κοστίζει 1 ευρώ και η κάθε πορτοκαλάδα 2 ευρώ ;
2. Εξισώσεις 2ου βαθμού
Πολλές φορές η επίλυση ενός προβλήματος δεν οδηγεί σε εξίσωση 1ου βαθμού.
Να βρεθεί ένας αριθμός τέτοιος, ώστε το τετράγωνό του να είναι ίσο με το
επταπλάσιό του.
Αν x είναι ο ζητούμενος αριθμός, τότε πρέπει x 2 7 x ή μπορούμε να γράψουμε
ισοδύναμα x 2 7 x 0 .
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 10

11. Η ισότητα αυτή περιέχει έναν άγνωστο και μάλιστα η μεγαλύτερη δύναμη του
αγνώστου που εμφανίζεται είναι η 2η δύναμη. Επομένως, λέμε ότι έχουμε μια
εξίσωση 2ου βαθμού ή μια δευτεροβάθμια εξίσωση.
Για να λύσουμε την εξίσωση αυτή έχουμε διαδοχικά :
x2 7 x 0 x( x 7 ) 0 x 0 ή x 7 0
x 0 ή x 7.
Άρα, οι λύσεις τις εξίσωσης είναι οι αριθμοί 0 και 7 .
Ασκήσεις στις εξισώσεις 2ου βαθμού
η
Άσκηση 1 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) x 2 3x 0 β) x 2 5x 0
γ) 3x 2 12x 0 δ) 7x 2 8x 0 και ε) 1,5x 2 18x 0 .
η
Άσκηση 2 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) x 2 9 0 β) x 2 8 0
75
γ) 5x 2 30 0 δ) 2x 2 1 0 ε) 0,3t 2 2,7 0 και στ) 12ω2 0.
12
3. Τύπος λύσεων εξισώσεων 2ου βαθμού
Οι εξισώσεις 2ου βαθμού δεν έχουν όλες την απλή μορφή, που συναντήσαμε
παραπάνω, οπότε πρέπει να έχουμε έναν γενικό τύπο γι’ αυτές και για την εύρεση
της λύσης τους .
Η γενική μορφή των δευτεροβάθμιων εξισώσεων είναι
αx 2 βx γ 0 , με α 0 .
Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης αx 2 βx γ 0 , με α 0 δίνονται από τον
β β2 4αγ
γενικό τύπο x .
2α
Ασκήσεις στις εξισώσεις 2ου βαθμού με βάσει τον τύπο λύσεων
η
Άσκηση 1 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) x2 5x 6 0 β) x 2 x 12 0
γ) 3x 2 21x 30 0 δ) 2x 2 14x 12 0 και ε) x2 3x 5 0 .
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 11

12. η
Άσκηση 2 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) ( x2 4 )( x 5 ) 0
β) x( x 1)( x 2 ) 0 γ) 3x( x2 1)( 2x 8 ) 0 .
η
Άσκηση 3 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) ω2 6ω 8 0 β) 3x 2 5x 2 0
γ) 5φ2 3φ 9 0 δ) 2s 2 4s 1 0 και ε) 9x 2 12x 4 0 .
η
Άσκηση 4 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 9 y 2 3y 64 10 y 2 9y
β) 9( ω2 2 ) 8ω 4ω( 2ω 1) 14 γ) ( φ 2 )( φ 1) ( φ 2 )( φ 1) 4
δ) ( 2κ 3 )2 ( κ 1)( κ 4 ) 9κ ε) ( 9s 2 5s 7 ) ( 5s 2 7s 9 ) 2
στ) ( x 4 )2 ( x 2 )2 ( x 3 )2 και ζ) x2 24x 7 ( x 8 )2 ( x 8 )2 .
η 1 x
Άσκηση 5 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) ω2 ω 90 0 β) x 2
3 6
3 2 2
γ) x 2x και δ) 25 6 x x 2 0.
2 3
η
Άσκηση 6 : Να λύσετε την εξίσωση ( x 1)( x 2 5x 6 ) 0 .
4. Κλασματικές Εξισώσεις
Μια εξίσωση, η οποία περιέχει τον άγνωστο x στον παρονομαστή λέγεται
κλασματική εξίσωση.
Για να ορίζονται οι όροι αυτής της εξίσωσης θα πρέπει ο παρονομαστής κάθε
κλάσματος να είναι διαφορετικός του μηδενός.
Για τη λύση τους κάνουμε κάποιες αλλαγές πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας
με ότι χρειάζεται ώσπου να προκύψει μια απλή εξίσωση 1ου ή 2ου βαθμού, την
οποία ξέρουμε πώς να λύσουμε.
Ασκήσεις στις Κλασματικές Εξισώσεις
η 6 2
Άσκηση 1 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2 β) 3
x 1 2k 1
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 12

13. 1 7 x 2 3x 5 3x 2 x 3 x 1
γ) δ) 2 ε) και στ) .
2y 4 4 2 x x 1 x 1 3x 2 3x 4
η
Άσκηση 2 : Να εξετάσετε εάν έχουν τις ίδιες λύσεις οι εξισώσεις :
2 x x 4 4 x x2 4
α) και , β) 3 και x2 4 3( x 2 ) .
x 4 4 x 2 x x 2
Ανισώσεις
1. Ανισώσεις 1ου βαθμού
Οι ανισώσεις πρώτου βαθμού έχουν την ακόλουθη μορφή : a x b 0 ή
a x b 0.
Μια ανίσωση που περιέχει μία μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες
τιμές της μεταβλητής, λέγεται ανίσωση με έναν άγνωστο.
Ο τρόπος που ακολουθούμε για να λύσουμε μια ανίσωση, είναι παρόμοιος με τον
τρόπο που ακολουθούμε στην επίλυση εξισώσεων. Δηλαδή:
 Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
 Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων
 Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου. Αν ο συντελεστής είναι θετικός
η ανισότητα δεν αλλάζει φορά, ενώ αν είναι αρνητικός πρέπει να
αλλάξουμε τη φορά της ανίσωσης.
Παράδειγμα : Να λύσετε την ανίσωση 3( x 1) 5( 2x 1) 3( x 2 ) 5 .
Απάντηση : Αρχικά κάνουμε τις πράξεις και στα δύο μέλη της ανισότητας ως
εξής 3x 3 10x 5 3x 6 5 χωρίζουμε τώρα γνωστούς από αγνώστους
3x 3x 10x 3 5 6 5 κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων
10x 1 διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου, η φορά της
ανισότητας δεν αλλάζει γιατί θα διαιρέσουμε με έναν θετικό αριθμό
10x 1 1
x . Επομένως, η λύση της ανίσωσης βρίσκεται στο
10 10 10
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 13

14. 1
διάστημα όπου τα x .
10
Ασκήσεις στις Ανισώσεις 1ου βαθμού
η
Άσκηση 1 : Να λύσετε την ανίσωση 3x 4 2( x 1) x 5 και την ανίσωση
5( x 2 ) 4x ( x 3 ) 3x 7 .
η
Άσκηση 2 : Να λύσετε τις ανισώσεις και στη συνέχεια να παραστήσετε τις
5x 2 x 1 8
λύσεις στην ευθεία των πραγματικών αριθμών, α) 8 , β) 3
4 2 x
4x 10
και γ) 5.
3 2x
η
Άσκηση 3 : Να λύσετε την ανίσωση 2x 4( x 5 ) 4 6 x 12 .
2. Ανισώσεις 2ου βαθμού
Όταν έχουμε να λύσουμε μια ανίσωση δευτέρου βαθμού ακολουθούμε τα
παρακάτω βήματα :
a) τη φέρνουμε στη μορφή ax 2 bx c
b) βρίσκουμε τη διακρίνουσα και τον αριθμό των λύσεων
c) σχηματίζουμε τον πίνακα προσήμου, όπως αυτός δίνεται στο σχολικό μας
βιβλίο
d) αναφέρουμε το διάστημα που η ανίσωσή μας είναι θετική ή αρνητική
ανάλογα με τον πίνακα που μόλις σχηματίσαμε.
Ασκήσεις στις Ανισώσεις 2ου βαθμού
η
Άσκηση 1 : Να λύσετε τις ανισώσεις α) x2 5x 6 0 β) x 2 x 12 0
γ) 3x 2 21x 29 1 δ) x 2 7 x 7 5 και ε) x 2 2x 2 x 3.
η
Άσκηση 2 : Να λύσετε τις ανισώσεις α) ( x2 16 )( x 5 ) 0
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 14

15. β) x( x 1)( x 3 ) 0 γ) 2x( x2 1)( 3x 9 ) 0 .
Συναρτήσεις
1. Η έννοια της συνάρτησης
Μια ισότητα που συνδέει δύο μεταβλητές, όπως για παράδειγμα η y 2x ,
καθορίζει μια διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής x
αντιστοιχίζεται μία μόνο τιμή της μεταβλητής y .
Έτσι, για την παραπάνω ισότητα έχουμε :
 για x 1 , το y 2 1 y 2
 για x 2 , το y 2 2 y 4
 για x 3 , το y 2 3 y 6 κτλ.
Μια τέτοια διαδικασία, όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα ονομάζεται
συνάρτηση. Συνήθως, μια συνάρτηση τη συμβολίζουμε με ένα γράμμα, για
παράδειγμα f .
Με τη βοήθεια ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων μπορούμε να
παραστήσουμε κάθε ζεύγος ( x, y ) αριθμών με ένα σημείο του επιπέδου, που
έχει τετμημένη x και τεταγμένη y .
Αν αυτό γίνει για όλα τα ζεύγη ( x, f ( x )) , μιας συνάρτησης f , τότε το σύνολο
των σημείων που βρίσκουμε λέγεται γραφική παράσταση της συνάρτησης
αυτής. Επειδή αυτό όμως είναι πρακτικά αδύνατο βρίσκουμε μερικά από τα
σημεία αυτά και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή.
2. Οι συναρτήσεις y α x και y α x β
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής y α x είναι μια ευθεία
που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y α x β είναι μια ευθεία παράλληλη
στην ευθεία y α x.
Γενικά, κάθε εξίσωση της μορφής α x β y γ παριστάνει μια ευθεία ε .
Η εξίσωση αυτή λέγεται επίσης εξίσωση της ευθείας ε .
3. Οι συναρτήσεις y a x 2 και y a x2 β x γ
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 15

16. Ένας αγρότης έχει περιφράξει με 10 μέτρα σύρμα ένα φυτώριο σχήματος
ορθογωνίου, του οποίου η μια πλευρά είναι τοίχος.
Εάν x είναι το πλάτος της μιας πλευράς του ορθογωνίου, τότε το μήκος του θα
είναι 10 2x και επομένως το εμβαδό του θα είναι E x( 10 2x ) ή
E 2x2 10x . Η συνάρτηση αυτή λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Τετραγωνικές συναρτήσεις είναι για παράδειγμα και οι y x2 , y x 2 3 ,
y x2 3x 1 , y 6 4x 5x 2 .
Γενικά, τετραγωνική συνάρτηση λέγεται κάθε συνάρτηση της μορφής
y α x 2 β x γ , με α 0 .
Η πιο απλή τετραγωνική συνάρτηση είναι η y x2 . Για να σχεδιάσουμε τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής φτιάχνουμε πρώτα ένα πίνακα τιμών
της.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
Παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη ( 3,9 ) , ( 2,4 ) , ( 1,1 ) ,
( 0,0 ) , ( 1,1) , ( 2,4 ) και ( 3,9 ) και σχεδιάζουμε μια συνεχή καμπύλη που
διέρχεται από τα σημεία αυτά, όπως στο παρακάτω σχήμα.
y
(-3,9) (3,9)
8
6
4 (2,4)
(-2,4)
2
(1,1)
(-1,1)
x' 0 x
-3 -2 -1 0 y' 1 2 3
Η καμπύλη αυτή λέγεται παραβολή και συνηθίζετε να λέμε ‘η παραβολή y x2 ’.
Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε τα εξής :
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 16

17. a) η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα x' x , δηλαδή για όλες τις
τιμές του x είναι y 0 ,
b) η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y' y και
c) η συνάρτηση y x2 έχει ελάχιστο y 0 , όταν το x 0 . Το σημείο
( 0,0 ) λέγεται κορυφή της παραβολής y x2 .
Με τον ίδιο όπως και παραπάνω τρόπο, σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης y x 2 , η οποία είναι επίσης παραβολή.
Ας υποθέσουμε τώρα ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης y 2x 2 4x 6 , για 2 x 4 . Φτιάχνουμε τον πίνακα τιμών :
x -2 -1 0 1 2 3 4
y 2x 2
4x 6 10 0 -6 -8 -6 0 10
Παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη ( 2,10 ) , ( 1,0 ) , ( 0, 6 ) ,
( 1, 8 ) , ( 2, 6 ) , ( 3,0 ) και ( 4,10 ) . Σχεδιάζουμε μια συνεχή καμπύλη που
διέρχεται από τα σημεία αυτά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
y
10
(4,10)
(-2,10)
8
6
4
2
(-1,0) (3,0)
0
x' -2 -1 0 1 2 3 4 x
-2
-4
(0,-6)
-6
(2,-6)
-8
(1,-8)
y'
Η καμπύλη αυτή είναι επίσης μια παραβολή. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση έχει
ελάχιστη τιμή 8 , για x 1 .
Γενικά, η συνάρτηση y αx2 βx γ , α 0 έχει ελάχιστο αν α 0 και
μέγιστο αν α 0 .
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 17

18. α
4. Η συνάρτηση y
x
Ας υποθέσουμε τώρα ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της
12
συνάρτησης y .
x
Κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης.
x -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12
y -1 -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 1
Εάν τώρα τοποθετήσουμε τα ζεύγη του πίνακα σε ένα σύστημα αξόνων, θα
έχουμε τη γραφική παράσταση που φαίνεται παρακάτω και η οποία λέγεται
υπερβολή. Σχεδιάζουμε μια συνεχή καμπύλη που διέρχεται από τα σημεία αυτά,
όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
y
14
(1,12)
12
10
8
(2,6)
6
(3,4)
4 (4,3)
(6,2)
2 (12,1)
0
x' x
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
-2
(-12,-1) (-6,-2)
(-4,-3) -4
(-3,-4)
-6
(-2,-6)
-8
-10
(-1,-12) -12
-14
y'
Ασκήσεις στις Συναρτήσεις
η
Άσκηση 1 : Να βρείτε τα f ( 2 ) , f ( 0 ) και f ( 2 ) για τις παρακάτω
x3 2 x 5
συναρτήσεις : α) f ( x ) x3 5x 2 6 x 7 β) f ( x ) γ) f ( x ) .
x 1 x 1
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 18

19. η
Άσκηση 2 : Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
α) y 3x β) y 5x και γ) y 0,6 x .
η
Άσκηση 3 : Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y x
και y x.
η
Άσκηση 4 : Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή
των αξόνων, αν γνωρίζετε ότι αυτή διέρχεται επίσης και από το σημείο ( 1,3 ) .
η
Άσκηση 5 : Να εξετάσετε εάν τα σημεία A( 15,50 ) , B( 1,8,0,4 ) , Γ( 0,6 ) ,
Δ( 2,5,5 ) , Ε( 3 ,4 ) και Z( 1,3 ) ανήκουν στην ευθεία y
1
3x 5 .
η
Άσκηση 6 : Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων, τις ευθείες y 3x 1 ,
2
y x 1 και y 0,5x 1 .
3
η 2 2
Άσκηση 7 : Να σχεδιάσετε τις παραβολές α) y 3x 2 και β) y x .
5
η
Άσκηση 8 : Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις έχουν μέγιστο και
3 2
ποιες ελάχιστο α) y 0,7x 2 , β) y 2x 2 , γ) y x και δ) y 1,38x 2 .
4
η
Άσκηση 9 : Να σχεδιάσετε τις παραβολές α) y 2x2 8 και β) y x2 3 ,
για 3 x 3 .
Σε κάθε περίπτωση να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της κάθε συνάρτησης.
η 1 1
Άσκηση 10 : Να σχεδιάσετε τις υπερβολές α) y , β) y και
x x
15
γ) y .
x
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός Σελίδα 19