02 tópico 1 - regressão linear simples 02 - Econometria - Graduação - UFPA

Econometria
Ricardo Bruno N. dos Santos
Professor Adjunto da Faculdade de Economia
e do PPGE (Economia) UFPA

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O Modelo Clássico de Regressão Linear
Normal (MCRLN)
Até o momento foi verificado como estimar os valores
dos 𝛽′𝑠 e  para o MRLS. Porém existe uma etapa muito
importante, que são os testes de hipóteses. São tais testes
que tornam possível a inferência estatística, ou seja, nos dão
um grau de “tranquilidade” para afirmar se nossas
estimativas da FRA são realmente próximas a FRP.
Para que tal aspecto seja válido, devemos considerar
uma pressuposição fundamental sobre os resíduos, devemos
considerar e provar que os mesmos são normais.

A hipótese de normalidade de 𝒖𝒊
Foi verificado que:
Média: 𝐸 𝑢𝑖 = 0
Variância: 𝐸 𝑢𝑖 − 𝐸 𝑢𝑖
2 = 𝐸 𝑢𝑖
2
= 𝜎2
Covariância: 𝐸 𝑢𝑖 − 𝐸 𝑢𝑖 𝑢𝑗 − 𝐸 𝑢𝑗
= 𝐸 𝑢𝑖𝑢𝑗 = 0
Todas as hipóteses acima podem ser representadas de
forma compacta, pelo indicativo que os resíduos possuem
uma distribuição normal com média 0 e variância constante:
𝒖𝒊~𝑵 𝟎, 𝝈𝟐

Por que usar a normalidade:
1) Pelo fato dos resíduos 𝑢𝑖 serem uma influência
combinada (sobre a variável independente) de um conjunto
de variáveis independentes não incluídas no modelo, porém
com pouca influência sobre a variável dependente. A maior
parte das distribuições quando apresentam crescimento no
seu número de observações tornam-se normais, e como o
resíduo representa variáveis não incluídas no modelo,
imagina-se que, segundo o TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
(TLC), a soma de tais variáveis levem a uma distribuição
normal.

2) Mesmo não sendo grande o número de variáveis e que as
mesmas não sejam independentes, a sua soma pode ainda ser
normal.
3) Como os 𝛽′
𝑠 são funções lineares de 𝑢𝑖, então podemos
concluir que os estimadores tendem a uma normal.
4) A facilidade do uso da distribuição normal, por conter
apenas dois parâmetros (média e variância), tornou seu uso muito
frequente, bem como o direcionamento para vários estudos e
resultados baseados nessas pressuposições.
5) Mesmo com uma amostra inferior a 100 observações
ainda podemos relaxar a hipótese de normalidade, para tanto,
usa-se outras distribuições como a t, F e 2 (qui-quadrado), que
possuem o comportamento de uma normal, quando aplicado o
TLC.

Propriedade dos estimadores de MQO
sobre a hipótese de normalidade
Considerando que os resíduos possuem uma
distribuição normal, então podemos afirmar sobre os
estimadores que:
1) São não viesados
2) Tem variância mínima.
COMBINANDO 1 COM 2 TEREMOS ESTIMADORES EFICIENTES
3) São Consistentes; à medida que o tamanho da amostra
aumenta indefinidamente, os estimadores convergem para os
verdadeiros valores da população. (Ou seja FRA≈FRP).

4) 𝛽1 ( que é uma função linear de 𝑢_𝑖 ) apresenta
distribuição normal com
Média: E 𝛽1 = 𝛽1
Variância: 𝑣𝑎𝑟 𝛽1 : 𝜎𝛽1
2
=
𝑋𝑖
2
𝑛 𝑥𝑖
2 𝜎2
Ou seja 𝛽1~𝑁 𝛽1, 𝜎𝛽1
2
Pelas propriedades da distribuição normal, a variável Z, que
é definida como:
𝑍 =
𝛽1 − 𝛽1
𝜎𝛽1
Que por sua vez segue uma distribuição normal padrão,
com média zero e variância =1.
𝑍~𝑁(0,1)

5) Como 𝛽2 (sendo uma função linear de 𝑢𝑖) tem
distribuição normal com
Média: E 𝛽2 = 𝛽2
Variância: 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 : 𝜎𝛽2
2
=
𝜎2
𝑥𝑖
2
Ou seja 𝛽2~𝑁 𝛽2, 𝜎𝛽2
2
Pelas propriedades da distribuição normal, a variável Z,
que é definida como:
𝑍 =
𝛽2 − 𝛽2
𝜎𝛽2

Geometricamente podemos representar as
distribuições dos estimadores a partir dos seguintes gráficos:

6) (n-2)( 𝜎2/𝜎2 ) segue a distribuição de 2 (qui-
quadrado) com (n-2) graus de liberdade. Essa informação nos
ajuda a fazer inferência sobre o verdadeira 𝜎2 com base no
seu valor estimado.
7) A distribuição dos ’s são independentes de 𝜎2
.
8) 𝛽1 e 𝛽2 possuem a variância mínima dentro das
classes dos estimadores não viesados, sejam lineares ou não.

MRLS: Estimação de intervalo e testes de hipóteses
A principal ideia da estimação de intervalos lembremos
do resultado da Propensão Marginal a Consumir encontrada a
partir dos dados da Tabela 3.2. O valor de 𝛽2 = 0,51, que
representa uma única estimativa (pontual) do valor
desconhecido da população 𝛽2. A pergunta é: Até que ponto
essa estimativa é CONFIÁVEL? Em Estatística, a confiabilidade
de um estimador pontual é medida por seu ERRO PADRÃO.
Em vez de considerar apenas a estimativa pontual,
podemos construir um intervalo em torno de um estimador
pontual, de dois ou três erros padrão de cada lado do
estimador pontual, de modo que este intervalo tenha, por
exemplo, 95% DE PROBABILIDADE DE INCLUIR O VERDADEIRO
VALOR DO PARÂMETRO. Essa é a ideia que está por trás da
estimação de intervalo.

Um exemplo disso seria supormos que temos dois
números positivos  e , sendo  situado entre 0 e 1, o
elemento a ser encontrado é de que a probabilidade de que o
intervalo aleatório (𝛽2 − 𝛿, 𝛽2 + 𝛿) contenha o verdadeiro
valor de 𝛽2 seja de 1 − 𝛼. Assim:
Pr 𝛽2 − 𝛿 ≤ 𝛽2 ≤ 𝛽2 + 𝛿 = 1 − 𝛼, onde:
1 − 𝛼: Coeficiente de confiança; (se =5%, teremos
95% de confiança de estar corretos).
: Nível de significância.
𝛽2 − 𝛿: Limite inferior de confiança
𝛽2 + 𝛿: Limite superior de confiança.

Intervalos de confiança para 𝜷𝟏 e 𝜷𝟐
Verificamos que, dada a hipótese de normalidade dos
resíduos, teríamos:
𝑍 =
𝛽2 − 𝛽2
𝑒𝑝 𝛽2
=
𝛽2 − 𝛽2 𝑥𝑖
2
𝜎
Assim poderíamos afirmar que:
𝑡 =
𝛽2 − 𝛽2
𝑒𝑝 𝛽2
=
𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 − 𝑃𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟

Nesse caso, em vez de usar uma distribuição normal,
podemos utilizar a distribuição t para estabelecer um
intervalo de confiança para 𝛽2 como abaixo:
Pr(−𝑡𝛼/2 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝛼/2)= 1 − 𝛼
Assim teríamos:
Pr(−𝑡𝛼/2 ≤
𝛽2−𝛽2
𝑒𝑝 𝛽2
≤ 𝑡𝛼/2)= 1 − 𝛼
Que reorganizado nos fornece:
Pr[𝛽2 − 𝑡𝛼
2
𝑒𝑝 𝛽2 ≤ 𝛽2 ≤ 𝛽2 + 𝑡𝛼
2
𝑒𝑝 𝛽2 ] = 1 − 𝛼
Assim o intervalo será: 𝛽2 ± 𝑡𝛼
2
𝑒𝑝 𝛽2

A linha de raciocínio anterior também vale para 𝛽1,
logo:
Pr[𝛽1 − 𝑡𝛼
2
𝑒𝑝 𝛽1 ≤ 𝛽1 ≤ 𝛽1 + 𝑡𝛼
2
𝑒𝑝 𝛽1 ] = 1 − 𝛼
Assim o intervalo será: 𝛽1 ± 𝑡𝛼
2
𝑒𝑝 𝛽1

Vamos consideras os valores encontrados para a
estimativa da PMC da tabela 3.2. Considere os valores de
𝛽2 = 0,509, como temos 10 observações, então o grau de
liberdade será 8. Supondo que =5%, a tabela t mostra para 8
graus de liberdade o valor crítico de 𝑡𝛼/2 = 2,306
Substituindo os valores até então encontrados na
equação abaixo teremos:
𝛽2 ± 𝑡𝛼
2
𝑒𝑝 𝛽2
= 0,509 + 2,306 ∗ 0,0357428 = 0,5914
= 0,509 − 2,306 ∗ 0,0357428 = 0,4266
Logo: 0,4266 ≤ 𝛽2 ≤ 0,5914

Assim, com uma confiança de 95% de estarmos certos,
ou seja, em 95 de 100 casos, os intervalos de 𝛽2 conterão o
verdadeiro 𝛽2.
Para o 𝛽1 teremos:
= 24,45 + 2,306 ∗ 6,41 = 39,23
= 24,45 − 2,306 ∗ 6,41 = 9,67
Logo: 9,67 ≤ 𝛽1 ≤ 39,23

Intervalos de confiança para 𝝈𝟐
(MANHÃ)
O intervalo de confiança para a variância dos resíduos
estará pautado em um distribuição do tipo qui-quadrado onde:
2
= 𝑛 − 2
𝜎2
𝜎2
Que pode ser utilizada para estabelecer o intervalo de
confiança, onde:
Pr 1−
𝛼
2
2
≤ 2 ≤ 𝛼
2
2
= 1 − 𝛼
onde o valor da distribuição 2
no meio dessa dupla desigualdade
é dado pela 1ª Equação acima onde 1−𝛼/2
2
e 𝛼/2
2
são dois valores
de 2 (os valores críticos de 2) obtidos na tabela de qui-quadrado
para n-2 gl, de modo que eles excluem 100(/2)% das áreas
caudais da distribuição de qui-quadrado.

Consultado a tabela qui-quadrado para (n-2) graus de
liberdade (8), teremos o seguintes valores:0,025
2
= 17,5346
e 0,975
2
= 2,1797. Tais valores mostram que a probabilidade
de que um valor 2
superior a 17,5346 e de 2,5% e o de
2,1797 é de 97,5%. Portanto, o intervalo entre esses dois
valores é o intervalo de confiança de 95% para 2
, como o
gráfico a seguir, mas antes, verifiquemos como se consulta o
valor na tabela qui-quadrado.
No slide seguinte temos a apresentação do gráfico da
2.

Se substituirmos o 2
= 𝑛 − 2
𝜎2
𝜎2 em Pr 1−
𝛼
2
2
≤

8 ∗
42,1591
2,1797
= 154,734
8 ∗
42,1591
17,5346
= 19,2347
Assim teremos: 19,23 ≤ 𝜎2 ≤ 154,73
Ou seja, se estabelecermos limites de confiança de 95%
em 𝜎2 e se mantivermos a priori que esses limites incluem o
verdadeiro 𝜎2, estaremos certos 95% das vezes a longo prazo.

Os testes de hipóteses
A pergunto é: Quais as hipóteses devem ser feitas sobre os
estimadores ’s?
Devemos saber se esses estimadores são ou não diferentes
de zero, ou seja, estabelecemos a hipótese nula e alternativa
referente a um valor específico dos betas, a referência então será
dizer que os betas são não significativos, ou seja, serão zero.
𝐻0: 𝛽 = 0
𝐻1: 𝛽 ≠ 0
O 𝛽2 observado é compatível com 𝐻0? Para respondermos
a essa pergunta, voltemos ao intervalo (0,4266;0,5914) conterão,
com 95% de probabilidade de não cometer o erro tipo I, o
verdadeiro valor de 𝛽2 . Quando um teste especifica uma diferença
ela pode ser para mais ou para menos, o que indica dois pontos
distintos, esse é um tipo de TESTE BICAULDAL ou BILATERAL.

Os testes de hipóteses
Consequentemente, a longo prazo (em repetidas
amostras), esses intervalos proporcionam faixas ou limites
dentro dos quais o verdadeiro 𝛽2 pode situar-se com um
coeficiente de confiança de, por exemplo, 95%. O intervalo de
confiança oferece um conjunto de hipóteses nulas plausíveis.
Se 𝛽2 sob 𝐻0 cair no intervalo de confiança de 100(1-)%,
NÃO REJEITAREMOS a hipótese nula; se estiver situada fora
desse intervalo, poderemos rejeita-la. Podemos ver essa faixa
no gráfico a seguir.

Os testes de hipóteses (NOITE)
Teste UNILATERAL ou UNICAUDAL: quando se tem
certeza de que o coeficiente terá um determinado
comportamento, por exemplo, sabemos que o coeficiente de
inclinação da regressão de demanda do consumidor é
negativo, portanto podemos estabelecer uma hipótese sobre
𝛽2 onde:
𝐻0: 𝛽2 < 0
Essa é uma forte expectativa teórica (a priori) sobre o
comportamento da demanda do consumidor, que indica que
aumentos dos preços provocam queda na quantidade
demandada de um bem.

Os testes de hipóteses: a significância do teste
Apesar de válida, a abordagem do intervalo de
confiança é demorada e visualmente complicada de se
mostrar, uma forma rápida e eficiente de se testar hipóteses
estatísticas são pelos testes de significância. O mais
conhecido e comum teste é o teste t de student.
Considerando a premissa da normalidade verificou-se
que:
𝑡 =
𝛽2 − 𝛽2
𝑒𝑝 𝛽2

O teste é feito se avaliando o valor calculado pela
função anterior comparado com o valor tabelado, se o valor
calculado for maior que o tabelado, teremos a rejeição da
hipótese nula H0. Vamos mostrar através de um infográfico o
cálculo da estatística t e sua comparação com o valor
tabelado para o modelo de regressão da propensão marginal
a consumir:
A hipótese aqui testada é a de que Beta 2 é igual a zero,
assim:
𝐻𝑜: 𝛽2 ≠ 0, ou seja, trata-se de uma hipótese bicaudal.
Vejamos o procedimento de rejeição ou não de tal
hipótese:

1º Qual a
Hipótese?
𝐻0: 𝛽2 ≠ 0
O valor do t calculado é:
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
0,51
0,0357
= 14,29
O 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 é
Para 10% = 1,86
Para 5% = 2,306
Para 1%= 3,355
A CONCLUSÃO:
Como o valor de t Tabelado é
Maior que o Calculado,
rejeitamos a Hipótese nula
𝐻0 de que o 𝛽2 = 0

A hipótese pode ser feita também sobre algum tipo de
restrição, vamos usar um exemplo hipotético, imagine que o
coeficiente 𝛽2 de uma função seja = 2,3; e seu erro padrão
seja de 0,32, assim teríamos
𝑡 =
2,3
0,32
= 7,19, que é significativa, ou seja, rejeita-se
H0. Agora imagine que exista uma restrição para essa variável
afirmando que na verdade ela é igual a 0,5, assim nossa
hipótese mudaria para, considere n=13 e =5%:
𝐻0: 𝛽2 = 0,5; originando a seguinte restrição:
𝐻0: 𝛽2 − 0,5 = 0

Dessa forma passamos a testar:
𝑡 =
𝛽2 − 0,5
𝑒𝑝 𝛽2
Assim teríamos:
𝑡 =
2,3 − 0,5
0,32
= 5,625
Pelo resultado acima ainda rejeitamos H0, logo,
podemos concluir que 𝛽2 ≠ 0,5.
O gráfico para uma situação como essa seria algo do
tipo:

Vamos considerar agora o mesmo exemplo, porém na
ótica do teste unilateral para fixarmos tal aplicação e
conceito.
Vamos supor agora que a inclinação seja maior que 0,5,
ou seja, a hipótese a ser testada agora é:
𝐻0: 𝛽2 ≤ 0,5
𝐻1: 𝛽2 > 0,5
Ou seja, a hipótese agora remete apenas a um lado da
distribuição, agora ela possui característica unilateral. O
procedimento para o cálculo de tal hipótese ainda permanece
o mesmo, a única coisa que muda será o valor
correspondente do , considerando o nível de 5%, teremos:

Teste de significância para o 𝝈𝟐
.
Vamos tomar como exemplo o valor calculado para a
variância dos resíduos estimado no modelo da PMC. 𝜎2
=
42,1591 e o grau de liberdade 8. Se postularmos que
𝐻0: 𝜎2
= 85 e 𝐻1: 𝜎2
≠ 85 a equação envolvendo o qui-
quadrado 𝑛 − 2
𝜎2
𝜎2 = 2 nos fornece o teste estatístico para
𝐻0. Substituindo os valores nos parâmetros da fórmula do
qui-quadrado, verificamos que, para 𝐻0 , 2
= 3,97 . Se
assumirmos =5%, os valores críticos de 2 serão 2,1797 e
17,5346. Como o valor do 2 = 3,97 encontra-se dentro
deste intervalo não rejeitamos, portanto, a hipótese nula.

Para avaliar o teste qui-quadrado sobre a variância dos
resíduos devemos considerar:

MRLS: Análise de Regressão e Análise de Variância
Verificamos que
𝑦𝑖
2
= 𝑦𝑖
2
+ 𝑢𝑖
2
= 𝛽2
2
𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑢𝑖
2
Ou seja, SQT=SQE+SQR
Todos esses resultados podem ser organizados em uma
tabela, que é a tabela da ANOVA.

Se preenchermos a tabela anterior com os dados
obtidos no exemplo da seção 3.6, poderemos encontrar uma
importante estatística do MRLS que é a estatística F, assim,
teremos os seguintes resultados:

Aplicação da análise da regressão: o problema da
previsão
Um dos últimos procedimentos do MRLS é verificar a sua
previsão, iremos trabalhar nesse caso com a previsão média e
individual, tendo em vista que são as mais comuns de serem
utilizadas, os procedimentos para tal uso necessitam que o aluno
tenha fixado os conceitos vistos anteriormente sobre variância,
erro padrão e intervalo de confiança.
Vamos então utilizar o mesmo exemplo da propensão
marginal a consumir da seção 3.6, onde o seguinte modelo havia
sido estimado:
𝑌0 = 24,4545 + 0,5091𝑋0
O termo sublinhado zero indica que estamos na etapa
inicial da previsão, ou seja, é o modelo cru. Agora imagine que
queiramos estimar o valor de Y quando X=20, assim:

previsão
𝑌20 = 24,4545 + 0,5091 20
= 34,6365
Algo interessante a ser notado nesse resultado é que,
quando a renda for 20 unidades monetárias, o consumo será
de 34,6365 unidades. Mas em termos de impactos teríamos
que analisar da seguinte forma: um aumento de 20 unidades
monetárias gera um aumento no consumo de 34,6365-
24,4545= 10,182 unidades.
Temos que subtrair o intercepto para fazer a análise de
impacto, pois este se trata de um consumo médio quando
não existe variação, ou seja, o mesmo não pode ser
computado.

previsão
Para trabalhar essa estimativa em termos de intervado
de confiança, teríamos que estimar a variância de Y, ou seja,
𝑣𝑎𝑟 𝑌0 , onde, considerando uma distribuição normal,
teremos:
𝑣𝑎𝑟 𝑌0 = 𝜎2
1
𝑛
+
𝑋0 − 𝑋 2
𝑥𝑖
2
Claro que a 𝜎2
deve ser substituída pelo seu valor
estimado, ou seja, 𝜎2
, o que nos gera:
𝑡 =
𝑌0 − 𝛽1 + 𝛽2𝑋0
𝑒𝑝 𝑌0

previsão
Com isso, o intervalo de confiança a ser formado será o:
Pr 𝛽1 + 𝛽2𝑋0 − 𝑡𝛼
2
𝑒𝑝 𝑌0 ≤ 𝛽1 + 𝛽2𝑋0 ≤ 𝛽1 + 𝛽2𝑋0 + 𝑡𝛼
2
𝑒𝑝 𝑌0 = 1 − 𝛼
Em que o 𝑒𝑝 𝑌0 = 𝑣𝑎𝑟(𝑌0)
Já verificamos que:
𝜎2 =
𝑢𝑖
2
𝑛 − 2
=
337.2727
8
= 42,1591 𝜎 = 6,493
𝑥𝑖
2
= 33000
𝑋 = 170

previsão
Assim temos:
𝑣𝑎𝑟 𝑌0 = 6,493
1
8
+
20 − 170 2
33000
= 5,2387
ep 𝑌0 = 2,29
Com isso podemos calcular o intervalo de confiança
para a projeção que será de:
34,6365 − 2,306 2,29 ≤ 𝐸 𝑌0 𝑋 = 20 ≤ 34,6365 + 2,306(2,29)
29,356 ≤ 𝐸 𝑌0 𝑋 = 20 ≤ 39,917

previsão
Para a individual teremos o seguinte comportamento
no cálculo da variância de Y
𝑣𝑎𝑟 𝑌0 − 𝑌0 = 𝐸 𝑌0 − 𝑌0
2
= 𝜎2
1 +
1
𝑛
+
𝑋0 − 𝑋 2
𝑥𝑖
2
E t será
𝑡 =
𝑌0 − 𝑌0
𝑒𝑝 𝑌0 − 𝑌0
No caso do nosso exemplo verificamos que sua
variância pontual será de 11,73, assim o intervalo de
confiança para 95% para 𝑌0 correspondente a 𝑋0 = 20 é:
(26,74 ≤ 𝑌0|𝑋0 = 20 ≤ 42,53)

previsão
O objetivo é que no final tenhamos um gráfico
semelhante ao que se encontra a seguir:

Aplicação da análise da regressão: Teste de
Normalidade
Um dos principais pressupostos dentro do Modelo de
Regressão linear é a de que os resíduos sejam normais. Logo
após a estimação do modelo de regressão o teste de
normalidade pode ser feito, ou pode ser feito
especificamente, com a variável em questão, nesse caso, os
resíduos.
O teste mais comum de normalidade é o Jarque-Bera
(JB). Ele faz o calculo baseado na assimetria (S) e na curtose
(K) das variáveis.
As características das distribuições normais são de S=0
e K=3.

Aplicação da análise da regressão: Teste de
Normalidade
O teste de JB é dado pela seguinte expressão:
𝐽𝐵 = 𝑛
𝑆2
6
+
𝐾 − 3 2
24
Note que se o pressuposto da normalidade seja
atendido S=0 e K=3, o valor do JB será zero, logo estamos
testando na estatística de Jarque-Bera a seguinte hipótese:
𝐻0: 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
Portanto, o principal resultado da estatística JB é não
rejeitar a hipótese nula.
Vamos ao exemplo da seção 3.6 (PMC) no Gretl.

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