1. Matemática e Xadrez
Rodrigo Romais, Adriana Vietmeier Nicoli

2. 1. Lenda de Sissa
• Sissa, filósofo indiano, teria inventado o jogo de xadrez para
curar o tédio do aborrecido rei Kaíde
• O Rei prometeu uma Recompensa.
• Sissa pediu 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2
pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e assim
sucessivamente, até chegar a 64ª casa.
• O rei ficou espantado perante um pedido que lhe pareceu
tão humilde e acedeu imediatamente à aparente
insignificância deste pedido

3. 1. Lenda de Sissa
• Mas, Feitos os cálculos, verificou-se que todos os tesouros da
Mas qual a quantidade 𝑄 de grãos pedida?
Índia não eram suficientes para pagar a recompensa pedida.
Fazendo 𝑄 a soma dos grãos:
•
𝑄 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯
•
𝑄 = 20 + 21 + 22 + 23 + ⋯ + 263
Ou:
63
então:
𝑄 = �2𝑘
𝑘=0

4. 1. Lenda de Sissa
𝑄 = 264 − 1
• Ou ainda:
𝑄 = 18.446.744.073.709.551.615
• Para ter uma ideia de seu tamanho:
o A produção de trigo no Brasil em 2003 foi de 6.029.396 toneladas
de grãos. Supondo que, em média, mil grãos de trigo tenham
massa de 35 g então seria necessário juntar a produção brasileira
de mais de 107 mil anos para pagar a recompensa.

5. 2. Complexidade do Jogo de Xadrez
• Claude Shannon fez uma estimativa numérica de
possibilidades de jogos que podem ser realizados.
• Uma partida tem em média 40 movimentos para brancas e
(30 × 30)40
pretas, e que em cada movimento média 30 possibilidades.
90040 = 10 𝑥
𝑥 = 40 ∙ log 900
𝑥 ≈ 118,1697
A complexidade do Xadrez atualmente é avaliada em 10123 ,
é estimado entre 4 × 1078 e 6 × 1079 .
•
e como comparação com o número de átomos no universo

6. 3. Possibilidade de Aberturas
• Qual o número de possibilidades de aberturas no jogo de
xadrez?
• O peão ou cavalo podem iniciar uma partida de xadrez.

7. 3. Possibilidade de Aberturas
• O peão pode efetuar o movimento de uma a duas casas,
então cada peão tem duas possibilidades no primeiro
movimento.
• Já o cavalo realiza o movimento em “L” saltando sobre as
peças, também tem duas possibilidades cada um.
Seja 𝑃 o número de possibilidade no movimento inicial.
𝑃 = 2. 𝑝 + 2. 𝑐
•
𝑝 – número de peões
Com:
𝑐 – número de cavalos

8. 3. Possibilidade de Aberturas
𝑃 = 2.8 + 2.2
Então:
𝑃 = 20
• Levando em conta o primeiro movimento, temos 20
possibilidades para brancas e 20 possibilidades para as
𝑃 × 𝑃 = 20 × 20
pretas, logo:
𝑃𝑃 = 400
• Portanto, há 400 possibilidades para o primeiro movimento do
jogo.

9. 3.1 Mobilidade Após Aberturas
• Qual a maior mobilidade de peças após o lance inicial?
• Para isso deve-se analisar cada uma das 20 possibilidades do
primeiro movimento, e respectivamente, calcular o número
de possibilidades do segundo movimento.
𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝒆𝒆 𝒇𝒇 𝒈𝒈 𝒉𝒉 𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝑪
A mobilidade das brancas após o primeiro movimento
𝑎𝑎 = 19 𝑏𝑏 = 21 𝑐𝑐 = 21 𝑑𝑑 = 27 𝑒𝑒 = 30 𝑓𝑓 = 19 𝑔𝑔 = 21 ℎ3 = 19 𝐶𝐶𝐶 = 20 𝐶𝐶𝐶 = 22
𝑎𝑎 = 21 𝑏𝑏 = 21 𝑐𝑐 = 22 𝑑𝑑 = 28 𝑒𝑒 = 30 𝑓𝑓 = 20 𝑔𝑔 = 21 ℎ4 = 21 𝐶𝐶𝐶 = 22 𝐶𝐶𝐶 = 20
De acordo com a Tabela 2, as melhores mobilidades após o
coluna 𝑑 e 𝑒
•
primeiro movimento, concentram-se nas casas do centro, da

10. 3.2 Probabilidade do Mate do Louco
• O xeque-mate do louco fica representado da seguinte
maneira utilizando a notação algébrica:
𝑓𝑓 𝑒𝑒
Brancas Pretas
𝑔𝑔 𝐷𝐷𝐷 + +
1
2
• Este é xeque-mate tem apenas dois movimentos, uma saída
totalmente equivocada das brancas.
• Calculando a probabilidade de cada movimento, sabendo
que o movimento inicial há 20 possibilidades para brancas e
1 1
𝑃1 = ∙
pretas.
20 20
• Onde 𝑃1 é a probabilidade do primeiro movimento.

11. 3.2 Probabilidade do Mate do Louco
• A saída 𝑓3 para as brancas gera 19 possibilidades para o
A saída das pretas na 𝑒6 gera 30 possibilidades, logo:
segundo movimento.
1 1
•
𝑃2 = ∙
19 30
• Onde 𝑃2 é a probabilidade do segundo movimento.
Calculando uma sequencia de mobilidades, conforme
𝑃 𝑡 = 𝑃1 × 𝑃2 × ⋯ × 𝑃 𝑛
•
expressão abaixo:
𝑃 𝑡 - Probabilidade de uma sequencia de jogadas;
Onde:
𝑃1- Probabilidade da primeira jogada;
𝑃2- Probabilidade da segunda jogada;
𝑃 𝑛 -Probabilidade da jogada 𝑛.

12. 3.2 Probabilidade do Mate do Louco
𝑃 𝑡 = 𝑃1 × 𝑃2
• Calculando a probabilidade dos movimentos:
1 1 1 1
𝑃𝑡 = ∙ × ∙
20 20 19 30
• Então a probabilidade para que o xeque-mate do louco
𝑃 𝑡 ≅ 4,4 × 10−6
ocorra é:

13. 4. Oito Rainhas
• Sabendo que a dama movimenta-se em todas as direções
no tabuleiro, nas verticais, horizontais e diagonais:
• Como dispor de 8 damas em um tabuleiro de 64 casas, de
modo que com elas não se ataquem?

14. 4. Oito Rainhas
• Por volta de 1950 o matemático Johann Karl Friedrich Gauss e
o astrônomo Heinrich Schumacher descobriram 12 soluções
fundamentais, nas quais por rotação e reflexão geram até 92
soluções distintas.
• As 12 soluções fundamentais são:
(1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4); (1, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5); (2, 4, 6, 8, 3, 1, 7, 5);
(2, 5, 7, 1, 3, 8, 6, 4); (2, 5, 7, 4, 1, 8, 6, 3); (2, 6, 1, 7, 4, 8, 3, 5);
(2, 6, 8, 3, 1, 4, 7, 5); (2, 7, 3, 6, 8, 5, 1, 4); (2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, 3);
(3, 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6); (3, 5, 8, 4, 1, 7, 2, 6); (3, 6, 2, 5, 8, 1, 7, 4).

15. 4. Oito Rainhas
• A representação numérica indica a posição de cada linha
nas determinadas colunas conforme a figura:
Primeira Solução Fundamental: (1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4)

16. 4. Oito Rainhas
• Reflexão Eixo 𝑦:
Reflexão eixo y(vertical), Solução Fundamental 1

17. 4. Oito Rainhas
• Reflexão Eixo 𝑥:
Reflexão eixo x(horizontal), Solução Fundamental 1

18. 4. Oito Rainhas
• Reflexão Diagonal:
Reflexão diagonal principal, Solução Fundamental 1

19. 4. Oito Rainhas
• Simetria:
Rotação sentido horário, Solução Fundamental 1

20. 5. Travessia do Rei
• Quantas possibilidades o rei pode atravessar o tabuleiro em 7
movimentos?
De quantas maneiras o rei pode ir da 𝑒1 até a 𝑒8?
O Rei inicia o jogo na casa 𝑒1 , e apresenta movimentos
•
•
limitados
• deseja-se calcular o número de possibilidades que o Rei
pode realizar para atravessar o tabuleiro.

21. 5. Travessia do Rei
• Em sete movimentos:
Possibilidades para o rei atravessar o Tabuleiro
• Somando todos os resultados da 8ª linha, encontra-se 1994
possibilidades para o rei atravessar o tabuleiro em 7
movimentos.

22. 6. Problemas de Longitude
• Entendendo que o tabuleiro de xadrez, é considerado um
espaço onde pode calcular áreas e distancias utilizando uma
unidade de medida qualquer
• Pode-se representar uma sequência de movimentos
terminados em mate, como a soma de suas longitudes
geométricas.
• Mas quando a longitude é mínima?
• Tomando uma casa como unidade de área, e um dos lados
como unidade de medida, como representar um movimento
de forma numérica?

23. 6. Problemas de Longitude
• Se o Movimento é na horizontal ou vertical, apenas conta-se
o descolamento das peças
• Torre, deslocou-se da 2ª para a 8ª coluna, então sua
longitude geométrica, equivale a 6.

24. 6. Problemas de Longitude
descolamento das peças, multiplicado por 2.
• Se o Movimento é na diagonal, apenas conta-se o
geométrica equivale a 4 2.
• Bispo deslocou-se da 3ª para a 7ª casa, então sua longitude

25. 6. Problemas de Longitude
descolamento 5.
• Se o Movimento é de cavalo, apenas conta-se o
• Pense que o movimento do Cavalo é a hipotenusa de um
triângulo retângulo de lados 1 e 2.

26. 6. Problemas de Longitude
• O enxadrista E. Bonsdorff propôs uma série de problemas para
o XXXV Torneio de Temas Enxadrísticos (1960-1961).
• Diagrama 1 é uma série de movimentos que termina em
xeque-mate, proposto por Bonsdorff, conforme a Tabela.
𝑑𝑑 𝑒𝑒
Brancas Pretas
𝐷𝐷𝐷 𝑅𝑅𝑅
1
𝐷𝐷𝐷 𝑒𝑒
2
𝐷x𝑒𝑒 + +
3
Então a longitude 𝐿:
4
𝐿 = 1+1+1+1+ 2+1+2
𝐿 = 7 + 2 𝑢. 𝑚.
𝐿 ≈ 8,41 𝑢. 𝑚.

27. 6. Problemas de Longitude
• Diagrama 2 também proposto por Bonsdorff, conforme a
Tabela:
𝑓𝑓 𝑒𝑒
Brancas Pretas
𝑔𝑔 𝐷𝐷𝐷 + +
1
2
𝐿 = 1+1+2+4 2
Realizando a soma das respectivas longitudes:
𝐿 = 4+4 2
𝐿 ≈ 9,66
• Entende-se que, quanto menos for a soma das longitudes
geométricas, mais preciso é o xeque-mate, pois utilizou-se de
um número menor de jogadas.

28. Referências
• RIIHIMAA, O. ; Bonsdorff, E. ; Fabel, K. – Ajedrez y
Matemáticas.
• ROMAIS, Rodrigo; NICOLI, Adriana V. – 2º Ciclo de
Minicursos e Oficinas de Matemática, 2011.