TCC - ROMAIS, Rodrigo. (versão digital UNEMAT-SINOP)

0

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

RODRIGO ROMAIS

APLICAÇÃO DE ALGUNS MÉTODOS NUMÉRICOS DE RUNGE-
KUTTA NA RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
ORDINÁRIA REFERENTE AO PROBLEMA FÍSICO GOVERNADO
PELA LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON

SINOP-MT
2011

1

RODRIGO ROMAIS

APLICAÇÃO DE ALGUNS MÉTODOS NUMÉRICOS DE RUNGE-
KUTTA NA RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
ORDINÁRIA REFERENTE AO PROBLEMA FÍSICO GOVERNADO
PELA LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à
Banca Examinadora do Departamento de
Matemática - UNEMAT, Campus
Universitário de Sinop, como requisito parcial
para a obtenção do título de Licenciado em
Matemática.

Orientadora: Profª. Drª. Darci Peron

SINOP-MT
2011

2

GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

_______________________________________
RODRIGO ROMAIS

Monografia de Projeto Final de Graduação sob título: “APLICAÇÃO DE ALGUNS
MÉTODOS NUMÉRICOS DE RUNGE-KUTTA NA RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL ORDINÁRIA REFERENTE AO PROBLEMA FÍSICO GOVERNADO PELA
LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON”, defendida por Rodrigo Romais em 2011, na
cidade de Sinop, estado de Mato Grosso, pela banca examinadora constituída pelos
professores:

_______________________________________
Prof. Dr. Darci Peron
Orientadora

_______________________________________
Prof. Dr. Miguel Tadayuki Koga
Avaliador

_______________________________________
Prof. Ms. Nadison Luiz Pavan
Avaliador

_______________________________________
Prof(a). Prof. Dr. Darci Peron
Presidente da Banca

Aprovado em _____ / _____ /_____

3

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à minha família, amigos e aos professores do Departamento de
Matemática, que presentes estiveram me apoiando e me incentivando, permitindo a
construção do conhecimento adquirido durante a graduação.

Rodrigo

4

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pela oportunidade da realização deste curso de graduação. Agradeço aos
meus queridos pais, Luciano e Vera, que sempre acreditaram e me deram força para concluir
esta etapa.

Agradeço a professora orientadora Darci Peron, que em meio às dificuldades sempre esteve
presente durante o último semestre da graduação, e aos queridos co-orientadores Rogério dos
Reis Gonçalves e André Luis Christoforo que sempre estiveram me acompanhando desde o
início deste projeto de pesquisa, sempre incentivando para a pesquisa e publicação de
trabalhos.

Agradeço aos meus colegas de sala, em especial a Adriana e Tiago que sempre estiveram
juntos nos estudos e nas demais maluquices.

Por fim, agradeço as demais pessoas, amigos, professores, parentes, que em algum momento,
de uma forma ou outra, estiveram presente e que contribuíram para a busca do conhecimento.

5

EPÍGRAFE

“A vida é aquilo que acontece enquanto fazemos planos para o futuro. Pense globalmente e
atue localmente”.
John Lennon

6

RESUMO

ROMAIS, Rodrigo. “Aplicação de alguns Métodos de Runge-Kutta na resolução de uma
Equação Diferencial Ordinária referente ao problema físico governado pela Lei de
Resfriamento de Newton”. Orientadora: Profª. Drª. Darci Peron. 2011. Trabalho de
Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) - Faculdade de Ciências Exatas.
Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus Universitário de Sinop. 2011.

Métodos numéricos são extremamente úteis na resolução de muitos problemas físicos que são
em geral modelados por equações diferenciais ordinárias, e surgem como alternativa para a
obtenção de resultados que quase sempre não podem ser obtidos por procedimentos analíticos.
Dentre os métodos numéricos utilizados na resolução de equações diferenciais ordinárias
destaca-se os Métodos de Runge-Kutta, pela simplicidade de implementação computacional e,
também, pela facilidade na obtenção das aproximações de suas versões, diferenciando dos
métodos cujo desenvolvimento origina-se da expansão em série de Taylor. Em se tratando da
resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, este trabalho
apresenta e aplica cinco versões do Método de Runge-Kutta na resolução de um problema
governado pela lei de resfriamento de Newton, com solução analítica conhecida, de maneira a
confrontar os resultados numéricos advindos das aproximações com o analítico,
evidenciando-se dentre estes o método mais eficiente. Para a obtenção dos resultados
numéricos, este trabalho utiliza o software Mathcad na versão 2000.

7

ABSTRACT

ROMAIS, Rodrigo. "Application of some methods of Runge-Kutta method to solve an
ODE for the physical problem governed by Newton's Law of Cooling." Advisor: Prof. Dr.
Darci Peron. 2011. Completion of Course Work (Undergraduate Mathematics) - Faculty of
Exact Sciences. University of MatoGrosso, University Campus of Sinop. 2011.

Numerical methods are extremely useful in solving many physical problems that are usually
modeled by ordinary differential equations, and arise as an alternative to obtaining results that
often cannot be obtained by analytical procedures. Among the numerical methods used in
solving ordinary differential equations stands out the Runge-Kutta methods, by computational
simplicity of implementation and also by ease in obtaining approximations of its versions,
differing methods whose development originates from the expansion Taylor series.
Concerning the numerical solution of ordinary differential equations of first order, this paper
aims to present and apply the five versions of Runge-Kutta method to solve a problem
governed by Newton's law of cooling, with known analytical solution, in order to confront
arising from the numerical results with analytical approximations, showing that amongst these
the most efficient method. To obtain the numerical results we use the software Mathcad 2000
version.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – é contínua em quando aproxima-se do ponto ....................... 14
Figura 1.2 – Função descontínua quando = 2; 5; 7......................................... 15
Figura 1.3 – Teorema do Valor Médio................................................................. 16
Figura 1.4 – Equação Diferencial de segunda ordem........................................... 18
Figura 2.1 – Representação do coeficiente angular ( ).................................... 26
Figura 2.2 – Método de Runge-Kutta de 1ª ordem com três partições de
domínio................................................................................................................. 30
Figura 2.3 – Método de Runge-Kutta de 1ª ordem com cinco partições de
domínio................................................................................................................. 30
Figura 3.1 – Representação do problema modelo................................................ 32
Figura 3.2 – Variação de temperatura do corpo (problema modelo)................... 37
Figura 3.3 – Resolução do Método Numérico de Runge-Kutta de 1ª ordem...... 39
Figura 3.4 – Gráfico das aproximações da temperatura para cinco partições no
intervalo de tempo............................................................................................... 40
Figura 3.5 – Gráfico das aproximações da temperatura para dez partições no
intervalo de tempo.............................................................................................. 41
Figura 3.6 – Gráfico das aproximações da temperatura para vinte partições no
intervalo de tempo.............................................................................................. 42
Figura 4.1 – Interface Software Mathcad 2000.................................................. 45
Figura 4.2 – Barra de Menus do Mathcad.......................................................... 46
Figura 4.3 – Barra de menus de operações matemáticas.................................... 47
Figura 4.4 – Algumas Operações....................................................................... 47
Figura 4.5 – Ferramenta para construção de Gráficos........................................ 47
Figura 4.6 – Operações com Matrizes................................................................ 48
Figura 4.7 – Identifica variáveis......................................................................... 48
Figura 4.8 – Cálculo Diferencial e Integral........................................................ 48
Figura 4.9– Comparação de expressões............................................................ 49
Figura 4.10 – Implementação de Algoritmos.................................................... 49
Figura 4.11 – Simbologia grega........................................................................ 49
Figura 4.12 – Operações específicas................................................................. 50

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LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1: Aproximações para cinco partições e o erro encontrado.................... 39
Tabela 3.2: Aproximações para dez partições e erro encontrado.......................... 40
Tabela 3.3: Aproximações para vinte partições e erro encontrado....................... 41

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ED: Equações Diferenciais.
EDO: Equações Diferenciais Ordinárias.
EDP: Equações Diferenciais Parciais.
PVI: Problema de Valor Inicial.
UNEMAT: Universidade do Estado de Mato Grosso.
WYSIWYG: What You Se Is What You Get (o que você vê, é o que você faz).

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................................... 12
1. CONCEITOS INICIAIS ................................................................................. 14
1.1. Continuidade de Função ............................................................................. 14
1.2. Diferenciabilidade ....................................................................................... 16
1.3. Equações Diferenciais ................................................................................. 17
1.3.1. Classificação por Tipo ................................................................................. 17
1.3.2. Classificação por Ordem ............................................................................. 18
1.3.3. Classificação por Linearidade ..................................................................... 20
1.4. Solução de uma EDO .................................................................................. 20
1.4.1. Intervalos de Definição ............................................................................... 21
1.5. Solução de uma EDO ................................................................................. 21
1.6. Problemas de Valor Inicial ......................................................................... 22
2. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA ................................................................. 23
2.1. Método de Runge-Kutta de 1ª Ordem ......................................................... 25
2.6. Compreensão Geométrica do Método de Runge-Kutta .............................. 29
3. PROBLEMA MODELO ................................................................................. 32
3.1. Resolução Analítica Do Problema Modelo ................................................. 34
3.2. Solução Numérica do Problema Modelo .................................................... 38
3.3. Utilização do software Mathcad 2000, para a aplicação do Método de
Runge-Kutta ................................................................................................ 38
3.4. Aproximações Por Cinco Partições Do Domínio ........................................ 39
3.5. Aproximações Por Dez Partições Do Domínio ........................................... 40
3.6. Aproximações Por Vinte Partições Do Domínio ......................................... 41
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 43
BIBLIOGRÁFIA CONSULTADA ...................................................................... 44
APENDICES ........................................................................................................ 45
4. SOFTWARE MATHCAD 2000 ..................................................................... 45
4.1. Barra de Menus ........................................................................................... 46
4.2. Barra de Ferramentas Matemáticas ............................................................ 46
4.3. Um Cálculo Simples ................................................................................... 50
ANEXOS ............................................................................................................. 51

12

INTRODUÇÃO

A resolução de uma equação diferencial ordinária (EDO) pode ser encontrada em aplicações
como reações químicas, decaimento radioativo e corpos em queda. No entanto, nem toda
equação diferencial apresenta solução analítica. Para se contornar esta problemática, surgem
os métodos numéricos.

Em se tratando da resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, destacam-
se os Métodos de Runge-Kutta, devido à relativa facilidade de obtenção dos seus algoritmos,
isto é, de suas aproximações, diferenciando dos métodos que dependem de expansões da série
de Taylor, e também, pela facilidade em que os mesmos apresentam em termos de sua
implementação computacional.

A metodologia desenvolvida neste trabalho é por meio de pesquisa bibliográfica, que consiste
em aplicar a leitura de determinadas referências ao projeto de pesquisa, como trabalhos
científicos e livros publicados conforme descreve Silva & Menezes (2001).

Para o desenvolvimento teórico, as principais fontes bibliográficas analisadas inicialmente
foram: Boyce & Di Prima (1994), Ruggiero (1996) e Zill (2003).

Este trabalho de conclusão de curso tem por objetivo, apresentar e aplicar os Métodos de
Runge-Kutta de primeira, segunda, terceira, quarta e quinta ordem na resolução de um
problema referente ao estudo da lei de resfriamento de Newton cuja variação da temperatura
de um corpo exposto a um ambiente termicamente controlado, de maneira a se constatar
dentre os métodos aproximados, aquele que mostrou ser o mais eficiente, além de motivar os
acadêmicos da área de exatas da UNEMAT ao estudo analítico e numérico de equações
diferenciais, mediante a importância das suas aplicações.

Para a obtenção de aproximações de ordens superiores segundo a expansão em séries de
Taylor, o procedimento algébrico utilizado na determinação dos algoritmos torna-se cada vez
mais complexo, havendo necessidade de obter derivadas de ordens superiores, mas para os

13

métodos numéricos de Runge-Kutta, a série é truncada na ordem de interesse, conforme
Ruggiero (1996).

O Mathcad, na versão 2000 é o software utilizado no desenvolvimento da pesquisa, desde a
simulação do problema modelo até o cálculo dos algoritmos das diversas ordens dos métodos
de Runge-Kutta com as condições de interesse.

Este Trabalho de Conclusão de Curso está estruturado da seguinte maneira, no primeiro
capítulo relembramos alguns conceitos iniciais para a compreensão das equações diferenciais,
como continuidade de uma função, diferenciabilidade, e a resolução de um problema de valor
inicial (PVI).

O segundo capítulo traz uma apresentação das cinco versões do método de Runge-Kutta, cujo
procedimento numérico destaca uma precisão tão boa quanto resultados advindos da série de
Taylor.

O Terceiro capítulo apresenta o problema modelo e as respectivas soluções, a analítica e as
numéricas. Com a solução analítica conhecida do problema, finalmente é comparada com as
soluções numéricas, evidenciando o erro gerado através das aproximações, destacando dentre
os cinco métodos de Runge-Kutta o mais eficiente.

O quarto capítulo traz uma apresentação do software Mathcad 2000, com alguns comandos e
operações básicas, de modo que, fique um pouco mais claro como foram obtidos as
aproximações do método, a resolução analítica do ponto de interesse do problema modelo e os
respectivos cálculos de erro.

14

1. CONCEITOS INICIAIS

1.1. Continuidade de Função

Seja uma função, ela é dita continua se satisfaz a seguinte definição conforme Stewart
(2006):

Definição 1.1: Função Contínua.
Uma função é contínua em um ponto se:
lim ( ) = ( )

Implicitamente a definição acima requer algumas regras, para que seja contínua em :

i) ( ) está definida se o ponto pertence ao domínio de .
ii) O lim ( ) existe.
iii) lim ( )= ( )

Segundo definição, é contínua em , se ( ) tender a ( ), quando aproxima-se de .

Geometricamente, se for contínua, então, sobre o gráfico de o conjunto de pontos
( , ( )) tendem ao ponto ( , ( )) conforme Figura 1.1 a seguir.

Figura 1.1 - é contínua em quando aproxima-se do ponto .

15

Portanto, é contínua em todo ponto contido no domínio.

Em se tratando de fenômenos físicos geralmente são governados por comportamentos
contínuos, como funções deslocamento ou velocidade, nas quais variam continuamente em
funções do tempo.

Se está definida próximo do ponto , isto é, se está definida em um intervalo aberto
contendo , exceto possivelmente em , então é descontínua em . A Figura 1.2 mostra
uma descontinuidade de uma função , nos quais vários pontos são descontínuos.

Figura 1.2 – Função descontínua quando = 2; 5; 7.

Quando = 2, há uma descontinuidade por haver um buraco na função, a razão para isso
ocorrer está em (2) não ser definida pelo domínio da função.

No gráfico observamos uma quebra, ou um salto quando = 5, a razão para tal
descontinuidade é que (3) está definida no domínio de , e o lim ( ) não existe, pois os
limites laterais, esquerdo e direito são divergentes, portanto não há limite da função no ponto.

E quando = 7, (7) é definida, e lim ( )existe, pois os limites direito e esquerdo são
iguais. Mas lim ( ) (7), logo é descontínua também quando = 7.

16

1.2. Diferenciabilidade

Uma função é dita derivável ou diferenciável se existir derivadas em todo ponto do domínio
da função, sabendo que é sempre contínua em todo intervalo , de acordo com ZILL (2003):

Definição 1.2: Função Derivável.
A função derivável de em é dita constante se e somente se a ’ for
igual a zero.
A função derivável de em é dita crescente se e somente se for
maior ou igual à zero em todos os pontos do domínio.

A definição acima só é válida graças ao Teorema de Lagrange, ou Teorema do Valor Médio,
no qual afirma que dada função contínua num intervalo fechado [ , ] é diferenciável em
( , ) e existe algum ponto contido em ( , ) tal que:
( ) ( )
( )=

Figura 1.3 – Teorema do Valor Médio

Geometricamente conforme Figura 1.3, a função derivada ou tangente ( ) é paralela à
secante que passa pelos pontos de abcissas e .

17

1.3. Equações Diferenciais

Uma das melhores formas de conceituar equações diferenciais pode ser conforme Zill (2003):

Definição 1.3: Equação Diferencial.
Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais
variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é
chamada de Equação Diferencial (ED).

As Equações Diferenciais podem ser classificadas por tipo, ordem e linearidade.

1.3.1. Classificação por Tipo

Se uma equação contiver apenas derivadas ordinárias, com uma ou mais variáveis
dependentes em relação a uma única variável independente, ela é dita equação diferencial
ordinária (EDO).

Alguns exemplos de equações diferenciais ordinárias:

+3 =

+6 =0

+ = +

Uma equação que envolve derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas
ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP).
Alguns exemplos de equações diferenciais parciais:

+ =0

= 4

18

=

As derivadas apresentadas ao longo deste e dos demais capítulos terá como notação de

Leibniz 1 , , ou a notação de linha: , , .

1.3.2. Classificação por Ordem

A ordem de uma EDO ou EDP está na maior derivada encontrada na equação conforme
Figura 1.4:

Figura 1.4 – Equação Diferencial de segunda ordem

O primeiro termo da equação diferencial apresenta derivada de ordem dois, portanto é dita
uma equação diferencial de segunda ordem.

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem ocasionalmente são escritas na seguinte
forma diferencial conforme equação (1.1):

( , ) + ( , ) =0 (1.1)

No exemplo seguir, supondo que seja a variável dependente:

( ) +4 =0

Com:
1
Notação de Leibniz: Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), considerado pai do cálculo moderno,
inicialmente usa a notação e para representar termos infinitesimais, ou para representar termos
extremamente pequenos de e , em que y é uma função de .

19

=

De forma alternativa a expressão fica representada:

4 + =

Em geral, uma equação diferencial ordinária de ordem , toma a seguinte forma conforme
equação (1.2):

( )
, , ,…, =0 (1.2)

( ) ( )
Onde F é um função de valores reais com + 2 variáveis, , , ,…, , e onde =
( ) ( )
/ , por questões práticas de resolução deste tipo de equação, resolve-se sempre que
possível uma equação diferencial ordinária conforme (1.2), de forma única, para que a
( )
derivada mais alta escreva-se em termos das + 1 variáveis remanescentes.

A equação diferencial (1.3):

( )
( )
( )
= , , ,…, (1.3)

Onde é uma função contínua de valores reais. Por convenção utiliza-se a seguinte forma
normal em (1.4) e (1.5)

= ( , ) (1.4)

= ( , , ) (1.5)

Para representar equações diferenciais ordinárias gerais de primeira ou de segunda ordem. Do
exemplo anterior 4 + = a forma normal da equação diferencial de primeira ordem é:
=( )/4 .

20

1.3.3. Classificação por Linearidade

Uma equação diferencial de ordem , é dita linear, equação (1.2), se for linear em
, ,… . Significa que, uma EDO de n-ésima ordem é linear quando da equação (1.2) for
da forma, conforme equação (1.6):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( )
+ + + + (1.6)

Onde:
, ,…, , : são coeficientes lineares de uma EDO.
( ): função contínua linear.

A equação (1.6) apresenta todas as características de uma equação diferencial linear, uma que
a variável dependente e todas as derivadas apresentam ordem um. Outra que, cada coeficiente
no máximo depende da variável independente .

Alguns exemplos:
( ) +4 =0
2 + =0

+ 5 =

Respectivamente são equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e terceira
ordem.

1.4. Solução de uma EDO

Uma solução de uma equação diferencial ordinária de ordem de acordo com a equação (1.2)
é uma função que tem pelo menos derivadas, no qual satisfaça:

, ( ), ( ), … , ( ) =0

21

Para todo pertencente a , assim a função satisfaz a equação diferencial em .

Sabendo que nem toda equação diferencial apresenta solução analítica, mas havendo solução
podemos defini-la conforme Zill (2006):

Definição 1.4: Solução de uma Equação Diferencial Ordinária.
Toda função , definida em um intervalo que tem pelo menos
derivadas contínuas em , as quais quando substituídas em uma equação
diferencial ordinária de ordem reduzem a equação a uma identidade, é
denominada uma solução da equação diferencial no intervalo.

1.4.1. Intervalos de Definição

Tratando-se de solução de uma equação diferencial ordinária,faz-se necessário relacioná-la ao
seu intervalo. Um intervalo da Definição 1.4 pode ser chamado de intervalo de validade de
definição, intervalo de existência, intervalo de validade ou domínio da solução, seja um
intervalo aberto ( , ), ou fechado [ , ], um intervalo infinito ( , ), e assim por diante.

1.5. Soluções numéricas de uma EDO

As equações diferenciais ordinárias geralmente são governadas por modelos que descrevem
quantitativamente fenômenos de diversos seguimentos, como mecânica dos fluidos, fluxo de
calor, corpos em queda, reações químicas, decaimento radioativo, economia, biologia etc.
Se uma equação de ordem , logo a expressão apresenta derivadas de ordem 1 e se na
equação são especificadas características em um mesmo ponto, isto é, ao problema modelo é
dado algumas condições para que exista uma possível solução, caracteriza-se então, um
problema de valor inicial (PVI).

22

1.6. Problemas de Valor Inicial

Sabendo que nem toda EDO apresenta solução analítica para determinado problema e para
contornar esta problemática surgem os métodos numéricos para estimar as respectivas
soluções aproximadas. A razão mais forte para a aplicação de tais métodos numéricos para
aproximar soluções de problemas de valor inicial (PVI) está na dificuldade de se encontrar
analiticamente as soluções de uma equação. Em muitos casos a teoria garante existência e
unicidade de solução, mas para um PVI nem sempre se torna viável.

= ( , )
Dado o PVI:
( )=

Seja , ,..., , de modo que sejam igualmente espaçados, isto é, = , com
= 0, 1, 2, …, para realizar as aproximações fazendo cada vez mais próximo de ( ),
utilizando as informações anteriores.

O Método de Runge-Kutta é considerado um método numérico de passo um ou de passo
simples, no qual, a interação depende apenas de sua interação anterior .

Se, para calcular usa-se somente , então o problema de valor inicial utiliza um método
de passo um. Mas e se o problema utilizar mais valores, o caso se expande e a utilização cabe
a um método de passo múltiplo.

Por se tratar de um PVI de primeira ordem e dada uma condição ou aproximação inicial
( ), na qual se torna possível encontrar solução. Os métodos de passo umsão classificados
como auto iniciantes. Já os métodos de passos múltiplos já dependem de artifícios (como usar
métodos de passo simples) para encontrar as aproximações iniciais necessárias.

Algumas características de um método de passo um ou passo simples:
i) Calcular o valor de ( , ) em muitos pontos;
ii) Calcular as derivadas em muitos pontos;
iii) Dificuldade em estimar o erro.

23

2. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

Por volta do início do século XX, Carl Runge (1856 - 1927) e Max Wilhelm Kutta (1867 -
1944) iniciaram os estudos sobre resoluções alternativas de equações diferenciais, na qual as
maiorias dessas equações não podem ser resolvidas por meios analíticos, a grande saída
estava no estudo da interação numérica, e tornou-se popular devido suas propriedades e sua
fácil utilização. O Método de Runge-Kutta tem sido considerado como uma generalização das
regras de interação

As primeiras equações diferenciais são tão antigas quanto o cálculo diferencial. Newton, em
1671, discutiu uma solução das equações diferenciais por meio de integração e expansão de
series. Leibniz chegou às equações diferenciais por volta de 1676, deparando-se a um
problema geométrico do “inverso das tangentes”: tomando uma curva ( ) a tangente a cada
ponto tem um comprimento constante, com o eixo dos ,chamando-o de . Este problema
gerou a seguinte equação diferencial:

=

Basicamente, o desenvolvimento e consequentemente, a melhoria das aproximações de
métodos numéricos aplicados na resolução de equações diferenciais ordinárias fundamentam-
se em séries de Taylor, cuja melhoria das aproximações ficam atreladas ao termo do
truncamento da mesma. Para resolução de EDO´s de primeira ordem segundo esta
metodologia, destacam-se os métodos de Eüler e Eüler Melhorado, cujas aproximações são
definidas mediante o truncamento dos termos de primeira e segunda ordem da série
respectivamente. Para a obtenção de aproximações de ordem superior segundo a expansão em
séries de Taylor, o procedimento algébrico utilizado na determinação dos algoritmos se torna
cada vez mais complexo, havendo necessidade de obter derivadas de ordens superiores.

A Série de Taylor é uma Série de Potências conforme pela equação (2.1):

24

( )= ( ) (2.1)

Na qual a sequência é dada por:

( )( )
=
!

Em outras palavras a Série de Taylor é uma expansão de funções em torno de um único ponto,
no qual é convergente. Da equação (2.1) pode-se expandir para:

( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) = ( )( ) + + + +
1! 2! !

Em que a função é o centro da série, e pode ser encarada como uma função Real ou
Complexa.

Os Métodos de Runge-Kutta evitam essas dificuldades, utilizando expressões menos
“complicadas” e fornecendo precisão igual ao da expansão da série de Taylor de mesma
ordem.

A expressão geral do método de Runge-Kutta de ordem m é expressa pela equação (2.2).

= + . (2.2)

Com variando de 0 a 1,em que:
j – são constantes para cada método de ordem ;

1 – . ( i , i);

j – . ( i+ j. , + ( , . ), sendo pj e j,l , constantes para cada método de
ordem , para > 1.

25

Em geral, os métodos de Runge-Kutta de ordem se caracterizam por três propriedades
básicas:

i) São de passo um;
ii) Não exigem o cálculo de qualquer derivada de ( , ); em contra
partida, pagam por calcular ( , ) em vários pontos;
iii) Após expandir ( , ) pela série de Taylor utilizando uma função de
duas variáveis em torno de ( , ) e agrupar os termos semelhantes, sua
expressão coincide com a do método de série de Taylor de mesma ordem.

Em seguida serão apresentadas as cinco versões do método de Runge-Kutta. Nos quais,
detalhes sobre o método podem ser encontrados também nos trabalhos de Romais (2009) e
Ruggiero (1996), como também sobre as referentes equações diferencias com aplicações em
Boyce & DiPrima (1994) e Zill(2003).

2.1. Método de Runge-Kutta de 1a Ordem

O método satisfaz as três propriedades anteriores, com = 1.
Seja a EDO ’ = ( , ), com condições iniciais 0e = ( ), e tomando ( )=
( , ), assim a reta que passa por ( , ) com coeficiente angular ( ), a reta ( )é
conhecida:
( )= ( )+( ) ( )

Seja o tamanho do intervalo das iterações, com = , e ( ) = ( )=
+ ( )

Assim sucessivamente, repetindo o processo para ( , )e = + ( , )o método de
Runge-Kutta de primeira ordem pode ser representado por:

= + ( , )

26

Com = 0, 1, 2, …

Figura 2.1 – Representação do coeficiente angular ( )

A Figura 2.1 é o comportamento geométrico do método de Euler (Runge-Kutta de primeira
ordem), em que é a inclinação da reta tangente, derivada, no ponto indicado.

De acordo com equação (2.2), o método de Runge-Kutta de primeira ordem, que também é
conhecida por Método de Euler, e pode ser representado conforme equação (2.3):

= + . (2.3)

Em que:
1 – uma constante para o método de ordem 1;
– iteração anterior, ou passo inicial se = 0;

1– ( i, i);
Com variando de 0 até – 1.


Pelo mesmo procedimento utilizado na dedução anterior da expressão do método de Runge-
Kutta de ordem um, a equação (2.4) representa o método de segunda ordem, também
conhecida como método de Euler Melhorado ou método de Heun, por expansão da série de

27

Taylor:
= + + (2.4)
Em que:

1 = 2 = ;

1= ( i, i);
2 = ( i+ 2 , i+ 2,1 1) = ( i + , i+ 1);

2= 1 2,1 = 2.


Adotando o mesmo procedimento de dedução da expressão do método anterior, a forma geral
para Runge-Kutta de terceira ordem conforme equação (2.5) é:

= + + + (2.5)

Em que:
1= ( i, i);

2 = ( i+ , i+ );

3= ( i+ , i+ 3 );



Consistem em encontrar constantes apropriadas de tal forma que a fórmula coincida com um
polinômio de Taylor de grau quatro, o que resulta em 11 equações e 13 incógnitas.

= + + + +

28

Este é um dos mais utilizados dos métodos numéricos desta categoria, pela precisão de
resultados que apresenta, e, principalmente, devido à simplicidade da expressão do método de
ordem quatro, cujo conjunto de valores mais comum para as constantes = , = , = e

= , conforme representado na equação (2.6).

1
= + ( +2 +2 + ) (2.6)
6

Em que:
1= ( i, i);

2 = ( i+ , i+ );

3= ( i+ , i+ );

4= ( i+ , i+ 3);



Este método é pouco usado, principalmente devido à expressão utilizada, pouco mais
complicada que a expressão do método anterior, e não apresenta grandes vantagens em
relação ao método de quarta ordem. Sua expressão é:

1
= + (7 + 32 + 12 + 32 +7 ) (2.7)
90

Com variando de 0 até – 1, em que:

1= ( i, i);

2= ( i+ , i+ );

3= ( i+ , i+ + );

29

4= ( i+ , i– + 3);

5= ( i+ , i+ + );

6= ( i+ , i + + – + ).


Geralmente, as aplicações dos métodos de Runge-Kutta findam-se até na aplicação dos
métodos de ordem quatro, pois o método de quinta ordem oferece uma precisão melhor,
porém, com poucas modificações ao anterior, exigindo um trabalho computacional maior.
Portanto, o método de Runge-Kutta de ordem cinco é pouco utilizado em aplicações
numéricas.

2.6. Compreensão Geométrica do Método de Runge-Kutta.

Conforme aumenta a ordem do método de Runge-Kutta, consequentemente, aumenta a
precisão do método, isto é, os valores aproximados obtidos ficam mais próximos da solução
analítica e o erro tende a ficar menor e próximo de zero.

Outro procedimento para obter aproximações melhores com o método de Runge-Kutta é
aumentando o número de partições do domínio, quanto maior for o número de subdivisões do
eixo das abcissas, mais próximo estará a solução aproximada da função analítica.

Seja uma qualquer que gere a uma solução analítica , e que seja aplicado o método de
Runge-Kutta de primeira ordem com algumas partições de domínio pré-definidas, em que:
= = = =

Portanto:
=

Em que:
- é o tamanho do passo

30

; ;… – são os passos pré-definidos para calcular as respectivas introduções.

A Figura 2.2 representa a aplicação do método de Runge-Kutta de primeira ordem com três
partições de domínio sobre curva de uma função com solução analítica conhecida .

Figura 2.2 – Método de Runge-Kutta de 1ª ordem com três partições de domínio.

Basicamente, o método calcula a função derivada 2 em cada ponto da curva, e respectivamente
as projeções para obtenção dos resultados aproximados.

Ao observar a Figura 2.3, podemos fazer alguns apontamentos.

Figura 2.3 – Método de Runge-Kutta de 1ª ordem com cinco partições de domínio.

Se aumentarmos o número de partições de domínio, consequentemente melhoramos a
precisão do método conforme Figura 2.3.

2
Função derivada: O resultado de uma função derivada em um ponto qualquer é a inclinação da reta tangente.
Com essa inclinação da reta é possível fazer as respectivas projeções para o método de Runge-Kutta de ordem .

31

Podemos afirmar que, de fato a solução aproximada tende a solução analítica, conforme vai-se
aumentando o número de partições, pois as inclinações das retas tangentes vão se ajustando a
curva da função de solução analítica.

32

3. PROBLEMA MODELO

O problema modelo escolhido para validar nossos estudos refere-se à lei de resfriamento de
Newton, a qual analisa a relação entre a velocidade de resfriamento de um corpo e a variação
de temperatura do meio que o mesmo se encontra.

Estudos preliminares nos mostram que esta velocidade de resfriamento é diretamente
proporcional à diferença das temperaturas, sendo elas, a temperatura do meio (ou temperatura
ambiente), a qual se mantém constante, e a temperatura do corpo, que tende a perder calor
para o meio até estabelecer um equilíbrio térmico 3 com o mesmo.

O problema modelo conforme Figura 3.1 é governado por uma equação diferencial linear de
primeira conforme equação (3.1), e uma equação diferencial de primeira ordem é toda
equação do tipo:

( ) + P(t) y(t) = Q(t) (3.1)

Em que:
( ) – função incógnita ou solução da EDO;
’( ) – derivada da função incógnita;
( ) – função da variável independente ;
( ) – função da variável independente .

Figura 3.1- Representação do problema modelo.

3
Princípio do equilíbrio térmico: quando dois ou mais corpos estiverem em contato trocarão calor entre si até
atingirem o equilíbrio térmico

33

A lei do resfriamento de Newton é contemplada pelo modelo, conforme equação (3.2):

= ( ) (3.2)

O sinal negativo na equação (3.2) indica que, se a temperatura for superior a m, então o
corpo perde temperatura para o meio (taxa de variação negativa), caso contrário, o corpo
ganha temperatura do meio (taxa de variação positiva).

Em que:
– temperatura do corpo variável ao longo do tempo (função incógnita);
’ – derivada primeira da função incógnita em relação ao tempo;
m – temperatura do meio (constante);
– coeficiente de proporcionalidade (expresso em valor absoluto).

Algumas considerações a serem ressaltadas sobre o modelo, conforme equação (3.2):

A taxa de resfriamento ( ) depende de alguns fatores:

i) Diferença de temperatura de um corpo como o meio externo.
Inicialmente ;
ii) A superfície do corpo exposta;
iii) O Calor específico da substância que o constitui;
iv) As condições do ambiente no qual o corpo foi submergido;
v) O tempo que o corpo permanece em contato com o ambiente.

Quanto ao Coeficiente , depende de alguns fatores:

i) Superfície Exposta: pode-se verificar que quanto maior for a superfície
de contato (ou grau de partição) entre o corpo e o ambiente, maior será a
rapidez de resfriamento/aquecimento
ii) Calor Específico do Corpo (c): Quanto maior for o valor do calor

34

específico de um corpo, tanto maior será quantidade de energia necessária para
variar a sua temperatura. Então, se dois corpos receberem a mesma quantidade
de energia num mesmo intervalo de tempo, aquele com maior calor específico
apresentará menor velocidade de resfriamento/aquecimento.
iii) Características do Meio: Assim como as características do corpo, as do
meio também são relevantes. Se o corpo estiver em contato com o ar, que é
considerado um bom isolante térmico, mais lento serão os processos de
resfriamento/aquecimento deste corpo, se comparado quando este estiver em
contato com o meio refrigerado, pois a condutividade do meio refrigerado
deverá ser maior que a do ar, no qual o corpo estava exposto.

O problema modelo aqui proposto procura, definidos a temperatura do meio = 5º , a
temperatura inicial do objeto ( =0 ) = 60º (condição inicial) e a sua temperatura
decorridos 10 minutos ( = 10 ) = 40º , encontrar inicialmente o valor para a
constante k do objeto e consequentemente, a sua temperatura decorridos 22 minutos, com o
auxílio da técnica do fator integrante (método analítico) assim como com das versões do
método Runge-Kutta.

3.1. RESOLUÇÃO ANALÍTICA DO PROBLEMA MODELO

A equação (3.2) pode ser reescrita de acordo com equação (3.3).

( )+ ( ) ( )= ( ) (3.3)

Fazendo analogia entre a equação (3.3) com a equação (3.1), constata-se que:

( ) = (3.4)
( ) = (3.5)

A solução da equação (3.2) segundo a técnica do fator integrante é expressa pela Equação
(3.6).

35

1
( )= ( ) + (3.6)

Da equação (3.6), a função ( ) é dada por:

( )
= (3.7)

Substituindo as equações (3.4), (3.5) e (3.7) na Equação (3.6) e, realizando-se algumas
operações algébricas, tem-se:

.
( )= +

.
( )= . +

Com:
=
=

Assim:
1
( )= +

( )= [ + ]
( )= + (3.8)

A equação (3.8) é solução geral da EDO. Como condição inicial admitimos que quando o
tempo é igual a zero, a temperatura do corpo é , e dessa forma, a solução particular da
equação (3.2) fica expressa por:

= +
=

Substituindo na equação (3.8):

( )= +( )

36

( )= +

Encontra-se a solução particular do problema para = 0, ( = 0) = 0 conforme (3.9):

( )= (1 )+ (3.9)

Do problema modelo é conhecido que a temperatura inicial do corpo 0= 60º e que a sua
temperatura após 10 minutos é de ( = 10 ) = 40º , pode-se agora encontrar o valor
da constante , assim como expressa a equação (3.10).

40 = 5 (1 ) + 60
40 = 5 5 + 60
40 = 5 + 55
35 = 55
35
=
55

Aplicando a propriedade de logaritmo na equação:

35
ln = ln
55
ln 35 ln 55 = 10
ln 55 ln 35
= (3.10)
10

Conhecido o valor de , a função de temperatura do corpo fica expressa pela equação (3.11):

( )=5 1 + 60 (3.11)

A Figura 3.2 ilustra a variação de temperatura na barra ao longo do tempo.

37

.

Figura 3.2 - Variação de temperatura do corpo (problema modelo)

Para o instante = 22 , a solução analítica da temperatura do corpo segundo a equação
(3.11) é equivalente à:
( = 22min) = 25.347659907 º

Analisando as equações (3.8) e (3.9) pode-se chegar a uma maneira alternativa da equação
(3.11):
( ) = 5 + 55

Aplicando o Limite na função :
=0

Podemos constatar que:
lim ( ) = 5

Assim, o limite da função ( ) quanto tende ao infinito é equivalente a 5ºC, isto é, quanto
maior for o tempo que a barra de ferro estiver em contato com o meio refrigerado, mais
próximo estará sua temperatura da temperatura do meio.

Na sequência deseja-se estimar aproximações utilizando os métodos de Runge-Kutta de
primeira, segunda, terceira, quarta e quinta ordem, de modo a comparar resultados das
iterações com a solução analítica encontrada, estimando o erro e evidenciando dentre eles o
método com melhor precisão.

38

3.2. Solução Numérica do Problema Modelo

Para a verificação do erro gerado em todas as aproximações geradas pelos cinco métodos de
Runge-Kutta, será utilizada a medida de erro percentual relativo, assim como expressa a
equação (3.12).

= 100 (3.12)

Em que:
An – Solução Analítica do problema modelo;
Ap– Solução Aproximada do problema modelo.

Ressaltando que o erro relativo é pré-definido, em cada situação é analisado a aplicação do
problema modelo para estipular uma margem de erro. Como estamos tratando de uma
aplicação termométrica, em que os resultados obtidos são em graus centígrados (ºC), então
não se faz por necessário uma rigorosidade numérica quanto à precisão do método.

Para a verificação das aproximações segundo as versões de Runge-Kutta, aqui são utilizadas
respectivamente 5, 10 e 20 partições no intervalo do problema modelo que varia de 10 a 22
minutos, lembrando que temperatura de interesse é referente ao tempo de 22 ,

3.3. Utilização do software Mathcad 2000, para a aplicação do Método de Runge-
Kutta.

A Figura 3.3 indica a resolução do método de Runge-Kutta de primeira ordem utilizando dez
partições de domínio e a solução analítica do problema modelo referente ao resfriamento de
Newton utilizando o software Mathcad 2000, conforme anexos.

39

Figura 3.3 – Resolução do Método Numérico de Runge-Kutta de 1ª ordem.

Do lado esquerdo da interface do Mathcad encontra-se a solução numérica do problema
modelo e as dez iterações calculadas para Runge-Kutta de ordem um. Ao lado direito, cabe a
resolução analítica do problema e a análise do erro, em porcentagem, no qual é obtido entre a
comparação do método numérico para dez partições de domínio e a solução analítica do
modelo.

3.4. Aproximações Por Cinco Partições Do Domínio

A Tabela 3.1 apresenta os valores das aproximações para os cinco métodos de Runge-Kutta
considerando-se cinco partições no intervalo de tempo de interesse.

Tabela 3.1- Aproximações para cinco partições e o erro encontrado.
1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem
10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000
12,4 36,203324961 36,073153245 36,401803839 36,402005767 36,402001476
14,8 32,818499674 32,885269528 33,173522409 33,173884749 33,173877048
17,2 29,800848150 30,024439925 30,277126404 30,277614039 30,277603675
19,6 27,110540689 27,457111019 27,678496141 27,679079482 27,679067083
22 24,712068176 25,153171732 25,347019634 25,347673848 25,347659943
Erro(%) , , , , ,

40

A Figura 3.4 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

40
39
38 1ª Ordem
37 2ª Ordem
36
35 3ª Ordem
34
Temperatura ºC

4ª Ordem
33
32 5ª Ordem
31
30
29
28
27
26
25
24
23 Tempo (min)
22
10 12 14 16 18 20 22

Figura 3.4 - Gráfico das aproximações da temperatura para cinco partições no intervalo de tempo.

3.5. Aproximações Por Dez Partições Do Domínio

A Tabela 3.2 abaixo apresenta os valores das aproximações para os cinco métodos de Runge-
Kutta considerando-se dez partições no intervalo de tempo de interesse.

Tabela 3.2 - Aproximações para dez partições e erro encontrado.
10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000
11,2 38,101662480 38,069119551 38,152212950 38,152225570 38,152225435
12,4 36,306287399 36,324150643 36,401977813 36,402001722 36,402001465
13,6 34,608290257 34,671259072 34,744144443 34,744178412 34,744178047
14,8 33,002389448 33,105586165 33,173834588 33,173877489 33,173877028
16 31,483589833 31,622529625 31,686427539 31,686478334 31,686477789
17,2 30,047167198 30,217730008 30,277546532 30,277604269 30,277603649
18,4 28,688653562 28,887057907 28,943045871 28,943109674 28,943108989
19,6 27,403823281 27,626601810 27,678998725 27,679067794 27,679067052
20,8 26,188679900 26,432656607 26,481685578 26,481759177 26,481758387
22 25,039443727 25,301712695 25,347583280 25,347660740 25,347659908
Erro(%) , , , , ,

A Figura 3.5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para os cinco métodos.

41

40
1ª Ordem
38
2ª Ordem
36
3ª Ordem
34
4ª Ordem
Temperatura ºC
32
5ª Ordem
30
28
26
24
22 Tempo (min)
20
10 12 14 16 18 20 22

Figura 3.5 - Gráfico das aproximações da temperatura para dez partições no intervalo de tempo.

3.6. Aproximações Por Vinte Partições Do Domínio

A Tabela 3.3 abaixo apresenta os valores das aproximações para os cinco métodos de Runge-
Kutta considerando-se vinte partições no intervalo de tempo de interesse.

Tabela 3.3 - Aproximações para vinte partições e erro encontrado.
10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000
10,6 39,050831240 39,042695508 39,063585201 39,063585990 39,063585986
11,2 38,127403090 38,132006273 38,152223907 38,152225443 38,152225434
11,8 37,229017487 37,245679237 37,265245819 37,265248061 37,265248049
12,4 36,354995299 36,383062675 36,401998572 36,402001480 36,402001465
13 35,504675814 35,543522301 35,561847252 35,561850791 35,561850772
13,6 34,677416233 34,726440794 34,744173937 34,744178069 34,744178047
14,2 33,872591194 33,931217348 33,948377232 33,948381925 33,948381899
14,8 33,089592292 33,157267231 33,173871837 33,173877056 33,173877028
15,4 32,327827621 32,404021351 32,420088108 32,420093822 32,420093791
16 31,586721328 31,670925841 31,686471642 31,686477822 31,686477788
16,6 30,865713176 30,957441650 30,972482871 30,972489487 30,972489451
17,2 30,164258122 30,263044150 30,277596662 30,277603686 30,277603648
17,8 29,481825903 29,587222744 29,601301931 29,601309337 29,601309297
18,4 28,817900636 28,929480496 28,943101268 28,943109030 28,943108988
19 28,171980430 28,289333764 28,302510572 28,302518666 28,302518623
19,6 27,543577004 27,666311844 27,679058694 27,679067096 27,679067051
20,2 26,932215317 27,059956622 27,072287089 27,072295777 27,072295731
20,8 26,337433214 26,469822242 26,481749481 26,481758435 26,481758386
21,4 25,758781071 25,895474773 25,907011534 25,907020733 25,907020683
22 25,195821457 25,336491895 25,347650535 25,347659958 25,347659907
Erro(%) 0,599023543 0,044059342 0,000036976 0,000000201 0

42

A Figura 3.5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

40
1ª Ordem
38
2ª Ordem
36
3ª Ordem
34
Temperatura ºC

32 4ª Ordem

30 5ª Ordem
28
26
24
Tempo (min)
22
10 12 14 16 18 20 22

Figura 3.6 - Gráfico das aproximações da temperatura para vinte partições no intervalo de tempo.

Analisando as Figuras 3.5 e 3.6, podemos verificar que, quanto maior for o número de
partições de domínio, melhor serão as aproximações dos métodos de Runge-Kutta, e ao
aumentar as partições de domínio, os métodos ficam mais próximos uns dos outros,
independente da ordem utilizada do método, conforme a visualização dos respectivos gráficos
e dos resultados obtidos conforme Tabelas 3.2 e 3.3.

Percebemos que, o Método de Runge-Kutta de primeira ordem já apresenta uma boa precisão
conforme aumenta-se a malha, na Tabela 3.3 o erro está próximo de 0,6% enquanto que para
o Método de Runge-Kutta de quinta ordem, converge com as nove casas decimais com a
Solução Analítica.

43

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os desafios iniciais que nos levaram a execução deste trabalho eram verificar:
- Como o Método de Runge-Kutta pode ser útil na resolução desses problemas?
- Que tipo de equações diferenciais ordinárias aplica-se o Método de Runge-Kutta?
- Qual dos métodos mostra-se mais eficiente?

A partir destes pontos, é possível considerar que:
O método de Runge-Kutta mostra-se como forma alternativa de resolução de equações
diferenciais ordinárias de primeira ordem, sendo de fundamental importância em se tratando
de problemas desprovidos de solução analítica.

A metodologia de se resolver um problema físico com solução analítica mostrou ser
interessante sobre dois aspectos, um motivando o estudo de métodos analíticos e numéricos
de resolução de equações diferenciais ordinárias e o outro, para se discutir de forma clara os
erros encontrados nas aproximações. É importante destacar que, em se tratando de problemas
sem soluções analíticas conhecidas, a solução do problema para algum valor de domínio de
interesse é encontrada quando a diferença entre dois valores sucessivos calculados sobre o
mesmo ponto para várias malhas, com aumento progressivo, é menor que uma tolerância,
erro, pré-estabelecido.

Os resultados advindos das versões de Runge-Kutta de 5a ordem aplicados na resolução do
problema modelo, independente da malha, mostrou ser o mais preciso dentre os demais.
Conforme podemos observar na Figura (3.5), percebe-se que para uma malha com vinte
partições de domínio, o método de Runge-Kutta de primeira ordem já foi capaz de apresentar
uma solução aproximada com erro em torno de 0,6 %.

Com base nos resultados obtidos ao longo deste trabalho, podemos afirmar que a utilização de
um Método de Runge-Kutta de 1a ordem pode apresentar resultados satisfatórios a medida
que a malha do problema é aumentada, o que acarreta em um número maior de iterações e
consequentemente, em trabalho computacional maior.

44

BIBLIOGRÁFIA CONSULTADA

BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno”. 5ª Ed. Rio de Janeiro. Guanabara Koogan, 1994.

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Estadual de Ensino de Matemática, UNEMAT, Sinop – MT, 2008.

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computacionais”. 2ª Ed. São Paulo. Pearson Makron Books, 1996.

SILVA, E. L.; MENEZES, E. M. “Metodologia da pesquisa e elaboração de dissertação”.
3ª Ed. São Paulo. Laboratório de Ensino a Distância da UFSC, 2001.

STEWART, J. “Cálculo, vol. 1 e 2”. 5 ª Ed. São Paulo. Thomson, 2006.

ZILL, D.G. “Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem”. 1ª Ed. São Paulo.
Thomson, 2003.

45

APENDICE

4. SOFTWARE MATHCAD 2000

Neste capítulo serão abordadas algumas ações, de carácter introdutória ao software, sendo
apresentadas algumas ferramentas, para respectiva noção da aplicação do software, no qual
foi utilizado para obter os resultados neste trabalho apresentado.

É um software cujo ambiente de trabalho é baseado em Álgebra Computacional, onde este
permite a inserção de textos, de equações, de gráficos e de animações.

A interface do software é semelhante de um processador de textos de característica
WYSIWYG (What You Se Is What You Get), em outras palavras, é uma interface do tipo “o
que você vê, é o que você faz”, conforme Figura 4.1:

Figura 4.1 – Interface Software Mathcad 2000

O Software Mathcad possibilita uma série de tarefas matemáticas, como uma avaliação
numérica e simbólica de equações e/ou expressões desde que as variáveis sejam definidas,
permite a construção de gráficos, permite a construção de algoritmos e respectivas resoluções,
permite a avaliação de integrais e derivas de funções, como também a resolução de sistemas

46

lineares e outras demais atividades de interesse numérico.

O Ambiente é estritamente matemático, mas permite a entrada de textos, basta clicar em uma
região qualquer na interface e inserir o texto desejado, que o Mathcad converte a região
matemática em região de textos.

4.1. Barra de Menus

Ao abrir o Mathcad 2000 encontra-se a seguinte barra de menus, conforme Figura 4.2:

Figura 4.2 – Barra de Menus do Mathcad

Esta barra fornece todas as informações e comandos para edição, formatação e manuseio
necessário para a realização da pesquisa deste trabalho de conclusão de curso.

De acordo com a Figura 4.1, a interface do programa é uma página em branco, no qual é
permitida a inserção de equações, textos e gráficos como já revelado. Mas cada item desses é
inserido em uma região, isto é, o Mathcad organiza cada um deles em uma região individual,
separada por um retângulo invisível, no qual, para enxergar este retângulo, basta clicar no
item da região, ou ainda, ir até a barra de menus conforme Figura 4.2, clicar em View,logo
depois em Regions.

4.2. Barra de Ferramentas Matemáticas

Ao clicar no menu View, Toolbars e Math, abrirá uma barra de botões de operações
matemáticas conforme Figura 4.3.

47

Figura 4.3 - Barra de menus de operações matemáticas

Ao clicar em cada um dos itens acima, abrirá uma nova barra de ferramentas, porém mais
específica em cada um dos seguintes casos, respectivamente.

o Operações Básicas:

Figura 4.4 – Algumas Operações

Aqui são feitas as primeiras operações matemáticas com a utilização do software.

o Construções de Gráficos:

Figura 4.5 – Ferramenta para construção de Gráficos

Definidas as funções e inserida suas variáveis, aqui é permitido a construção dos gráficos.

48

o Vetores e Matrizes:

Figura 4.6 – Operações com Matrizes

Aqui, as operações se restringem ao cálculo de vetores e matrizes, como o cálculo de determinantes,
matriz inversa, norma de um vetor, dentre outras operações.

o Avaliação:

Figura 4.7 – Identifica variáveis.

Nesta janela é que se identificam as variáveis das funções e equações, para que o programa
possa compreender as definições de domínio, e respectivamente gerar um gráfico.

o Cálculo:

Figura 4.8 – Cálculo Diferencial e Integral

Aqui, são as operações utilizando o cálculo diferencial e integral, bastante utilizada durante
esta pesquisa.

49

o Comparação Lógica:

Figura 4.9 – Comparação de expressões

Aqui entram algumas condições matemáticas, utilizadas para a determinação de uma
inequação e algumas condições lógicas para respectiva implementação de algoritmos.

o Programação:

Figura 4.10 – Implementação de Algoritmos

Nesta parte desta ferramenta, alguns efeitos condicionais, “se” “então” “se e só se” dentre
outras, para a criação de algoritmos.

o Símbolos Gregos:

Figura 4.11 – Simbologia grega

Aqui alguns dos caracteres gregos para representação de ângulos, espaços, planos, e outras
para a representação de variáveis como o , , , dentre outros.

50

o Palavras-chave Simbólicas:

Figura 4.12 – Operações específicas

E aqui, cabem algumas operações específicas, como o cálculo de sequencias e séries,
transformada de Fourier, dentre outras.

Portanto, esta barra de ferramentas matemáticas basicamente já permite que se realizem
algumas operações de carácter inicial.

4.3. Um Cálculo Simples

Basta clicar em qualquer parte da interface do Mathcad para realizar um cálculo qualquer, o
cursor gerado pelo clique do mouse será uma cruz vermelha, na qual indica a posição em que
a expressão será realizada.

Um exemplo, ao digitar (12 3)/4 e pressionar “=”, o software já te fornece a resposta
2.25.O Mathcad entende que o ponto determina a separação entre a parte inteira e a decimal
do número inserido.

51

ANEXOS

Algoritmo para Runge-Kutta de primeira ordem:
Xcal V1 xo
for i 1 Npart
Vi 1 V1 ih
V

Yaprox Yap 1 yo
for i 1 Npart
Yap i 1 Yap i h F Xcali Yap i
Yap

Algoritmo para Runge-Kutta de segunda ordem:
Xcal V1 xo
for i 1 Npart
Vi 1 V1 ih
V

Ycal K11 h F( xo yo )
K21 h F( xo h yo h)
Yap 1 yo
for i 1 Npart
1
Yap i 1 Yap i K1i K2i
2
K1i 1 h F Xcali 1 Yap i 1

K2i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K1i 1

Yap

Algoritmo para Runge-Kutta de terceira ordem:

Xcal V1 xo
for i 1 Npart
Vi 1 V1 ih
V

52


h K11
K21 h F xo yo
2 2
h K21
K31 h F xo 3 yo 3
4 4
Yap 1 yo
for i 1 Npart
2 1 4
Yap i 1 Yap i K1i K2i K3i
9 3 9
K1i 1 h F Xcali Yap i 1

h 1
K2i 1 h F Xcali 1 Yap i 1 K1i 1
2 2
3 3
4 4
Yap

Algoritmo para Runge-Kutta de quarta ordem:
Xcal V1 xo
for i 1 Npart
Vi 1 V1 ih
V

1 1
K21 h F xo h yo K11
2 2
1 1
K31 h F xo h yo K21
2 2
K41 h F xo h yo K31
Yap 1 yo
for i 1 Npart
1
Yap i 1 Yap i K1i 2 K2i 2 K3i K4i
6

1 1
2 2
1 1
2 2

Yap

53

Algoritmo para Runge-Kutta de quinta ordem:

Xcal V1 xo
for i 1 Npart
Vi 1 V1 ih
V

1 1
K21 h F xo h yo K11
4 4
1 1 1
K31 h F xo h yo K11 K21
4 8 8
1 1
2 2
3 3 9
4 16 16
3 2 12 12 8
K61 h F xo h yo K11 K21 K31 K41 K51
7 7 7 7 7
Yap 1 yo
for i 1 Npart
1
Yap i 1 Yap i 7 K1i 32 K3i 12 K4i 32 K5i 7 K6i
90

1 1
4 4
1 1 1
K3i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K1i 1 K2i 1
4 8 8
1 1
2 2
3 3 9
4 16 16
3 2 12 12 8
K6i 1 h F Xcali 1 h Yap i 1 K1i 1 K2i 1 K3i 1 K4i 1 K5i 1
7 7 7 7 7
Yap

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