Resolução da P1 de Geometria Analítica, modelo A. Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

1. 1ª Avaliação de Geometria Analítica
(Resolução)
1. Seja um paralelogramo ABCD. Seja E um ponto colinear à B e C tal que C esteja
entre B e E, e tal que a distância de B à C é duas vezes a distância de C à E. Seja F a
intersecção de DC com AE. Sejam ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Escreva ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ em função de
e ⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo à ⃗⃗⃗⃗⃗ , então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Como ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗
Observe que os triângulos ADF e CEF são semelhantes. Logo, a seguinte relação é
válida.
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
Como |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | e ⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo à ⃗⃗⃗⃗⃗ , então |⃗⃗⃗⃗⃗ | . Logo,
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗
2. Temos ⃗ ⃗ e ⃗ . Os vetores ⃗ e ⃗ são LI ou LD?
Justifique suas afirmações.
⃗ pode ser escrito como combinação linear de e ⃗ , então { ⃗ ⃗ } é LD e ⃗ ⃗ são
coplanares. Com raciocínio análogo, concluímos que { ⃗ } é LD e ⃗ são
coplanares. Então ⃗ e são também coplanares.
O resultado do produto vetorial de dois vetores é um vetor simultaneamente ortogonal a
ambos. Como ⃗ e estão no mesmo plano, seu produto vetorial será um vetor ortogonal

2. ao plano. e ⃗ também estão no mesmo plano de ⃗ e , então, seu produto vetorial será
um vetor ortogonal ao mesmo plano.
Assim, ⃗ e ⃗ são paralelos, e, portanto, LD.
3. Determine as equações paramétricas, simétricas e reduzida em x da reta que passa
pela origem e é perpendicular ao plano determinado pelos pontos ,
e .
Os vetores diretores do plano são ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗
.
O vetor diretor da reta r é normal ao plano, então é simultaneamente ortogonal a ⃗⃗⃗⃗⃗ e
⃗⃗⃗⃗⃗ , logo ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗
| | ⃗
A origem pertence à reta, então as equações paramétricas são:
Equação simétrica:
Multiplicando-se todos os termos por -13:
4. Obtenha os pontos da reta r que equidistam dos pontos A e B onde
, e .
Escrevendo r na forma paramétrica, temos:
Os pontos que equidistam dos pontos A e B são da forma ( ⁄ ), pois P
pertence à reta.
Pela condição do problema, devemos ter .
|⃗⃗⃗⃗⃗ | √ ( )

3. |⃗⃗⃗⃗⃗ | |( )| √ ( )
√ ( ) √ ( )
Não existe ponto pertencente a r que equidiste de A e B.