1) A reta u é perpendicular às retas s e t e sua equação é (x-3)/(y-2)=(y-1)/(x+1). A distância entre r e u é √5 unidades. 2) Para que a reta r seja paralela ao plano π e não contenha a reta r, m e n devem satisfazer m=√3 e n=√3. A equação da reta r é (x-1)/(y-2)=(y-3)/(x). 3) A distância entre os planos π1 e π2 é √10 unidades e a distância

1. 2ª Avaliação de Geometria Analítica
(Resolução)
1. Sejam as retas ( ) ( ), ( ) ( ) e
( ) ( ), onde . Determine a equação vetorial da reta u perpendicular
e concorrente às retas s e t. Calcule a distância entre r e u.
i) Determinação da equação da reta
( ) ( )
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ é vetor diretor de u
⃗ ( )
Pela condição do problema , ou seja, ⃗ .
( ) ( )
Pela condição do problema , ou seja, ⃗ .
( ) ( )
Então,
( ) ( ) ( )
⃗ ( ) ( ) ( )
Equação da reta u:
( ) ( )
ii) Cálculo da distância
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ |
r e u são paralelas, então ( ) ( )
|⃗ |
( ) ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| |( ) ( )| |( )| √
√
( ) ( )
|⃗ | |( )| |( )|
2. Seja . Determine:
(a) m e n de modo que a reta ( ) ( ) e o plano
sejam paralelos, mas não contém r.
e r são paralelos se, e somente se, ⃗ , ou seja ⃗ .
( ⃗ é o vetor normal de e o vetor diretor de r)
⃗ ( ) ( )
não contém r se ( ) não pertencer à .
1

2. R não pertence à , se, e somente, se √
Logo, e r são paralelos e não contém r se √ .
(b) uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano e
perpendicular à reta AB, onde ( ) ( ), ,
( )e ( ).
Equação da reta AB:
̅̅̅̅ ( ) ( )
( )
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ é o vetor diretor de r.
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
Condição 1: r é paralela ao plano , então ⃗
⃗ ( ) ( )
Condição 2: r é perpendicular à AB, então ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
Substituindo na equação acima:
( )
Assim:
( )
( ) ( )
Então
( ) ( )
3. Calcule:
(a) a distância entre os planos e
2

3. ( ) ( ), ( )
| | √
( ) ( )
√ √ √
(b) a distância entre as retas e .
Reescrevendo as equações na forma paramétrica:
������ ������
r e s são paralelas, então:
( ) ( ) ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |( ) ( )| |( )| √ ( )
( ) ( )
| | |( )| |( )|
( ) ( ) √ √
4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica:
[ ] [ ]
[( ) ] [( ) ]
Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e no segundo
. Para que a segunda equação seja equivalente a primeira devemos
subtrair 9 no primeiro colchete e subtrair 16 no segundo.
[( ) ] [( ) ]
( ) ( )
Dividindo a equação por 144:
( ) ( )
A equação acima representa uma hipérbole.
Centro: ( ).
√
Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem):
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3

4. Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem):
( ) (√ )
( ) ( √ )
Efetuando as translações (considerando o centro como ( )), temos:
( )e ( )
( )e ( )
(√ )e ( √ )
Excentricidade:
√
5. Defina elipse como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos e indique
sua equação geral.
Sejam e pontos distintos, 2c sua distância e a um número real tal que a > c. O
lugar geométrico E dos pontos X tais que ( ) ( ) , chama-se elipse.
Cada um dos pontos e é chamado foco da elipse, o segmento é chamado
segmento focal, seu ponto médio, centro da elipse, e 2c, distância focal. A reta é
chama-se reta focal, e qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem a E
chama-se corda da elipse. [1]
Equação geral: .
1
CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 287
4