1. Resolução da Lista 4 de FF-207
01. Uma partícula move-se num plano sobre a influência de uma
força, atuando em direção a um centro de força cuja magnitude
é:
Onde r é a direção da partícula ao centro de força.
Encontre o potencial generalizado que resulta em tal força, e dada a
Lagrageana para o movimento no plano.
SOLUÇÃO:
Vamos tomar as coordenadas esféricas, pois a força já está descrita
em função de r. Como o movimento ocorre no plano, já podemos
considerar (equação de vínculo).
Analisando o a fórmula da força, podemos perceber que o potencial
também depende da velocidade, i.e. . Onde . Então,
podemos relacioná-lo com a força generalizada da seguinte
maneira:
Calculando a força generalizada, temos:
Da equação (1), temos:

2. Essa equação pode ser separada em duas, onde temos:
Resolvendo essas equações, vamos encontrar o potencial
generalizado:
Em coordenadas esféricas, podemos descrever a velocidade como:
Assim, a energia cinética fica:
Enfim, teremos a seguinte Lagrageana:
02. Uma Lagrangeana para um sistema particular pode ser escrita
como:

3. Onde a, b, c são constantes arbitrárias, mas sujeitas às condições
. Quais são as equações de movimento? Examine
particularmente os dois casos e .
Qual é o sistema físico descrito pela Lagrangeana acima?
SOLUÇÃO:
As equações de movimento são dadas utilizando-se a fórmulas de
Euler-Lagrange.
onde , e . Disso, temos:
Substituindo em (1), temos:
As equações (2) e (3) são as equações de movimento.
Quando , temos para que valha a condição. Então,
as equações de movimento são:

4. Analisando as equações (2.1) e (3.1), podemos concluir que o
movimento é oscilatório, tanto no eixo x, como no eixo y, análogo
ao movimento harmônico simples feito por um sistema massa-mola
(sem amortecimento e nem forças externas). É como se um bloco
de massa m estivesse oscilando devido a duas molas de mesma
constante k, uma presa na direção x e outra na direção y.
Quando , temos para que valha a condição.
Então, as equações de movimento são:
De maneira análoga ao caso anterior, temos a mesma interpretação
física para o sistema descrito pela Lagrangeana.
03. Uma partícula de massa m move-se em uma dimensão tal que
tem sua Lagrangeana dada:

5. onde V é uma função diferenciável de x. Encontre a equação de
movimento para x(t) e descreva a natureza física do sistema com
base nesta equação.
SOLUÇÃO:
Utilizando-se a equação de Euler-Lagrange, temos:
onde e . Daí, temos:
Separando em duas equações, temos:
Onde temos:

6. Onde E é uma constante que representa a energia total do sistema.
A outra solução é análoga à feita acima para E=0. Essa diferença
ocorre devido à escolha do referencial.
Integrando a equação (1) encontramos x=x(t). O que podemos
concluir é que há conservação da energia total do sistema.