2. 2
I- Généralités sur les signaux, Rappels théoriques
II- Représentation des signaux déterministes, Transformée de Fourier
III- Impulsion du Dirac, Produit de Convolution
V- l’Echantillonnage, Théorème de Shannon
IV- La fonction de Corrélation
VI- Filtrage à temps continu
LST
GT
-
TDSAN
-
Prof.
A.
SAHEL
Partie 1 : Traitement du Signal Analogique
4. 4
Qu'est ce qu'un signal ?
● Une observation des fluctuations d’une grandeur physique relative à un phénomène
(naturel ou technologique). Il se formule sous la forme d’une fonction
● Une grandeur physique convertie par un capteur sous la forme la plus fréquente d'un signal
électrique : tension ou courant
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
5. 5
Qu'est ce qu'un signal ?
Un signal est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source
a son destinataire.
Il sert de vecteur à une information. Il constitue la manifestation physique d’une
grandeur mesurable (courant, tension, force, température, pression, etc.).
Les signaux sont des grandeurs électriques variant en fonction du temps x(t) obtenues
a l’aide de capteurs.
Sur le plan analytique : Un signal sera une fonction d'une variable réelle, en général le
temps.
Exemples :
▪ Onde acoustique : délivré par un microphone (parole, musique, …)
▪ Signaux biologiques : EEG, ECG
▪ Tension aux bornes composant électronique
▪ Signaux géophysiques : vibrations sismiques
▪ Finances : cours du pétrole
▪ Images, Vidéos
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
6. Notion de systèmes de traitement du signal
6
Réponse
Signal de sortie
Excitation
Signal d’entrée Système
● Les grandeurs qui agissent sur la tâche sont les signaux d’entrée.
● Les grandeurs qui caractérisent ou résultat de tâche sont les signaux de sortie.
Notion de système
Un système est un ensemble d’éléments organisé dont l’utilité est la réalisation d’une
(ou de plusieurs) tâche(s).
Remarque
L’approche adoptée de la notion « système » est la relation entrée–sorties (ou causes-
effets) indépendamment de leur complexité ou la technologie des composants,
Les signaux et systèmes sont deux notions indissociables car on étudie les signaux
dans leur relation avec les systèmes qui les transforment, les traitent ou les
transmettent,
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
7. Notion de systèmes de traitement du signal
7
Notion de système de traitement du signal
o acquisition :transformer une grandeur physique en grandeur électrique
analogique ou numérique
o transmission : permettre (ou faciliter) le transport du signal sans perte sensible
de l’information utile sur le support adapté
o mise en forme : extraire et présenter l’information utile contenue dans le signal
pour l’interpréter (l’exploiter) le plus aisément possible
o interprétation: donner une décision finale (détecter, estimer,…)
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
8. Les signaux sont décrits soit par des fonctions soit par des distributions.
Ils sont classés par deux paramètres :
-- le temps,
-- l’espace (signaux acoustiques)
1- Signal déterministe ou certain
- Possibilité de prévoir à l’avance son évolution.
- décrit mathématiquement par une fonction f(t) du temps.
- parfaitement déterminé à chaque instant par cette fonction. Exemple : Signal
sinusoïdal
Typologie des signaux
On distingue deux types de signaux :
2- Signal aléatoire
- Sa forme est imprévisible et ne peut être décrit par un modèle mathématique (hasard).
- Introduction des notions (probabilité, densité de probabilité, …)
Exemple : La tension u(t) aux bornes d'une résistance à une température T (désordre des
électrons sous agitation thermique).
8
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
9. Signal et bruit
9
Tout signal physique comporte une composante aléatoire (perturbation externe, bruit,
erreur de mesure, etc …).
Le bruit est défini comme tout phénomène perturbateur gênant la perception ou
l’interprétation d’un signal, par analogie avec les nuisances acoustiques (interférence, bruit
de fond, etc.).
La différentiation entre le signal et le bruit est artificielle et dépend de l’intêret de
l’utilisateur : les ondes électromagnétiques d’origine galactique sont du bruit pour un
ingénieur des télécommunications par satellites et un signal utile pour les
radioastronomes.
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
10. Émetteur Récepteur
x(t)
Signal émis
y(t) = x(t) + b(t)
Signal reçu
b(t)
Bruit
Canal de transmission
y(t) : signal reçu présentant souvent une distorsion.
x(t) : information utile
Utilité du TDS : récupérer x(t) dans le récepteur sans déformation ni dégradation.
Utilité de l’étude des signaux aléatoires :
le bruit contenu dans ce signal est peut être porteur d’information ou doit être isolé.
Soit le système de transmission :
Signal et bruit
Le rapport signal sur bruit est une mesure de degré de contamination du signal par
du bruit:
=
=
B
S
B
S
dB
dB
10
10 log
P
P
B
S
10
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
11. Le Traitement du signal
Le Traitement Du Signal est une théorie permettant :
-- d’effectuer une description (modélisation),
-- un traitement (filtrage, amplification...),
-- une analyse et une interprétation des signaux.
Le TDS s’appuie sur plusieurs branches des mathématiques comme de la physique pour
ses fondements théoriques:
-- les mathématiques: statistiques, Analyse fonctionnelle, Algorithmique
-- techniques de la théorie de l'information,
11
Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catégories :
▪ l’élaboration des signaux (incorporation des informations) et
▪ l’interprétation des signaux (extraction des informations).
Les principales fonctions intégrées dans ces deux parties sont les suivantes :
▪ Elaboration des signaux : synthèse, modulation, codage/compression, etc.
▪ Interprétation des signaux : filtrage, détection, identification, analyse, mesure, etc.
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
12. Les techniques du TDS s'appliquent à toutes les étapes
- d'une chaîne d'acquisition,
- d'analyse, d'interprétation,
- de transfert et de restitution des données.
● Télécommunications : la téléphonie, le transfert de données numériques terrestre ou
via satellite, la compression des données importante pour exploiter au mieux la
bande passante disponible et minimiser les pertes, la suppression d'échos…
● Audio : amélioration des techniques d'enregistrement et de compression numérique
pour obtenir la plus grande qualité sonore possible en utilisant le minimum de
mémoire de stockage.
● Imagerie : domaine médical (reconstruction tomographique, imagerie par résonance
magnétique - IRM), traitement de photos satellite ou d'images radar. Ce domaine
inclut aussi les techniques de reconnaissance de formes et de compression.
Les techniques du TDS s'appliquent dans pratiquement tous les domaines de la
technologie :
Domaines d’application du
traitement du signal
12
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
13. -1
sgn(t)
t
1
0
Fonctions particulières
a- Fonction signe 1 0
0 0
1 0
0 0
0
pour t
sgn(t ) pour t
pour t
pour t
ou t
pour t
t
−
= =
=
=
t
1
0
u(t)
0 0
1 0
pour t
u(t )
pour t
=
)
sgn(
2
1
2
1
)
( t
t
u +
=
b- Signal Echelon (échelon de Heaviside)
13
r(t)
t
0
c- Fonction rampe
t
t
u
d
u
t
r
t
).
(
)
(
)
( =
=
−
dt
t
dr
t
u
)
(
)
( =
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
14.
( ) T
x t Arect t
= −
t
A
0
+T/2
-T/2
Remarque
En traitement du signal, la fonction rect(t) est
considérée comme une impulsion rectangulaire de
durée T, d’amplitude A et centrée à un instant t=.
d- Fonction Porte Rectangulaire
1
rect(t)
t
0 1/2
-1/2
2
1
0
2
1
1
=
t
pour
t
pour
t
rect )
(
C’est la fonction porte ou fenêtre (normalisée)
Signaux Fondamentaux
14
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
15. x(t)
t
1
0
( ) ( )
2
F T
T
x t x t rect t
= −
t
1
0
T
t
1
0 T
)
(
2
T
t
rectT −
En TDS rectT(t) joue un rôle très important. Elle permet de tronquer un signal d’une
forme quelconque et le localiser pendant une durée T afin de simplifier son
traitement et son étude.
Signaux Fondamentaux
rectT(t) intervient aussi dans la définition des
fonctions énergétiques d’un signal x(t)
pendant un intervalle de temps de longueur T:
2
2
1 1
( ) ( ) ( ). ( )
T
T
T
x t x t dt x t rect t dt
T T
+
− −
= =
2
2 2
2
( ) ( ). ( )
T
q T
T
V x t dt x t rect t dt
+
− −
= =
2
2 2
2
1 1
( ) ( ) ( ). ( )
T
x T
T
p t x t dt x t rect t dt
T T
+
− −
= =
x
eff P
x =
Valeur moyenne de x(t) :
Valeur quadratique moyenne de x(t)
(puissance normalisée)
Valeur efficace de x(t) sur T
Valeur quadratique de x(t)
15
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
16. Fonction Porte Triangulaire
1 1
0 0
t pour t
tri(t )
pour t
−
=
tri(t)
t
1
0
-1 1
( )
( ) . T
x t Atri t
= −
0 t
A
-T +T
Impulsion triangulaire centrée à
Signaux Fondamentaux
16
Fonction Sinus cardinal
t
t
t
sin
)
(
sinc =
+
−
=
1
sinc dt
t)
(
+
−
=
1
sinc2
dt
t)
(
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
17. t
(t)
1
0 t
( ) ( )
0
t
t
a
t
x −
=
a
0 t0
+
−
=
= dt
t
t
x
x
x )
(
).
(
,
)
(
0
Signaux Fondamentaux
(t) est une impulsion de largeur unité. C’est une distribution définie par :
+
−
−
= dt
t
t
t
x
t
x )
(
).
(
)
( 0
0
(t) est non nulle à l’origine. (t) restitue la valeur d’une fonction continue à l’origine.
C’est un opérateur très utilisé en traitement du signal et joue un grand rôle dans
l’opération d’échantillonnage.
Fonction Impulsion de Dirac
Propriétés de (t)
1
( at ) (t )
a
=
( ) ( ) ( ) ( )
0
x t t x t
=
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0 t
t
t
x
t
t
t
x −
=
−
)
(
)
( t
u
dt
d
t =
)
2
1
(
)
2
1
(
))
(
( −
−
+
= t
t
t
rect
dt
d
0
1
( ) lim ( )
T
T
t rect t
T
→
=
Remarque
17
t
T
T (t)
1
0
Peigne de Dirac : suite périodique d’impulsions de Dirac
+
−
=
−
=
k
T kT
t
t )
(
)
(
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
18. Les signaux sont classés selon le phénomène pendant lequel ils sont créés. On
distingue les signaux déterministes et les signaux aléatoires.
Classification des signaux
Signaux aléatoires
Les signaux aléatoires sont des signaux dont le comportement temporel est
imprévisible. Leur création dépend du hasard et leur description nécessite des
observations statistiques ce qui conduit à introduire la notion des probabilités.
Signaux déterministes
Leur évolution en fonction du temps peut être parfaitement prédite et leur
représentation est faite à l’aide d’un modèle mathématique approprié.
Classification phénoménologique :
18
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
19. Exemple : signaux sinusoïdaux
( )
+
=
+
=
t
T
A
t
T
A
t
x
2
2
sin
)
sin(
)
(
= t
T
A
t
x
2
sin
)
(
0
0
t
A
t
Classification des signaux
Signaux déterministes
x̂ )
(
ˆ t
x
Im
t+
Re
)
(
)
(
ˆ
+
= t
j
e
x
t
x 0
Notation et Représentation complexe
IC
IR ⎯→
⎯
t
j
t
j
e
e
x
t
x
j
−
+
−
=
2
0
0
ˆ
sin
ˆ
t
j
t
j
e
e
x
t
x
−
+
+
=
2
0
0
ˆ
cos
ˆ
jx0sint
x0/2
x0/2
- t
Im
t
Re
x0cost
x0/2
x0/2
- t
Im
t Re
)
(
ˆ
)
( t
x
t
x ⎯→
⎯
0 0
0
1
2 f , f
T
= =
Ils sont de durée infinie et suivent une loi de répartition cyclique de période T et qui
répondent à l’équation :
Signaux périodiques
IN
k
kT
t
x
t
x
+
= ;
)
(
)
(
j
t
j
e
x
x
avec
e
x
t
x
=
= 0
ˆ
ˆ
)
(
ˆ
19
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
20. Signaux quasi-périodiques
Ces signaux résultent d’une somme de signaux de périodes différentes :
..........
2
sin
2
sin
2
sin
)
(
3
2
1
+
+
+
=
T
t
T
t
T
t
t
x
Signaux non périodiques
x(t)
t
0
Signaux transitoires de durée finie : Exemples :
t
x(t)
1
0 b
a
t
1
0
y(t)
+
−
= −
2
)
(
)
(
b
a
t
rect
t
x a
b
)
(
)
( t
u
e
t
y at
= −
20
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
21. -- leur comportement temporel est imprévisible et Leur création dépend du hasard
-- leur description nécessite des observations statistiques (notion des probabilités.
Exemple : Les signaux pseudo-aléatoires. Pour rendre leur comportement probable on
introduit la notion des probabilités.
Classification des signaux
Signaux aléatoires
x(t)
t
0
T1
Signaux aléatoires stationnaires
Leurs caractéristiques statiques sont invariantes dans le temps. Ceci est en fonction de la
durée d’observation. Exemple : bruit blanc ; signal à large bande
0
x(t)
t
x(t)
0 t
Signaux aléatoires non stationnaires :
21
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
22. Classification des signaux
Classification Energétique :
On distingue fondamentalement deux grandes catégories de signaux :
• les signaux à énergie finie;
• les signaux à puissance moyenne finie non nulle.
La première catégorie comprend tous les signaux de type transitoire, qu'ils soient
déterministes ou aléatoires.
La deuxième catégorie englobe presque tous les signaux
périodiques, quasi-périodiques et les signaux aléatoires permanents.
L'abstraction mathématique pour l'impulsion de Dirac (t) n'est pas classable dans ce
contexte, pas plus que la suite périodique d'impulsions de Dirac :
+
−
=
−
=
k
T kT
t )
(
22
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
23. 2
1
2
1 2 (valeur quadratique)
t
x
t
w (t ,t ) x (t )dt
=
-- L’énergie d’un signal réel x(t) calculée sur l’intervalle t1,t2 est :
-- la Puissance moyenne totale est :
2
1
2
1 2
2 1
1 2
1
(valeur quadratique moyenne)
t
x
t
eff x
P (t ,t ) x (t )dt
t t
X P sur t ,t
=
−
=
+
−
= dt
t
x
Wx )
(
2
Signaux périodiques de période T0 :
-- l’Energie totale est :
-- la Puissance moyenne totale est :
0
0
2
2
0
2
1
T
x
T
T
P lim x (t )dt
T
→
−
=
( )
t
x2
( )2
t
x
Remarque :
Dans le cas des signaux complexes, on remplace par 23
;
Classification des signaux
Classification Energétique :
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
24.
+
−
= dt
t
x
Wx )
(
2
0
0
0
2
2
0
2
1
0
T
T
T
lim x(t ) dt
T
→
−
Signaux à énergie finie :
Ces signaux vérifient :
Signaux à puissance moyenne finie
Ils vérifient l’équation :
Exemple :
Les signaux périodiques, quasi-périodiques, les signaux aléatoires stationnaires.
est bornée
Exemple :
Les signaux carré sommables ont une puissance moyenne nulle
24
Classification des signaux
Classification Energétique :
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
25. Classification Morphologique :
25
Classification des signaux
0
xq(tk) : Signal numérique
kTe
Amplitude discrète - temps discret
kTe
x(tk) : Signal échantillonné
0
Amplitude continue - temps discret
xq(t) : Signal quantifié
0 t
Amplitude discrète - temps continu
x(t) : signal analogique
t
0
Amplitude continue - temps continu
Quantification
Échantillonnage
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
26. Classification spectrale :
L’analyse spectrale d’un signal conduit à une classification basée sur la
distribution de son énergie ou de sa puissance en fonction de la fréquence. On
obtient alors un spectre.
La largeur de bande B d’un signal ou la bande spectrale B d'un signal est le
domaine de fréquence où se trouve l'énergie utile transportée par le signal.
On définit ainsi les signaux à :
-- à basses fréquences (BF),
-- à hautes fréquences (HF),
-- à bande étroite,
-- à large bande…
On appelle signal à bande limitée (ou de spectre borné) tout signal dont le
spectre est nul en dehors d’une bande de fréquence B.
26
Classification des signaux
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
27. Autres caractéristiques de signaux :
Signaux bornés en amplitude
C’est une propriété de tous les signaux physiquement réalisables et qui vérifie
l’équation suivante :
Signaux paires et impaires
un signal est dit pair s’il vérifie l’équation :
un signal est dit impair s’il vérifie l’équation :
Signaux causals
Ce sont des signaux qui vérifient l’équation :
Tous les signaux expérimentaux vérifient cette condition.
C’est par commodité théorique qu’on est amené à définir le signal sur la totalité
de l’axe des temps.
K
t
x
)
(
)
(
)
( t
x
t
x −
=
x( t ) x(t )
− = −
0
0
= t
t
x ;
)
(
27
Classification des signaux
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
28. sgn(t)
t
-1
1
0 t
1
0
u(t) r(t)
t
0
1
rect(t)
t
0 1/2
-1/2
Signaux Fondamentaux
28
-1 1
tri(t)
t
1
0
t
(t)
1
0
ШT (t)
T t
1
0
t
0
= t
T
A
t
x
2
sin
)
(
t
0
= t
T
A
t
x
2
cos
)
(
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
29. II- Représentation des signaux déterministes,
Transformée de Fourier
29
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
30. Notion de spectre, Transformée de Fourrier
30
Un même signal possède deux représentations différentes mais complémentaires :
une représentation temporelle et une représentation fréquentielle.
Pour obtenir une représentation spectrale des signaux déterministes (spectre). On fait
appel aux outils mathématiques :
- le développement en séries de Fourier
- et, plus généralement, la transformée de Fourier
En effet, dans la réalité, les signaux n'ont pas toujours une forme simple en raison de la
nature de l'information qu’ils portent. Dans de tels cas, la représentation du signal en
fonction de la fréquence est très utile. Pour cela, on fait appel à l'analyse fréquentielle. Elle
a pour but de mettre en évidence des caractéristiques du signal non évidentes dans la
représentation temporelle : les propriétés fréquentielles (spectrales).
L’utilisation de cette description fréquentielle permet de caractériser simplement les filtres
linéaires, et faciliter leur étude.
l'analyse fréquentielle ou harmonique est l'instrument majeur de la théorie du signal
Le spectre exprime la répartition de l'amplitude, de la phase, de l'énergie ou de la puissance
des signaux considérés en fonction de la fréquence.
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
31. -- si est paire : alors
( ) ( )
t
f
t
f −
=
( )
t
f t
n
a
a
t
f
n
n
+
=
+
=
1
0
0 cos
)
(
-- si est impaire : alors
( ) ( )
t
f
t
f −
−
= t
n
b
t
f
n
n
+
=
=
1
0
sin
)
(
( )
t
f
Spectre des Signaux périodiques
31
Les signaux périodiques sont de durée infinie et suivent une loi de répartition cyclique de
période T et répondent à l’équation :
Soit un signal déterministe , tel que IN
k
kT
t
x
t
x
+
= ;
)
(
)
(
)
(t
x
Développement en série de Fourier
Une fonction périodique f(t) de période peut être développée en série de
Fourier et s’écrit sous la forme :
0
0
1
f
T =
+
=
+
+
=
1
0
0
0 2
2
n
n
n t
f
n
b
t
f
n
a
a
t
f
sin
cos
)
(
Rappel
Les coefficients de Fourier et se calculent comme suit :
n
a n
b
0 0
0 0
0 0
0 0
2 2
( ) ( 2 ) 0 ( ) ( 2 ) 1
T T
n n
a f t cos n f t dt n ; b f t sin n f t dt n
T T
= =
0
a est la valeur moyenne ou composante continue :
=
0
0
0
0 )
(
1
T
dt
t
f
T
a
Propriétés
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
32. 32
Représentation exponentielle complexe de la Série de Fourier
0
1
0 2
0
0
f
e
C
e
C
a
t
f
n
t
jn
n
t
jn
n
=
+
+
=
=
−
−
+ ;
)
(
−
+
=
0
0
0
0
1
T
t
jn
n dt
e
t
f
T
C
)
(
0
0
0 0
1
T
jn t
n
C f (t ) e dt
T
− =
0
0
0
0
0
1
0
0 a
dt
e
t
f
T
C
C
T
=
=
=
+
− )
(
)
(
)
(
+
− = n
n C
C
+
−
+
= t
jn
ne
C
t
f 0
)
(
−
=
0
0
0
0
1
T
t
jn
n dt
e
t
f
T
C
)
(
Or : et
Spectre de Signaux périodiques
Série de Fourier en cosinus
En prenant en compte la relation trigonométrique suivante :
−
+
+
=
+
A
B
arctg
B
A
B
A
cos
sin
cos 2
2
le développement en série de Fourier peut également s'écrire :
=
+
+
=
1
0
0 )
2
cos(
)
(
n
n
n t
f
n
A
A
t
f
n
n
n
n
n
n
a
b
tg
a
A
b
a
A −
=
=
+
=
;
; 0
0
2
2
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
33. 33
Spectre des Signaux périodiques
Le spectre s’étend de 0 à +
C’est la représentation spectrale
associée au développement en
série de Fourier en cosinus
Le spectre s’étend de - à +
n
n
n
n
n
n
a
b
tg
a
A
b
a
A −
=
=
+
=
;
; 0
0
2
2
−
=
T
t
jn
n dt
e
t
f
T
C
0
0
0
)
(
1
+
−
= t
jn
ne
C
t
f 0
)
(
n
j
n
n
n
n e
jb
a
C
=
−
=
2
n
j
n
n
n
n e
jb
a
C
−
− =
+
=
2
0
2
2
2
2
=
+
=
= n
A
b
a
C n
n
n
n
n
)
(
n
n
n
a
b
Arctg −
=
An
A5
A6
A4
A3
A2
A1
0 f0
nf0
A0
Spectre unilatéral
A5/2
A3/2
A0 A1/2
0 f0 nf0
A2/2
A4/2
A6/2
Spectre bilatéral
A1/2
A2/2
Cn
Le spectre d’amplitude d’un signal périodique est constitué:
o de la composante continue à f=0 d’amplitude C0 (A0);
o du fondamental à la fréquence f0 d’amplitude C1 (A1);
o d’harmoniques positionnés aux différentes fréquences nf0 d’amplitude Cn (An).
Remarque
Le spectre d’un signal périodique est un spectre discontinu, (Spectre de raies, spectre
discret).
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
34. 34
Transformée de Fourier
Soit un signal déterministe sa transformée de Fourier est une fonction complexe de
la variable réelle définie par f :
( )
t
x
1 2
( ) ( ) ( ) j ft
x t TF X f X f e df
+
− +
−
= =
+
−
−
=
= dt
e
t
x
f
X
t
x
TF ft
j
2
)
(
)
(
)
(
)
( f
X est le spectre du signal .
)
(t
x
Transformée de Fourier d’un signal réel
)
(
)
(
.
)
(
)
( )
(
f
X
j
f
X
e
f
X
f
X m
e
f
j
+
=
=
: module, c’est le spectre d’amplitude
)
( f
X
: argument, c’est le spectre de phase
)
( f
La transformée de Fourier d’un signal réel x(t) est une fonction complexe X(f) telle que :
t et f sont respectivement le temps et la fréquence, elles sont les variables conjuguées
de la TF.
Spectre de signaux quelconques
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
35. 35
Transformée de Fourier, Propriétés de la
Linéarité
Similitude
Changement d’échelle sur t
Dérivation
Intégration
Transposition
Complexe Conjugué
Translation sur t
Théorème du retard
Modulation par une
fréquence f0 (Translation sur f )
Dérivation par rapport à f
Dérivation par rapport à t
1 2 1 2
y(t ) ax (t ) bx (t ) Y( f ) aX ( f ) bX ( f )
= + = +
a
f
X
a
at
x
1
)
(
)
(
)
2
( f
X
f
j
dt
x
d
TF n
n
n
=
)
(
2
1
)
( f
X
f
j
d
x
TF
t
=
−
)
(
)
( f
X
t
x
TF −
=
−
TF x (t ) X ( f )
= −
)
(
)
( 0
2
0 f
X
e
t
t
x
TF ft
j
−
=
−
0
2
0
j f t
TF e x(t ) X( f f )
= −
2
2
( n ) n
X ( f ) TF [ x(t )] TF jt x(t )
X ( f ) TF ( j t ) x(t )
= = −
= −
( )
2
2
n
( n )
TF x'(t ) j f TF x(t )
TF x (t ) j f TF ( x(t )
=
=
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
36. III- Impulsion du Dirac,
Produit de Convolution
36
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
37. t0
Impulsion de Dirac
37
0 t
(t)
1
Impulsion centrée à l’instant t=t0
+
−
= 1
)
( dt
t
(t-t0)
0 t0 t
0 t
A.(t)
+
−
=
A
dt
t
A )
(
Produit d’une fonction par l’impulsion de Dirac
A
1
(t)
0
t
1
t0
t
0
f(t)
f(t).(t)
0
t
(t)
0 t
1
t
0
f(t) f(t).(t)
0
t
)
0
(
)
(
)
( f
t
t
f =
)
(
)
(
)
( 0
0 t
f
t
t
t
f =
−
t
0
f(t)
p(t)
0 t
1
e
T e
T
2 e
nT
fe(t)=f(t).p(t)
0 t
e
T e
T
2 e
nT
e e e e
n n
f (t ) f (t ) (t nT ) f ( nT ). (t nT )
+ +
=− =−
= − = −
Produit d’une fonction par : f(t) est échantillonnée
( )
t
f ( )
t
p
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
38. 0 f
)
(t
A
TF
38
0 t
(t)
1
(t-t0)
0 t0 t
0 t
A.(t)
A
1
)
( =
t
TF
On démontre que :
TF[ A (t ) ] A
=
0
2
0
j ft
TF (t t ) e
−
− =
0 f
)
(t
TF 1
TF ( f )
=
On démontre également:
0
2
0
j f t
TF ( f f ) e
− =
Transformée de Fourier de l’impulsion Dirac
𝑇𝐹 1 = 𝛿(𝑓)
0
2
0
j f t
TF e ( f f )
= −
1 A
0 0
2 2
0
1
2
2
j f t j f t
TF cos f t TF e e
−
= +
1/2
0 f0 f
-f0
t
f
TF 0
2
cos
0 0
2 2
0
1
2
2
j f t j f t
TF sin f t TF e e
j
−
= −
-f0
1/2j
0 f0 f
t
f
TF 0
2
sin
t
f0
2
sin
0
t
f0
2
cos
0 T0 t
-1/2j
0 0 0
1
2
2
TF cos f t ( f f ) ( f f )
= − + +
0 0 0
1
2
2
TF sin f t ( f f ) ( f f )
j
= − − +
D’où
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
39. 39
p(t) est périodique de période e
T
Décomposition de p(t) en série de Fourier,
e
e
n
t
jk
k
T
avec
e
C
t
p e
2
)
( =
=
+
−
=
2 2
0
2 2
1 1 1
( ). ( ).
e e
e
e e
T T
jk t
k
T T
e e e
C t e dt t e dt
T T T
+ +
−
− −
= = =
+
−
=
=
=
n
t
jk
e
e
k
e
e
T
t
p
T
C
1
)
(
;
1
+
−
=
−
=
n
e
nT
t
t
p )
(
)
(
0 t
1
e
T e
T
2 e
nT
k
C
0 f
1/Te
e
F e
F
2 e
kF
e
F
−
Spectre du peigne de Dirac
Calcul de la transformée de Fourier de p(t)
0
2
1
( )
1
1
( ) ( )
1
( ) ( )
e
jk t
k
e
jk f t
k
e
e
k
e
k
e e
TF p t TF e
T
TF e
T
TF p t f kf
T
k
TF p t f
T T
+
=−
+
=−
+
=−
+
=−
=
=
= −
= −
P( f )
0
f
1/Te
e
F e
F
2 e
kF
e
F
−
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
40. 40
( ) ( )
H f TF h t
=
La convolution est un outil qui est utile pour deux applications principales dans la théorie
de signal : l’échantillonnage et la modulation
Le produit de convolution est utilisé dans le traitement du signal, lors de l’opération de
filtrage.
s(t) est la réponse du système linéaire, causal et invariant dans le temps
s(t) est le produit de convolution entre e(t) et h(t).
Produit de Convolution
Si l'on applique un signal e(t) à l’entrée d’un système de fonction de transfert :
s(t)
e(t)
Filtre
h(t) )
(
)
(
)
( t
h
t
e
t
s
=
( )
)
(
)
( t
t
e
=
h(t) est la réponse impulsionnelle du filtre . Un système linéaire est
modélisé par sa réponse impulsionnelle h(t).
Produit de Convolution
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
41. 41
Produit de Convolution : Définition
+
−
−
=
=
d
t
h
x
t
h
t
x
t
y )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
−
=
t
d
t
h
x
t
y
0
)
(
)
(
)
(
Pour les signaux causaux )
0
0
)
(
)
(
(
=
= t
pour
t
h
t
x
Propriétés du produit de convolution
)
(
)
(
)
(
)
( t
f
t
g
t
g
t
f
=
( ) ( )
2
1
2
1 g
f
g
f
g
g
f
+
=
+
( ) ( )
g
f
g
f
g
f
f
+
=
+ 2
1
2
1
Commutativité
Distributivité
( ) ( ) )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( t
h
t
g
t
f
t
h
t
g
t
f
=
Associativité
Elément neutre )
(
)
(
)
( t
f
t
t
f =
Produit de Convolution
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
42. 42
Illustration du produit de convolution : Intégrale géométrique
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y t f t g t f g t d g f t d
+ +
− −
= = − = −
3
3
( )
t
g
0
2
1 t
4
( )
t
f
t
0 1 2
Pour t=3
3
4
)
2
(
)
(
−
g
f
t
0 1 2
4
( )
t
y
t
0 1 2
3
4
)
2
(
)
(
−
g
f
t
0 1 2
Pour t=1
2
3
4
)
2
(
)
(
−
g
f
t
0 1 2
Pour t=2
1
0
-3 -2 -1 t
0 2
4
)
0
(
)
(
−
g
f
3
Pour t=0
-3 -2 -1
3
0
( )
−
g
4
( )
f
0 1 2
Produit de Convolution
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
43. Produit de convolution par une impulsion de Dirac
0 0
f (t ) (t t ) h(t t )
− = −
0 t
1
( )
t
0 t
( )
t
f
0 t0 t
( )
0
t
t −
1
0 t
( ) )
(t
t
f
0 t0 t
( ) )
( 0
t
t
t
f −
On démontre au sens des distributions que :
f (t ) (t ) f (t )
=
Produit de Convolution
43
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
44. Théorème de Plancherel-Parseval
L’énergie d’un signal x(t) est :
+
−
= dt
t
x
t
x
Ex )
(
)
(
+
−
+
−
+
−
+
−
=
=
=
= df
f
X
dt
f
X
f
X
dt
t
x
dt
t
x
t
x
Ex
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Ce théorème montre que
l’énergie d’un signal
se retrouve intégralement
dans son spectre
t
0
( )2
t
x
f
0
( )2
f
X
Produit de Convolution et transformée de Fourier
2
)
(t
x est la densité temporelle énergétique
2
)
( f
X est la densité spectrale énergétique
+
−
+
−
= df
f
X
dt
t
x
2
2
)
(
)
(
Produit de convolution temporel
1 1 2 2
F ( f ) TF f (t ) ; F ( f ) TF f (t )
= =
Produit de convolution fréquentiel 1 2
Y( f ) F ( f ) F ( f )
=
si alors
)
(
)
(
)
( 2
1 t
f
t
f
t
y
=
)
(
)
(
)
( 2
1 f
F
f
F
f
Y
=
si alors
1 2
y(t ) f (t ) f (t )
=
Soit
44
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
48. 48
Analyse dans le domaine fréquentiel
o le domaine temporel est le domaine habituel pour analyser un signal, on analyse
l’évolution du signal au cours du temps
o Il permet de mettre en évidence certaines caractéristiques lorsque la forme du
signal est simple :
- caractère périodique ou non (détermination de la période)
- calcul de la valeur moyenne, efficace, de l’énergie,…
o Dans la pratique, les signaux ont une forme complexe :
- L’analyse dans le domaine temporel devient insuffisante
- La représentation de certaines caractéristiques du signal en fonction de la
fréquence s’avère alors très utile,
analyse spectrale
Le spectre (l’interspectre) de l’énergie ou de la puissance du signal (des signaux) decrit la
répartition de l’énergie ou de la puissance d’un signal en fonction de la fréquence.
En télécommunication, une transmission d’information est liée à une transmission
d’énergie. Il est possible donc de déterminer dans quelle bande de fréquence le signal
émet de l’énergie, ce qui est équivaut à étudier sa densité spectrale d’énergie ou de
puissance. Il est donc nécessaire d’étudier les propriétés spectrales du signal.
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
49. 49
Densité spectrale
Signaux à énergie finie
Un signal à énergie finie possède la propriété suivante :
En revanche, l’énergie totale finie implique que ces signaux aient un comportement
transitoire. Puisqu’ils sont à support borné, tous ces signaux possèdent une transformée
de Fourier
x(t )
X( f ) x
( f )
f
f
2
T
E x(t ) dt
=
Signaux à puissance moyenne finie
La puissance moyenne d’un signal périodique sur une période ou d’un signal à énergie
infinie tronqué par une fenêtre de durée T
=
+
−
→
x
T
T
T
x P
dt
t
x
T
P 0
,
)
(
1
lim
2
2
2
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
50. 50
Densité spectrale
Signal déterministe d’énergie finie
( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( )
z t x t y t X f TF x t et Y f TF y t
= = =
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j ft j ft
Z f TF z t e x y t d dt x y t e dt d
+ + + +
− −
− − − −
= = − = −
2 2 2
j ft j f j f
t t d dt
e e e
− − −
= − = + =
=
2 2
( ) ( ) . ( )
j f j f
Z f x e d y e d
+ +
− −
− −
=
( ) ( ). ( )
Z f X f Y f
=
Soit :
Donc
D’où :
Soit :
Théorème de Plancherel
Exercice:
l’égalité (2) se calcule d’une façon similaire
Ce théorème est très utile : il permet de simplifier un grand nombre de calculs et il
est utilisé dans de nombreuses applications.
( ) ( ) ( ) ( ) (1)
( ) ( ) ( ) ( ) (2)
TF x t y t X f Y f
TF x t y t X f Y f
=
=
Démontrons les égalités (1) et (2)
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
51. 51
Densité spectrale
Signal déterministe d’énergie finie
Soit un signal x(t) d’énergie totale finie et de spectre X(f).
Parseval a démontré que :
Densité spectrale énergétique
Ex s’exprime en fonction de Sxx(f) :
+
−
= df
f
S
E xx
x )
(
+
−
+
−
=
= df
f
X
dt
t
x
Ex
2
2
)
(
)
(
2
( ) ( ) j ft
X f x t e dt
+
−
−
=
+
−
+
−
= df
f
X
f
X
dt
t
x
t
x )
(
)
(
)
(
).
(
Théorème de Parseval
si alors (3)
Ce théorème montre que l’énergie d’un signal peut être calculée soit dans la
représentation temporelle, soit dans la représentation fréquentielle. L’énergie d’un signal
est répartie dans le temps suivant la puissance instantanée que l’on peut appeler
"densité temporelle d’énergie" couramment appelée puissance du signal.
La relation de Plancherel-Parseval suggère que cette énergie est répartie sur l’axe
fréquentiel avec une " densité spectrale d’énergie (DSE) " donnée par )
(
)
(
2
f
S
f
X xx
=
2
)
(t
x
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
52. 52
Densité spectrale
Signal déterministe d’énergie finie
-T/2 T/2
1
t
0
( )
T
rect t
-5/T -4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T
T )
(
Tsinc Tf
L’énergie contenue dans le signal :
f
+
−
−
=
=
=
2
2
2
.
1
)
(
T
T
x T
dt
dt
t
x
E
avec
)
(
sinc
)
( 2
2
Tf
T
f
Sxx
= ( ) 0
=
f
Sxx
=
k
T
k
f ,
Conclusion
L’énergie d’un signal est contenue dans sa bande spectrale
du
u
u
T
fT
d
fT
fT
T
df
fT
fT
T
E
n
n
n
n
T
n
T
n
x
T
n
−
−
−
=
=
=
2
2
2
2 sin
)
(
sin
sin
,
)
2
(
sin
sin
2
0
2
0
n
Si
du
u
u
du
u
u
n
n
=
=
)
2
(
2
, n
Si
T
E x
T
n
=
or
1 2
, 0,9028. 90% ; , 0,9499. 95%
x x x x
T T
E T de E E T de E
= =
Soit :
Application 1:
Energie d’un Signal rectT(t)
−
T
n
T
n
,
L’énergie d’un signal rectT(t)est contenue dans sa bande spectrale , n0
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
54. Densité spectrale
Signal déterministe d’énergie finie
Soient deux signaux x(t) et y(t) de spectres respectifs X(f) et Y(f).
L’énergie d’interaction entre les deux signaux :
+
−
= dt
t
y
t
x
Exy )
(
)
(
Par Parseval : df
f
S
df
f
Y
f
X
dt
t
y
t
x xy
+
−
+
−
+
−
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
).
(
)
( f
Y
f
X
f
Sxy
= : Densité spectrale croisée
Densité spectrale croisée ou densité interspectrale d’énergie
C’est une fonction réelle positive
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
55. 55
Densité spectrale
Signal déterministe d’énergie finie
Application du Théorème de Parseval
On veut calculer les deux intégrales suivantes :
Pour calculer I1, on utilise la relation (3), en posant :
L’équation (3) devient :
Pour calculer I2, on pose :
En reportant dans l’égalité de Parseval on a :
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
56. Fonction de Corrélation
L’opération ou la fonction de corrélation est très utilisée en traitement du signal :
• c’est une mesure énergétique de la similitude de forme et de position entre deux
signaux décalés
• elle permet de mesurer le degré de dépendance (ressemblance) entre deux signaux
distincts en fonction du décalage entre les deux signaux.
Lorsque cette opération est appliquée à un signal réel, on parle alors d’autocorrélation:
Lorsque cette opération est appliquée à deux signaux réels distincts , on parle alors
d’intercorrélation:
La fonction de corrélation est utilisée également pour la détermination
- d’une périodicité cachée d’un signal,
- du temps de retard entre deux signaux .
Les principales applications de la fonction de corrélation se pratiquent dans le cas des
signaux aléatoires où elle permet entre outre l’extraction d’un signal noyé dans du bruit.
( ) ( ). ( )
xx
IR
C x t x t dt
= −
+
−
−
= dt
t
y
t
x
Cxy )
(
).
(
)
(
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
57. ( ) ( ). ( )
xx
IR
C x t x t dt
= −
Fonction de corrélation
Soit le signal x(t) à énergie finie :
On définit :
Fonction Autocorrélation
En raison de la symétrie hermitienne, on a la relation :
*
( ) ( )
xx xx
C C
= −
Pour des signaux réels, est réel et satisfait :
( )
xx
C t
( ) ( )
xx xx
C C
= −
On en déduit notamment que l’autocorrélation d’un signal réel est une fonction paire.
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
58. Fonction de corrélation
Il y a une similarité d’écriture entre corrélation et convolution .
La corrélation mesure la ressemblance entre les fonctions x(t) et y(t) selon le
décalage .
La convolution est le résultat de filtrage entre les fonctions x(t) et y(t).
Relation entre corrélation et convolution
( ) ( ) ( )
xx
C x x
= −
( ) ( ). ( ( ))
xx
IR
C x t x t dt
= − −
( ) ( ). ( )
xx
IR
C x t x t dt
= −
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
59. Fonction de corrélation
Propriétés de )
(t
Cxx
( ) ( ) ( )
xx
C t x t x t
− = −
( ) ( ) ( )
xx
x t x t C t
= − =
)
(
)
( t
C
t
C xx
xx −
=
( ) ( ) ( )
xx
C t x t x t
= − ( ) ( ) ( )
xx
C t x t x t
− = −
et
Si x(t) est réel alors )
(
)
( t
C
t
C xx
xx −
=
-T/2 T/2 t
0
( )
T
rect t
-T T t
0
( )
t
Cxx
est une fonction paire
)
(t
Cxx
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
60. Fonction de corrélation
Propriétés de )
(t
Cxx
2 2 2 2
( ) ( ). ( ).
j ft j ft
xx
IR IR
C t A f e df A f e df
=
inégalité de Schwartz
est bornée : admet un maximum au décalage égale à 0
)
(t
Cxx
▪ L’énergie totale de x(t) est : 0
)
0
(
)
(
2
=
=
+
−
xx
x C
dt
t
x
E
▪ Le théorème de Cauchy – Schwartz conduit à la relation suivante :
t
C
t
C xx
xx
)
0
(
)
(
Démonstration :
)
(
)
(
)
( f
j
e
f
A
f
X
−
=
soit
1
)
(
0
;
)
0
(
)
(
)
(
=
t
C
t
C
t xx
xx
xx
xx
▪ On définit le degré de self de cohérence d’un signal x(t)
=
=
=
IR
x
xx
xx
ft
j
E
C
df
f
A
t
C
alors
e
or )
0
(
)
(
)
(
1 2
2
)
0
(
)
( xx
xx C
t
C
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
61.
( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xy xy
C TF S f TF X f Y f TF X f TF Y f x y
= = = = −
+
−
−
= dt
t
y
t
x
Cxy )
(
).
(
)
(
Fonction d’intercorrélation entre les
signaux x(t) et y(t) à énergie finie
Fonction de corrélation
Soient deux signaux x(t) et y(t) de spectres respectifs X(f) et Y(f).
Fonction d’intercorrélation
)
(
xy
C restitue l’énergie d’interaction entre les signaux x(t) et y(t)
Si on dit que les signaux x(t) et y(t) sont décorélés ou orthogonaux
0
)
( =
xy
C
Théorème de Wiener-Kintchine :
( ) ( ) ( ) ( )
xy xy
TF C S f X f Y f
= =
On montre que
)
0
(
)
0
(
)
(
2
yy
xx
xy C
C
C
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
62. Fonction de corrélation
2
( ) ( ) ( ) ( )
at at
x t u t e et y t u t e
− −
= =
Exercice
On considère les signaux :
Où a est un réel positif
- Calculer et représenter l’intercorrélation entre ces deux signaux
- Calculer et représenter le produit de convolution entre ces deux
signaux
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
65.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( f
X
TF
f
X
TF
f
X
f
X
TF
f
S
TF xx
=
=
)
(
)
(
)
( t
x
t
x
f
S
TF xx −
=
)
(
)
( t
C
f
S
TF xx
xx =
)
(
)
(
)
( t
x
t
x
t
Cxx −
=
−
−
=
IR
xx d
t
x
x
t
C
))
(
(
).
(
)
(
( ) ( ) ( ). ( )
xx xx
IR
TF S f C t x x t d
= = −
Fonction de corrélation
Soit le signal x(t) de densité spectrale X(f)
Relation entre autocorrelation et Densité Spectrale énergétique
Soit: 2
( ) ( ) ( ) j f
xx xx xx
S f TF C C e d
+
−
−
= =
Théorème de
Wiener-Kintchine
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
66. y(t)=x(t)h(t)
x(t)
X(f)
Cxx(t)
Filtre FF
H(f)
h(t)
yy
yy
yy
y(t ) x(t ) h(t )
C (t ) y(t ) y ( t )
C (t ) x(t ) h(t ) x ( t ) h ( t )
C (t ) x(t ) x ( t ) h(t ) h ( t )
=
= −
= − −
= − −
2
)
(
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
f
H
f
S
f
S
TF
t
C
t
C
t
C
xx
yy
hh
xx
yy
=
=
Filtrage de l’énergie
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
67. 67
Signal déterministe
à puissance moyenne finie
df
f
S
P xx
x )
(
+
−
=
=
+
−
→
x
T
T
T
x P
dt
t
x
T
P 0
,
)
(
1
lim
2
2
2
La puissance moyenne d’un signal périodique sur une période ou d’un signal à énergie
infinie tronqué par une fenêtre de durée T:
On démontre que Px peut s’écrire :
densité spectrale de
puissance exprimée en (W/Hz).
)
( f
Sxx
2
2
2
2
).
(
1
lim
)
(
+
−
−
→
=
T
T
ft
j
T
xx dt
e
t
x
T
f
S
−
→
−
=
2
2
)
(
).
(
1
lim
)
(
T
T
T
xx t
d
t
t
x
t
x
T
t
C
−
−
−
−
→
=
2
2
2
2
2
2
).
(
).
(
1
lim
)
(
T
T
ft
j
T
T
ft
j
T
xy dt
e
t
y
dt
e
t
x
T
f
S
−
→
−
=
2
2
)
(
).
(
1
lim
)
(
T
T
T
xy t
d
t
t
y
t
x
T
t
C
Densité spectrale de puissance (DSP) et fonction d’autocprrélation
Interspectre de puissance et fonction d’intercorélation
−
→
=
2
2
2
)
(
1
lim
)
0
(
T
T
T
xx dt
t
x
T
C
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
68. 68
Signal déterministe
à puissance moyenne finie
Soit x(t) un signal à puissance moyenne finie et sa densité spectrale de puissance (DSP):
Relation entre DSP et X(f)
2
( ) ( ) ( ) j f
xx xx xx
S f TF C C e d
+
−
−
= =
Pour les signaux x(t) à puissance moyenne finie, la DSP n’est pas égale au carré du module
de la transformée de Fourier X(f). On peut cependant trouver une relation asymptotique.
En effet, soit x(t) un signal à puissance moyenne finie, on note x(t, T) = x(t)rectT(t) la
portion du signal de largeur T centrée sur l’origine et TF[x(t, T)]=X(f, T).
Ainsi x(t, T) est un signal à énergie finie dont on peut calculer la DSE :
2
( , ) ( , )
xx
S f T X f T
=
En utilisant le théorème de Parseval, on a :
En identifiant les intégrales des derniers termes, on a donc :
2
2
2
2 2
1
lim ( ) ( )
1 1
lim ( , ) lim ( , )
T
x xx
T
T
x
T T
P x t dt S f df
T
P x t T dt X f T df
T T
+
→
−
−
+ +
→ →
− −
= =
= =
2
1
( ) lim ( , )
xx
T
S f X f T
T
→
=
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
69. 69
Signal déterministe
à puissance moyenne finie
Exemple : signal échelon ; Calcul de la DSP
Le calcul de la dernière limite repose sur le fait que le lobe principal de sinc décroit lorsque
T augmente (sa largeur vaut 1/T) et sur l’identité
On voit que le résultat, Sxx(f)=δ(f)/2 n’a rien à voir avec le carré du module de X(f):
2
sinc ( ) 1
u du
+
−
=
On considère le signal à puissance moyenne finie x(t)=u(t) dont la transformée de Fourier
est X(f)=1/(j2πf)+δ(f)/2. Calculons la DSP de x(t), à partir du signal d’énergie finie
x(t,T)=rectT/2(t−T/4). Commençons par calculer la TF de x(t,T) :
2 2
2
1 1 1
( ) lim ( ) ( ) lim 0
2
T T
xx
T T
T
C u t u t dt dt pour
T T
→ →
−
= − = =
Calculons directement :
Compte tenu de la parité de Cxx(), on a donc Cxx()= 1/2, d’où la DSP :
( )
( ) ( )
2
xx xx
f
S f TF C
= =
On peut calculer la DSP de x(t) comme la limite
2 /4 2 /4
4
2 /4 2 2 /4 2 /4 2 /4
4
sin(2 / 4)
( , ) sinc( / 2)
2 2 2
T
j fT j fT
j fT j ft j fT j fT j fT
T
e e fT T
X f T e e dt e e e fT
j f j f
+
−
− − − − −
−
−
= = = =
2
2
1 1 1 ( )
( ) lim ( , ) lim sinc( T/2) lim sinc( T/2)=
4 2 4 2
xx
T T T
T T f
S f X f T f f
T T
→ → →
= = =
2
2 1 ( )
( )
2 2
f
X f
j f
= +
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
70. dt
t
x
t
y
Cyx )
(
)
(
)
(
−
=
+
−
Application de la fonction de corrélation
c
d
t
2
0 =
Un radar émet un signal réel de courte durée qui se propage à la célérité c et se
réfléchit sur une cible et revient à l’émetteur après un temps t0 proportionnel à 2
fois la distance d. Estimer d.
- on calcule la fonction d’intercorrélation entre le signal reçu y(t) et le signal émis x(t) :
- un modèle simple est un modèle sans bruit où le signal de retour y(t) est le
signal réel x(t) décalé de t0 et atténué par un facteur a :
Avec le changement de variable :
L’autocorrélation étant maximale en 0, l’intercorrélation entre le signal reçu et le signal émis sera
maximale pour t0.
Il suffit donc de chercher le max de la fonction d’intercorrélation pour en déduire un estimé de la
distance d.
)
(
.
)
( 0
t
t
x
a
t
y −
= dt
t
x
t
t
ax
Cyx )
(
)
(
)
( 0
−
−
=
+
−
u
t
t =
− 0 )
(
))
(
(
)
(
)
( 0
0 t
aC
du
t
u
x
u
ax
C xx
yx −
=
−
−
=
+
−
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
71. Application de la fonction de corrélation
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
73. Introduction
Les signaux rencontrés dans la nature sont analogiques. Pour pouvoir les traiter par un
système numérique ou informatique, il faut d'abord les numériser pour obtenir un
signal discret ou signal numérique ou encore signal digital.
73
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
74. Signal échantillonné, signal numérique
Un signal numérique est un signal défini seulement pour un certain nombre d'instants. La valeur
du signal (amplitude) à ces instants est elle-même discrétisée. Pour obtenir un signal digital à
partir d'un signal analogique, on procède en deux étapes:
Etape d'échantillonnage : prélever la valeur du signal s(t) à intervalles de temps réguliers de
durée Te (période d’échantillonnage). On obtient alors des échantillons s(nTe) prélevés à la
fréquence d’échantillonnage :
Etape de quantification : dans l’espace des amplitudes, chaque valeur s(nTe) est approchée par un
multiple entier d’une quantité élémentaire q; c’est l’opération de quantification. La valeur
approchée ainsi obtenue est ensuite associée à un nombre ; c’est le codage
e
e T
F 1
=
Echantillonnage Quantification
Quelle est donc l’influence de l’échantillonnage d’un signal sur son spectre?
L’analyse spectrale permet de mettre en évidence certaines limitations.
Question fondamentale : est-il possible de reconstruire x(t) à partir des échantillons x(nTe)?
Le théorème d’échantillonnage montre que, pour les signaux à bande limitée, cette
reconstruction est possible et unique.
74
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
75. t
0
s(t)
p(t)
0 t
1
e
T e
T
2 e
nT
se(t)=s(t).p(t)
0 t
e
T e
T
2 e
nT
+
−
=
−
=
=
n
e
e nT
t
t
s
t
p
t
s
t
s )
(
)
(
)
(
).
(
)
(
)
(
).
(
)
(
+
−
=
−
=
n
e
e
e nT
t
nT
s
t
s
Signal échantillonné :
Signal échantillonné
Les échantillons en fonction de temps se notent s(nTe). Pour des raisons de simplification et
aussi se rapprocher de la représentation mathématique des suites numériques, on note sk ,
le kème échantillon du signal s(t) pour t=kTe .
75
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
76. Spectre d’un Signal échantillonné
-Fmax 0 Fmax f
)
( f
S
Soit le signal réel s(t), de spectre complexe
de spectre borné (forme Passe-Bas) et tel que :
max max
F ,F
−
( ) ( ) ( )
f
j
e
f
S
f
S
−
=
( ) ( )
f
f
−
=
−
1 1
e e e
n
e e
n
e e e
n
e e
e e e
n
S ( f ) TF s (t ) TF s(t ). (t nT )
S ( f ) TF s(t ) TF (t nT )
S ( f ) S( f ) ( f nF ) ; F
T T
S ( f ) F S( f ) ( f nF )
+
=−
+
=−
+
=−
+
=−
= = −
= −
= − =
= −
Remarque
Le spectre d’un signal échantillonné est une fonction continue de f
)
(
.
)
(
+
−
=
−
=
n
e
e
e nF
f
S
F
f
S
( f )
-Fmax 0 Fmax f
76
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
77. 0
)
( =
n
e f
S
)
( f
Se
)
(
)
( 1 e
n
e F
f
S
f
S −
=
=
f
Fmax Fe-Fmax Fe Fe+Fmax 2Fe
-Fe -Fmax
0
• 1er cas 2
e max
F F
La restitution (reconstitution) du signal original à partir de son spectre est possible car les
supports des différents échantillons sont disjoints.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinusoïde de
fréquence f0=1/T0
Fmax=f0
Signal à bande limitée de
fréquence maximale Fmax
Théorème de Shannon
0
e n
S ( f ) =
f
Fmax Fe
-Fmax
0
Filtre Passe Bas
fc=Fe/2
77
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
78. • 2ème cas : (Sous échantillonnage)
2
e max
F F
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Impossible de
reconstituer
correctement le
signal.
Théorème de Shannon
0
)
( =
n
e f
S
)
( f
Se
1
)
( =
n
e f
S
f
Fe-Fmax Fmax Fe 2Fe
-Fe -Fmax 0
Repliements des spectres
Théorème de Shannon :
Pour pouvoir reconstituer à partir de il faut que la fréquence d’échantillonnage
soit supérieure à deux fois la fréquence maximale du signal.
)
( f
S )
( f
Se
max
2F
Fe
78
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
79. Filtrage Passe-bas idéal pour isoler l’échantillon (n=0) On utilise ( ) Re ( )
f
P f ct f
=
( ) ( ). ( )
e e
S f T S f P f
=
e e
e e
e e
s(t ) TF S( f )
s(t ) TF T S ( f ).P( f )
s(t ) T TF S ( f ).P( f )
s(t ) T TF S ( f ) TF P( f )
=
=
=
=
Reconstitution du signal : Interpolation de Shannon
( ) Re ( ) sinc( )
f
TF P f TF ct f f ft
= =
+
−
=
−
=
=
n
e
e
e
e nT
t
nT
s
t
s
f
S
TF )
(
)
(
)
(
)
(
( ) ( ). ( ) sinc( )
e e e
n
s t T s nT t nT f ft
+
=−
= −
( ). ( ) sinc( ) ( ). ( ) sinc( ) ( ).sinc ( )
e e e e e e
s nT t nT ft s nT t nT ft s nT f t nT
− = − = −
Pour n donné : e
s( nT ) cte échantillon d' ordre n
= =
( ) . ( ).sinc ( )
e e e
n
s t f T s nT f t nT
+
=−
= −
or
et
79
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
80. Reconstitution du signal : Interpolation de Shannon
e e e
n
s(t ) f .T s( nT ).sinc f (t nT )
+
=−
= −
Filtre de reconstitution parfaite du signal d’origine : un filtre Passe – Bas idéal de fréquence
de coupure 2
c e
f F
=
Un signal analogique peut être reconstitué à partir de sa version échantillonnée en
additionnant à l'infini des fonctions sinc.
Chacune étant centrée sur l'instant nTe et ayant l'amplitude s(nTe). C'est pour cette raison
que la fonction sinc est souvent appelée fonction d'interpolation.
80
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
81. Considérons un signal réel x(t) dont la spectre est nul en dehors des deux
intervalles de fréquence définis par Fm ≤ |F| ≤ FM :
Cas des signaux passe-bande ou à bande étroite
Le théorème de Shannon impose Fe>2FM.
Pourtant, il est possible d’échantillonner à une cadence bien plus faible si on met à
profit le fait que le spectre est nul dans l’intervalle (−Fm, Fm).
Quelles sont les conditions sur Fe pour que le spectre, une fois périodisé, soit constitué
de bandes disjointes?
il suffit de choisir deux valeurs k et Fe, telles que la kième et la (k+1)ième translatées de la
partie de X(F) dans les fréquences négatives ne recouvrent pas la partie de X(f) dans les
fréquences positives. Ce qui s’écrit :
-Fm+kFe<Fm et -FM+(k+1)Fe > FM
81
LST
GT
-
TDSAN
-
Prof.
A.
SAHEL
82. Cas des signaux passe-bande ou à bande étroite
Fe doit être donc choisie dans des plages de valeurs de la forme :
La plus petite fréquence d’échantillonnage qui assure le non repliement du spectre est donc
donnée par :
2FM/(k0+1) où k0 est la partie entière de Fm/(FM-Fm).
où k est un entier tel que : (2FM/k+1)<2Fm/k k≤Fm/(FM-Fm).
le calcul de la formule de reconstruction, est analogue à celui fait pour un signal “passe-bas”. il faut
prendre, le filtre passe-bande réel défini par :
H(F)=Te (rectF (F- F0)+rectF (F+F0)) où F = FM-Fm et F0 = (FM+Fm)/2.
avec 82
LST
GT
-
TDSAN
-
Prof.
A.
SAHEL
83. Cas des signaux passe-bas de bande infinie
En pratique, lorsque la fréquence d’échantillonnage est imposée, le phénomène de
repliement de spectre ne peut être évité. Il y a donc perte d’information sur le signal à
échantillonner. Le problème est de limiter autant que possible cette perte.
En pratique, on doit faire précéder l’opération d’échantillonnage d’un filtrage passe-bas
idéal dans la bande −Fe/2, Fe/2, appelé filtrage anti-repliement (anti-aliasing).
Evidemment il y a perte d’information et ce que l’on peut reconstruire est, au mieux, ce
qui est à l’intérieur de la bande −Fe/2, Fe/2.
Fe/2
-Fe/2
Exemple (audio)
on ne va garder que les fréquences que l’oreille est capable d’entendre. Les
caractéristiques internes de l'oreille induisent une sensibilité fréquentielle allant de 20hz à
20khz. Ce qui explique la fréquence d'échantillonnage fe=44,1 khz dans le cas du CD.
Ainsi, avant d'échantillonner le signal, on place en amont un filtre (anti-repliement) qui a
pour but d'éliminer toutes les fréquences supérieures à 20khz.
83
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
84. L’échantillonnage blocage est réalisé en prélevant la valeur du signal à chaque instant
nTe et en le maintenant à la même valeur pendant une durée .
nTe nTe+ (n+1)Te
( )
e
nT
s
( )
t
s
t
0
seb(t)
)
(
).
(
)
2
(
)
(
+
−
=
−
−
=
n
e
e
eb nT
t
nT
s
t
rect
t
s
)
(
)
2
(
)
( t
s
t
rect
t
s ei
eb
−
=
f
j
n
e
e
eb e
nF
f
S
F
f
S −
+
−
=
−
= ).
(
f).
sinc(
)
(
Signal échantillonné bloqué
Spectre d’un signal échantillonné bloqué
Echantillonneur bloqueur
84
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
85. Signal échantillonné bloqué (θ<Te)
Signal échantillonné bloqué (θ=Te)
Dans un blocage de faible durée (θ<Te),
le sinc atténue les échantillons d’ordre
n>0 de spectre. Un filtre passe-bas avec
fc=Fe/2 permettrait de récupérer de
manière parfaite le signal d’entrée.
)
(t
seb
)
( f
Seb
)
( f
Seb
)
(t
seb
Pour (θ=Te) le sinc écrase les
fréquences proches de Fe et modifie les
propriétés du spectre du signal d’entrée
qui ne peut plus être restitué de manière
parfaite à l’aide d’un simple filtre. Par
contre, il présente l’avantage d’éliminer
les recopies de spectre et donc d’alléger
le contenu spectral du signal.
Influence de la durée du maintien du blocage sur le spectre
Echantillonneur bloqueur
85
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
86. nTe nTe+ (n+1)Te
( )
e
nT
s
( )
t
s
t
0
( )
e
T
n
s )
1
( +
L’échantillonnage par moyennage est réalisé en prélevant la valeur du signal à chaque
instant nTe pendant une durée .
e
e
e
nT
t
nT
nT
e
t
rect
t
s
nTe
s
dt
nTe
t
rect
t
s
nTe
s
dt
t
s
nT
s
=
+
−
+
=
−
=
=
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
+
−
=
−
=
n
e
em nT
t
t
rect
t
s
t
s )
(
))
(
)
(
(
1
)
(
Signal échantillonné moyenné
Spectre d’un signal échantillonné moyenné
( ) ( ( ).sin ( )) ( )
em e e
n
S f S f c f F f nF
+
=−
= −
Echantillonneur moyenneur
86
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
87. VI- Filtrage à temps continu
87
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
88. 88
Le filtrage est un outil de traitement de signal très puissant et dans de nombreux cas, très
simple à mettre en œuvre.
En électronique, on a besoin de traiter des signaux provenant de différentes sources
(capteurs de température, signaux audio...).
Un bruit indésirable provenant soit du canal de transmission, soit des composants qui
constituent le circuit électronique, peut se superposer à ces signaux.
Le filtrage permet de récupérer ces signaux et rejeter le bruit.
But du filtrage
Les filtres servent principalement à séparer des signaux dans le domaine fréquentiel.
Dans certains rares cas particuliers, on utilise également les filtres pour retarder un signal
(travail dans le domaine temporel).
Plus précisément, les fonctions essentielles d’un filtre ont pour objectif de :
- modifier les composantes spectrales d’un signal,
- isoler une information utile contenue dans une bande passante déterminée par rapport aux
bruits et aux autres informations existant hors de cette bande.
Exemple :
Antenne d'un récepteur radio simple qui capte plusieurs signaux provenant de différents
émetteurs.
Signal d'entrée : Somme de plusieurs signaux émis
Seule l'utilisation d'un filtre passe-bande permet de récupérer le signal correspondant à la
station choisie.
Filtrage à temps continu
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
89. 89
filtre temporel : troncature d’un signal
s(t)=e(t).g(t)
e(t)
g(t)
FT
Un filtre temporel est un multiplieur temporel
e(t)
t
1
0
e(t)
t
1
0 T
t
1
0 T
s(t)
C’est une opération, d’interruption ou d’atténuation d’un
signal.
Filtrer temporellement e(t) par g(t) c’est donc réaliser le
produit )
(
)
(
)
( t
e
t
g
t
s
=
Ce filtrage temporel est généralement appelé
apodisation (troncature) ou pondération
(atténuation)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( f
E
f
G
f
S
t
e
t
g
t
s
=
→
=
Le spectre de e(t) va-il être affecté par un tel filtrage ?
Par Plancherel-Parseval :
avec
Tf
Tf
T
f
G
)
sin(
)
( =
Si T est assez grand, G(f) est assimilable à une impulsion de Dirac et l’effet de
filtrage ne sera pas sensible. Examiner une tranche d’un phénomène c’est modifier
son spectre (voir TD).
Filtrage à temps continu
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
90. 90
s(t)=h(t)e(t)
e(t)
Filtre
h(t) , RI
FF
Filtre fréquentiel
Si on fait subir à e(t) un filtrage :
- Passe-bande , seules sont transmises les fréquences
comprises dans l’intervalle [f0, f0+f].
- Coupe bande, les fréquences comprises entre f0 et f0+f
sont rejetées.
E(f)
f
f
T
S( f)
f
S(f)
f0 f0+f
f0 f0+f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( f
E
f
H
f
S
t
e
t
h
t
s
=
→
=
Par Plancherel-Parseval :
Un filtre fréquentiel est un multiplieur fréquentiel
Un filtre fréquentiel est donc un système qui apporte une
modification de l'amplitude et (ou) de la phase des
composantes spectrales d'un signal, donc c'est un sélecteur
de fréquence et la bande de fréquence transmise s'appelle
la bande passante du filtre.
H(f) est la fonction de transfert ou la réponse fréquentielle du filtre
Filtrage à temps continu
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
91. 91
Propriétés d’un Filtre à temps continu
Un filtre à temps continu est un système linéaire continu, invariant par
translation.
s(t)
e(t)
Filtre
h(t)
.
Linéarité
Continuité
Invariance par translation
)
(
)
(
)
(
alors
)
(
)
(
)
( 2
1
2
1 t
s
t
s
t
s
t
e
t
e
t
e
si
+
=
+
=
La majorité des systèmes linéaires sont continus
0 0
pour correspond la sortie
e(t t ) s(t t )
− −
Le filtre est défini par un opérateur qui à une excitation e(t) fait correspondre une
réponse s(t). est la réponse impulsionnelle du filtre
( )
t
h
( )
t
h
Filtrage à temps continu
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
92. Filtres Linéaires Physiquement réalisable
Causalité
L’effet (sortie du filtre ) ne peut précéder la cause (entrée du filtre).
La réponse impulsionnelle d’un filtre étant la réponse à une impulsion de Dirac
appliquée au temps t=0, elle doit être nulle pour t<0
Tout système physique aura donc une réponse impulsionnelle h(t) telle que:
+
+
−
−
=
−
=
→
=
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
)
(
d
t
e
h
d
t
e
h
t
s
t
pour
t
h
Déphasage des filtres
)
(
)
(
)]
(
[(
)
( f
j
e
f
H
t
h
TF
f
H
=
=
La relation sortie-entrée est, en fréquence: )
(
)
(
)
( )
(
f
E
e
f
H
f
S f
j
=
Le déphasage entre la sortie par rapport à l’entrée est la phase (f) du filtre.
Tout filtre physiquement réalisable provoque un déphasage
Filtrage à temps continu
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
93. 93
Filtres analogiques
Les filtres que l’on réalise sur les signaux continus sont composés de résistances, de
capacités, de self-inductances, d’amplificateurs opérationnels.
De tels filtre réalisent entre e(t) et s(t) une relation différentielle linéaire à coefficients
constants.
Par transformée de Fourier, cette relation conduit à un gain complexe qui est le quotient
de deux polynômes en f:
)
(
)
(
)
(
f
D
f
N
f
H =
On classe les filtres en deux grandes familles :
• Les filtres analogiques réalisés à partir de composants passifs (résistance, inductance,
condensateur) ou actifs avec des amplificateurs opérationnels.
• Les filtres numériques réalisés à partir de structure intégrée micro programmable.
Filtrage à temps continu
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
94. 94
1
2
3 2 2 2
2 2 2
4 2 2 2
1
Filtrepasse b du1 ordre
1 2
2
Filtrepasse haut du1 ordre
1 2
1
Filtrepasse b du 2èmeordre
1 4 4
4
Filtrepasse haut du 2èmeordre
1 4 4
as er H ( f )
j f
j f
er H ( f )
j f
as H ( f )
j f f
f
H ( f )
j f f
− =
+
− =
+
− =
+ −
− =
+ −
Fonction de transfert
Le comportement d'un filtre est défini par l'étude fréquentielle de la fonction de
transfert entre la tension de sortie et la tension d'entrée du filtre.
On le caractérise par l'amplification et le déphasage qu'il apporte sur les différents
harmoniques du signal d'entrée.
Exemples de filtres :
Filtrage à temps continu
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
95. 95
Notion de gabarit d’un filtre
Filtrage à temps continu
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
96. 96
filtre passe-bas. filtre passe-haut.
filtre passe-bande. filtre coupe-bande.
Filtre idéal
On peut classer les filtres en quatre catégories selon les fréquences à favoriser et à
atténuer.
Le filtre idéal permet de transmettre sans distorsion une partie du spectre (bande passante)
et bloque toutes les autres parties (bande coupée) avec un passage abrupt (discontinuité)
entre ces 2 parties.
Filtrage à temps continu
TDSA
–
GET1
-
Prof.
A.
SAHEL
