Dokumen tersebut membahas tentang fungsi distribusi Bose-Einstein dan Fermi-Dirac. Fungsi distribusi Bose-Einstein menyatakan rata-rata jumlah partikel pada setiap tingkat energi yang bergantung pada energi, potensial kimia, konstanta Boltzmann, dan suhu. Sedangkan fungsi distribusi Fermi-Dirac berbeda dimana nilainya dapat melebihi 1. Kedua fungsi tersebut digunakan untuk mendeskripsikan statistika partikel dalam

1. 11-9 FUNGSI
DISTRIBUSI
BOSE-
EINSTEIN
By : Samanta Rumiana
Sianipar
A1C314034

2.  Langkah pertama yang harus dilakukan adalah
memperoleh hubungan antara nilai relatif dari ln Ω
untuk dua sistem yang memiliki jumlah set tingkat
energi yang sama. Namun pada sistem kedua jumlah
partikel kurang dari jumlah partikel pada sistem
pertama yang dinayatakan dengan 𝑛, dimana untuk
𝑛 ≪ 𝑁, dan di mana energi kurang dari pada yang
pertama yang dinyatakan dengan 𝑛𝜖 𝑟, dengan 𝜖 𝑟
adalah energi pada level arbitrary pada pada tingkat 𝑟.
Dengan demikian, simbol unprimed ditujukan untuk
sistem pertama dan simbol primed untuk sistem kedua
𝑁′ = 𝑁 − 𝑛, 𝑈′ = 𝑈 − 𝑛𝜖 𝑟

3. Probabilitas termodinamika W′
𝑟𝑘 pada macrostate
𝑘 pada sistem unprimer dinyatakan dengan:
W 𝑘 =
𝑗
𝑔𝑗 + 𝑁𝑗𝑘 − 1 !
𝑔𝑗 − 1 ! 𝑁𝑗𝑘!
Pada sistem primer
W′
𝑟𝑘 =
𝑗
𝑔𝑗 + 𝑁′
𝑗𝑘 − 1 !
𝑔𝑗 − 1 ! 𝑁′
𝑗𝑘!

4. Lambang 𝑟𝑘 bermakna W′
𝑟𝑘 yang berarti
probabilitas termodinamika pada macrostate 𝑘 pada
sistem primer, dan 𝑟 merupakan tingkat yang telah
dipilih secara acak dari satu partikel yang
dihilangkan atau dihapus. Sedangkan lambang 𝑗𝑘
bermakna 𝑁𝑗𝑘 dan 𝑁′
𝑗𝑘 menunjukkan jumlah partikel
pada tingkat 𝑗 pada macrostate 𝑘 pada sistem
unprimer dan primer.

5. Bagian terakhir dari persamaan 𝑁′
𝑟Ω′
𝑟 dapat
dinyatakan dengan:
𝑁𝑟Ω = 𝑔 𝑟 + 𝑁′
𝑟 𝑄′
𝑟
Dan
𝑁𝑟
𝑔 𝑟 + 𝑁′
𝑟
=
Ω′
𝑟
Ω
(11 − 35)
Pada sistem mikroskopik dimana terdapat banyak partikel,
maka penghapusan dari salah satu partikel dari salah satu
level merupakan cara yang tidak mungkin pada saat rata-
rata jumlah rata-rata partikel pada tingkat tersebut terpenuhi.
Dan cara terbaik adalah dengan cara memperkirakan
dengan 𝑁′
𝑟 = 𝑁𝑟:
𝑁𝑟
𝑔 𝑟 + 𝑁𝑟
=
Ω′
𝑟
Ω 𝑟
(11 − 36)

6. Dengan menggunakan logaritma pada kedua
sisi, dapat dinyatakan dengan:
ln
𝑁𝑟
𝑔 𝑟 + 𝑁𝑟
= ln
Ω′
𝑟
Ω
Tetapi
ln
Ω′
𝑟
Ω
= ln Ω′
𝑟 − ln Ω
Dengan menggunakan persamaan (11-24), yaitu
𝑆 = 𝑘 𝐵 ln Ω
ln
𝑁′
𝑟
𝑔 𝑟 + 𝑁𝑟
=
𝑆′ − 𝑆
𝑘 𝐵
=
∆𝑆
𝑘 𝐵
(11 − 37)

7. Dengan menggunakan prinsip termodinamika, entropi akan
berbeda ∆𝑆 antara dua keadaan yang tidak tertutup atau
sistem terbuka yang mana volumenya (sesuai dengan
variabel ekstensif) adalah konstan akan memberikan energi
yang berbeda ∆𝑈, dan perbedaan ∆𝑁 pada setiap partikel,
dan suhu dinayatakan dengan 𝑇, oleh persamaan (8-11):
𝑇∆𝑆 = ∆𝑈 − 𝜇∆𝑁
Dimana 𝜇 merupakan potensial kimia pada
setiap partikel. Untuk dua keadaan dapat
dinyatakan dengan:
∆𝑈 = −𝜖 𝑟 ∆𝑁 = −1

8. Dan karena itu, maka:
∆𝑆 =
𝜇 − 𝜖 𝑟
𝑇
Dari persamaan (11-37), sejak tingkat 𝑟 dipilih secara
bebas dan begitu pula pada tingkat 𝑗
ln
𝑁𝑗
𝑔𝑗 + 𝑁𝑗
=
𝜇 − 𝜖𝑗
𝑘 𝐵 𝑇
dan
𝑔𝑗 + 𝑁𝑗
𝑁𝑗
=
𝑔𝑗
𝑁𝑗
+ 1 = exp
𝜖𝑗 − 𝜇
𝑘 𝑏 𝑇

9. Sehingga kita dapat menyatakan sebagai:
𝑁𝑗
𝑔𝑗
=
1
exp
𝜖𝑗 − 𝜇
𝑘 𝐵 𝑇
− 1
Persamaan tersebut merupakan fungsi distribusi
fungsi Bose-Einstein, yang menyatakan rata-rata
jumlah partikel pada setiap kulit pada setiap tingkat
𝑗, 𝑁𝑗 𝑔𝑗, jumlah energi 𝜖𝑗 pada keadaan, dan
potensial kimia 𝜇, konstantan universal 𝑘 𝐵 dan suhu
𝑇.

10. 11-10 FUNGSI
DISTRIBUSI
FERMI-DIRAC
By : Samanta Rumiana
Sianipar
A1C314034

11. Untuk mendapatkan fungsi distribusi dalam statistik
F-D, kita menentukan dua assembly pada jumlah
partikel yang masing-masing dan . Di beberapa
pasangan makros, pada semua tingkatan kecuali
pada level r; dan di level . Energi yang sesuai
adalah dan
Peluang termodinamik untuk keadaan makro yang
berhungan dengan assembly tidak utama dan
utama adalah:
 

j jkjkj
j
k
NNg
g
!)!(
!
W
 

j jkjkj
j
rk
NNg
g
!)!(
!
''
'
W

12. Kemudian
 


j jkjkj
jkjkj
rk
rk
NNg
NNg
!)!(
!)!(
''
'
W
W
Yang setelah mengalami pengurangan menjadi:
rkr
rk
k
rk
Ng
N
'
'


W
W
atau
rkrkrkrk NgN ')'( WW 
Dengan menjumlahkan semua nilai maka diperoleh
rk
k
rk
k
rkr
k
krk NgN ''' WWW  

13. dan




r
rr
r
Ng
N '
'
Di sini didapatkan , jika keadaan cukup degerasi, dan
dapat lebih besar dari yang lain. Dengan alasan yang
sama seperti pada statistik B-E
1exp
1





 

Tk
g
N
B
jj
j

yang mana adalah fungsi distribusi Fermi-Dirac.
Ini berbeda dari distribusi B-E yang mempunyai
nilai + 1 pada angka -1.