Campos escalares e vectoriais Análise Matemática 2. Para obter os ficheiros em LaTeX envie email para sandra.gaspar.martins@gmail.com ... eu envio com todo o gosto!

1. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel Campos escalares e vectoriais - Parte 1
Topologia
Limites
An´lise Matem´tica 2
a a
Continuidade
2o Semestre 2011/12
Vers˜o de 16 de Maio de 2012
a
1/1

2. AM2
Fun¸oes
c˜
Fun¸˜es
co Neste cap´
ıtulo trabalhamos com fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
f : Rn −→ Rm (n, m ∈ N, n˜o simultˆneamente iguais a 1)
a a
Topologia
Limites Se m = n = 1 estas fun¸˜es designam-se por fun¸˜es reais de
co co
Continuidade vari´vel real e foram estudadas em AM1.
a
f : R −→ R
Se m = 1 estas fun¸˜es designam-se por campos escalares ou
co
fun¸˜es escalares.
co
f : Rn −→ R (n > 1)
Se m > 1 estas fun¸˜es designam-se por campos vectoriais ou
co
fun¸˜es vectoriais.
co
f : Rn −→ Rm (n ≥ 1)
2/1

3. AM2
Exemplos:
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio 1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x, y , z) = x + y + z
Linhas de n´
ıvel
Topologia
2 f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que
Limites
x
Continuidade f (x, y ) = x + y , x − y , xy ,
y
3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que
f (latitude, longitude) = (altitude)
4 f : D ⊂ R2 −→ R3 tal que
f (latitude, longitude) = (altitude, humidade, temperatura)
5 f : D ⊂ R2 −→ R2 tal que f (latitude, longitude) =
vector que indica a direc¸˜o e intensidade do vento
ca
6 f : D ⊂ R3 −→ R3 tal que f (x, y , z) =
vector que indica a direc¸˜o de escoamento de um flu´ em
ca ıdo
movimento
3/1

4. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
4/1

5. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
5/1

6. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
6/1

7. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
7/1

8. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
8/1

9. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
9/1

10. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
10/1

11. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
11/1

12. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
12/1

13. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
13/1

14. AM2
Dado o campo vectorial
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
f : R2 −→ R4
Linhas de n´
ıvel
Topologia
x
Limites f (x, y ) = xy , x 2 − y , x − 3y , √
Continuidade
y
´ composto por 4 fun¸˜es componentes ou fun¸˜es
e co co
coordenadas que s˜o:
a
f1 (x, y ) = xy
f2 (x, y ) = x 2 − y
f3 (x, y ) = x − 3y
x
f4 (x, y ) = √
y
Nota: estas fun¸˜es s˜o campos escalares.
co a
14/1

15. AM2
Exerc´
ıcios
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Fa¸a um esbo¸o do gr´fico das seguintes fun¸˜es:
c c a co
Linhas de n´
ıvel
Topologia
1 f (x, y ) = 5
Limites 2 f (x, y ) = x
Continuidade
3 f (x, y ) = x + y
4 f (x, y ) = y 2
5 f (x, y ) = 2 + cos(x)
6 f (x, y ) = x 2 + y 2
7 f (x, y ) = − x 2 + y 2 + 3
8 f (x, y ) = − x 2 + y 2 + 3
9 f (x, y ) = 9 − x2 − y2
√
10 f (x, y ) = − 25 − x 2
15/1

16. AM2
Dom´
ınio
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia Defini¸˜o (Dom´ de uma fun¸˜o)
ca ınio ca
Limites
Dada uma fun¸˜o f : Rn −→ Rm (n, m ≥ 1) define-se o
ca
Continuidade
dom´ınio de f por
Df = {x ∈ Rn : ∃1 y ∈ IR m , f (x) = y }
Exemplo:
x
f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que f (x, y ) = x + y , x − y , xy ,
y
tem como dom´ D = {(x, y ) ∈ R2 : y = 0}
ınio
16/1

17. AM2
1
⇒ a ∈ R {0}
Fun¸˜es
co a
√
Dom´
ınio a ⇒ a ∈ R+
0
Linhas de n´
ıvel
ln(a) ⇒ a ∈ R+
Topologia
Limites
|a| ⇒ a ∈ R
Continuidade an ⇒ a ∈ R (n ∈ N)
cos(a) ⇒ a ∈ R
sin(a) ⇒ a ∈ R
π
tan(a) ⇒ a ∈ R + kπ, k ∈Z
2
arccos(a) ⇒ a ∈ [−1, 1]
arcsin(a) ⇒ a ∈ [−1, 1]
arctan(a) ⇒ a ∈ R
...
17/1

18. AM2
Fun¸˜es
co Determine o dom´ das seguintes fun¸˜es e represente-o
ınio co
Dom´
ınio geometricamente:
Linhas de n´
ıvel 1 f (x, y ) = (ln(x), ln(y ), x − y )
Topologia
x
Limites
2 f (x, y ) = y
Continuidade 3 f (x, y ) = √ 1 2 2
4−x −y
√
4 f (x, y ) = ( −x 2 + 1, 4 − y 2)
−3
5 f (x, y , z) = ( √ , ze x , y )
x 2 +y 2 +z 2 −9
√
6 f (x, y ) = arcsin( x ) + xy
2
7 f (x, y ) = ln( x−y )
2x
8 f (x, y ) = y − 2x 2
18/1

19. AM2
Linhas e Superf´
ıcies de N´
ıvel
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel Defini¸˜o
ca
Topologia
Seja f : R2 −→ R chama-se curva ou linha de n´ k ao
ıvel
Limites
Continuidade
conjunto:
Nk = {(x, y ) ∈ R2 : k = f (x, y ), (x, y ) ∈ Df } (k ∈ Df )
Se f : R3 −→ R chama-se superf´ de n´ k ao
ıcie ıvel
conjunto:
Nk = {(x, y , z) ∈ R3 : k = f (x, y , z), (x, y , z) ∈ Df } (k ∈ Df )
http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/contours/index.html
19/1

20. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
20/1

21. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
21/1

22. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
22/1

23. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
23/1

24. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
24/1

25. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
25/1

26. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
26/1

27. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
27/1

28. AM2
Exerc´
ıcios
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel Calcule algumas linhas de n´ das fun¸˜es que se seguem at´
ıvel co e
Topologia conseguir fazer um esbo¸o do gr´fico da fun¸˜o:
c a ca
Limites
1 f (x, y ) = xy
Continuidade
2 f (x, y ) = x 2 − y 2
3 f (x, y ) = y − cos(x)
1
4 f (x, y ) = e x 2 +y 2
5 f (x, y ) = ln(x 2 + y 2 )
6 f (x, y ) = |x| + |y |
7 f (x, y , z) = x2 + y2 − z2
(ver figuras)
28/1

29. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
29/1

30. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
30/1

31. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
31/1

32. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
32/1

33. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
33/1

34. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
34/1

35. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
35/1

36. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
36/1

37. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
37/1

38. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
38/1

39. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
39/1

40. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
40/1

41. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
41/1

42. AM2
Distˆncia
a
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Defini¸˜o (Distˆncia)
ca a
Limites
Continuidade Dados dois pontos de Rn , P = (x1 , ..., xn ) e P = (x1 , ...xn ) a
distˆncia euclideana entre eles ´ dada por
a e
d(P, P ) = (x1 − x1 )2 + (x2 − x2 )2 + ... + (xn − xn )2
−→
−
Nota: d(P, P ) = ||PP || ´ a norma ou comprimento do vector
e
−→
−
PP .
42/1

43. AM2
Bola aberta ou Vizinhan¸a
c
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites Defini¸˜o (Bola aberta ou Vizinhan¸a)
ca c
Continuidade
Diz-se vizinhan¸a ε de um ponto a ∈ Rn (Bola aberta de
c
centro em a e raio ε) ao conjunto
Bε (a) = {x ∈ Rn : d(x, a) < ε}
ou
Bε (a) = {x ∈ Rn : ||x − a|| < ε}.
43/1

44. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio Calcule:
Linhas de n´
ıvel
B5 (3) =
Topologia
Limites
Continuidade
B2 (2, −3) =
B3 (1, 2, 3) =
44/1

45. AM2
Defini¸˜o
ca
Seja a ∈ Rn e X ⊂ Rn .
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio a ´ interior a X se
e
Linhas de n´
ıvel
Topologia
∃ε : Bε (a) ⊂ X ;
Limites
Continuidade
se existe uma Bola de centro em a toda contida em X .
a ´ exterior a X se
e
∃ε : Bε (a) ⊂ Rn X ;
se existe uma Bola de centro a que n˜o tem pontos de X .
a
a ´ fronteiro a X se ∀ε > 0
e
Bε (a) ∩ X = ∅ e Bε (a) ∩ (Rn X ) = ∅,
se qualquer Bola de centro em a tem pontos de X e de
Rn X .
45/1

46. AM2
Defini¸˜o
ca
Fun¸˜es
co
Seja a ∈ Rn e X ⊂ Rn .
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel a ´ ponto de acumula¸˜o de X se
e ca
Topologia
Limites ∀ε > 0, Bε (a) ∩ (X {a}) = ∅;
Continuidade
se qualquer vizinhan¸a de a tem infinitos pontos de X
c
distintos de a.
a ´ ponto isolado de X se
e
∃ε > 0, : Bε (a) ∩ X = {a};
se existe uma Bola de centro em a que o unico ponto que
´
tem de X ´ o pr´prio a.
e o
a ´ aderente a X se a ∈ X ou a ∈ fr (X )
e
46/1

47. AM2
Defini¸˜o
ca
Fun¸˜es
co
Interior de X : int(X ) ´ o conjunto dos pontos interiores
e
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
aX
Topologia Exterior de X :ext(X ) ´ o conjunto dos pontos exteriores
e
Limites aX
Continuidade
Fronteira de X : fr (X ) ´ o conjunto dos pontos fronteiros
e
de X
Derivado de X : X ´ o conjunto dos pontos de
e
acumula¸˜o de X
ca
¯ e
Aderˆncia de X : X ´ o conjunto dos pontos aderentes a
e
X
Teorema
int(X ) ∪ ext(X ) ∪ fr (X ) = Rn e s˜o disjuntos 2 a 2
a
47/1

48. AM2
Fun¸˜es
co Defini¸˜o
ca
Dom´
ınio
Um conjunto X de Rn ´
e
Linhas de n´
ıvel
Topologia
aberto se X = int(X ) (⇔ X ∩ fr (x) = ∅)
Limites
¯
fechado se X = X (⇔ fr (X ) ⊂ X )
Continuidade
limitado se existir uma bola que o contenha.
compacto se for limitado e fechado.
Nota:
Existem conjuntos que n˜o s˜o abertos nem fechados
a a
∅ e Rn s˜o abertos e fechados.
a
48/1

49. AM2 Seja X o conjunto de R2 colorido a vermelho:
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
Complete:
{ } ∈ int(X )
{ } ∈ ext(X )
{ } ∈ fr (X )
{ }∈X
{ ¯
}∈X
{ } ∈ Pontos Isolados de X
49/1

50. AM2
Exerc´
ıcios
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
1 Classifique topologicamente os conjuntos:
Topologia
1 A = (x, y ) ∈ R2 : −x 2 + 1 < y < −2x 2 + 2
Limites
2 B = (x, y ) ∈ R2 : |x| ≤ 1 ∧ |y | ≤ e x
Continuidade
3 C = (x, y ) ∈ R2 : (x 2 + y 2 − 1)(4 − x 2 − y 2 ) > 0
2 Calcule o dom´
ınio, Df , das seguintes fun¸˜es. Represente
co
geometricamente e classifique topologicamente Df .
1 f (x, y ) = x(1 − |y |)
x 2 +y 2
(x, y ) = (0, 0)
2 f (x, y ) = x−y
1 (x, y ) = (0, 0)
x
3 f (x, y ) = ln( y ) + arcsin(x 2 + y 2 )
4 f (x, y ) = ln(y − x) 9 − x 2 − (y + 1)2
50/1

51. AM2
Limite
Fun¸˜es
co
Defini¸˜o (Limite de campo escalar definido em R2 )
ca
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel Seja f : Df ⊆ R2 −→ R e (x0 , y0 ) um ponto de acumula¸˜o do
ca
Topologia dom´ Df .
ınio
Limites O limite de f (x, y ) quando (x, y ) tende para (x0 , y0 ) ´ l, e
e
Continuidade escreve-se
lim f (x, y ) = l
(x,y )→(x0 ,y0 )
se e s´ se
o
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x, y ) ∈ Df {(x0 , y0 )},
(x, y ) ∈ Bε (x0 , y0 ) =⇒ f (x, y ) ∈ Bδ (l)
ou seja,
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < ε =⇒ |f (x, y ) − l| < δ)
51/1

52. AM2
Geometricamente
Fun¸˜es
co Este limite implica que,
Dom´
ınio para qualquer ponto (x, y ) = (x0 , y0 ) do dom´ de f ,
ınio
Linhas de n´
ıvel no disco de raio ε,
Topologia o valor de f (x, y ) esteja entre os planos de equa¸˜o z = l − δ e
ca
Limites
z = l + δ,
Continuidade
ou seja, todos contidos no cilindro de raio ε e altura 2δ.
52/1

53. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
53/1

54. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
54/1

55. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
55/1

56. AM2
Exemplo:
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Vejamos se
Topologia
lim 5+4 x2 + y2 = 5
(x,y )→(0,0)
Limites
Continuidade
ou seja, vejamos se
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x, y ) ∈ Df {(0, 0)},
(x, y ) ∈ Bε (0, 0) =⇒ f (x, y ) ∈ Bδ (5)
ou seja,
(x − 0)2 + (y − 0)2 < ε =⇒ |f (x, y ) − 5| < δ)
1 1
Determine ε sendo δ = 10, δ = 10 , δ= 100 , δ qualquer...
56/1

57. AM2 Revis˜es:
o |ab| = |a| |b|
a |a|
Fun¸˜es
co =
Dom´
ınio
b |b|
Linhas de n´
ıvel
|a + b| ≤ |a| + |b|
Topologia
Limites
Continuidade ab = |a|b
√
|a| = a2
|a| ≤ a2 + b 2
a2
0≤ ≤1
a2 + b2
| sin(a)| ≤ 1
π
| arctan(a)| ≤
2 57/1

58. AM2
Exerc´
ıcios: I
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Mostre, por defini¸˜o de limite, que:
ca
Linhas de n´
ıvel 1 lim f (x, y ) = 0 onde f (x, y ) = 3 x 2 + y 2 cos(xy )
(x,y )→(0,0)
Topologia
Limites
Continuidade 2 lim f (x, y ) = 0 onde
(x,y )→(0,0)
f (x, y ) = 2 sin(x + y ) x 2 + y 2
3 lim f (x, y ) = 7 onde f (x, y ) = 2x + y
(x,y )→(2,3)
4 lim x =2
(x,y )→(2,1)
5 lim 4xy = 0
(x,y )→(0,0)
58/1

59. AM2
Exerc´
ıcios: II
Fun¸˜es
co x 2y 2
6 lim = 0 (ver fig.)
Dom´
ınio (x,y )→(0,0) x2 + y2
Linhas de n´
ıvel
Topologia
4x 3
Limites 7 lim =0
Continuidade (x,y )→(0,0) x 2 + y2
1
8 lim = 0 (se poss´ - ver fig.)
ıvel
(x,y )→(0,0) x 2 + y2
x 4 + 2y 3
9 lim =0
(x,y )→(0,0) x 2 + y 2
y
10 lim xy sin( ) = 0
(x,y )→(0,0) x
59/1

60. AM2
Exerc´
ıcios: III
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
11 lim (x 2 + y 2 ) arctan(xy ) = 0
(x,y )→(0,0)
60/1

61. AM2
Limite
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Defini¸˜o (Limite de campo escalar definido em Rn )
ca
Linhas de n´
ıvel Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e a um ponto de acumula¸˜o do
ca
Topologia dom´ Df .
ınio
Limites O limite de f (x) quando x tende para a ´ l, e escreve-se
e
Continuidade
lim f (x) = l
x→a
se e s´ se
o
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀x ∈ Df {a},
x ∈ Bε (a) =⇒ f (x) ∈ Bδ (l)
ou seja,
(x1 − a1 )2 + ...(xn − an )2 < ε =⇒ |f (x) − l| < δ)
61/1

62. AM2
Proposi¸˜o (Propriedades dos limites)
ca
Fun¸˜es
co Sejam f : Df ⊆ Rn −→ R e g : Dg ⊆ Rn −→ R duas fun¸˜es
co
Dom´
ınio escalares e a um ponto de acumula¸˜o de Df ∩ Dg .
ca
Linhas de n´
ıvel
Se limx→a f (x) = l1 e limx→a g (x) = l2 ent˜o
a
Topologia
Limites
O limite ´ unico.
e´
Continuidade
lim (f (x) + g (x)) = l1 + l2
x→a
lim (f (x).g (x)) = l1 .l2
x→a
f (x) l1
lim =
x→a g (x) l2
lim (cf (x)) = c.l1
x→a
62/1

63. AM2
Limite relativo
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio Defini¸˜o (Limite relativo a um conjunto)
ca
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Seja S um subconjunto de Df , f : Df ⊆ Rn −→ R e a um
Limites
ponto de acumula¸˜o do dom´ Df . O limite de f (x)
ca ınio
Continuidade
relativo a S quando x tende para a ´ l, e escreve-se
e
lim f (x) = l
x→a
x∈S
se e s´ se
o
∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀x ∈ S {a},
x ∈ Bε (a) =⇒ f (x) ∈ Bδ (l)
No caso em que S = (x, y ) ∈ R2 : y = mx + b a estes
limites chamam-se os limites direccionais.
63/1

64. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Proposi¸˜o
ca
Linhas de n´
ıvel Se o limite existir ent˜o o limite relativo a qualquer conjunto
a
Topologia existe e tem o mesmo valor.
Limites
Continuidade
Exerc´
ıcio:
Que pode concluir se encontrar dois limites relativos
diferentes?
iguais?
64/1

65. AM2
Exerc´
ıcios
Fun¸˜es
co Utilize limites relativos para estudar os limites:
Dom´
ınio x2
1 lim (ver fig.)
(x,y )→(0,0) x 2 + y 2
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites xy
Continuidade
2 lim (ver fig.)
(x,y )→(0,0) x 2 + y2
x
3 lim (ver fig.)
(x,y )→(0,0) x 2 + y2
x −y
4 lim
(x,y )→(0,0) x + y
4xy
5 lim
(x,y )→(0,0) x 2+ y2
xy 2
6 lim(x,y )→(0,0) (x+y 2 )2 65/1

66. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
66/1

67. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
67/1

68. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
68/1

69. AM2
Limites e propriedades
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Defini¸˜o (Limites iterados ou sucessivos)
ca
Linhas de n´
ıvel
Topologia Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) um ponto de acumula¸˜o do
ca
Limites dom´ Df , ent˜o os limites
ınio a
Continuidade
lim lim f (x, y ) , lim lim f (x, y )
x→a y →b y →b x→a
dizem-se limites iterados ou sucessivos.
Nota: o caso geral, de uma fun¸˜o definida em Rn , ´
ca e
limx1 →a1 (· · · (limxn →an f (x1 , · · · , xn ))).
Proposi¸˜o
ca
Se dois limites iterados forem diferentes (existirem e forem
finitos) ent˜o n˜o existe limite.
a a
69/1

70. AM2
Exerc´
ıcios
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites Utilize limites iterados para estudar os limites:
Continuidade
x − 2y
1 lim
(x,y )→(0,0) x + y
4xy
2 lim
(x,y )→(0,0) (x 2 + y 2 )5
70/1

72. AM2
Exerc´
ıcios Globais de Limites I
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio Estude a existˆncia dos seguintes limites.
e
Linhas de n´
ıvel x 4 + 2y 2
Topologia
1 lim
(x,y )→(0,0) x 2 + y 2
Limites
Continuidade
y2
2 lim
(x,y )→(0,0) x 2 + y2
x 2y
3 lim
(x,y )→(0,0) (x 2 + y 2 )2
y −2
4 lim
(x,y )→(−3,2) x + 3
72/1

73. AM2
Exerc´
ıcios Globais de Limites II
Fun¸˜es
co xy + 3
5 lim
Dom´
ınio (x,y )→(0,0) 1 − 2x 2
Linhas de n´
ıvel
Topologia
xy 2
Limites 6 lim
(x,y )→(0,0) x 2 + y 4
Continuidade
1
7 lim x sin
(x,y )→(0,0) y
xy
8 lim
(x,y )→(0,0) x 2 + 3y 2
x 2y
9 lim
(x,y )→(0,0) (x 2 + y )2
73/1

74. AM2
Exerc´
ıcios Globais de Limites III
Fun¸˜es
co
x 4y
Dom´
ınio
10 lim
(x,y )→(0,0) y 3 − x 6
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites x 2y
11 lim
Continuidade (x,y )→(0,0) (y + x 2 )2
x +y −2
12 lim
(x,y )→(1,1) x −y
13 limite de f nos pontos (0, 0); (1, 1); (1, 0); (0, 1), sendo

 1 − 2y + x se x + y < 1
f (x, y ) = 1 se x + y = 1
2 − x + y se x + 1 > 1.

74/1

75. AM2
Exerc´
ıcios Globais de Limites IV
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
14 limite de f nos pontos (1, 1); (−1, 0); (0, 2), sendo
Linhas de n´
ıvel 
Topologia  x +y se x > 0
Limites f (x, y ) = 2 se x = 0
x − y + 2 se x < 0.

Continuidade
15 indique para que pontos da recta y = −x existe limite de
f , sendo

 1 − 2y + x se x + y < 0
f (x, y ) = 4 se x + y = 0
6−x +y se x + 1 > 0.

75/1

76. AM2
Exerc´
ıcios Globais de Limites V
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio 16 limite de f nos pontos (1, 2); (2, 1); (2, 2), sendo
Linhas de n´
ıvel
Topologia 2x − y se y < x
f (x, y ) =
Limites x2 se y ≥ x.
Continuidade
17 lim g (x, y ) e lim g (x, y ) onde
(x,y )→(0,0) (x,y )→(0,2)
 4−x 2 −y 2
 e se x 2 + y 4 ≥ 4
g (x, y ) = e se (x, y ) = (0, 0)
1
se x 2 + y 2 < 4

x 2 +y 2
76/1

77. AM2
Exerc´
ıcios Globais de Limites VI
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
18 lim f (x, y ) onde
Continuidade (x,y )→(0,−4)
x2
x 2 +(y +4)2
se (x, y ) = (0, −4)
f (x, y ) =
1 se (x, y ) = (0, −4)
77/1

78. AM2
Limite
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Defini¸˜o (Limite de fun¸˜es vectoriais)
ca co
Topologia Seja
Limites
Continuidade f : Df ⊆ Rn −→ Rm
x −→ y = f (x) = (f1 (x), ..., fm (x))
e a um ponto de acumula¸˜o do dom´ Df =D
ca ınio .
f1 ∩Df2 ∩...∩Dfm
O limite de f (x) quando x tende para a ´ um vector de m
e
coordenadas onde cada uma corresponde ao limite da fun¸˜o
ca
coordenada respectiva. Assim
lim f (x) = lim f1 (x), ... lim fm (x)
x→a x→a x→a
78/1

79. AM2
Exerc´
ıcios
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
Calcule:
1 lim f (x, y ) onde f (x, y ) = (x 2 , xy 2 )
(x,y )→(1,2)
3xy
2 lim f (x, y ) onde f (x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 ), x 2 +y 2
(x,y )→(0,0)
79/1

80. AM2
Fun¸˜o composta (campos
ca
Fun¸˜es
co escalares)
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Defini¸˜o
ca
Topologia Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R e f : Df ⊆ R −→ R duas fun¸˜es
co
Limites escalares. Define-se a fun¸˜o composta de f com g como
ca
Continuidade
f : D ⊆ Rn −→ R
x −→ (f ◦ g )(x) = f (g (x))
sendo
D = {x ∈ Rn : x ∈ Dg ∧ g (x) ∈ Df }
80/1

81. AM2
Exerc´
ıcios
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
√
Continuidade 1 Seja f (t) = t e g (x, y ) = x 2 + y 2 + 2. Calcule
(f ◦ g )(1, 3), (f ◦ g )(1, 1) e (f ◦ g )(x, y ).
2 Seja f (t) = t 3 e g (x, y ) = x − 4y . Calcule (f ◦ g )(1, 3),
(f ◦ g )(1, 1) e (f ◦ g )(x, y ).
81/1

82. AM2
Fun¸˜o composta (campos
ca
Fun¸˜es
co vectoriais)
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Defini¸˜o
ca
Topologia
Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ Rp e f : Df ⊆ Rp −→ Rm duas
Limites
fun¸˜es vectoriais. Define-se a fun¸˜o composta de f com g
co ca
Continuidade
como
f ◦ g : D ⊆ Rn −→ Rm
x −→ (f ◦ g )(x) = f (g (x))
sendo
D = x ∈ Rn : x ∈ Dg ∧ g (x) ∈ Df
82/1

83. AM2
Exerc´
ıcios
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites 1 Seja f (u, v ) = (e u , e v ) e g (x, y , z) = (x 2 + 2y 2 + z 2 , xyz).
Continuidade
Calcule, se existir, (f ◦ g )(1, 2, 3), (f ◦ g )(1, 1, 1),
(f ◦ g )(x, y , z) e (g ◦ f )(x, y ).
2 Seja f (u, v ) = (u + v , u − v , uv ) e g (x, y , z) = (xy , yz).
Calcule, se exisitir, (f ◦ g )(1, 2, 3), (f ◦ g )(1, 1, 1),
(f ◦ g )(x, y , z) e (g ◦ f )(x, y ).
83/1

84. AM2
Continuidade
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Defini¸˜o
ca
Limites Seja f : Df ⊂ Rn −→ R, e a um ponto de Df . Diz-se que f ´
e
Continuidade cont´ınua em a se e s´
o
∃ lim f (x) e lim f (x) = f (a)
x→a x→a
Defini¸˜o
ca
f diz-se cont´
ınua num dado conjunto S se f ´ cont´
e ınua em
todos os pontos de S.
Nota: Se S = Df diz-se simplesmente que f ´ cont´
e ınua.
84/1

85. AM2
Propriedades das fun¸˜es
co
Fun¸˜es
co cont´
ınuas
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Proposi¸˜o
ca
Topologia
Limites
Sejam f e g duas fun¸˜es escalares com dom´ contido em
co ınio
Continuidade Rn e cont´
ınuas em a. Ent˜o,
a
f
f + g, f − g, f .g e (g (a) = 0)
g
s˜o cont´
a ınuas em a.
Proposi¸˜o
ca
Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R cont´
ınua em a e f : Df ⊆ R −→ R
cont´
ınua em g (a). Ent˜o
a
f ◦ g ´ cont´
e ınua em a.
85/1

86. AM2
Exerc´
ıcios I
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel Estude quanto ` continuidade:1 (ver figuras)
a
Topologia 1
Limites x2 + sin(x + y ) − e cos(y )
f (x, y ) =
Continuidade
x −3
2 
2xy
se (x, y ) = (0, 0)

f (x, y ) = x2+ y2
 0 se (x, y ) = (0, 0)
3
xy 2

se (x, y ) = (0, 0)

f (x, y ) = x2 + y2
0 se (x, y ) = (0, 0)

86/1

87. AM2
Exerc´
ıcios II
Fun¸˜es
co
4
 xy x 2 − y 2

Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel se (x, y ) = (0, 0)
f (x, y ) = x2 + y2
Topologia
0 se (x, y ) = (0, 0)

Limites
Continuidade 5 
 2x + 3y
se x = y
f (x, y ) = x −y
 5 se x = y
6 
 xy + 1
se y = x 2
f (x, y ) = x2 − y
 0 se y = x 2
7
1 − x 2 − y 2 se x 2 + y 2 ≤ 1
f (x, y ) =
0 se x 2 + y 2 > 1
87/1

88. AM2
Exerc´
ıcios III
Fun¸˜es
co
8
Dom´
ınio
x +y se x = y
Linhas de n´
ıvel f (x, y ) =
0 se x = y
Topologia
Limites 9
xy
Continuidade se x 2 = y 2
f (x, y ) = x2 − y2
0 se x 2 = y 2
10
(x − 1)y 2

se (x, y ) = (1, 0)

f (x, y ) = (x − 1)2 + y 2
10 se (x, y ) = (1, 0)

11
x + y se y ≤ x 2
f (x, y ) =
3x − 1 se y > x 2
88/1

89. AM2
Exerc´
ıcios IV
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
12
Limites
e y − 2x se y ≤ 2x
Continuidade f (x, y ) =
ln(y − 2x) se y > 2x
13 
 1 − 2y + x se y + x < 0
f (x, y ) = 4 se y + x = 0
6−x +y se y + x > 0

1
Pode confirmar usando http://math.hws.edu/xFunctions/
89/1

90. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
90/1

91. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
91/1

92. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
92/1

93. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
93/1

94. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
94/1

95. AM2
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia
Limites
Continuidade
95/1

96. AM2
Prolongamento cont´
ınuo
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Uma fun¸˜o f : Df ⊂ Rn −→ R diz-se prolong´vel por
ca a
Topologia
continuidade ao ponto a ( a ∈ Df ),
Limites se e s´ se
o
Continuidade
a ∈ Df e existe lim f (x) .
(x)→a
O Prolongamento (cont´
ınuo) de f a a ´
e
f (x) se x ∈ Df
f (x) = lim f (x) se x = a
x→a
Nota: esta fun¸˜o ´ cont´
ca e ınua.
96/1

97. AM2
Exerc´
ıcios I
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
Topologia Determine, se existirem, prolongamentos cont´
ınuos de:
Limites 1
−
1 f (x, y ) = e x 2 +y 2
Continuidade
1
2 f (x, y ) = x 2 cos x 2 +y 2
x 2y
3 f (x, y ) = x 4 +y −sin(x)
ao ponto (0, 0)
x2
4 f (x, y ) = x 3 +y −tan(x)
ao ponto (0, 0)
x 3 cos(y )+y 3 cos(x)
5 f (x, y ) = x 2 +y 2
ao ponto (0, 0)
97/1

98. AM2
Continuidade de fun¸oes vectoriais
c˜
Fun¸˜es
co
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel Defini¸˜o
ca
Topologia Uma fun¸˜o vectorial ´ cont´
ca e ınua num ponto se e s´ se todas
o
Limites as suas fun¸˜es coordenadas forem cont´
co ınuas nesse ponto.
Continuidade
Exerc´ ıcios:
Estude quanto ` continuidade a fun¸˜o vectorial
a ca
f (x, y ) = (f1 (x, y ), f2 (x, y )) onde
x5

se (x, y ) = (0, 0)

f1 (x, y ) = x2 + y2
1 se (x, y ) = (0, 0)

e
f2 (x, y ) = cos(x + y )
98/1

99. AM2
Fa¸a um esbo¸o das seguintes regi˜es
c c o
Fun¸˜es
co 1 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 3, z ≥ 0
Dom´
ınio
Linhas de n´
ıvel
2 (x, y , z) ∈ R3 : −9 ≤ − x 2 + y 2 , y ≥ 0
Topologia
3 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4, y ≤ 0
Limites
Continuidade
4 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16, z ≤ 0, x ≥ 0
5
(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0
6 (x, y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z ≤ 2 − x 2 + y 2, y ≥ 0
7 (x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≤ z 2 + 3, y ≤ x
8 (x, y , z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z ≤ 5 − x 2 + y 2, y ≥ 0
9
(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 ≥ 4, z ≥ x 2 + y 2 , z ≤ 9, x ≤ 0
99/1