1. Este documento apresenta um resumo das aulas da disciplina Mecânica Analítica II sobre Mecânica Hamiltoniana e sistemas dinâmicos. 2. A mecânica Hamiltoniana é apresentada como uma formulação alternativa à formulação Newtoniana e Lagrangiana da mecânica clássica. 3. Conceitos como a função Hamiltoniana, equações canônicas, princípios variacionais no espaço de fase, transformações canônicas e teoria de Hamilton-Jacobi são abordados como parte da mecânica Hamiltoniana.

1. Mecânica Analítica II
Mecânica Hamiltoniana e uma introdução a sistemas dinâmicos
Prof. Alysson F. Ferrari
sites.google.com/site/alyssonferrari
20 de janeiro de 2011

2. 2

3. Estas notas são essencialmente um resumo das aulas da disciplina e não cons-
tituem uma fonte de referência completa sobre os temas abordados, não subs-
tituindo assim a leitura da bibliografia recomendada. Em particular, pouca
atenção é dada para o rigor matemático da apresentação. Exemplos repre-
sentativos são muitas vezes usados para motivar conclusões gerais, sem uma
argumentação completa. Referências específicas à bibliografia da disciplina
são eventualmente feitos, mas na maioria dos casos, subentende-se que o es-
tudante complemente os comentários e exemplos aqui expostos com uma lei-
tura da fonte que lhe parecer mais conveniente.
Esta é uma versão ainda preliminar destas notas, portanto não divulgue este
material sem comunicar ao autor.
Bibliografia Básica:
• S. Thornton, J.B. Marion, Classical Dynamics of Particle and Systems.
• N.A. Lemos, Mecânica Analítica.
• L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Mecânica.
• H. Goldstein, C. Pole, J. Safko, Classical Mechanic.
Bibliografia Adicional:
• A. O. Lopes, Introdução à Mecânica Clássica.
• R.K. Symon, Mecânica.
• H.C. Corben, P. Stehle, Classical Mechanics.
• D.Kleppner e R. Kolenkow, An Introduction to Mechanics
• J.R. Taylor, Classical Mechanics
Alysson Fábio Ferrari
sites.google.com/site/alyssonferrari

4. 4

5. Sumário
1 Introdução / Motivação 7
1.1 Formulação Newtoniana da Mecânica Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Formulação Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Alguns conceitos e métodos de Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Mecânica Hamiltoniana: Equações Canônicas 27
2.1 A função Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 A Dinâmica em termos da Função Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Princípios Variacionais no Espaço de Fase 51
3.1 A ação como funcional e como função no espaço de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 O Princípio de Hamilton no Espaço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 O Princípio de Maupertius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Transformações Canônicas 63
4.1 Transformações de Coordenadas em Mecânica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Transformações de Coordenadas em Mecânica Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Transformações Canônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 Parêntesis de Poisson
Teorema de Liouville e de Poincaré 75
5.1 Parêntesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 A Mecânica Hamiltoniana em Termos dos Parêntesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Parêntesis de Poisson e Transformações Canônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 A Evolução Temporal como Transformação Canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5 Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Teoria de Hamilton-Jacobi 97
6.1 Teoria de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 A Equação de Hamilton-Jacobi e a Óptica Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3 A Teoria de Hamilton-Jacobi e a Mecânica Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Parêntesis de Poisson e Mecânica Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5 Invariantes Adiabáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5

6. 6 SUMÁRIO

7. Cap´tulo
ı 1
Introdução / Motivação
1.1 Formulação Newtoniana da Mecânica Clássica
É suposto que o estudante já tenha familiaridade com as Formulações Newtoniana e Lagrangiana da Mecânica
Clássica. Iremos revisar alguns de seus princípios básicos e, neste processo, vamos introduzir e revisar alguma
linguagem matemática e alguns métodos de resolução de equações diferenciais que talvez o estudante já tenha
aprendido em outras disciplinas.
A Formulação Newtoniana da Mecânica Clássica é baseada em três leis fundamentais descobertas por
Isaac Newton no século XVII.
• 1ª Lei: Na ausência de forças externas, um corpo permanece em repouso ou em movimento com velocidade constante.
⇒ essencialmente, incorpora o chamado princípio de inércia, já anteriormente descoberto por Galileu
Galilei
• 2ª Lei: A aceleração de uma partícula é diretamente proporcional à força total exercida sobre ela, e inversamente
proporcional a sua massa.
– Por inércia, um corpo tem seu estado de movimento inalterado (aceleração nula) a menos que haja
interação com algum outro corpo. O conceito de força representa matematicamente esta interação.
– Para fixar ideias, consideremos uma partícula com massa constante, em 1D. Sua posição é dada por
uma função x (t).
˙
A força em geral é função da posição x (t), da velocidade x (t) e do tempo t:
˙
F = F ( x (t) , x (t) , t)
A 2ª Lei de Newton escreve-se, matematicamente
¨ ˙
m x (t) = F ( x (t) , x (t) , t)
Trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO) de 2ª ordem no tempo.
– A 2º Lei de Newton nos informa portanto que a dinâmica de partículas clássicas é dada por EDOs de 2ª
ordem no tempo.
– Por simplicidade, de ora em diante vamos supor que as forças não dependem de velocidade.
• 3ª Lei: Se um corpo A exerce sobre o corpo B uma certa força F, então no mesmo instante de tempo o corpo B exerce
sobre A uma força contrária igual a − F
⇒ essencialmente, leva à conservação de momento linear e angular para um sistema de partículas
7

8. 8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
Exemplo 1. Massa presa a uma mola
• A equação de movimento para uma massa presa a uma mola escreve-se
1 1 k
¨
x (t) = F ( x (t)) = (−kx (t)) ⇒ x (t) + x (t) = 0
¨
m m m
• Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear e de 2ª ordem. Isso significa que existe uma solução
geral que depende de duas (por ser de 2ª ordem) constantes arbitrárias, A e B:
k k
x (t) = A sin t + B cos t .
m m
Qualquer solução da EDO tem necessariamente a forma acima, o que muda são apenas os valores de A
e B (é isto que significa o nome solução geral).
• Para determinar completamente a solução, temos que fixar A e B. Para tanto, necessitamos de duas
˙
condições iniciais: usualmente, x (t0 ) = x0 e x (t0 ) = v (t0 ) = v0 .
• Supondo t0 = 0:
x (0) = B = x0
k k k k
˙
x (t) = A cos t −B sin t
m m m m
k
⇒ x (0) = A
˙ = v0
m
m
⇒A= v0
k
logo:
m k k
x (t) = v0 sin t + x0 cos t
k m m
• Consideremos um sistema de N partículas. Cada uma é localizada pelo vetor posição
ri ( t ) = xi ( t ) x + yi ( t ) y + zi ( t ) z .
ˆ ˆ ˆ
Para cada partícula vale a 2ª Lei de Newton:
¨ 1
r1 ( t ) = F1 (r1 (t) , r2 (t) , . . . , r N (t) , t)
m1
¨ 1
r2 ( t ) = F2 (r1 (t) , r2 (t) , . . . , r N (t) , t)
m1
.
.
.
¨ 1
r N (t) = FN (r1 (t) , r2 (t) , . . . , r N (t) , t)
m1

9. 1.1. FORMULAÇÃO NEWTONIANA DA MECÂNICA CLÁSSICA 9
São N equações vetoriais. Cada uma implica em três equações escalares:

1
1  ¨
 xi (t) = mi Fix ( xi (t) , yi (t) , zi (t) , t)
¨
ri = Fi → ¨ 1
yi (t) = mi Fiy ( xi (t) , yi (t) , zi (t) , t)
mi  z (t) = 1 F ( x (t) , y (t) , z (t) , t)

¨i mi iz i i i
São portanto um total de 3N equações. Concluímos:
2ª Lei de Newton ⇒ um sistema físico de N partículas é descrito por 3N equações diferenciais
ordinárias de 2ª ordem no tempo
• Estas 3N equações determinam completamente a dinâmica do sistema conforme o tempo passa.
• Como as EDOs são de 2ª ordem no tempo, é preciso conhecer 2 × 3N = 6N condições iniciais para encon-
trar uma solução única. Tipicamente: 3N posições iniciais e 3N velocidades iniciais.
Sistemas mecânicos com vínculos
A formulação Newtoniana geralmente não é a mais adequada quando existem vínculos. Vejamos alguns exem-
plos:
Exemplo 2. N partículas sobre um plano
Sejam N partículas cujo movimento está restrito a um determinado plano. Escolhemos o referencial de tal
forma que este plano coincida com o eixo xy do referencial. Todas as N equações de movimento para os zi são
resolvidas trivialmente por zi (t) = 0; desta forma, restam apenas
3N − N = 2N
equações envolvendo os xi e yi a resolver. Neste caso, os vínculos zi = 0 reduzem o número de variáveis
independentes, e houve uma redução do problema tridimensional para um problema bidimensional.
Exemplo 3. Pêndulo duplo num plano vertical fixo
Inicialmente, temos 6 variáveis: x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 .
Temos quatro vínculos independentes:
y1 = 0 ; y2 = 0
x1 + z2 =
2
1
2
1 ; ( x1 − x2 )2 + ( z1 − z2 )2 = 2
2
Dois vínculos eliminam as variáveis y1 e y2 trivialmente. Pode-
mos, em princípio, usar as outras duas equações para, por exemplo,
eliminar z1 e z2 em termos de x1 e x2 , ficando estas duas como úni-
cas variáveis independentes. Ou seja, vale novamente a contagem:
6 variáveis − 4 vínculos = 2 variáveis independentes
Isso significa que é possível descrever toda a evolução do sis-
tema com apenas duas variáveis, que podem ser x1 e x2 , por exemplo.
Contudo, outra descrição possível, e geometricamente mais natural, é adotar os dois ângulos θ1 e θ2 como
variáveis independentes. Em termos destas variáveis, não se precisa sequer falar em vínculos, pois estes estão

10. 10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
automaticamente levados em conta na própria interpretação de θ1 e θ2 como os ângulos representados. θ1 e θ2
especificam completamente o estado do sistema e podem variar independentemente, sem restrição. Contudo,
como não são variáveis cartesianas, não sabemos de antemão quais são as equações de movimento, pois as
equações de Newton são dadas em coordenadas cartesianas.
Exemplo 4. Pêndulo simples
Vamos mostrar como se resolve um problema mecânico com vínculos
usando o formalismo de Newton. Vamos considerar o pêndulo simples.
Pela contagem de variáveis, temos: 3 variáveis inicialmente (x, y, z),
sujeitas a dois vínculos,
y=0 ; x 2 + z2 = 2
logo esperamos que o sistema seja descrito por uma única variável inde-
pendente.
A equação de Newton escreve-se
¨
mr ( t ) = m g + T
onde aparece uma força de vínculo T. Esta força não é conhecida de antemão, o que é um obstáculo na resolução
da equação acima.
Para evitar o problema, deve-se projetar a equação de Newton na direção tangencial ao vínculo, onde não
aparece a força T. Este é um problema geométrico, que neste caso em particular, pode ser facilmente resolvido.
Daí, a projeção da equação de Newton na direção tangencial escreve-se
¨ ¨ g
m θ (t) = −mg sin θ (t) ⇒ θ (t) + sin θ (t) = 0
que é uma EDO de 2ª ordem envolvendo unicamente a função θ (t).
˙
Esta equação pode ser resolvida em princípio, conhecendo-se as condições iniciais θ (t0 ) e θ (t0 ). Obtemos
assim a função θ (t). A partir dela, podemos determinar as posições,
x (t) = sin θ (t)
z (t) = cos θ (t)
bem como a força de vínculo,
r
T (t) = mg cos θ (t) .
r

11. 1.1. FORMULAÇÃO NEWTONIANA DA MECÂNICA CLÁSSICA 11
Ou seja, a força de vínculo é obtida após a solução do problema. Neste caso, a geometria era simples o suficiente
para que esta dificuldade fosse facilmente sobrepujada. Vejamos no próximo exemplo que nem sempre é
assim.
Exemplo 5. Uma conta deslizando, sem atrito, sobre um fio de metal
Um problema que parece muito simples à primeira vista mas que na
prática é terrivelmente difícil de tratar usando a mecânica de Newton:
considere uma conta deslizando, sem atrito, sobre um fio de metal curvo.
Neste caso, as forças de vínculo variam de direção ponto a ponto (são
sempre perpendiculares ao fio), e escrever as condições de vínculo torna-
se bastante difícil. A condição pode ser verbalmente dita da seguinte ma-
neira: o comprimento do menor segmento de linha perpendicular ao fio e passando
pela conta é nulo. Não é simples escrever um conjunto de equações que re-
presente esta condição.
Claramente, contudo, o movimento pode ser descrito por uma única
variável: s (t), a distância, ao longo da linha, desde um ponto inicial arbitrário. Isso significa que existem
duas equações de vínculo no problema, que reduzem o movimento tridimensional da conta a um movimento
descrito por uma única variável independente.
Seguindo o espírito da 2ª Lei de Newton, o movimento da conta deve ser regido por uma equação diferencial
de 2ª ordem envolvendo s (t). Obter esta equação, contudo, não é simples dada a geometria complicada do
problema.
• Dos exemplos vistos, sugerem-se algumas conclusões, que são discutidas em mais detalhes na bibliogra-
fia do curso (ver em particular a seção 1.2 de LEMOS, N.A.).
• Para vínculos que envolvem apenas as coordenadas do problema e do tempo, i.e., expressões da forma,
f (ri , t ) = 0
valem as seguintes conclusões gerais:
• A presença de vínculos implica na redução no número de variáveis necessárias para descre-
ver um sistema.
– Para um sistema com N partículas, inicialmente descrito por 3N variáveis, a
presença de p vínculos relacionando estas variáveis reduz o número de variá-
veis independentes para 3N − p.
– Neste caso, portanto, após projetar as forças e acelerações sobre os vínculos,
encontraremos 3N − p equações de movimento.
• Pode-se encontrar, em geral, um conjunto de variáveis que descrevem completamente o
sistema, e que podem variar independentemente, sem estarem sujeitas a qualquer vínculo.
Tais variáveis, contudo, em geral não são cartesianas.
• A mecânica clássica Newtoniana está naturalmente definida em coordenadas cartesianas. Para lidar
com problemas que envolvem vínculos, é desejável uma formulação em que se tenha a liberdade de
adotar coordenadas não-cartesianas para descrever o sistema, de tal forma que seja possível encontrar
facilmente as equações de movimento para tais coordenadas.

12. 12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
• Outros tipos de vínculo, que também envolvem velocidades, da forma geral
˙
f ri , ri , t = 0
também podem ser considerados com as ferramentas adequadas, mas não é nosso interesse tratar disso
aqui. Sempre que nos referimos a vínculos nesta aula, estamos nos referindo a vínculos que não
dependem de velocidades.
1.2 Formulação Lagrangiana
• A mecânica de Newton está baseada em vetores. A formulação Lagrangiana da mecânica baseia-se numa
função escalar, a Lagrangiana.
• Dada a Energia Cinética
N
1 2
˙
K ri = ∑ 2 mi ˙
ri
i =1
e a Energia Potencial U (ri , t), define-se a Função Lagrangiana como
˙ ˙
L ri , ri , t = K ri − U (ri , t ) .
• O princípio que vai fornecer as equações da dinâmica é o Princípio de Hamilton, que é um princípio
variacional.
Princípio de Hamilton
Dada uma configuração inicial r1 (t0 ) = r1i , r2 (t0 ) = r2i ,..., e uma configuração final
r1 t f = r1 f , r2 t f = r2 f ,..., de um sistema mecânico de N partículas, de todas as possí-
veis trajetórias r1 (t), r2 (t),..., tais que r (t0 ) = r i e r t f = r f , a trajetória efetivamente
seguida pelo sistema é aquela em que o valor da integral
ˆ tf ˆ tf
˙
L r , r , t dt = ˙
K r − U (r , t) dt
t0 t0
é mínimo.
´
• Uma condição necessária, mas não suficiente, para que o valor da integral Ldt seja mínimo para uma
´
dada trajetória, é que Ldt seja extremal para esta trajetória. Esta condição implica que as funções r1 (t),
r2 (t),..., solução para o problema mecânico segundo o princípio de Hamilton, obedecem a um conjunto
de equações chamadas de Equações de Euler-Lagrange, que em nossa notação atual se escreveriam:
 d ∂L ∂L
 dt ∂ xi − ∂xi = 0
 ˙
d ∂L ∂L
˙ − ∂yi = 0
 dt ∂yi
 d ∂L − ∂L = 0
˙
dt ∂yi ∂yi

13. 1.2. FORMULAÇÃO LAGRANGIANA 13
Trata-se de um conjunto de 3N equações diferenciais de 2ª ordem no tempo. Pode-se mostrar que tais
equações são sempre equivalentes às equações de Newton.
Interlúdio: Noções de cálculo variacional
O que significa que uma dada trajetória “extremiza” a integral?
Consideremos, por simplicidade, um problema unidimensional, que é descrito por uma única variável –
uma função x (t). Fixamos x0 = x (t0 ) e x f = x t f .
Seja uma caminho x (t) tal que x0 = x (t0 ) e x f = x t f . Queremos comparar a diferença entre o valor
´
da integral Ldt para o ´ caminho x (t) e um caminho “muito próximo” a x (t), como na figura. Se a diferença
entre o valor da integral Ldt entre os dois caminhos for nulo, em primeira aproximação, diz-se que a integral
é extremal para a função x (t), ou que a função x (t) extremiza a integral.
Para isso, vamos comparar x (t) com x (t) + η (t), onde η (t) é uma função “bem comportada” tal que
|η (t)| e |η (t)| são “muito pequenos” para t ∈ t0 , t f . Como os pontos extremos estão fixados, impomos que
˙
η (t0 ) = η t f = 0. Veja a figura abaixo:
Queremos calcular
ˆ tf
δ L ( x (t) , x (t) , t) dt
˙
t0
ˆ tf ˆ tf
≡ L ( x (t) + η (t) , x (t) + η (t) , t) dt −
˙ ˙ L ( x (t) , x (t) , t) dt
˙
t0 t0
ˆ tf
∂L ∂L
= η+ ˙
η dt
t0 ∂x ˙
∂x
ˆ tf tf
∂L d ∂L ∂L
= − ηdt + η
t0 ∂x ˙
dt ∂ x ˙
∂x t0
O último termo se anula pois η (t0 ) = η t f = 0. Como η é uma função arbitrária (salvo as condições já
impostas de “suavidade”), a única forma de anular a integral da última linha é se o integrando é identicamente
nulo, ou seja:
ˆ tf
∂L d ∂L
δ L ( x (t) , x (t) , t) dt = 0 ⇔
˙ − =0
t0 ∂x ˙
dt ∂ x
´
Daí vem a equação de Euler-Lagrange, satisfeita pela função x (t) que extremiza a integral Ldt.
´
O Princípio de Hamilton diz que a variação δ Ldt é nula quando x (t) é a solução do problema mecânico
considerado.

14. 14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
Exemplo 6. “Descobrindo” a solução do movimento uniformemente variado
• Considere um sistema unidimensional que se move sob a ação de uma força constante f 0
1
L ( x (t) , x (t) , t) = m [ x (t)]2 + f 0 x (t)
˙ ˙
2
Vamos supor que a solução do problema seja da forma genérica
x (t) = αt + βtγ
Fixamos os pontos iniciais e finais do movimento: x (0) = 0 e x (τ ) = . Desta última condição:
− βτ γ
x (τ ) = ατ + βτ γ = ⇒ α=
τ
e portanto
− βτ γ
x (t) = t + βtγ .
τ
Variando β e γ temos uma família de funções que passam pelos pontos inicias e finais fixados.
τ = 1s, = 1m, β ∈ [0, 1] , γ ∈ [0.5, 5]
• Conhecendo x (t), substituímos em L ( x (t) , x (t) , t)
˙
1 − βτ γ 2
L ( x (t) , x (t) , t) = m βγtγ−1 +
˙
2 τ
t ( − βτ γ )
+ k βtγ +
τ
e calculamos a integral em questão, obtendo uma expressão que vamos entender como uma função de β
e γ:
ˆ τ
f ( β, γ) = L ( x (t) , x (t) , t)
˙
0
k β ( γ − 1) τ γ m 2 β2 (γ − 1)2 τ 2γ
= τ − + +
2 γ+1 2τ 2γ − 1
• Escolhendo k, m e τ com valores unitários, podemos fazer um gráfico de f ( β, γ):

15. 1.2. FORMULAÇÃO LAGRANGIANA 15
• Não é elementar encontrar o ponto de mínimo deste gráfico. Para os valores citados acima, podemos
procurar numericamente os valores de β e γ onde se localiza o mínimo, usando para tal qualquer pacote
de cálculo numérico disponível. Os valores encontrados, neste caso, são: β = 0.5 e γ = 2.0.
• Ou seja, “descobrimos” pelo princípio de Hamilton que a solução para um problema de força constante
é da forma
− βτ γ 1
x (t) = t + t2 ,
τ 2
1 f0 2
que é justamente o que esperaríamos da conhecida expressão x (t) = x0 + v0 t + 2 mt .
Exemplo 7. Oscilador Harmônico em 1D: variáveis não-usuais
• Considere a Lagrangiana para um oscilador harmônico unidimensional,
1 1
L ( x (t) , x (t)) = m [ x (t)]2 − k [ x (t)]2
˙ ˙
2 2
¨
Equação de Euler-Lagrange: m x (t) + kx (t) = 0. A solução pode ser facilmente encontrada:
k
x (t) = A cos t+B
m
• Suponha que, por alguma razão, queiramos descrever o problema usando uma coordenada q definida
como:
q = x2
Então:
√ 1
x= q ; ˙
x= √ q˙
2 q
O Lagrangiano escrito nas coordenadas q:
1 q2 1
˙
L (q, q) = m − kq
˙
8 q 2

16. 16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
Equações de Euler-Lagrange nas coordenadas q:
∂L 1 q2 1
˙ d ∂L d 1 q ˙ 1 q 1 q2
¨ ˙
=− m 2− k ; = m = m − m 2
∂q 8 q 2 ˙
dt ∂q dt 4 q 4 q 4 q
1 q2
˙ k
⇒ q−
¨ +2 q = 0
2 q m
• Claramente, esta transformação de variáveis complica substancialmente a equação de movimento. Con-
tudo, para fins puramente didáticos, podemos verificar que
k
q (t) = x2 (t) = C cos2 t+D
m
é uma solução da equação acima. Ou seja, as soluções encontradas nas variáveis Q correspondem às
mesmas soluções encontradas na variável q, apenas sendo mapeadas pela mudança de coordenadas
que adotamos. É neste sentido que dizemos que a mecânica Lagrangiana é invariante sob transformações de
coordenadas.
Coordenadas Generalizadas
• A liberdade de se mudar variáveis em mecânica Lagrangiana sugere a definição de coordenadas generali-
zadas.
• Seja um sistema de N partículas sujeitas a p vínculos que só dependem de posição e do tempo,
f 1 (r1 , r2 , . . . , r N , t ) = 0
.
.
.
f p (r1 , r2 , . . . , r N , t ) = 0
então os p vínculos podem ser usados para eliminar p das 3N variáveis cartesianas originais que descre-
vem o sistema, restando 3N − p variáveis independentes necessárias para descrever a configuração do
sistema.
Lembramos que não vamos considerar aqui vínculos que dependem de velocidades: estes podem ser
tratados no formalismo Lagrangiano usando multiplicadores de Lagrange, tema que não nos interessa
abordar nesta disciplina.
• Como vimos nos exemplos, muitas vezes queremos usar 3N − p variáveis para descrever o sistema que
não são um subconjunto das 3N variáveis cartesianas originais, podendo ser em geral variáveis não-
cartesianas, como ângulos por exemplo.
Na formulação Lagrangiana, podemos escolher qualquer conjunto de 3N − p coordenadas generalizadas,
com a condição que a especificação destas 3N − p coordenadas especifica univocamente a posição de
cada partícula do sistema, e que elas possam variar independentemente, sem nenhum vínculo adicio-
nal.
• Sejam assim as 3N − p coordenadas generalizadas,
q1 = q1 (r1 , r2 , . . . , r N , t )
.
.
.
q3N − p = q3N − p (r1 , r2 , . . . , r N , t)

17. 1.2. FORMULAÇÃO LAGRANGIANA 17
que podemos representar como uma matriz coluna de 3N − p componentes:
 
q1
 q2 
q (t) = 
 
.
. 
 . 
q3N − p
Por princípio, deve ser possível inverter estas relações, escrevendo cada posição ri em termos das coor-
denadas generalizadas,
r1 = r1 q1 , q2 , . . . , q3N − p , t
.
.
.
r N = r N q1 , q2 , . . . , q3N − p , t
Desta forma, podemos re-escrever o Lagrangiano do sistema em coordenadas generalizadas,
L (qi , qi ) = K (q) − U (q, t)
˙ ˙
• A vantagem fundamental do princípio dinâmico da Mecânica Lagrangiana – o Princípio de Hamilton
– é que ele pode ser diretamente “traduzido” para coordenadas generalizadas, diferentemente do que
acontece com as leis de Newton, por exemplo.
Definindo a ação associada a um dado caminho q (t) que vai de uma configuração inicial q0 até uma
configuração final q f pela integral
ˆ tf
S [q (t)] = L (q, q, t) dt ,
˙
t0
o Princípio de Hamilton pode ser enunciado da seguinte forma:
Princípio de Hamilton
(em coordenadas generalizadas)
Dada uma configuração inicial q (t0 ) = q0 e uma configuração final q t f = q f , com
i = 1, . . . , 3N − p, de um sistema mecânico de N partículas, de todas as trajetórias q (t)
tais que q (t0 ) = q0 e q t f = q f , a trajetória efetivamente seguida pelo sistema é aquela
em que o valor da ação S [q (t)] é mínimo.
Do Princípio de Hamilton, obtêm-se as equações de Euler-Lagrange em coordenadas
generalizadas:
∂L d ∂L
− =0
∂qi ˙
dt ∂qi
para i = 1, . . . , 3N − p.
Exemplo 08 - O Pêndulo Simples
Da geometria do pêndulo simples (veja exemplo 4), é claro que podemos adotar como coordenada genera-
lizada o ângulo θ (t).

18. 18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
˙
A velocidade é sempre perpendicular à direção da haste, e tem módulo θ (t). Daí, a Lagrangiana pode ser
˙ ( t ),
facilmente reescrita em termos de θ (t) e θ
˙ 1 ˙
L r, r, t = mr2 − mgz (t)
2
1 2 ˙2
= m θ − mg cos θ
2
A equação de Euler-Lagrange fornece imediatamente:
∂L d ∂L ¨
= mg sin θ ; = m 2θ
∂θ ˙
dt ∂q
¨
⇒ m 2 θ − mg sin θ = 0
¨ g
⇒θ− sin θ = 0
No formalismo Lagrangiano, obtemos imediatamente as equações de movimento, o que, no formalismo
Newtoniano, exige uma projeção de forças e acelerações nas direções dos vínculos.
Espaço de Configuração
• Adotamos como coordenadas generalizadas qi (t) um conjunto mínimo de variáveis que especifica a po-
sição de cada partícula do sistema considerado num dado instante do tempo. O espaço das coordenadas
{qi (t)} é chamado de espaço de configuração. Sutilezas matemáticas à parte, é um espaço onde atribuí-
mos um eixo coordenado a cada coordenada generalizada qi . Desta forma, em determinado instante do
tempo, a posição de cada componente do sistema mecânico está completamente determinada por um
ponto no espaço de configuração.
• Conforme o tempo passa, este ponto vai se mover, desenhando uma trajetória. Esta trajetória é a repre-
sentação matemática, no espaço de configuração, da evolução temporal do sistema.
• Uma particularidade do espaço de configuração, cujas implicações ficarão mais claras na próxima seção
(e muito mais claras no capítulo ??), é que as equações dinâmicas são de 2ª ordem no tempo. Por isso,
de um mesmo ponto do espaço de configuração, podem partir diferentes trajetórias, correspondendo a
˙
condições iniciais com configuração idêntica (mesmo qi ), mas diferentes velocidades iniciais (diferentes qi ).

19. 1.3. ALGUNS CONCEITOS E MÉTODOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 19
Exemplo 8. O Espaço de Configuração do Pêndulo
• Para o pêndulo simples, o espaço de configuração é o segmento [−π, π ] da reta real. O espaço de confi-
guração é 1D, apesar do movimento real ser em duas dimensões, devido à existência de um vínculo.
• Para o pêndulo duplo, o espaço de configuração é um subconjunto do plano:
{q1 , q2 ; q1 ∈ [−π, π ] , q2 ∈ [−π, π ]}
Na verdade, como fisicamente a configuração especificada por qi = π e qi = −π são idênticas, temos
que identificar os lados opostos da figura acima, à direita. Isto significa que, para o pêndulo duplo, o
espaço de configuração na verdade é um toro bidimensional.
1.3 Alguns conceitos e métodos de Equações Diferenciais Ordinárias
Faremos agora um interlúdio para discutir alguns detalhes de uma ferramenta matemática essencial para a
discussão da Mecânica Clássica: a resolução de equações diferenciais ordinárias.

20. 20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
Sistemas de Equações Diferenciais de 1ª Ordem
• Para fixar ideias, vamos considerar um sistema de duas equações diferenciais ordinárias, mas os resulta-
dos aqui enunciados são de validade geral.
• Um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem no tempo é da forma geral:
˙
x (t) = F ( x (t) , y (t) , t)
˙
y (t) = G ( x (t) , y (t) , t)
Se as funções F e G não dependem explicitamente do tempo, o sistema é dito autônomo.
• Um problema de valor inicial consiste num sistema de equações diferenciais ordinárias, mais uma condição
inicial x (t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 . A solução de um problema de valor inicial é garantida por um teorema
de existência e unicidade:
Teorema de Existência e Unicidade
Dado o sistema de equações diferenciais ordinárias
˙
x (t) = F ( x (t) , y (t) , t)
˙
y (t) = G ( x (t) , y (t) , t)
se F e G são contínuas e possuem derivadas parciais contínuas numa dada região A =
[t1 , t2 ] × [ x1 , x2 ] × [y1 , y2 ], então dada uma condição inicial x (t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 com
{t0 , x0 , y0 } ∈ A, existe δ > 0 tal que existe e é única a solução da EDO com a condição
inicial dada, para t no intervalo (t0 − δ, t0 + δ).
Em particular, se as funções F e G são lineares em x e y,
˙
x (t) = a11 (t) x (t) + a12 (t) y (t) + f (t)
˙
y (t) = a21 (t) x (t) + a22 (t) y (t) + g (t)
a solução existe e é única por toda a região em que os coeficientes aij (t) , f (t) , g (t) são contínuos.
• O sistema de EDOs considerado tem a importante interpretação gráfica de representar um campo de
direções no plano { x, y}. Soluções particulares desta EDO são curvas que são tangentes ao campo de
direções em cada ponto. O teorema de existência e unicidade garante essencialmente que, satisfeitas
condições de regularidade do campo de direções considerados, fixado qualquer ponto do plano, existe
uma e somente uma curva que passa por este ponto e é sempre tangente ao campo de direções.

21. 1.3. ALGUNS CONCEITOS E MÉTODOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 21
Redução de Equações de 2ª Ordem para Equações de 1ª Ordem
• Considere uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem no tempo,
¨ ˙
x + a (t) x + b (t) x = f (t)
definindo
˙
y=x
podemos reescrever a equação inicial como
˙
y + a (t) y + b (t) x = f (t)
A equação diferencial de 2ª ordem
¨ ˙
x + a (t) x + b (t) x = f (t)
é equivalente ao sistema de equações diferenciais de 1ª ordem no tempo,
˙
x=y
y = − a (t) y − b (t) x + f (t)
˙
Ou seja: podemos baixar a ordem de uma equação diferencial, com o preço de aumentar a dimensiona-
lidade do espaço que estamos considerando.
• Em geral: um sistema mecânico de N partículas que seja descrito por M coordenadas generalizadas
(M pode ser menor que 3N, pois supomos que quaisquer vínculos presentes já foram levados em conta

22. 22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
na prescrição das coordenadas generalizadas) tem como equações dinâmicas M equações diferenciais
ordinárias de 2ª ordem,
q (t) = f (q (t) , q (t) , t) .
¨ ˙
Definindo
v (t) = q (t)
˙
temos, equivalentemente, o sistema de 2M equações de 1ª ordem
q (t) = v (t)
˙
v (t) = f (q (t) , v (t) , t)
˙
• A vantagem em se fazer tal redução é que a análise de equações de 1ª ordem no tempo pode ser feita
por métodos geométricos e qualitativos muito poderosos, que nos fornecem as características gerais das
soluções, mesmo sem resolver explicitamente as equações.
Exemplo 9. Movimento com aceleração constante
Considere o problema de uma partícula movendo-se em uma dimensão com aceleração constante. A solução
geral do movimento é da forma
1
x (t) = x0 + v0 t + at2 .
2
No gráfico, vemos três soluções do problema, com diferentes condições iniciais (escolhemos a = 2 m/s2 ).
Repare que soluções com condições iniciais diferentes partem de pontos coincidentes (soluções azul e
verde); além disso, soluções podem se cruzar com o passar do tempo.

23. 1.3. ALGUNS CONCEITOS E MÉTODOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 23
Reduzindo o sistema para equações de 1ª ordem, obtemos:
˙
x (t) = y (t)
˙
y (t) = a
A solução pode também ser encontrada por integração direta:
1
x (t) = x0 + v0 t + at2
2
y (t) = v0 + at
Podemos fazer os gráficos das mesmas soluções que consi-
deramos antes, agora no espaço bidimensional { x, y} (na mai-
oria dos sistemas computacionais disponíveis atualmente, tais
gráficos são chamados de gráficos paramétricos). Note que condi-
ções iniciais diferentes são representadas por pontos diferentes.
Além disso, não existe cruzamento de soluções. Como veremos
no capítulo ??, estas propriedades fazem com que, consideradas
em conjunto, as soluções das equações de movimento, no plano { x, y}, tem uma geometria muito mais simples
e que pode ser, em grande parte, compreendida sem a necessidade de se resolver efetivamente estas equações.
Equações Autônomas
• No caso particular de equações autônomas, i.e., quando não há dependência explícita no tempo
˙
x (t) = F ( x (t) , y (t))
˙
y (t) = G ( x (t) , y (t))
vale ainda o importante resultado: as soluções jamais se cruzam no plano { x, y}.
• O raciocínio é simples: suponha que duas soluções se cruzam em algum ponto ( x0 , y0 ).
Note que o cruzamento não precisa acontecer no mesmo instante de tempo, pois as soluções podem levar
tempos diferentes para chegar ao ponto de cruzamento.
Considere agora o seguinte problema de valor inicial: seja o sistema de equações diferenciais
˙
x (t) = F ( x (t) , y (t))
˙
y (t) = G ( x (t) , y (t))
com a condição inicial x (t0 ) = x0 , y (t0 ) = y0 , onde t0 é arbitrário. As duas soluções que supomos
existirem acima resolvem o problema de valor inicial enunciado acima – contrariando o teorema de
existência e unicidade.
• Note que, se o sistema não é autônomo, tais cruzamentos podem ocorrer desde que as soluções passem
pelo ponto de cruzamento em instantes diferentes. Como as equações diferenciais dependem explicita-
mente do tempo, problemas de valor inicial em tempos diferentes são efetivamente diferentes, então
podem resultar em soluções diferentes.
Equações Autônomas, Lineares, Homogêneas, de Coeficientes Constantes
• Consideremos a equação
˙
x (t) = a11 x (t) + a12 y (t)
˙
y (t) = a21 x (t) + a22 y (t)

24. 24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
reescrita de forma matricial,
˙
x (t) a11 a12 x (t) x (t)
= =A .
˙
y (t) a21 a22 y (t) y (t)
• Este é um similar matricial da equação x = ax, cuja solução sabemos ser x = ce at . Tentamos uma solução
˙
da mesma forma,
x (t) ξ1
= Xert = ert
y (t) ξ2
Substituindo na equação:
˙
x (t) x (t)
=A ⇒ rXert = A · Xert
˙
y (t) y (t)
⇒ (A − r ) · Xert = 0
• Lembre-se: para um sistema
b11 b12 ξ1
=0
b21 b22 ξ2
ter solução com ξ i = 0, o determinante da matriz 2 × 2 deve ser nulo.
• Então, voltando ao nosso ansatz, para termos uma solução não trivial de
(A − r ) · Xert = 0
deve valer que
det (A − r ) = 0
Esta é a equação secular. Como estamos lidando com matrizes 2 × 2, trata-se de uma equação de 2º grau
que tem duas soluções em geral complexas r1 e r2 , chamadas de autovalores do sistema.
• Resolvendo-se a equação secular, encontramos duas possíveis soluções,
x1 ( t ) x2 ( t )
= X 1 e r1 t ; = X 2 e r2 t
y1 ( t ) y2 ( t )
Como as EDOs são lineares, qualquer combinação linear destas soluções é solução,
x (t)
= c 1 X 1 e r1 t + c 2 X 2 e r2 t
y (t)
Pode-se mostrar que esta última expressão é a solução geral do problema proposto.
Exemplo 10. Uma EDO linear, homogênea, de coeficientes constantes
• Considere a equação
˙
x (t) 1 1 x (t)
=
˙ (t)
y 4 1 y (t)
• Equação secular:
1 1 1 0 1−r 1
det −r = det =0
4 1 0 1 4 1−r
r1 = 3
⇒ (1 − r )2 − 4 = 0 ⇒ duas soluções:
r2 = −1

25. 1.3. ALGUNS CONCEITOS E MÉTODOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 25
• r1 = 3:
(1)
−2 1 ξ1
(A − r1 ) · Xer1 t = 0 ⇒ (1) e3t = 0
4 −2 ξ2
(1) (1)
⇒ 2ξ 1 − ξ 2 = 0
Como todo sistema homogêneo, ele só tem solução se é indeterminado, e as duas equações resultam
(1) (1)
proporcionais. Podemos portanto escolher ξ 1 = 1, obtendo ξ 2 = 2. Ou seja, uma solução é da forma
1
e3t
2
• r2 = −1:
(1)
2 1 ξ1
(A − r2 ) · Xer2 t = 0 ⇒ (1) e−t = 0
4 2 ξ2
(1) (1)
⇒ 2ξ 1 + ξ 2 = 0
(1) (1)
Escolhendo ξ 1 = 1 obtemos ξ 2 = −2. Ou seja, uma solução é da forma
1
e−t
−2
• Solução geral:
x (t) 1 1
= c1 e3t + c2 e−t
y (t) 2 −2
1 1
Os vetores e definem duas direções em que as soluções se afastam/aproximam linear-
2 −2
mente da origem. As outras soluções não podem cruzar estas separatrizes e, além do mais, não podem
se cruzar. Todas as soluções, na proximidade da origem, tem portanto um comportamento como o da
figura:

26. 26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO / MOTIVAÇÃO
• O comportamento das soluções das equações depende basicamente dos autovalores da equação secular
det (A − r ) = 0. Pode-se fazer um catálogo bastante completo com o comportamento geral das soluções
dependendo destes autovalores. Maiores detalhes o leitor pode encontrar em qualquer bom livro de
Equações Diferenciais Ordinárias.
• De forma geral: para autovalores da forma r = a + ib, teremos
ert = e(a+ib)t = e at (cos bt + i sin bt)
O sinal positivo/negativo de a está associado ao afastamento/aproximação da solução em relação à origem.
Por outro lado, a parte imaginária b provoca uma rotação das soluções em torno da origem.
• Por exemplo:
– r1 e r2 reais e negativos: não há rotação, e as soluções tendem a se aproximar da origem.
– r1 e r2 complexos, com parte real negativa: as soluções se aproximam da origem, mas há rotação das
soluções devido à presença da parte imaginária dos autovalores.

27. Cap´tulo
ı 2
Mecânica Hamiltoniana: Equações Canônicas
2.1 A função Hamiltoniana
• Seja um sistema físico descrito por M coordenadas generalizadas qi , i = 1, . . . , M. De ora em diante,
vamos sempre supor que os índices i, j variam de 1 a M. Usaremos também a notação q para representar
coletivamente o conjunto de variáveis qi e similarmente para as velocidades q e outras grandezas que
˙
definiremos abaixo.
• O espaço cartesiano com coordenadas q (t) é chamado espaço de configuração do sistema considerado. Um
ponto no espaço de configuração está em correspondência biunívoca com uma configuração do sistema,
entendendo-se aí a posição de cada partícula que constitui tal sistema.
Conforme o tempo passa, o ponto que representa o sistema no espaço de configuração move-se, descre-
vendo uma trajetória no espaço de configuração. Toda a informação sobre a posição do sistema em cada
instante do tempo está contida nesta trajetória.
27

28. 28 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS
˙
• A função Lagrangiana deste sistema físico é uma função de qi , qi , t:
L = L (q, q, t)
˙
Sendo que a derivada total de L com respeito ao tempo é dada por:
d ∂L dqi ∂ L d qi
˙ ∂L
dt
L (q, q, t) =
˙ ∑ ∂qi dt
+∑
˙
∂qi dt
+
∂t
i i
∂L ∂L ∂L
=∑ qi + ∑
˙ ¨
q +
i
∂qi i
˙ i
∂ qi ∂t
Entendendo L como uma função num espaço com coordenadas (qi , qi ), que também pode adicional-
˙
mente variar com o tempo, interpretamos a expressão acima da seguinte forma: a variação de L no
tempo vem de duas partes:
– conforme o tempo passa, o ponto representativo do sistema se move no espaço (qi , qi ), e a função L
˙
∂L ∂L
assume em princípio valores distintos ao longo da trajetória deste ponto; os termos ∑i ˙
∂qi qi + ˙ ¨
∂ qi q i
dão conta da variação do valor de L ao longo da linha da trajetória
∂L
– além disso, L como função no espaço (qi , qi ) pode mudar conforme o tempo passa; o termo
˙ ∂t dá
conta desta possibilidade
• Efetuando-se uma integração por partes:
dL ∂L ∂L ∂L
dt
= ∑ ∂qi qi +
˙ ∑ ∂ qi qi
˙
¨ +
∂t
i i
d ∂L d ∂L
∑i dt ˙ ˙
∂ qi qi − dt ˙ ˙
∂ qi qi
d ∂L ∂L d ∂L ∂L
⇒ L−∑ ˙
q =∑ − ˙
q +
dt i
˙ i
∂ qi i
∂qi ˙ i
dt ∂qi ∂t
=0
Ou seja, se qi (t) corresponde a uma solução das equações de movimento do sistema, vale que

29. 2.1. A FUNÇÃO HAMILTONIANA 29
d ∂L ∂L
dt ∑ ∂ qi qi − L
˙
˙ =−
∂t
i
• Uma definição:
Para cada variável qi definimos o seu momento canonicamente conjugado
∂L
pi (q, q, t) =
˙ (q, q, t)
˙
˙
∂ qi
Note que qi é uma função unicamente de t; contudo, seu momento canonicamente conjugado, por hora,
˙
é em princípio uma função de qi , qi , t, pois é obtido por derivação da Lagrangiana, que por sua vez
depende destas variáveis.
• Reescrevemos nosso resultado, agora com todas as dependências explícitas
d
dt ∑ pi ( q ( t ) , q ( t ) , t ) qi ( t ) − L ( q ( t ) , q ( t ) , t )
˙ ˙ ˙
i
∂L
=− (q (t) , q (t) , t)
˙
∂t
Em suma, podemos definir uma função h da forma
h (q, p, q, t) =
˙ ∑ pi qi − L (q, q, t)
˙ ˙
i
˙
que, escrita assim, parece depender de qi , pi , qi , t. Provamos que esta função tem a propriedade de que
d ∂L
h (q, p, q, t) = −
˙ (q, q, t)
˙
dt ∂t
onde q (t) é uma solução das equações de Euler-Lagrange do sistema, e q (t) e p (t) são por sua vez
˙
obtidas a partir desta q (t).
Como anteriormente, a variação total no tempo da função h (q, p, q, t) teria em princípio duas partes:
˙
˙
– a variação de h devido à variação das coordenadas qi , pi , qi
– a variação devida à dependência explícita de h no tempo
˙
O resultado diz que esta primeira parte é inexistente, ou seja, h é uma função constante conforme qi , qi , pi
variam no tempo; h só pode variar no tempo se conter explicitamente uma dependência em t.
˙ ˙
• Embora escrevemos h como função de qi , pi , qi , t, na verdade é de se lembrar que qi , pi , qi não são real-
mente independentes, pois obedecem à relação de definição de pi , i.e.,
∂L
pi = (q, q, t) .
˙
˙
∂ qi

30. 30 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS
Para ver as consequências disso, consideramos a variação de h em relação a todas as variáveis que apa-
recem em sua expressão
dh = d ∑ pi qi − L
˙
i
∂L ∂L ∂L
= ∑ dpi qi + ∑ pi dqi − ∑
˙ ˙ dqi − ∑ d qi −
˙ dt
i i i
∂qi i
˙
∂ qi ∂t
∂L ∂L ∂L
=∑ pi − dqi + ∑ dpi qi − ∑
˙ ˙ dqi − dt
i
˙
∂ qi i i
∂qi ∂t
=0
∂L ∂L
dh = ∑ qi dpi − ∑ ∂qi dqi −
˙
∂t
dt
i i
Em suma, uma variação h é totalmente definida pelas variações de pi , qi e t. Isso torna possível considerar h
uma função unicamente de pi , qi , t, eliminando a dependência em qi . ˙
• Para tanto, voltamos à definição do momento, que pode ser escrita como
∂L
f i (q, p, q, t) = pi −
˙ (q, q, t) = 0 .
˙
˙
∂ qi
˙
que é uma equação envolvendo pi , qi , qi e t. Apenas para simplificar o raciocínio, consideremos qi e t
˙
como constantes. A pergunta é: em que condições conseguimos usar esta equação para escrever qi como
função de pi ?
A resposta é dada pelos matemáticos na forma do Teorema da Função Implícita. Ele garante basicamente o
seguinte:
∂f
Se temos uma relação f ( x, y) = 0 e ∂y = 0, então podemos usar
f ( x, y) = 0 para encontrar y em função de x, ou seja, encontrar
y = y ( x ).
Generalizando este resultado para uma função de várias variáveis como é o caso de f i (q, p, q, t),temos o
˙
seguinte: as derivadas parciais segundas de L definem o que se chama de matriz Hessiana:
∂2 L
Wij (q, q, t) =
˙ (q, q, t)
˙
˙ ˙
∂ qi ∂ q j
Então prova-se:
Se
∂2 L
det Wij = det =0
˙ ˙
∂ qi ∂ q j
então a equação que define o momento canonicamente conjugado pode ser
“invertida”, fornecendo as velocidades como funções dos momentos,
˙ ˙
qi = qi (q, p, t)

31. 2.1. A FUNÇÃO HAMILTONIANA 31
˙ ˙
• Tendo em mãos a relação qi = qi (q, p, t), podemos substituir na função h (q, p, q, t), que passará expli-
˙
citamente a depender apenas de qi , pi e t. Desta forma, estaremos definindo a função Hamiltoniana do
sistema,
H (q, p, t) = ∑ pi qi (q, p, t) − L (q, p, t)
˙
i
Note um pequeno abuso de notação aqui: L (q, p, t) é entendido como a expressão que se obtém ao substituir qi em
˙
L (q, q, t) pela sua expressão em termos de qi , pi , t.
˙
Exemplo 11. Partícula movendo-se em 1D sob ação de força constante
• Lagrangiana que define o sistema
1
L ( x, x ) = m x2 + f 0 x
˙ ˙
2
e sua correspondente equação de movimento:
∂L d ∂L
− = f0 − mx = 0
¨
∂x ˙
dt ∂ x
• Momento canonicamente conjugado
∂L
p= ˙
= mx
˙
∂x
• Função h = p x − L:
˙
1
h ( x, x, p) = p x − m x2 − f 0 x
˙ ˙ ˙
2
˙
Embora formalmente h dependa de x, x, p, note que
dh = pd x + xdp − m xd x − f 0 dx
˙ ˙ ˙ ˙
= ( p − m x ) d x + xdp − f 0 dx
˙ ˙ ˙
˙
e, como p = m x por definição,
dh = xdp − f 0 dx ,
˙
ou seja, h na verdade depende unicamente de x e p.
• Matriz Hessiana: neste caso,
∂2 L
=m=0
∂ x2
˙
e, de fato, como m = 0, podemos escrever
p
˙
x=
m
˙
• Reescrevendo x em termos de p, definimos a função Hamiltoniana como:
H ( x, p) = p x − L ( x, p)
˙
p 1 p 2
=p − m − f0 x
m 2 m
p2
= − f0 x
2m
que é explicitamente uma função apenas de x e p.

32. 32 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS
Exemplo 12. O pêndulo simples
• Lagrangiana que define o modelo:
˙ 1 ˙
L θ, θ = m 2 θ 2 + mg cos θ
2
• Momento canonicamente conjugado:
∂L ˙
pθ = = m 2θ
˙
∂θ
• Como
∂2 L 2
=m =0
˙
∂θ 2
˙
podemos encontrar θ em termos de p:
˙ pθ
θ=
m 2
• Função Hamiltoniana:
˙ ˙
H θ, θ = pθ θ − L
pθ 1 pθ 2
2
= pθ − m − mg cos θ
m 2 2 m 2
( p )2
= θ 2 − mg cos θ
2m
Observação: Se o potencial não depende de velocidades e se xi é uma coordenada cartesiana, seu momento
canonicamente conjugado será a i-ésima coordenada do vetor momento linear. De fato, se xi é cartesiana, sua
contribuição à energia cinética é da forma 2 m ( xi )2 , e daí
1
˙
∂L
pi = ˙
= m xi .
˙
∂ xi
Por exemplo, num sistema de coordenadas cilíndricas,
x = ρ cos φ
y = ρ sin φ
z=z

33. 2.1. A FUNÇÃO HAMILTONIANA 33
Pode-se mostrar que (exercício),
1
K= m ρ2 + ρ2 φ2 + z2
˙ ˙ ˙
2
Portanto,
∂L
pz = ˙
= mz
˙
∂z
Por outro lado,
∂L
pρ = ˙
= mρ
˙
∂ρ
∂L
pφ = = mρ2 φ
˙
˙
∂φ
O momento canonicamente conjugado a φ é justamente a componente do momento angular na direção z. Já
o momento canonicamente conjugado a ρ tem dimensão de momento linear, e na verdade corresponde à
projeção do momento linear na direção radial, embora neste caso ρ não seja uma coordenada cartesiana.
Num caso mais geral, em que a coordenada generalizada qi é qualquer grandeza perti-
nente à descrição da configuração do sistema, podemos não ter uma interpretação física
imediata para seu momento canonicamente conjugado pi .
Interlúdio: Transformação de Legendre
• O processo de se obter a função Hamiltoniana a partir da Lagrangiana não é nada mais do que um
caso particular de uma transformação de Legendre, que é um método geral para substituir uma função
que depende de um conjunto de coordenadas independentes por um outro conjunto de coordenadas
independentes.
• De fato, considere uma função qualquer dependendo de duas coordenadas f ( x, y). Se x, y são indepen-
dentes, uma variação geral de f é dada por
∂f ∂f
df = ( x, y) dx + ( x, y) dy
∂x ∂y
Vamos definir agora uma nova variável,
∂f
u= ( x, y) .
∂x
A primeira leitura desta equação é que u é uma variável dependente de x e y. Contudo, satisfeitas
certas condições, podemos também entender que u e y são independentes, e x é dependente das demais:
x = x (u, y).
• De fato, é possível obter a partir de f ( x, y) uma função que depende de y e u da seguinte forma: escre-
vendo
∂f
d f = udx + ( x, y) dy
∂y
por integração por partes:
∂f
d f = d (ux ) − xdu + ( x, y) dy
∂y
∂f
⇒d ( f + ux ) = − xdu + ( x, y) dy
∂y

34. 34 CAPÍTULO 2. MECÂNICA HAMILTONIANA: EQUAÇÕES CANÔNICAS
Ou seja, a função
g = f + ux
na verdade depende apenas de u e y. Supondo que a relação
∂f
u= ( x, y)
∂x
define implicitamente x como função de u e y,
x = x (u, y)
conseguimos obter a partir de f ( x, y) uma função
g (u, y) = f ( x (u, y) , y) + u x (u, y)
∂f
que depende só de y e u = ∂x .
• Esta tecnologia é amplamente usada na termodinâmica. Conhecemos por exemplo a variação de energia
interna U de um dado sistema,
dU = dQ − dW .
Por outro lado, a transferência de calor está associada a uma variação de entropia:
dQ = TdS
enquanto que o trabalho mecânico, a uma variação de volume,
dW = − PdV ,
de forma que
dU = TdS − PdV .
Daqui fica claro que a energia interna é função da entropia e do volume,
U = U (S, V )
e que
∂U ∂U
T= (S, V ) ; P=− (S, V ) .
∂S ∂V
• Em muitas ocasiões, contudo, trabalhamos com sistemas que estão a pressão constante e não a volume
constante, como por exemplo numa reação química em contato com a atmosfera terrestre. Seria preferível,
neste caso, trabalhar com uma grandeza termodinâmica que dependesse de P e não de V. Tal grandeza
pode ser obtida por uma transformação de Legendre:
dU = TdS − PdV
= TdS − d ( PV ) + VdP
⇒d (U + PV ) = TdS + VdP
Define-se assim a entalpia do sistema considerado, como função de S e P:
H (S, P) = U (S, V (S, P)) + PV (S, P) ,
onde V (S, P) é definido implicitamente por
∂U
P=− (S, V ) .
∂V
• Transformações de Legendre permitem grande liberdade na escolha de variáveis termodinâmicas, e co-
nectam todos os diferentes potenciais termodinâmicos: energia interna, entalpia, potencial de Gibbs e a
energia livre de Helmholtz.

35. 2.2. A DINÂMICA EM TERMOS DA FUNÇÃO HAMILTONIANA 35
2.2 A Dinâmica em termos da Função Hamiltoniana
• Vamos entender a função Hamiltoniana como uma função definida num espaço de coordenadas (q, p),
e que pode eventualmente depender explicitamente do tempo t.
• Dada uma solução q (t) em particular, podemos calcular q (t) e daí obter p (t) a partir da relação de
˙
definição
∂L
pi = (q, q, t) .
˙
˙
∂ qi
Podemos então imaginar um espaço com coordenadas qi e pi de tal forma que, conforme o tempo passa,
tanto qi quanto pi variam continuamente com o tempo, descrevendo um trajetória neste espaço.
Sob este ponto de vista, contudo, p e q não são coordenadas independentes, pois p é obtido a partir de
q.
• O objetivo fundamental de uma formulação da mecânica clássica é ter uma teoria que nos preveja a
dinâmica do sistema conforme o tempo passa. Na prática, ela deve fornecer um sistema de equações
diferenciais que, resolvidas para uma certa condição inicial (posição e velocidades iniciais) forneçam a
posição de cada partícula do sistema em cada instante futuro do tempo.
• Podemos, em princípio, adotar a seguinte filosofia: vamos entender o estado do sistema num determi-
nado instante como descrito tanto pelas coordenadas generalizadas q quanto pelos momentos canoni-
camente conjugados p, que passaremos a considerar como variáveis independentes entre si, e que dependem
do tempo. Num instante t0 , conhecemos seus valores iniciais, q0 = q (t0 ) e p0 = p (t0 ), e gostaríamos
de determinar as funções q (t) e p (t) para t > t0 , conhecendo assim o estado do sistema em instantes
futuros. Obviamente, as funções q (t) e p (t) deverão ser soluções de alguma equação diferencial.
Se as q (t) assim obtidas coincidirem com as soluções das equações de Euler-Lagrange do sistema, e se as
p (t) assim obtidas satisfizerem a relação p (t) = ∂L (q (t) , q (t) , t) /∂q, então diremos que estas novas
˙ ˙
equações diferenciais definem uma dinâmica que é equivalente às da Mecânica Lagrangiana.
• As equações diferenciais que permitirão encontrar q (t) e p (t) são obtidas da seguinte maneira: já vimos
que a variação de H como resultado de uma variação de qi , pi , t é dada por
∂L ∂L
dH (q, p, t) = ∑ qi dpi − ∑ ∂qi dqi −
˙
∂t
dt
i i