すごいH 第12章モノイド

12 章モノイド

HATATANI Shinta(@apstndb)

November 18, 2012

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自己紹介

@apstndb
千葉工業大学@津田沼修士課程
好きな言語は C++
BoostCon 2011 によると「Haskell は C++ TMP のための擬
似言語]
http://boostcon.boost.org/program/sessions#milewski-
haskell-the-pseudocode-language-for-c-template-
metaprogramming
乗るしかないこのビッグウェーブ
目標は光と闇が両方そなわり最強に見える感じ

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Section 1

12.1 既存の型を新しい型にくるむ

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11 章のおさらい

リストをアプリカティブファンクタにする方法は複数

1. 左辺のリストの関数と右辺のリストの値の全組み合わせ

ghci> [(+1),(*100),(*5)] <*> [1,2,3]
[2,3,4,100,200,300,5,10,15]

2. 左辺の関数を同じ位置にある右辺の値に適用
既にリストはアプリカティブなので，区別するために ZipList
a 型 (Control.Applicative) を導入

ghci> getZipList $ ZipList [(+1),(*100),(*5)]
<*> ZipList [1,2,3]
[2,200,15]

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ZipList はどう実装する？

別の型を作る必要がある

1. data を使う

data ZipList a = ZipList [a]

値を取り出すにはパターンマッチを使う

2. data のレコード構文を使う

data ZipList a = ZipList { getZipList :: [a] }

リストを取り出す getZipList 関数が手に入る
ある型の型クラスにするには deriving と instance を使う

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newtype

3. newtype を使う

newtype は「1 つの型を取り，それを何かにくるんで別の型に見
せかける」ことに特化

実際の ZipList a の定義

newtype ZipList a = ZipList { getZipList :: [a] }

Q data の代わりに newtype にしただけだけど何が良
くなるの？
A data はコンストラクタに包む時も解く時もランタ
イムのオーバーヘッドがある
newtype はコンパイル時のみ別の型として扱われ，
ランタイムにオーバーヘッドが無い

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newtype で deriving
可能なのは Eq, Ord, Enum, Bounded, Show, Read
GHC 拡張 GeneralizedNewtypeDeriving で任意の型クラス
包む型が既にそのインスタンスである

例えば

newtype CharList = CharList { getCharList :: [Char] }
deriving (Eq, Show)

ghci> CharList "this will be shown!"
CharList {getCharList = "this will be shown!"}
ghci> CharList "benny" == CharList "benny"
True
ghci> CharList "benny" == CharList "oisters"
False

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コンストラクタの型

CharList :: [Char] -> CharList

[Char](文字列) を受け取って CharList を返す

getCharList :: CharList -> [Char]

CharList を受け取って [Char](文字列) を返す
解釈

1. 包んだりほどいたり
2. 2 種類の型間の変換

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newtype を使って型クラスのインスタンスを作る (p.260)

型引数が一致しなくて型クラスのインスタンスにできない場合が
ある
Maybe を Functor にするのは簡単

class Functor f where
fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

に対して f = Maybe で

instance Functor Maybe where

とし，あとは fmap を実装するだけ

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タプルを Functor に

Q タプルを Functor にするには？
例えば，fmap が第一要素に対して働くようにしたい
(fmap (+3) (1, 1) が (4, 1) になる)
タプルのままだと型 (a, b) の a を fmap が変更する
ことを表すのは難しい．
A タプルを newtype して，2 つの型引数の順番を入れ
替えることで Functor のインスタンスにできる

newtype Pair b a = Pair { getPair :: (a, b) }

instance Functor (Pair c) where
fmap f (Pair (x, y)) = Pair (f x, y)

newtype で作った型にはパターンマッチも使える取り出したタプ
ルの第一要素 (x) に f を適用してから Pair x y 型に再変換

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この時 fmap の型は

fmap :: (a -> b) -> Pair c a -> Pair c b

class Functor f where
fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

の f = Pair c となる

ghci> getPair $ fmap (*100) (Pair (2, 3))
(200,3)
ghci> getPair $ fmap reverse (Pair ("london calling", 3))
("gnillac nodnol",3)

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newtype と遅延評価 (p.261)
newtype は既存の型を新しい型に変えるだけ
これらを Haskell は型としては区別するが，同一の内部表現を使う
newtype は data より高速なだけでなくパターンマッチがより怠
惰になる
Haskell はデフォルトが遅延評価
undefined を評価するとアウト

ghci> undefined
*** Exception: Prelude.undefined

評価しなければセーフ

ghci> head [3, 4, 5, undefined, 2, undefined]
3

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例えば data に対してパターンマッチをする関数を作る

data CoolBool = CoolBool { getCoolBool :: Bool }
helloMe :: CoolBool -> String
helloMe (CoolBool _) = "hello"

ghci> helloMe undefined
"*** Exception: Prelude.undefined

data で定義した型には複数の値コンストラクタがありうる

(CoolBool _) にマッチするか確認できるところまで評価が
必要
undefined を評価してしまう

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data ではなく newtype を使ったら？
newtype CoolBool = CoolBool { getCoolBool :: Bool }
helloMe :: CoolBool -> String
helloMe (CoolBool _) = "hello" -- 変更なし

ghci> helloMe undefined
"hello"

こちらは動く！
newtype を使った場合はコンストラクタが 1 つだけだと Haskell
が知っているので，評価をする必要がない
data と newtype は似ているが異なったメカニズム

data オリジナルな型を無から作り出す
パターンマッチは箱から中身を取り出す操作
newtype 既存の型をもとに，区別される新しい型を作る
パターンマッチはある型を別の方に直接変換する操作
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type vs. newtype vs. data(p.263)

type 既存の型に型シノニム (別名) を与える

type IntList = [Int]

[Int] 型に IntList という別名を付けただけで，値コンストラク
タなど使わなくても自由に交換可能

ghci> ([1,2,3] :: IntList) ++ ([1,2,3] :: [Int])
[1,2,3,1,2,3]

主に複雑な型に名前をつけて目的を分かりやすくするために使用

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newtype 既存の型から新しい型を作る
型クラスのインスタンスを作るために使用

newtype CharList = CharList { getCharList :: [Char] }

CharList と [Char] を++で連結することは不可
2 つの CharList を++で連結することも不可
CharList はリストを含んでもリストではない！
値コンストラクタ名とフィールド名が型の相互変換関数
型クラスは引き継がない．deriving するか宣言する
値コンストラクタもフィールドも 1 つの data は newtype に

data 自作の新しいデータ型を作る

フィールドとコンストラクタを複数持つデータ型を作れる
リスト, Maybe, 木, etc…
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12.1 のまとめ

型シノニム (type)
型シグネチャの整理や型名が体を表すようにしたい
newtype
既存の方をある型クラスのインスタンスにしたい
data
何かまったく新しいものを作りたい

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Section 2

12.2 Monoid 大集合 (p.265)

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型クラスは同じ振る舞いをする型のインターフェース

Eq 等号が使える
Ord 順序が付けられる
Functor, Applicative …

新しい型を作る時は欲しい機能の型クラスを実装する

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こんな型はどうだろう？
*は 2 つの数を取って掛け算する関数
1 * xもx * 1もx

ghci> 4 * 1
4
ghci> 1 * 9
9

++は二つのリストを連結する関数
x ++ [] も [] ++ x も x

ghci> [1,2,3] ++ []
[1,2,3]
ghci> [] ++ [0.5, 2.5]
[0.5,2.5]

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共通の性質
関数の引数は 2 つ
2 つの引数と返り値の型は同じ
相手を変えない特殊な値 (単位元) が存在する
3 つ以上の値をまとめる時，計算する順序を変えても同じ結
果 (結合的: associativity)

ghci> (3 * 2) * (8 * 5)
240
ghci> 3 * (2 * (8 * 5))
240
ghci> "la" ++ ("di" ++ "ga")
"ladiga"
ghci> ("la" ++ "di") ++ "ga"
"ladiga"

この性質を持つものこそがモノイド！
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Monoid 型クラス (p.266)
Data.Monoid に定義されている Monoid の定義
class Monoid m where
mempty :: m
mappend :: m -> m -> m
mconcat :: [m] -> m
mconcat = foldr mappend mempty

インスタンスは具体型だけ (m は型引数を取らない)
Functor や Applicative とは違う
mempty は単位元
mappend は固有の 2 項演算
名前は append とついているが，2 つの値から第 3 の値を返す
関数
mconcat はモノイドのリストから mappend で 1 つの値を計
算する関数
デフォルトは mempty を初期値にした右畳み込み

実装する必要があるのは mempty と mappend 23 / 59

モノイド則 (p.267)
モノイドが満たすべき法則

単位元
mempty `mappend` x = x
x `mappend` mempty = x
結合的
(x `mappend` y) `mappend` z = x `mappend` (y
`mappend` z)

満たしているかを Haskell は強制しないので，実際に法則を満た
すのはプログラマの責任
蛇足 mappend は GHC 7.4 から<>という別名ができた

fmap に対する<$>

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12.2 のまとめ

モノイドは

同じ型の 2 つの値からその型の 1 つの値を作る 2 項演算
モノイド則を守る必要がある
単位元
結合的

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Section 3

12.3 モノイドとの遭遇 (p.268)

26 / 59

リストはモノイド (p.268)

instance Monoid [a] where
mempty = []
mappend = (++)

リストは中身の型に関わらず Monoid

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モノイドとしてリストを使う

ghci> [1,2,3] `mappend` [4,5,6]
[1,2,3,4,5,6]
ghci> ("one" `mappend` "two") `mappend` "tree"
"onetwotree"
ghci> "one" `mappend` ("two" `mappend` "tree")
"onetwotree"
ghci> "one" `mappend` "two" `mappend` "tree"
"onetwotree"
ghci> "pang" `mappend` mempty
"pang"
ghci> mconcat [[1, 2], [3, 6], [9]] -- = concat
[1,2,3,6,9]
ghci> mempty :: [a] -- リストだと分かるように型注釈
[]

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モノイド則に交換法則はない

モノイド則は a `mappend` b = b `mappend` a を要求しない
交換法則は*は満たすが殆どのモノイドは満たさない！

ghci> "one" `mappend` "two"
"onetwo"
ghci> "two" `mappend` "one"
"twoone"

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Product と Sum(p.269)
数をモノイドにする方法は 2 つある

*を演算にして 1 を単位元にする
+を演算にして 0 を単位元にする

ghci> 0 + 4
4
ghci> 5 + 0
5
ghci> (1 + 3) + 5
9
ghci> 1 + (3 + 5)
9

2 つの方法を使い分けるために newtype がある

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Product の定義とインスタンス宣言 in Data.Monoid

newtype Product a = Product { getProduct :: a }
deriving (Eq, Ord, Read, Show, Bounded)

instance Num a => Monoid (Product a) where
mempty = Product 1
Product x `mappend` Product y = Product (x * y)

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Product を使ってみる

全ての Num のインスタンス a に対して Product が使える

ghci> getProduct $ Product 3 `mappend` Product 9
27
ghci> getProduct $ Product 3 `mappend` mempty
3
ghci> getProduct $ Product 3 `mappend`
Product 4 `mappend` Product 2
24
ghci> getProduct . mconcat . map Product $ [3,4,2]
24

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Sum

mappend として*ではなく+を使うのが Sum

ghci> getSum $ Sum 2 `mappend` Sum 9
11
ghci> getSum $ mempty `mappend` Sum 3
3
ghci> getSum . mconcat . map Sum $ [1,2,3]
8

Num a 自身は Monoid のインスタンスではない

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Any と All(p.271)

Bool もモノイドにする方法が 2 通りある

1. 論理和||をモノイド演算とし False を単位元とする

newtype Any = Any { getAny :: Bool }
deriving (Eq, Ord, Read, Show, Bounded)

instance Monoid Any where
mempty = Any False
Any x `mappend` Any y = Any (x || y)

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Any を使ってみる

1 つでも True があれば結果は True になる

ghci> getAny $ Any True `mappend` Any False
True
ghci> getAny $ mempty `mappend` Any True
True
ghci> getAny . mconcat . map Any $
[False, False, False, True]
True
ghci> getAny $ mempty `mappend` mempty
False

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All

2. 論理積&&をモノイド演算とし True を単位元とする

newtype All = All { getAll :: Bool }

instance Monoid All where
mempty = All True
All x `mappend` All y = All (x && y)

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All を使ってみる

全てが True の場合のみ結果が True になる

ghci> getAll $ mempty `mappend` All True
True
ghci> getAll $ mempty `mappend` All False
False
ghci> getAll . mconcat . map All $ [True, True, True]
True
ghci> getAll . mconcat . map All $ [True, True, False]
False

Monoid を使わなくても [Bool] -> Bool の関数 or や and が
ある

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Ordering モノイド
ghci> 1 `compare` 2
LT
ghci> 2 `compare` 2
EQ
ghci> 3 `compare` 2
GT

Ordering もモノイドにできる

instance Monoid Ordering where
mempty = EQ
LT `mappend` _ = LT
EQ `mappend` y = y
GT `mappend` _ = GT

左辺の値を優先することは辞書順比較のルールに則っている
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Ordering のモノイド則の確認

ghci> LT `mappend` GT
LT
ghci> GT `mappend` LT
GT
ghci> mempty `mappend` LT
LT
ghci> mempty `mappend` GT
GT

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Ordering を使う

2 つの文字列を引数にとり Ordering を返す関数
長さを比較した結果を返す
長さが同じ時は EQ ではなく文字列の辞書順比較の結果を
返す
素直な書き方

lengthCompare :: String -> String -> Ordering
lengthCompare x y = let a = length x `compare` length y
b = x `compare` y
in if a == EQ then b else a

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Ordering を使う 2

モノイドを活用した書き方

import Data.Monoid
lengthCompare x y = (length x `compare` length y)
`mappend` (x `compare` y)

ghci> lengthCompare "zen" "ants"
LT
ghci> lengthCompare "zen" "ant"
GT

41 / 59

Ordering を使う 3
2 番目に重要な条件として母音の数を比較したい

import Data.Monoid
lengthCompare x y = (length x `compare` length y)
`mappend` (vowels x `compare` vowels y)
`mappend` (x `compare` y)
where vowels = length . filter (`elem` "aeiou")

ghci> lengthCompare "zen" "anna" -- 1. 長さ
LT
ghci> lengthCompare "zen" "ana" -- 2. 母音
LT
ghci> lengthCompare "zen" "ann" -- 3. 辞書順
GT

比較条件に優先順位を付けるのに便利！
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Maybe モノイド (p.275)
Maybe a も複数の方法でモノイドになれる

1. a がモノイドの時に限り Maybe a も Nothing を単位元として
Just の中身の mappend を使うモノイド
instance Monoid a => Monoid (Maybe a) where
mempty = Nothing
Nothing `mappend` m = m
m `mappend` Nothing = m
Just m1 `mappend` Just m2 = Just (m1 `mappend` m2)
ghci> Nothing `mappend` Just "andy"
Just "andy"
ghci> Just LT `mappend` Nothing
Just LT
ghci> Just (Sum 3) `mappend` Just (Sum 4)
Just (Sum {getSum = 7})

失敗するかもしれない計算の返り値を扱うのに便利 43 / 59

First

a がモノイドでなければ使えない mappend を使わないなら任意の
Maybe をモノイドにできる

2. 第一引数が Just なら第二引数を捨てる

newtype First a = First { getFirst :: Maybe a }
deriving (Eq, Ord, Read, Show)

instance Monoid (First a) where
mempty = First Nothing
First (Just x) `mappend` _ = First (Just x)
First Nothing `mappend` x = x

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First を使ってみる

ghci> getFirst $ First (Just 'a') `mappend`
First (Just 'b')
Just 'a'
ghci> getFirst $ First Nothing `mappend`
First (Just 'b')
Just 'b'
ghci> getFirst $ First (Just 'a') `mappend`
First Nothing
Just 'a'
ghci> getFirst . mconcat . map First $
[Nothing, Just 9, Just 10]
Just 9

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Last

3. 第 2 引数が Just なら第 1 引数を捨てる

Data.Monoid に Last a も用意されている

ghci> getLast . mconcat . map Last $
[Nothing, Just 9, Just 10]
Just 10
ghci> getLast $ Last (Just "one") `mappend`
Last (Just "two")
Just "two"

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余談単位元が無かったら？

モノイドは主に畳み込みに使われる

Q リストの畳み込みだけなら mempty が無くてもでき
るのでは？
A foldr1 のように空リストの場合にエラーを吐くか，
結果の型が Maybe m になる

空リストでも使える畳み込み mconcat :: [m] -> m にモノイド
は必要十分

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12.3 のまとめ

今まで見てきた型にもモノイドがある
newtype で複数のインスタンスを持つ場合も
リスト
ZipList
Num
Sum
Product
Bool
Any
All
Ordering
Maybe
First
Last

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Section 4

12.4 モノイドで畳み込む (p.277)

49 / 59

Foldable

リストが畳み込めるのは分かった．
リスト以外のデータ構造は畳み込めないの？

それ Foldable でできるよ！

Functor: 関数で写せるものを表す型クラス
Foldable: 畳み込みできるものを表す型クラス

Data.Foldable Foldable 用の foldr, foldl, foldr1, foldl1 を含む

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Foldable を見てみよう

Prelude のものと区別するために別名を付ける

import qualified Data.Foldable as F

ghci> :t foldr
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
ghci> :t F.foldr
F.foldr :: (F.Foldable t) =>
(a -> b -> b) -> b -> t a -> b

t = [] で等価
F.foldr は Foldable なら畳み込みできるので，より一般化

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Foldable を使ってみよう
ghci> foldr (*) 1 [1,2,3]
6
ghci> F.foldr (*) 1 [1,2,3]
6

リストでは同じ動作

Q リスト以外のデータ構造は？
A Maybe も Foldable ！

ghci> F.foldl (+) 2 (Just 9)
11
ghci> F.foldr (||) False (Just True)
True

Nothing 値が 0 要素，Just 値が 1 要素のリストのように振る舞う
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7 章の木構造を Foldable にしてみよう

data Tree a = EmptyTree | Node a (Tree a) (Tree a)
deriving (Show)

を Foldable にすれば畳み込みが可能になる．

ある型コンストラクタを Foldable のインスタンスにするには
foldr か foldMap を実装すれば良い
foldMap 関数の方が簡単

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foldMap とは

foldMap :: (Monoid m, Foldable t) => (a -> m) -> t a -> m

a -> m: 中身からモノイドへ変換する関数
t a: Foldable な構造
m: 結果のモノイド値
構造の中身をモノイド値に変換してから畳み込む関数

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Foldable Tree のインスタンス宣言

instance F.Foldable Tree where
foldMap f EmptyTree = mempty
foldMap f (Node x l r) = F.foldMap f l `mappend`
f x `mappend`
F.foldMap f r

左右の部分木，ノードの値それぞれがモノイドになるので
`mappend`できる．
順番が大事！

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Foldable Tree の使用
実際に使う場合は，具体的な変換関数を渡す必要は無い

testTree = Node 5
(Node 3
(Node 1 EmptyTree EmptyTree)
)
(Node 9
)

リストと同様の畳み込み関数が使用可能に

ghci> F.foldl (+) 0 testTree
42
ghci> F.foldl (*) 1 testTree
64800
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foldMap を直接使う
Foldable のインスタンスを定義する以外にも foldMap は役立つ
木の中に 3 に等しい数があるかを調べる

ghci> getAny $ F.foldMap (x -> Any $ x == 3) testTree
True

モノイド値 Any は True になるものが一つでもあれば畳み込みの
結果 True になる．

ghci> getAny $ F.foldMap (x -> Any $ x > 15) testTree
False

リストもモノイドなので，任意の Foldable をリストに変換できる．

ghci> F.foldMap (x -> [x]) testTree
[1,3,6,5,8,9,10]

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蛇足

Q なんで foldMap を定義するだけで foldr, foldl, foldr1,
foldl1 が定義できるんだろう？
A 本物のプログラマは Haskell を使う
第 34 回　様々なデータ構造で fold を使えるように
する Foldable クラス by @shelarcy
http://itpro.nikkeibp.co.jp/article/COL-
UMN/20091009/338681/

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12.4 のまとめ

Foldable を実装すると
任意の構造で fold ファミリが使えるようになる！
構造からリストを作るのも簡単

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