1. Université A. Belkaïd – Tlemcen
Faculté des Sciences
Département d'Informatique
Année universitaire 2019-2020
3e
année licence informatique
Introduction à
l’Intelligence Artificielle
Corrigé-type
de l’examen de
Rattrapage
16 novembre 2020
NOM : ........................................................
PRÉNOM :..................................................
Durée : 1 h
Questions de cours (5 pts)
1) Le facteur de branchement (cochez la ou les bonnes réponses) :
□ est égal au nombre maximum d’actions de la solution optimale
☑ est égal au nombre maximum d’actions possibles à partir d’un état
□ est égal au nombre maximum de nœuds qui se trouvent sur un même niveau de l’arbre
☑ est égal au nombre maximum de fils que peut avoir un nœud dans l’arbre de recherche
□ est égal au nombre maximum d’états qui se trouvent dans le graphe d’espace d’états
2) Reliez les points par une ou plusieurs flèches :
L’algorithme d’exploration itérative en profondeur
(IDS) est ●
● optimal ●
● complet ●
● toujours
● seulement s’il n’y a pas de boucles
● seulement si le coût des actions est égal à 0
● si le coût des actions est égal à 1
● seulement si la profondeur de l’arbre est finie
● jamais
3) L’algorithme ci-contre correspond à quel(s) type(s)
d’exploration ? (cochez la ou les bonnes réponses)
☑ en largeur d’abord
☑ en profondeur d’abord
□ itérative en profondeur
☑ gloutonne
☑ A*
□ en graphe
☑ en arbre
4) L’heuristique exacte (h = h*) : (barrez la ou les réponses fausses)
• est admissible
• est cohérente
• permet à l’exploration gloutonne d’être optimale
• permet à l’exploration A* d’utiliser moins de mémoire
• permet à l’exploration A* d’être plus rapide
• est généralement trop difficile à calculer pour être utilisée
5) Soit un problème d’exploration pour lequel on utilise l’algorithme A* en arbre avec l’heuristique cohérente h1. Si on remplace h1
par une autre heuristique cohérente h2 qui domine h1, que cela changera-t-il ? (cochez la ou les bonnes réponses)
□ On aura plus de chances de trouver la solution s’il y en a une.
□ On aura plus de chances de trouver la solution la moins coûteuse.
☑ On trouvera la solution plus rapidement.
☑ On utilisera moins de mémoire pour trouver la solution.
□ Rien, puisque les deux heuristiques sont cohérentes.
□ Rien, car dans les deux cas l’algorithme A* en arbre ne sera pas optimal.
2. Exercice 1 (6 pts)
Soit le problème d’exploration dont le graphe de l’espace
d’états est donné ci-contre. (S = état initial, G = état but).
Les coûts des actions sont indiqués sur les arêtes et h est
la fonction heuristique employée.
1) h est-elle admissible ? Expliquez pourquoi. (1 pt)
h(S) = 3 ≤ h*(S) = 1+1+2 = 4
h(A) = 3 ≤ h*(A) = 1+2 = 3
h(B) = 1 ≤ h*(B) = 1+2 = 3
h(C) = 0 ≤ h*(C) = 2
h(G) = 0 ≤ h*(G) = 0
donc h est admissible
2) h est-elle cohérente ? Expliquez pourquoi. (1 pt)
h(A) – h(C) = 3 – 0 = 3 > coût(A,C) = 1
donc h n’est pas cohérente
3) Donnez l’ordre dans lequel seront développés les états, puis le chemin renvoyé, avec l’algorithme d’exploration A* en graphe.(1,5 pt)
états explorés (développés) : S, B, C, A, G
chemin renvoyé : S – B – C – G
4) L’algorithme A* en graphe est-il optimal dans ce cas ? Expliquez pourquoi. (1 pt)
Il est clair que le chemin optimal est S – A – C – G (de coût 4) alors que le chemin renvoyé par l’algorithme A* en
graphe est S – B – C – G (de coût 5). L’algorithme n’est pas optimal en raison du fait qu’il utilise une heuristique
non cohérente.
5) On veut changer la valeur de l’heuristique pour un des états de ce problème de façon à ce que les réponses aux questions 1), 2)
et 4) soient toutes oui. Est-ce possible ? Si oui, dans quel intervalle doit être cette valeur pour pouvoir le permettre ? (1,5 pt)
Pour que l’heuristique soit cohérente (donc admissible) et donc pour que l’algorithme soit optimal, on peut changer
la valeur de h(C) en prenant h(C) = 2 (ni plus, car h(C) – h(G) deviendrait supérieur à 2, ni moins, car h(A) – h(C)
resterait supérieur à 1).
Exercice 2 : Un jeu de pions (E. Lucas, 1883) (9 pts)
En 1883, dans son livre « Les Récréations Mathématiques », Édouard Lucas décrit comme suit un petit jeu de casse-tête qui se joue à
un seul joueur et qu’il appelle tout simplement « Un jeu de pions » :
On place sur les cases d’une bande formée d’un nombre impair
de carrés un nombre égal de pions blancs et noirs, séparés par
une case vide ; tous les pions blancs se trouvant à gauche, et les
pions noirs à droite. Il s’agit de faire passer les pions blancs à
la place des pions noirs, en profitant de la case vide.
Appelons n le nombre de cases du jeu. Dans les
figures ci-dessous, n = 9, mais ce n’est qu’un exemple.
Figure 1 : Le casse-tête au départ
On adopte les règles suivantes : Les pions peuvent avancer
d’une case, en allant toujours de gauche à droite, pour les pions
blancs ; et en sens inverse, pour les pions noirs. Un pion peut
franchir un pion d’une autre couleur, dans le sens de son
mouvement exigé, pour venir se placer sur la case vide
immédiatement voisine.
Figure 2 : Un pion blanc a avancé d’une case
Figure 3 : Un pion noir a franchi (sauté) un pion blanc
Figure 4 : Le casse-tête une fois résolu (jeu gagné !) Figure 5 : Ici, c’est perdu : aucun pion ne peut être déplacé !
1) En utilisant une représentation simplifiée des états pour le problème, représentez par un graphe l’espace des états complet pour
n = 3. Mettez en évidence dans le graphe l’état initial et l’état but. (2 pts)
On peut par exemple représenter un état par une chaîne de n caractères où ‘B’ symbolise un pion blanc, ‘N’ un noir
et ‘_’ la case vide.
3. ↗
BN_ → _NB
↘
B_N N_B
État
initial
↘
_BN → NB_
↗ État
but
2) Maintenant et dans les questions suivantes, on veut appliquer les algorithmes d’exploration pour résoudre ce problème pour n = 5.
Figure 6 : Le casse-tête pour n = 5
Quelle est la taille de l’espace des états ? (Choisissez la bonne réponse) (1 pt)
a) 8 b) 12 c) 23 d) 32 e) 120 f) 125
3) Afin de simplifier l’exploration, on commence d’abord par avancer un pion blanc ; on débutera l’exploration à partir de là. (3 pts)
Figure 7 : Départ de l’exploration
Par ailleurs, on supposera qu’en cas d’égalité des priorités et s’il faut choisir entre
déplacer un pion blanc et déplacer un pion noir, on donnera la priorité au pion noir.
a) Donnez l’ordre dans lequel seront développés les états par l’exploration en
profondeur d’abord.
B_BNN, BNB_N, BNBN_, BN_NB, BNN_B, _NBNB, N_BNB, NNB_B, NN_BB
b) Donnez le chemin renvoyé par l’algorithme d’exploration en profondeur d’abord.
B_BNN→BNB_N→BNBN_→BN_NB→_NBNB→N_BNB→NNB_B→NN_BB
4) Quel critère (qualité) d’un algorithme d’exploration permet de garantir que la solution sera toujours trouvée ? (1 pt)
La complétude.
5) Supposons maintenant que l’on ne donne pas la priorité aux pions noirs mais que l’on fasse les choix de façon aléatoire. Dans ce
cas, retrouve-t-on la qualité donnée dans la question précédente pour l’exploration... :(2 pts)
a) ...en largeur d’abord ? Expliquez pourquoi.
Oui, l’exploration en largeur d’abord est toujours complète
b) ...en profondeur d’abord ? Expliquez pourquoi.
Oui, les seuls cas où l’exploration en profondeur d’abord n’est pas complète sont :
• si la taille de l’espace d’états est infinie : ce n’est évidemment pas le cas ici
• si le graphe d’état comporte des cycles : comme les pions ne peuvent avancer que dans un sens, il est
impossible de retourner sur un état déjà parcouru, ce n’est donc pas le cas non plus.
Question bonus (facultative) : Pour améliorer l’exploration, on veut utiliser une heuristique. Les heuristiques suivantes sont-elles
admissibles ? Expliquez.
h1 = nombre de pions blancs qui sont encore dans les (n+1)/2 cases de gauche
h2 = somme des positions des pions noirs (la case la plus à gauche correspondant à la position zéro)
Bon courage,
A. Brikci-Nigassa
amine.brikcinigassa@univ-tlemcen.dz
