La curva di distribuzione di Gumbel

1. Le precipitazioni estreme
Gumbel
Riccardo Rigon
Kandinski-CompositionVI(Ildiluvio)-1913

2. R. Rigon
Il problema da risolvere con l’ausilio della teoria delle
probabilità e dell’analisi statistica
E’ dunque quello di determinare, per ogni durata, la corrispondenza tra
quantili (assegnati tempi di ritorno) e altezza di precipitazione.
Per ogni durata si cercherà dunque di interpolare i dati ad una distribuzione di
probabilità. La famiglia di curve candidata per questo scopo è la Curva dei
valori estremi di tipo I, o curva di Gumbel
b è un parametro di forma, a un parametro di posizione (la moda)
P[H < h; a, b] = e e
h a
b
⇥ < h < ⇥
2

3. R. Rigon
Distribuzione di Gumbel
3
Analisi dei massimi di precipitazione

4. R. Rigon
Distribuzione di Gumbel
4
Analisi dei massimi di precipitazione

5. R. Rigon
Distribuzione di Gumbel
La media della distribuzione e data da:
E[X] = b + a
dove:
è la costante di Eulero-Mascheroni:
0.57721566490153228606
5
Analisi dei massimi di precipitazione

6. R. Rigon
Distribuzione di Gumbel
La mediana:
La varianza :
a b log(log(2))
V ar(X) = b2
2
6
La moda:
6
Analisi dei massimi di precipitazione

7. R. Rigon
Distribuzione di Gumbel
La forma standard della distribuzione (rispetto alla quale si trovano tabulate
le grandezze significative) è
Rispetto alla forma standard:
7
Analisi dei massimi di precipitazione

8. R. Rigon
0 50 100 150
0.00.20.40.60.81.0
Precipitazione [mm]
P[h]
1h
3h
6h
12h
24h
!8
Va cercata una curva di Gumbel per ogni durata
Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica

9. R. Rigon
0 50 100 150
0.00.20.40.60.81.0
Precipitazione [mm]
P[h]
1h
3h
6h
12h
24h
Tr = 10 anni
h1 h3 h6 h12 h24
!9
Allora
scelto un tempo di ritorno si ottengono i punti che vanno interpolati
Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica

10. R. Rigon
0 5 10 15 20 25 30 35
406080100120140160180
Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica
h [mm]
t[ore]
!10
Si ottengono infine per interpolazione le
Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica

11. R. Rigon
0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0
6080100120140160
Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica
t [ore]
h[mm]
!11
Si ottengono infine per interpolazione le
Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica