It contains the derivation of the Richards equation

1. L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
L’equazione di Richards
Riccardo Rigon
JayStrattonNoller,GlobalSoilScapes,Desert
Detail,2007

2. R. Rigon
Obbiettivi:
!2
L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
•Introdurre l’equazione di Richards

3. R. Rigon
Una legge di conservazione si esprime come:
!
La variazione della quantità nel volume di controllo è uguale a tutto
quello che entra meno quello che esce dalla superficie del volume di
controllo sommato algebricamente a quella parte della quantità che si
trasforma in altre cose
Jv y z (Jv +
Jv
x
x) y z
!3
La conservazione della massa
Equazioni ed esperimenti

4. R. Rigon
meno quella che si trasforma (in ghiaccio e vapore, per esempio)
Jv y z (Jv +
Jv
x
x) y z
!4
La conservazione della massa
Equazioni ed esperimenti

5. R. Rigon
Se, per il momento, trascuriamo le transizioni di fase, la variazione di
massa d’acqua nell’unità di tempo si scrive:
dMw
dt
=
d( wVw)
dt
Se la densità dell’acqua si assume costante:
dMw
dt
= w
d(Vw)
dt
e in genere, anzichè considerare la variazione eil flusso di massa, si
considera la variazione volumetrica
!5
La conservazione della massa
Equazioni ed esperimenti

6. R. Rigon
La variazione volumetrica, a sua volta, viene normalmente scritta in
termini del contenuto d’acqua adimensionale:
dove si considera che il volume di suolo Vs è costante nel tempo
!6
La conservazione della massa
d(Vw)
dt
=
Vs
Vs
d(Vw)
dt
= Vs
d w
dt
Equazioni ed esperimenti

7. R. Rigon
Il flusso d’acqua attraverso le superfici del volumetto elementare di lati
x y z
e la somma di tre contributi ognuno per ogni coppia di lati
Jv y z (Jv +
Jv
x
x) y z
!7
L’equazione di continuità
Equazioni ed esperimenti

8. R. Rigon
Per esempio, per i lati paralleli al piano yz, come si deduce dalla figura
(Jv +
Jv
x
x) y z (Jv) y z
Jv y z (Jv +
Jv
x
x) y z
!8
L’equazione di continuità
Equazioni ed esperimenti

9. R. Rigon
Ripetendo l’operazione per le altre due coppie di lati si ottengono, dopo
aver fatto le opportune sottrazioni
Jv y z (Jv +
Jv
x
x) y z
Jv
x
x y z +
Jv
y
x y z +
Jv
z
x y z
ovvero, se il volumetto è infinitesimo, il teorema della divergenza.
Pertanto !9
L’equazione di continuità
Equazioni ed esperimenti

10. R. Rigon
Jv y z (Jv +
Jv
x
x) y z
!10
L’equazione di continuità
⇤ w
⇤t
= ⇥ · ⌃Jv(⇥)
Equazioni ed esperimenti

11. R. Rigon
V a r i a z i o n e d i
contenuto d’acqua
nel suolo nell’unità
di tempo
Divergenza del flusso
volumetrico attraverso
il contorno del volume
infinitesimo
Richards,1931
!11
⇤ w
⇤t
= ⇥ · ⌃Jv(⇥)
L’equazione di continuità
Equazioni ed esperimenti

12. R. Rigon
Hydraulic capacity of
the soil
!12
Ignore soil hysteresis
and think of the SWRC as a function that relates water content to matric
pressure
⇤ (⇥)
⇤t
=
⇤ (⇥)
⇤⇥
⇤⇥
⇤t
C(⇥)
⇤⇥
⇤t

13. R. Rigon
!13
Se = [1 + ( ⇥)m
)]
n
Se :=
w r
⇥s r
C(⇥)
⇤⇥
⇤t
= ⇥ · K( w) ⇥ (z + ⇥)
⇥
K( w) = Ks
⇧
Se
⇤
1 (1 Se)1/m
⇥m⌅2
SWRC +
Darcy-Buckingham
(1907)
Parametric
Mualem (1976)
Parametric
van Genuchten
(1981)
C(⇥) :=
⇤ w()
⇤⇥
L’equazione di Richards!
L’equazione di Richards

14. R. Rigon
Termine gravitativo,
legato
al gradiente
della conducibilità
idraulica verso il basso
Termine avvettivo
con
trasporto di psi
nella direzione
del gradiente della
conducibilità idraulica !14
L’equazione di Richards!
C(⇥)
⇤⇥
⇤t
= ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2
(z + ⇥)
⇥
⇤⇥
⇤t
=
1
C(⇥)
⇥K( w) · ⇥z +
1
C(⇥)
⇥K( w) · ⇥⇥ +
K( w)
C(⇥)
⇥2
(z + ⇥)
⇥
L’equazione di Richards

15. R. Rigon
Velocità di avvezione
della pressione
!15
L’equazione di Richards!
C(⇥)
⇤⇥
⇤t
= ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2
(z + ⇥)
⇥
⇤⇥
⇤t
+ u(⇥) · ¯⇥⇥ =
1
C(⇥)
⇥K( w) · ⇥z +
K( w)
C(⇥)
⇥2
⇥
⇧u( ) :=
⇧⇥ K( )
C( )
L’equazione di Richards

16. R. Rigon
Derivata Totale
!16
L’equazione di Richards!
C(⇥)
⇤⇥
⇤t
= ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2
(z + ⇥)
⇥
D⇥
Dt
=
1
C(⇥)
⇥K( w) · ⇥z +
K( w)
C(⇥)
⇥2
⇥
D
Dt
:=
⇥
⇥t
+ ¯u( ) · ¯⇥
L’equazione di Richards

17. R. Rigon
Termine diffusivo
Diffusività idraulica
!17
L’equazione di Richards!
C(⇥)
⇤⇥
⇤t
= ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2
(z + ⇥)
⇥
D⇥
Dt
=
1
C(⇥)
⇥K( w) · ⇥z +
K( w)
C(⇥)
⇥2
⇥
D( ) :=
K( )
C( )
L’equazione di Richards

18. R. Rigon
Termine diffusivoTermine gravitativo,
legato al gradiente
della conducibilità
idraulica verso il basso
Termine avvettivo con
trasporto di psi nella
direzione del gradiente
della conducibilità
idraulica !18
L’equazione di Richards!
C(⇥)
⇤⇥
⇤t
= ⇥K( w) · ⇥ (z + ⇥) + K( w) ⇥2
(z + ⇥)
⇥
⇤⇥
⇤t
=
1
C(⇥)
⇥K( w) · ⇥z +
1
C(⇥)
⇥K( w) · ⇥⇥ +
K( w)
C(⇥)
⇥2
(z + ⇥)
⇥
L’equazione di Richards

19. R. Rigon
Geometria del dominio di integrazione
Per risolvere l’equazione di Richards, la prima cosa da fare è assegnare la
geometria del dominio di integrazione. Che può essere assegnata, per
esempio a partire dall’analisi del terreno effettuata con un GIS
ModifiedfromAbbotetal.,1986
!19
L’equazione di Richards

20. R. Rigon
!20
Come si risolve un’equazione ?
(differenziale alle derivate parziali )
Esiste
Soluzione
analitica ?
Si determinano le
condizioni iniziali
Si determinano le
condizioni al contorno
L’equazione di Richards

21. R. Rigon
Unsaturated Layer
Surface Layer
Saturated Layer:!
Surface boundary
condition
Bottom Boundary
condition
Condizioni al contorno
ModifiedfromAbbotetal.,1986
!21
L’equazione di Richards

22. R. Rigon
Le condizioni al contorno sulla superficie del suolo è:
Kz
⇥
⇥z
+ Kz = J(t)
Dove J(t) è la pioggia, se il primo strato di suolo non è saturo, perchè
altrimenti l’acqua è costretta a ruscellare superficialmente
!22
Condizioni al contorno
L’equazione di Richards

23. R. Rigon
Le condizioni al contorno in fondo al dominio di integrazione può essere
sia una condizione di flusso gravitazionale
Di fondo impermeabile:
⇥
⇥z
= 0
⇥
⇥z
= 1
O condizioni intermedie (si noti che le condizioni al contorno sono del
secondo tipo o di Neumann, ovvero assegnano la derivata dell’incognita)
!23
Condizioni al contorno
L’equazione di Richards

24. R. Rigon
Condizioni iniziali
Per poter risolvere l’equazione differenziale è necessario assegnare anche
delle condizioni iniziali, che corrispondono alla distribuzione della
suzione all’instante t=0.
!
Tale assegnazione non è in genere un problema banale perchè corrisponde
ad indovinare il campo spaziale di cui si vuole valutare l’evoluzione, o ad
estrapolare alcuni punti di misura su tutto lo spazio.
Per esempio la condizioni in figura è una condizione “idrostatica sulla verticale” ...
!24
L’equazione di Richards

25. R. Rigon
!25
Come si risolve un’equazione ?
(differenziale alle derivate parziali )
Risoluzione
numerica
Esiste
Soluzione analitica ?
no
si
Stampa il risultato
L’equazione di Richards

26. R. Rigon
!26
Risoluzione numerica
Si sceglie un metodo
numerico
Si discretizzano
le equazioni
Si scrive un
programma che le
risolva
Si “compera”
un codice che la
risolva
L’equazione di Richards

27. R. Rigon
!27
Esecuzione
Si determinano
i parametri
Condizioni
iniziali
Condizioni
al contorno
Esecuzione del
codice numerico
Stampa il risultato
L’equazione di Richards

28. R. Rigon
Ora che possiamo, idealmente, pensare di aver assegnato:
!
- la geometria del dominio
- le condizioni iniziali
- le condizioni al contorno
!
In generale NON esistono soluzioni analitiche dell’equazione di Richards,
se non per alcune particolarissimi casi in cui i parametri siano
“linearizzati”. Per avere soluzioni, bisogna dunque:
!
- fare delle semplificazioni dell’equazione
!
oppure
!
- risolverla numericamente
!28
How to
L’equazione di Richards