7 inferenza statisticae-statisticadescrittiva

Inferenza statistica e statistica
descrittiva

Lucio Fontana - Expectations (MoMA), 1959

Riccardo Rigon

Tuesday, March 6, 12

“`E ’na cosa

che serve pe’ fa’ un conto in generale

de la gente che nasce, che sta male,

che more, che va in carcere e che
sposa.”

Trilussa


“There are three kinds of lies:
•lies,
•damn lies,
and
•statistics”
(Benjamin Disraeli/Mark Twain)


Misura e Rappresentazione delle Grandezze Idrologiche

Obbiettivi:

•In queste pagine si ricordano gli elementi fondanti dell’analisi statistica.

•Si definiscono, popolazione, campione e varie statistiche elementari, media,
varianza, covarianza.

•Si discute dell’esistenza delle statistiche e del loro valore.

•Si introduce il concetto di campione casuale (random sampling).

4

Riccardo Rigon


Statistiche

Popolazione e Campione

L’inferenza statistica assume che un insieme di dati rappresenti un
sottoinsieme di casi tra tutti i possibili, normalmente detto

campione.

Tutti i casi possibili rappresentano la

popolazione

da cui l’insieme di dati è stato estratto. Il campione è noto. La popolazione,
in genere no. Sulla popolazione, è sempre implicito, si fanno delle ipotesi.

5

Riccardo Rigon


Statistiche

Analisi Esplorativa dei dati
rappresentazione temporale - istogramma

Un insieme di n dati costituisce dunque un campione di dati.
a) Bergen:Sep temperature
15

14

Temperature (oC)
13

12

11

10

9

8
1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
time

b) Bergen:Sep temperature distribution (1861−1997)
30

25

20
Frequency

15

10

5

0
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Temperature (oC)

Tali dati possono essere rappresentati in vari modi. Ogni forma di
rappresentazione ne mette in rilievo alcune caratteristiche. 6

Riccardo Rigon


Statistiche


15

14

Serie
Temperature (oC)
13

temporale
12

11

10

9

8
1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
time

30

25

20
Frequency

15

10

5

0
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Temperature (oC)


Riccardo Rigon


Statistiche


15

14

Serie
Temperature (oC)
13

temporale
12

11

10

9

8
1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
time

30

25

20
Frequency

Istogramma 15

10

5

0
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Temperature (oC)


Riccardo Rigon


Statistiche

Medie campionarie

Assegnato il campione, possono essere calcolati varie statistiche. Per
esempio:
n
1
x :=
¯ x,t Media temporale
n t=1

n
1
< x >:= xi Media spaziale
n i=1

La media è un indicatore di posizione

7

Riccardo Rigon


Inferenza statistica e statistica descrittiva

Inferenza statistica
Corrado Caudek

8

Riccardo Rigon




•L’inferenza statistica è il processo che consente di formulare delle
conclusioni relative ad una popolazione sulla base di un campione di
osservazioni estratte a caso dalla popolazione
Corrado Caudek

8

Riccardo Rigon





•Centrale all’inferenza statistica classica è la nozione di distribuzione
campionaria, ovvero come variano le statistiche dei campioni, se i campioni
casuali aventi la stessa grandezza n vengono ripetutamente estratti dalla
popolazione
Corrado Caudek

8

Riccardo Rigon





•Centrale all’inferenza statistica classica è la nozione di distribuzione
campionaria, ovvero come variano le statistiche dei campioni, se i campioni
casuali aventi la stessa grandezza n vengono ripetutamente estratti dalla
popolazione

•Anche se, in ciascuna applicazione pratica dell’inferenza statistica, il
ricercatore dispone solamente di un unico campione casuale di grandezza n,
Corrado Caudek

la possibilità che il campionamento venga ripetuto fornisce la fondazione
concettuale per decidere quanto il campione osservato sia informativo della
popolazione nel suo complesso
8

Riccardo Rigon


Statistiche

La media non è l’unico indicatore di posizione

Mode

9

Riccardo Rigon


Statistiche

Mediana e Moda

La moda rappresenta il valore più frequente.

10

Riccardo Rigon


Statistiche

Mediana e Moda


Se l’istogramma dei dati presenta spiccatamente vari massimi, ma la
questione rischia di essere controversa, si dice che i dati sono
multimodali.

10

Riccardo Rigon


Statistiche

Mediana e Moda


Se l’istogramma dei dati presenta spiccatamente vari massimi, ma la
questione rischia di essere controversa, si dice che i dati sono
multimodali.

La mediana rappresenta il valore dei dati tale per cui il 50% dei dati ha
valore inferiore ad esso e (ovviamente!) l’altro 50% ha un valore ad esso
superiore.

10

Riccardo Rigon


Statistiche

La distribuzione empirica dei dati

Assegnato l’insieme di dati

hi = {h1 , · · ·, hn }

e prodotto da esso l’insieme ordinato in modo crescente

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
hj = (h1 , · · ·, hn ) h1 ⇥ h2 ⇥ · ⇥ hn

La distribuzione cumulata dei dati è definita da

i
ˆ 1
ECDFi (h) := j
n j=1 11

Riccardo Rigon


Statistiche

ECDF
La distribuzione cumulativa empirica può essere rappresentata come illustrato. Il
valore in ordinate individuato dalla curva si dice anche frequenza di non
superamento o quantile Frequenza di non superamento

1.0 ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.8

●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.6

●
●
P[H<h]

●
●
●
●
●
●
●
0.4

●
●
●
●
●
●
●
●
0.2

●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.0

20 40 60 80
12
h[mm]

Riccardo Rigon


Statistiche

ECDF
Lo 0.5 quantile separa a metà la distribuzione dei dati relativamente alle ordinate.

Frequenza di non superamento

1.0 ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.8

●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.6

●
●
P[H<h]

●

0.5 quantile ●
●
●
●

●
●
0.4

●
●
●
●
●
●
●
●
0.2

●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.0

20 40 60 80
13
h[mm]

Riccardo Rigon


Statistiche

ECDF
Lo 0.5 quantile separa a metà la distribuzione dei dati relativamente alle ordinate.


1.0 ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.8

●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.6

●
●
P[H<h]

●

0.5 quantile ●
●
●
●

●
●
0.4

●
●
●
●
●
●
●
●
0.2

●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.0

20 40 60 80
14
h[mm]

Riccardo Rigon


Statistiche

ECDF
Ecco dunque individuata la mediana


1.0 ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.8

●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.6

●
●
P[H<h]

●

0.5 quantile ●
●
●
●

●
●
0.4

●
●
●
●
●
●
●
●
0.2

●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.0

mediana 20 40 60 80
15
h[mm]

Riccardo Rigon


Statistiche

Diagrammi a scatola
La procedura puo’ essere generalizzata e rappresentata da un diagramma a scatola

1.0
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

0.8
●

0.75 quantile
●
●
●
●
●
●
●
●

0.6
●
●

0.5 quantile P[H<h]
●
●
●
●
●
●
●

0.4 ●
●

0.25 quantile
●
●
●
●
●
●
0.2

●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.0

20 40 60 80

h[mm]

“baffo”

16
Il diagramma a scatola è un’altra forma di rappresentazione della distribuzione dei dati

Riccardo Rigon


Statistiche

Parametri e statistiche

Un parametro è un numero che descrive un qualche aspetto della
popolazione.

• Per esempio, la precipitazione media annuale (vera) in una stazione di
misura è un parametro. Supponiamo che tale media sia

µh = 980 mm
• In qualsiasi situazione concreta, i parametri sono sconosciuti
Corrado Caudek

17

Riccardo Rigon


Statistiche

Parametri e statistiche

Una statistica è un numero che può essere calcolato utilizzando i dati
forniti da un campione, senza alcuna conoscenza dei parametri della
popolazione.

• Supponiamo, per esempio che il campione casuale di precipitazioni
copra 30 anni di misura e la precipitazione media risultante sia

¯
h = 1002 mm
Corrado Caudek

• Tale media, è una statistica.

18

Riccardo Rigon


Statistiche

Altre statistiche: il Range

Rx := max(x) min(x)

Il range è il più semplice indicatore della distribuzione dei dati. E’ un indicatore
della scala dei dati. Tuttavia dipende da soli due dati e non tiene conto degli
altri n-2 che compongono il campione.

19

Riccardo Rigon


Statistiche

Altre statistiche: Varianza e Deviazione
Standard

n
1
V ar(x) := (xi x)
¯
n i=1

⌅
⇤ n
⇤1
x := ⇥ (xi x)
¯
n i=1

La varianza è un indicatore di “scala” che usa tutti i dati del campione
20

Riccardo Rigon


Statistiche

Altre statistiche: Varianza e Deviazione
Standard:
versione “corretta” (unbiased)

n
1
V ar(x) := (xi x)
¯
n 1 i=2

⌅
⇤ n
⇤ 1
x := ⇥ (xi x)
¯
n 1 i=1

La versione unbiased della varianza, tiene conto del fatto che solo n-1 dei
valori sono indipendenti, essendo fissata la loro media. 21

Riccardo Rigon


Statistiche

Coefficiente di variazione

• Il coefficiente di variazione di un campione di dati è il rapporto tra la
deviazione standard e la media:

x
CVx :=
¯
x
• Tanto più alta è il cofficiente di variazione, tanto meno la media è
informativa e indicatrice dell’andamento futuro di una certa
popolazione.

22

Riccardo Rigon


Statistiche

Altre statistiche: Coefficiente di forma o
skewness:
n
⇤1 ⇥3
xi x ¯
skx :=
i=1
n x

Misura l’assimetria della distribuzione di dati

Coefficiente di appiattimento o kurtosis:
n
⇤ ⇥4
1 xi ¯
x
kx := 3 +
i=1
n x

23

Riccardo Rigon


Statistiche

Stima e test di ipotesi

Solitamente, non si è interessati alle statistiche in se, ma a quello che
le statistiche dicono della popolazione.

• Potremmo, as esempio, usare la media delle precipitazioni annuali
misurate in tutte le stazioni idrometeorologiche per stimare la
precipitazione media annuale su tutta la penisola italiana.

• Oppure potremmo usare la media del campione per stabilire se la
precipitazione media annuale sia mutata lungo la durata del campione.

24

Riccardo Rigon


Statistiche


Questi due tipi di domande sono propri dei due principali approcci
all’inferenza statistica classica

• La stima dei parametri

• Il test di ipotesi statistiche

25

Riccardo Rigon


Statistiche

Variabilità campionaria

Un aspetto fondamentale delle statistiche campionarie riguarda il
fatto che variano da campione a campione. Nel caso delle
precipitazioni annuali, sarebbe molto improbabile che la media del
campione coincidesse con il valore di 1002 mm della media della
popolazione.

26

Riccardo Rigon


Statistiche

Variabilità campionaria

• La variabilità di una statistica campionaria da campione a campione è
detta variabilità campionaria.
– Quando la variabilità campionaria è molto grande, il campione è
poco informativo, a proposito del parametro della popolazione.
– Quando la variabilità campionaria è piccola, invece la statistica e
informativa, anche se è praticamente impossibile che la statistica
di un qualsiasi campione sia esattamente uguale al parametro della
popolazione.

27

Riccardo Rigon


2 Simulazione 1

2 Simulazione 1
La variabilit` campionaria verr` illustrata nel modo seguente:
a a
1. verr` considerata una variabile discreta che pu` assumere soltanto
a o
un piccolo numero di valori possibili (N = 4);
2. verr` fornito l’elenco di tutti i possibili campioni di grandezza n = 2;
a
3. verr` calcolata la media di ciascuno dei possibili campioni di
a
grandezza n = 2;
4. verr` esaminata la distribuzione delle medie di tutti i possibili
a
campioni di grandezza n = 2.
La media µ e la varianza della popolazione verranno calcolate.
¯
• µ e sono dei parametri, mentre la media xi e la varianza s2 di
i
ciascun campione sono delle statistiche.
Corrado Caudek

Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 8

28

Riccardo Rigon


2 Simulazione 1

• L’esperimento di questo esempio consiste in n = 2 estrazioni con
rimessa di una pallina xi da un’urna che contiene N = 4 palline.

• Le palline sono numerate nel modo seguente:

{2, 3, 5, 9}

• L’estrazione con rimessa corrisponde ad una popolazione di
grandezza inﬁnita (` sempre possibile infatti estrarre una nuova
e
pallina dall’urna).
Corrado Caudek


29

Riccardo Rigon


2 Simulazione 1

Per ciascun campione di grandezza n = 2 viene calcolata la media dei
2
valori delle palline estratte x = i=1 xi /2.
¯

• Per esempio, se le palline estratte sono x1 = 2 e x2 = 3, allora

x = (2 + 3)/2 = 5/2 = 2.5
¯
Corrado Caudek


30

Riccardo Rigon



2.1 Tre distribuzioni 2 Simulazione 1

2.1 Tre distribuzioni

Dobbiamo distinguere tre distribuzioni:

1. la distribuzione della popolazione,

2. la distribuzione di un particolare campione,

3. la distribuzione campionaria delle medie di tutti i possibili campioni.
Corrado Caudek


31

Riccardo Rigon




2.1.1 Distribuzione della popolazione

Distribuzione della popolazione: la distribuzione di X (il valore della
pallina estratta) nella popolazione. In questo caso la popolazione `
e
inﬁnita e ha la seguente distribuzione di probabilit`:
a

xi pi
1
2 4
1
3 4
1
5 4
1
9 4

somma 1.0
Corrado Caudek


32

Riccardo Rigon




• La media della popolazione `
e

µ= xi pi = 4.75

• La varianza della popolazione `
e
2
= (xi µ)2 pi = 7.1875
Corrado Caudek


33

Riccardo Rigon




2.1.2 Distribuzione di un campione

Distribuzione di un campione: la distribuzione di X in un particolare
campione.

• Per esempio, se x1 = 2 e x2 = 3, allora la media di questo campione
sar` x = 2.5 e la varianza sar` s2 = 0.5.
a¯ a
Corrado Caudek


34

Riccardo Rigon




2.1.3 Distribuzione campionaria della media

Distribuzione campionaria della media: la distribuzione delle medie di
tutti i possibili campioni.

• Se n = 2, ci sono 4 4 = 16 possibili campioni. Possiamo dunque
elencarli, insieme alle loro medie.
Corrado Caudek


35

Riccardo Rigon




campione media xi
¯ campione media xi
¯
{2, 3} 2.5 {3, 2} 2.5
{5, 2} 3.5 {2, 5} 3.5
{9, 2} 5.5 {2, 9} 5.5
{5, 3} 4.0 {3, 5} 4.0
{9, 3} 6.0 {3, 9} 6.0
{9, 5} 7.0 {5, 9} 7.0
{2, 2} 2 {3, 3} 3
{5, 5} 5 {9, 9} 9
Corrado Caudek


36

Riccardo Rigon




La distribuzione campionaria della media ha la seguente distribuzione di
probabilit`:
a
xi
¯ pi
2.0 1/16
2.5 2/16
3.0 1/16
3.5 2/16
4.0 2/16
5.0 1/16
5.5 2/16
6.0 2/16
7.0 2/16
9.0 1/16
somma 1.0
Corrado Caudek


37

Riccardo Rigon




• La media della distribuzione campionaria della media `
e

µx =
¯ xi pi = 4.75
¯

• La varianza della distribuzione campionaria della media `
e

2
x
¯ = (¯i
x µx )2 pi = 3.59375
¯
Corrado Caudek


38

Riccardo Rigon




• L’esercizio presente ha a che fare con una situazione particolare,
quella in cui la distribuzione della popolazione ` conosciuta.
e

• In pratica, la distribuzione della popolazione non ` mai conosciuta.
e
Corrado Caudek


39

Riccardo Rigon




Con questo esercizio possiamo per` di notare come la distribuzione
o
campionaria della media possieda due importanti propriet`.
a
• La media µx della distribuzione campionaria della media ` uguale
¯ e
alla media della popolazione µ.
2
• La varianza x della distribuzione campionaria della media ` uguale
¯ e
al rapporto tra la varianza della popolazione 2 e la numerosit` n
a
del campione:

2
7.1875
2
= = = 3.59375
x
¯
n 2
Corrado Caudek


40

Riccardo Rigon




Si noti che:
1. la media e la varianza della distribuzione campionaria sono
determinate dalla media e varianza della popolazione:

2
µx = µ
¯
2
x
¯ =
n

2. la varianza della distribuzione campionaria della media ` pi` piccola
e u
della varianza della popolazione.
Corrado Caudek


41

Riccardo Rigon




In seguito utilizzeremo le propriet` della distribuzione campionaria per
a
fare delle inferenze a proposito dei parametri della popolazione anche
quando la distribuzione della popolazione non ` conosciuta.
e
Corrado Caudek


42

Riccardo Rigon




Tre distribuzioni
Si noti inoltre che abbiamo distinto tra tre diverse distribuzioni.

1. Distribuzione della popolazione:
= {2, 3, 5, 9}, µ = 4.75, 2
= 7.1875

2. Distribuzione di un particolare campione:
i = {2, 3}, x = 2.5, s2 = 0.5
¯

3. Distribuzione campionaria della media:
x
¯= {2.5, 3.5, 5.5, 4, 6, 7, 2.5, 3.5, 4, 6, 7, 2, 5, 3, 9},
µx = 4.75, x = 3.59375
¯
2
¯
Corrado Caudek


43

Riccardo Rigon




Distribuzione della popolazione La distribuzione che contiene
tutte le osservazioni. Media e varianza di questa distribuzione si
indicano con µ e 2 .

Distribuzione del campione La distribuzione dei valori della
popolazione che fanno parte di un particolare campione casuale di
grandezza n. Le singole osservazioni si indicano con x1 , . . . , xn , e
¯
hanno media x e varianza s2 .

Distribuzione campionaria delle medie dei campioni La
¯
distribuzione di xi per tutti i possibili campioni di grandezza n che si
possono estrarre dalla popolazione considerata. Media e varianza
2
della distribuzione campionaria della media si indicano con µx e x .
¯ ¯
Corrado Caudek


44

Riccardo Rigon




La distribuzione che sta alla base dell’inferenza statistica ` la
e
distribuzione campionaria.

Deﬁnizione: la distribuzione campionaria di una statistica ` la
e
distribuzione dei valori che quella statistica assume in tutti i
campioni di numerosit` n che possono essere estratti dalla
a
popolazione.

• Si noti che, se in una simulazione consideriamo un numero di
campioni minore di quello che teoricamente ` possibile, la
e
distribuzione risultante ci fornir` soltanto un’approssimazione alla
a
vera distribuzione campionaria.
Corrado Caudek


45

Riccardo Rigon




Avendo creato statistiche differenti, possiamo fare alcune ipotesi. Per
esempio:

• I campioni hanno tutti la medesima media e la medesima varianza ?

• La media dipende dalla numerosità del campione ?

• La varianza dipende dalla numerosità del campione ?

46

Riccardo Rigon




Se i campioni non hanno la medesima media, può essere presente una
tendenza.
47

Riccardo Rigon



La varianza può variare con la numerosità del campione !

Se non si stabilizza all’aumentare dei dati del campione, si dice che i dati
presentano la “sindrome della varianza infinita”.
48

Riccardo Rigon



Ipotesi Zero (Nulla)

Sui test di ipotesi avremo la possibilità di entrare nel dettaglio in
lezioni successive.

• In genere si ricordi, che è non è possibile provare con certezza
alcunchè. Una ipotesi si può tentare di provare che non sia vera. Sia
H0 l’ipotesi zero da provare.

• Se non si riesce a scartare H0 , allora si può affermare che “sia vera”
con un certo grado di confidenza

49

Riccardo Rigon



Altre statistiche
Covarianza

Assegnate due serie di dati, per esempio

hi = {h1 , · · ·, hn } ed li = {l1 , · · ·, ln }

La covarianza tra queste de serie di dati è definita da:

n
1 ¯i )(hi ¯
Cov(hi , li ) := (li l hi )
N 1 1

50

Riccardo Rigon



Altre statistiche
Correlazione

Assegnate due serie di dati, per esempio

hi = {h1 , · · ·, hn } ed li = {l1 , · · ·, ln }

La correlazione tra queste de serie di dati è definita da:

Cov(l, h)
lh :=
⇥h ⇥l

51

Riccardo Rigon



Altre statistiche
Correlazione

Si osservi che, si potrebbe considerare la correlazione tra le due serie
campionarie di ugual lunghezza:

hi = {h1 , · · ·, hn 1} e hi+1 = {h2 , · · ·, hn 1}

Ottenendo
n 1
1 ¯ ¯
Cov(hi , hi+1 ) := (hi hi )(hi+1 hi+1 )
N 1 j=1

52

Riccardo Rigon



Altre statistiche
Correlazione

Ripetendo l’operazione per le serie via via ridotte di lunghezza e separate
da r istanti, si ottiene:

r
hi = {h1 , · · ·, hn r} e hi+r = {hr , · · ·, hn }
Ottenendo
n r
1 ¯ r )(hi+r ¯
Cov(hi , hi+r )
r
:= (hi
r
hi hi+r )
N 1 j=1

Cov(hr , hi+r )
(hi , hi+r ) :=
r i
⇥i ⇥i + r
r
53

Riccardo Rigon



Altre statistiche
Autocorrelazione

54

Riccardo Rigon



Campioni Casuali
Random Sample

Nella strategia di creare ed analizzare i campioni di dati, ha un ruolo importante la
selezione (o, talvolta, la generazione) di campioni casuali.

Un campione casuale di n eventi scelto da una popolazione è tale se la probabilità di
tale campione di essere prescelto è la stessa di ogni altro campione della medesima
numerosità.

Se i dati sono generati, si sta effettuando un esperimento casuale. Esempi ne sono:

•il lancio di una moneta
•il conteggio dei giorni piovosi in un anno
•il conteggio dei giorni in cui si sia misurata a Ponte S. Lorenzo di Trento una
portata superiore ad un valore prefissato.

Riccardo Rigon


3 Simulazione 2

3 Simulazione 2

Consideriamo ora un’altro esempio in cui la variabilit` campionaria verr`
a a
illustrata nel modo seguente:

1. la stessa popolazione dell’esempio precedente verr` usata;
a
2. utilizzando R, verranno estratti con rimessa da questa popolazione
50000 campioni causali di grandezza n = 2;
3. verr` calcolata la media di ciascuno di questi campioni di grandezza
a
n = 2;
4. verranno calcolate la media e la varianza della distribuzione delle
medie dei 50000 campioni di grandezza n = 2.
Corrado Caudek


56

Riccardo Rigon


3 Simulazione 2

N <- 4
n <- 2
nSamples <- 50000
X <- c(2, 3, 5, 9)

Mean <- mean(X)
Var <- var(X)*(N-1)/N

SampDistr <- rep(0, nSamples)

for (i in 1:nSamples){
samp <- sample(X, n, replace=T)
SampDistr[i] <- mean(samp)
}

MeanSampDistr <- mean(SampDistr)
VarSampDistr <- var(SampDistr)*(nSamples-1)/nSamples
Corrado Caudek


57

Riccardo Rigon


3 Simulazione 2

N <- 4
n <- 2
nSamples <- 50000
X <- c(2, 3, 5, 9)

Mean <- mean(X)
Media e Varianza del Campione


samp <- sample(X, n, replace=T)
}

Corrado Caudek


57

Riccardo Rigon


3 Simulazione 2

N <- 4
n <- 2
nSamples <- 50000
X <- c(2, 3, 5, 9)

Mean <- mean(X)
Media e Varianza del Campione


samp <- sample(X, n, replace=T) Sono fatti 50000 campioni
}

Corrado Caudek


57

Riccardo Rigon


3 Simulazione 2

Risultati della simulazione

> Mean
[1] 4.75
> Var
[1] 7.1875
> MeanSampDistr
[1] 4.73943
> VarSampDistr
[1] 3.578548
> Var/n
[1] 3.59375
Corrado Caudek


58

Riccardo Rigon


3 Simulazione 2

• Popolazione: µ = 4.75, 2
= 7.1875.
• Distribuzione campionaria della media: µx = 4.75,
¯
2
x
¯ = 3.59375.
• Risultati della simulazione: µx = 4.73943, ˆx = 3.578548.
ˆ¯ 2
¯
Corrado Caudek


59

Riccardo Rigon



Grazie per l’attenzione!

G.Ulrici - Uomo dope aver lavorato alle slides , 2000 ?

60

Riccardo Rigon



http://www.treccani.it/scuola/dossier/2010/statistica/d_agostini.html

61

Riccardo Rigon


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