Introduzione all'idrogramma istantaneo unitario.

1. Riccardo Rigon
L’idrogramma Istantaneo Unitario
TheGreatWaveoffKanagawa,Hokusai1823

2. E mormora e urla, sussurra, ti
parla e ti schianta,
evapora in nuvole cupe e di nero
e cade e rimbalza e si muta in
persona od in pianta
diventa di terra, di vento, di
sangue e pensiero.
(Francesco Guccini)

3. Riccardo Rigon
!3
Obiettivi
• Nella lezione si introdurrà la trattazione delle piene fluviali secondo
la teoria dell’idrogramma istantaneo unitario.
• Si parla delle ipotesi di linearità ed invarianza
• Si introduce il concetto di tempo di residenza
Introduzione

4. Riccardo Rigon
!4
Cos’e’ una piena ?
0200400600800100012001400
Anno
Portatem^3/s
1990 1995 2000 2005
Introduzione

5. Riccardo Rigon
!5
Cos’e’ una piena ?
0200400600800100012001400
Anno
Portatem^3/s
1990 1995 2000 2005
Introduzione

6. Riccardo Rigon
!6
AfterDoodge
Introduzione

7. Riccardo Rigon
!7
La risposta idrologica in un bacino
Previsione delle precipitazioni
Calcolo del deflusso superficiale
Aggregazione del deflusso
Propagazione del deflusso
Introduzione

8. Riccardo Rigon
!8
La risposta idrologica in un bacino
•Supponiamo nota la distribuzione delle precipitazioni e la loro
natura
•Supponiamo risolto il problema della determinazione del deflusso
efficace
Aggregazione del deflusso
Propagazione del deflusso
Introduzione

9. Riccardo Rigon
!9
Durante eventi di piena
•L’evapotraspirazione si può ignorare (ciò che è rilevante è incluso
nelle condizioni iniziali)
•si può semplificare il meccanismo di produzione del deflusso
superificiale (e supporre di conoscere il coefficiente di deflusso)
•la celerità dell’onda di piena si può tenere (come prima
approssimazione) costante
•Gran parte dell’idrogramma di piena è spiegata dalla geometria e
dalla topologia del bacini (oltre che dalla variabilità spazio-temporale
delle precipitazioni)
Introduzione

10. Riccardo Rigon
!10
Metodi per l’aggregazione del
deflusso superficiale - IUH
Discutiamo qui di una forma moderna della teoria
dell’idrogramma istantaneo unitario
Portata alla sezione di chiusura
Idrogramma istantaneo unitario
Precipitazione efficace
IUH

11. Riccardo Rigon
!11
IUH
Aggregazione dei deflussi
Onda diffusiva
Pioggia efficace
Jeff
IUH
Portata

12. Riccardo Rigon
!12
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
E’ lineare perchè, se si moltiplica per n la
precipitazione efficace, la portata aumenta di
proporzionalmente.
Jeff ( ) = n Jeff ( )
IUH: linearità

13. Riccardo Rigon
!13
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
E’ lineare perchè, se si moltiplica per n la
precipitazione efficace, la portata aumenta di
proporzionalmente.
IUH: linearità

14. Riccardo Rigon
!14
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
Invarianza temporale
tempo
Portata
tempo
precipitazione
Out[465]=
IUH: invarianza

15. Riccardo Rigon
!15
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
tempo
Portata
Out[409]=
tempo
precipitazione
IUH: linearità e invarianza

16. Riccardo Rigon
!16
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
tempo
Portata
Out[413]=
tempo
precipitazione
IUH: linearità e invarianza

17. Riccardo Rigon
!17
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
tempo
Portata
Out[414]=
tempo
precipitazione
IUH: linearità e invarianza

18. Riccardo Rigon
!18
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
Linearità e Invarianza
tempo
Portata
Out[409]= Out[413]= Out[414]=
+ +
tempo
precipitazione
IUH: linearità e invarianza

19. Riccardo Rigon
!19
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
Linearità e Invarianza
tempo
tempo
precipitazione
Portata
Out[422]=
tempo
precipitazione
IUH: linearità e invarianza

20. Riccardo Rigon
!20
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
Linearità e Invarianza
tempo
Portata
tempo
precipitazione
Out[426]=
IUH: linearità e invarianza

21. Riccardo Rigon
!21
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
e’ la funzione impulso o “delta di Dirac”
IUH: unitarietà

22. Riccardo Rigon
!22
(⇥)
IUH: unitarietà

23. Riccardo Rigon
!23
-4 -2 0 2 4
05101520
Delta function
t
density
IUH: unitarietà

24. Riccardo Rigon
!24
Caratteristiche dell’idrogramma
istantaneo unitario
Inoltre:
IUH: unitarietà

25. Riccardo Rigon
!25
Metodi per l’aggregazione del
deflusso superficiale - IUH
Se la precipitazione è di intensità costante, p, in
un intervallo temporale di durata tp , allora
che diviene
IUH: impulso costante

26. Riccardo Rigon
!26
L’integrale dell’idrogramma unitario ha una
forma ad S
Ed è chiamato S-Hydrograph (qui rappresentato moltiplicato per l’area contribuente totale)
IUH: impulso costante

27. Riccardo Rigon
!27
Out[395]=
Out[396]=
IUH(t)
S(t)
t
t
1
L’integrale dell’idrogramma ha una forma ad S
IUH: impulso costante

28. Riccardo Rigon
!28
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
IUH: tempi di residenza

29. Riccardo Rigon
!29
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
t1
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

30. Riccardo Rigon
!30
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
t2
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

31. Riccardo Rigon
!31
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
t3
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

32. Riccardo Rigon
!32
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
t4
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

33. Riccardo Rigon
!33
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
t5
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

34. Riccardo Rigon
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
!34
t1
t2
t3
t4
t5
IUH: tempi di residenza

35. Riccardo Rigon
!35
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
v(t) =
k
vkIk(t)
Lo IUH(t) può essere interpretato come una distribuzione di tempi di residenza
Rodriguez-Iturbe e Valdes, 1979; Gupta e Waymire, 1980
IUH: tempi di residenza

36. Riccardo Rigon
!36
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
v(t) =
k
vkIk(t)
Il volume v(t) rappresenta inoltre un rapporto tra casi favorevoli (volumi
presenti all'interno del bacino) e casi totali (il numero totale di eventi
possibili), cioè il numero totale di volumi , ed è pertanto, nel limite di un
numero di volumi infinito la probabilità che i volumi siano interni al bacino.
Piu’ precisamente, v(t) è numericamente uguale alla probabilità, P[T >t], che il
tempo di residenza dell'acqua all'interno del bacino sia superiore al tempo
corrente, t.
IUH: tempi di residenza

37. Riccardo Rigon
!37
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere:
dv
dt
=
dP[T > t]
dt
= (t) IUH (t)
La variazione di volume d’acqua nel tempo eguaglia la
probabilità di superamento del tempo di residenza
IUH: tempi di residenza

38. Riccardo Rigon
!38
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere:
dv
dt
=
dP[T > t]
dt
= (t) IUH (t)
Variazione di volume (nel tempo) all’interno del
bacino
Ciò che entra - ciò che esce
IUH: tempi di residenza

39. Riccardo Rigon
!39
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Allora il bilancio di massa all’interno del bacino considerato risulta essere:
dv
dt
=
dP[T > t]
dt
= (t) IUH (t)
Precipitazione
efficace istantanea ed unitaria
Portata in uscita corrispondente
ad una precipitazione in entrata
istantanea ed unitaria
IUH: tempi di residenza

40. Riccardo Rigon
!40
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Integrando risulta allora
P[T > t] =
t
0
(t)dt
t
0
IUH (t)dt
Ovvero
P[T < t] =
t
0
IUH (t)dt
dalle definizioni segue allora che lo S hydrograph è una probabilità (il che ne
spiega compiutamente la forma).
IUH: tempi di residenza

41. Riccardo Rigon
!41
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Integrando risulta allora
P[T > t] =
t
0
(t)dt
t
0
IUH (t)dt
Ovvero
P[T < t] =
t
0
IUH (t)dt
dalle definizioni segue allora che lo S hydrograph è una probabilità (il che ne
spiega compiutamente la forma).
Questo vale 1 per
definizione
IUH: tempi di residenza

42. Riccardo Rigon
!42
Metodi per l’aggregazione del deflusso superficiale
- IUH -> GIUH
Derivando ambo i membri dell’equazione risulta allora
pdf(t) = IUH(t)
che è quanto volevamo dimostrare
IUH: tempi di residenza

43. Riccardo Rigon
!43
Il problema successivo è quello di capire che cosa è
la distribuzione di probabilità
e come si può determinare nei casi di interesse
IUH: tempi di residenza

44. Riccardo Rigon
!44
Metodi per l’aggregazione del
deflusso superficiale - Osservazioni
IUH(t) =
1
e t/
dove λ e’ un parametro NON determinato apriori ma a posteriori, dopo una
operazione di “calibrazione”
I - Assumendo per vera la teoria che si è sviluppata, tutto passa per la
determinazione di una densità di probabilità. In genere, considerazioni di
natura dinamica portano ad identificare non una distribuzione, ma una
famiglia di distribuzioni, per esempio:
Esempi

45. Riccardo Rigon
!45
• Se x1=0 e x2=tc allora, la probabilità (lo S-Hydrograph) è :
Distribuzione Uniforme
P[T < t; tc] =
t
tc
0 < t < tc
1 t tc
• tc è detto tempo di corrivazione e il modello idrologico che ne risulta è il
modello “cinematico”.
Esempi

46. Riccardo Rigon
!46
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.00.20.40.60.81.0
Tempo di residenza [h]
P[T<t;uniforme(0,1)]
Distribuzione Uniforme
tempo di corrivazione
Esempi

47. Riccardo Rigon
!47
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.00.20.40.60.81.0
Tempo di residenza [h]
P[T<t;uniforme(0,1)]
Distribuzione Uniforme
tempo di corrivazione
Esempi

48. Riccardo Rigon
!48
Idrogramma “cinematico”
0 1 2 3 4
0.00.20.40.60.81.0
Time [h]
DischargeforunitAreaandunitprecipitation
durata della precipitazione
tempo di corrivazione
I volumi di precipitazione
efficace crescono con
la durata con un
andamento in
accordo alle curve di
possibilità
pluviometrica
Osservazioni:
Esempi

49. Riccardo Rigon
!49
Idrogramma “cinematico”
Osservazioni:
0 1 2 3 4
0.00.20.40.60.81.0
Time [h]
DischargeforunitAreaandunitprecipitation
• Per durate di precipitazione inferiori al tempo di
corrivazione la portata sale linearmente e
h a u n p i c c o p e r a l l a f i n e d e l l a
precipitazione. La portata di picco perdura
sino al tempo di corrivazione e poi decresce
• Per durate di precipitazioni superiori al tempo
di corrivazione la portata di picco si
r a g g i u n g e c o m u n q u e a l t e m p o d i
corrivazione e perdura sino al termine della
precipitazione per poi descrescere.
Esempi

50. Riccardo Rigon
!50
Distribuzione Esponenziale
dove è il tempo medio di residenza
pdf(t; ) =
1
e t/
H(t)
Esempi

51. Riccardo Rigon
!51
Distribuzione Esponenziale
e il modello che ne risulta è quello noto come modello dell’invaso
lineare.
P[T < t; ] = (1 e t/
)
Esempi

52. Riccardo Rigon
!52
0 1 2 3 4
0.00.20.40.60.81.0
Tempo di residenza [h]
P[T<t;exp(1)]
Distribuzione Esponenziale
Esempi

53. Riccardo Rigon
!53
0 1 2 3 4
0.00.20.40.60.81.0
Tempo di residenza [h]
Probabilit..Esponeziale
Distribuzione Esponenziale
Esempi

54. Riccardo Rigon
!54
Idrogramma “dell’invaso lineare”
0 1 2 3 4
0.00.20.40.60.81.0
Time [h]
DischargeforunitAreaandunitprecipitation
durata della precipitazione
I volumi di precipitazione
efficace crescono con
la durata
Osservazioni:
Esempi

55. Riccardo Rigon
!55
Idrogramma “dell’invaso lineare”
0 1 2 3 4
0.00.20.40.60.81.0
Time [h]
DischargeforunitAreaandunitprecipitation
durata della precipitazione
I volumi di precipitazione,
com e la durata, sono
costanti.
Osservazioni:
Esempi

56. Grazie per l’Attenzione