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- 4. １．１ 行基本変形 (1)
① i行目をc倍する
→i行、i列目だけcとした対角行列をかける
② s行目にt行目のc倍を加える
→s行、t列目をcとした対角行列をかける
1 0 0
0 3 0
0 0 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
例 2行目を3倍する
1 2 3
3 6 9
1 2 3
＝
1 0 0
0 1 0
2 0 1
例 3行目に1行目の2倍を加える → 3行、1列目を2にする
1 2 3
1 2 3
1 2 3
＝
1 2 3
1 2 3
2 + 1 4 + 2 6 + 3
＝
1 2 3
1 2 3
3 6 9
1 2 3
3 × 1 3 × 2 3 × 3
1 2 3
＝
- 5. １．１ 行基本変形 (2)
③ p行目とq行目を入れ替える
→p行目とq行目を入れ替えた対角行列をかける
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
例 2行目と3行目を入れ替える
1 2 3
7 8 9
4 5 6
＝
- 6. １．２ 逆行列の求め方
ガウスの掃き出し法
例 の逆行列を求める
2 4
1 5
単位行列を右に書く
→ 最終的に単位行列が右側になるように基本変形していく
1行目を1/2倍
2行目に1行目の-1倍を加える
2行目を1/3倍
1行目に2行目の-2倍を加える
2 4
1 5
5/6 −2/3
−1/6 1/3
10
6
− 4/6 −
4
3
+ 4/3
5
6
− 5/6 −
2
3
+ 5/3
＝ ＝ 1 0
0 1
2 4
1 5
1 0
0 1
2 4
1 5
1/2 0
0 1
2 4
0 3
1/2 0
−1/2 1
1 2
0 1
1/2 0
−1/6 1/3
1 0
0 1
5/6 −2/3
−1/6 1/3
検算
- 7. １．３ 逆行列が存在しない条件
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
において、
𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑 (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0) であれば逆行列が存在しない
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐は二つのベクトル𝑣1 = 𝑎, 𝑏 と𝑣2 = 𝑐, 𝑑 に囲まれた、
平行四辺形の面積とみることができる。
（ベクトルを用いた三角形・平行四辺形の面積の公式と求め方参照）
↓
これが0になる場合、逆行列が存在しない
𝑣1 = 𝑎, 𝑏
𝑣2 = 𝑐, 𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐は行列式と定義される
- 8. １．４ 行列式の特徴（1）
① 全く同じベクトルがあれば行列式は0になる
𝑣1
⋮
𝑤
⋮
𝑤
⋮
𝑣𝑛
= 0
ざっくりした理解の仕方
ベクトルを連立方程式と見立てた時、同じ式が２つあるため解が無い＝
行列式がゼロなので、逆行列が無いので、ベクトルを連立方程式として解けない
② 一つのベクトルがλ倍されていたら行列式もλ倍
行列を横ベクトルの組み合わせと考えたとき行列式には以下の特徴がある
λ
𝑣1
⋮
𝑣𝑘
⋮
𝑣𝑛
=λ
𝑣1
⋮
𝑣𝑘
⋮
𝑣𝑛
ざっくりした理解の仕方
一つのベクトル成分がλ倍だと平行四辺形の面積もλ倍になる
𝑣1
3𝑣2
𝑣2
- 9. １．４ 行列式の特徴 （2）
③ 一つのベクトルが二つのベクトルの和であれば、行列式もそれぞれの和として表せる
𝑣1
⋮
𝑣𝑘1 + 𝑣𝑘2
⋮
𝑣𝑛
=
𝑣1
⋮
𝑣𝑘1
⋮
𝑣𝑛
+
𝑣1
⋮
𝑣𝑘2
⋮
𝑣𝑛
ざっくりした理解の仕方
2つのベクトル成分に分割すると平行四辺形の面積もそれらの和になる
𝑣1 𝑣2𝑏
𝑣2𝑎
𝑣1
⋮
𝑢
⋮
𝑤
⋮
𝑣𝑛
= −
𝑣1
⋮
𝑤
⋮
𝑢
⋮
𝑣𝑛
④ 行を入れ替えると行列式の符号は反転する
ざっくりした理解の仕方
行列式を移項して③の和の法則を使うと左辺の行列式は𝑤+ 𝑢の行が二行になる。
①の同じ行が存在すると行列式が0になる法則より右辺の=0が証明できる。
- 10. １．５ 余因子展開による行列式の求め方
𝑣1 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝑣2 = 𝑑, 𝑒, 𝑓
𝑣3 = 𝑔, ℎ, 𝑖
𝑣1
𝑣2
𝑣3
=
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
=
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑒 𝑓
0 ℎ 𝑖
+
0 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
0 ℎ 𝑖
+
0 𝑏 𝑐
0 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
性質③より一列目を各行の和の形に分解
=𝑎
1 𝑏/𝑎 𝑐/𝑎
0 𝑒 𝑓
0 ℎ 𝑖
+𝑑
0 𝑏 𝑐
1 𝑒/𝑑 𝑓/𝑑
0 ℎ 𝑖
+𝑔
0 𝑏 𝑐
0 𝑒 𝑓
1 ℎ/𝑔 𝑖/𝑔
性質②よりa,d,gを行列式の外
にくくりだす
=𝑎
1 𝑏/𝑎 𝑐/𝑎
0 𝑒 𝑓
0 ℎ 𝑖
− 𝑑
1 𝑒/𝑑 𝑓/𝑑
0 𝑏 𝑐
0 ℎ 𝑖
+𝑔
1 ℎ/𝑔 𝑖/𝑔
0 𝑏 𝑐
0 𝑒 𝑓
性質④より行を入れ替えて-1倍
（二回入れ替えたら-1×-1倍で
符号が戻ることに注意）
=𝑎
𝑒 𝑓
ℎ 𝑖
− 𝑑
𝑏 𝑐
ℎ 𝑖
+𝑔
𝑏 𝑐
𝑒 𝑓
この部分を(aの)余因子という
- 12. ２．１ 固有値と固有ベクトル
𝑨𝒙 = 𝜆𝒙 が成り立つとき、𝑥: 固有ベクトル λ:固有値という。固有ベクトルは一つに決まらない（比率だけは決まる）
1 4
2 3
1
1
=
5
5
=5
1
1
例
(𝑨 − 𝜆𝑰)𝒙 =O（ただし𝒙 ≠ 0）より、 𝑨 − 𝜆𝑰 =0（行列式がゼロ）となるλを求める。
固有値と固有ベクトルの求め方
ざっくりした理解の仕方
もし、 𝐴 − 𝜆𝐼 ≠0つまり逆行列が存在すると、これを左からかけることで、 𝑥 = 0となり、
条件（ 𝑥 ≠ 0）に矛盾する。よって、 𝐴 − 𝜆𝐼 =0でなくてはならない。
1 − 𝜆 4
2 3 − 𝜆
= 0
例
1 4
2 3
𝒙=𝜆𝒙
1 − 𝜆 3 − 𝜆 − 8 = 0
𝜆 − 5 𝜆 + 1 = 0
𝜆=
5
−1
固有値
1 4
2 3
𝑥1
𝑥2
=5
𝑥1
𝑥2
𝑥1 + 4𝑥2
2𝑥1 + 3𝑥2
=5
𝑥1
𝑥2
𝑥1 = 𝑥2より
1
1
1 4
2 3
𝑥1
𝑥2
=−1
𝑥1
𝑥2
𝑥1 + 4𝑥2
2𝑥1 + 3𝑥2
=−1
𝑥1
𝑥2
𝑥1 = −2𝑥2より
−2
1
固有ベクトル(1) 固有ベクトル(2)
固有ベクトル 固有ベクトル
正方行列𝑨について
- 13. ２．２ 固有値分解
正方行列𝐴が固有値𝜆1, 𝜆2, …と固有ベクトル𝒗𝟏, 𝒗𝟐, …を持つとき、
𝜦 ≠
𝜆1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 𝜆𝑛
𝑽 = 𝒗1, 𝒗2, …
𝑨𝑽 = 𝑽𝜦 注意：𝛬は右からかける。
左からかけると固有ベクトルにうまくかからない
𝑨= 𝑽𝜦𝑽−1
固有値分解
- 14. ２．３ 特異値分解
𝑴𝒗 = σ𝒖
𝑴T
𝒖 = σ𝒗
正方行列ではない行列𝑴に対して、
が成り立つ単位ベクトル𝒗、 𝒖があるとき
𝑴= 𝑼𝑺𝑽𝑇
このとき、𝑼, 𝑽は直行する。 𝑼𝑼𝑇
= 𝑽𝑽𝑇
= 𝑰
𝑴𝑴𝑻
= 𝑼𝑺𝑽𝑇
𝑽𝑺𝑻
𝑼𝑇
= 𝑼𝑺𝑺𝑻
𝑼𝑇
𝑴𝑽= 𝑼𝑺
𝑴𝑻
𝑼= 𝑽𝑺𝑻
𝑴𝑻
= 𝑽𝑺𝑻
𝑼𝑇
・・・①
・・
・②
①と②の積より
𝑴𝑴𝑻
は正方行列となるので、
これを固有値分解すると、左特異ベクトルと特異値の二乗が得られる
(𝑨 = 𝑽𝜦𝑽−1
)
特異値分解
特異値分解
𝑼は左特異ベクトル、 𝑽は右特異ベクトルという
- 16. ２．１ 集合
𝑺 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅}
S
𝑀
𝑎
𝑏
𝑐 𝑑
𝒂 ∈ 𝑺 : 𝑎は𝑆の要素（元）である
𝑴 ⊂ 𝑺 : 𝑆内に集合𝑀が含まれる
𝑒
𝒆 ∉ 𝑺 : 𝑒は𝑆の要素（元）ではない
A 𝐵
𝑈
𝐴 ∪ 𝐵 和集合
A 𝐵
𝑈
𝐴 ∩ 𝐵 共通部分 𝐴 = 𝑈 ∖ 𝐴 絶対補（Aの否定）
A 𝐵
𝑈
A 𝐵
𝑈
B ∖ 𝐴 相対補（差集合）
- 19. ２．４ 確率変数、確率分布、期待値
確率変数 𝑓 𝑥𝑘 ：事象と結びつけられた数。事象そのものを指す。
確率分布 𝑃 𝑥𝑘 ：事象が発生する確率の分布。
期待値 𝐸 𝑓 ：その確率分布における確率変数の平均値。
𝐸 𝑓 =
𝑘=1
𝑛
𝑃 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘
= 1
𝑛
𝑃 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
- 21. ２．６ 様々な確率分布
①ベルヌーイ分布：𝑥が0または1となる確率の分布。表が出る確率が𝜇となるコイントスのイメージ。
𝑃 |
𝑥 𝜇 = 𝜇𝑥(1 − 𝜇)1−𝑥
𝑥：0 or 1、𝜇：𝑥となる確率
②二項分布：ベルヌーイ分布の多試行版。ベルヌーイ試行をn回行って発生した事象の確率分布。
𝑃 |
𝑥 λ, 𝑛 = 𝑛𝐶𝑥λ𝑥
(1 − λ)𝑛−𝑥
𝑥：事象発生回数、λ：事象𝑥となる確率、𝑛：試行回数
=
𝑛!
𝑥! (𝑛 − 𝑥)!
λ𝑥(1 − λ)𝑛−𝑥
𝑃 |
3 1/2,5 = 5𝐶3(
1
2
)3
(1 − 1/2)5−3
例：5回コイントスし3回表(𝑥=1)が出る確率
=
5!
3! (5 − 3)!
1
2
3
(1/2)2
=
5・4・3・2・1
(3・2・1)(2・1)
1
2
5
= 10/16
③ガウス分布：事象の発生確率をグラフ化すると「釣り鐘型」となる連続分布
𝑁 𝑥; μ, σ2
=
1
2𝜋𝜎2
𝑒
−
(𝑥−μ)2
2σ2
③'正規分布：分散（σ2
）=1、平均（ μ ）=0のガウス分布
𝑓 𝑥 =
1
2𝜋
𝑒−𝑥2
𝑥：事象発生回数、μ：事象𝑥の平均、σ2
：事象𝑥の分散
- 23. ２．８ 自己情報量
例：沖縄で雪が降った（事象𝑎）日にライブがあった（事象A） → 情報量＝𝑖 𝑎 +𝑖 𝐴 、確率＝P 𝑎 P 𝐴
事象 情報量 確率 イメージ
沖縄に雪が降った 𝑖 𝑎 P 𝑎
北海道に雪が降った 𝑖 𝑏 P 𝑏
<
<
一日増えたことが分かりにくい
＝情報量が少ない
一日増えたことが分かりやすい
＝情報量が多い
情報量が多い＝確率が小さい
独立な事象の積事象の情報量は、個々の情報量の和
自己情報量
ⅈ 𝑥 = − log 𝑃 𝑥 例：𝑖 𝑎 +𝑖 𝐴 = − log 𝑃 𝑎 𝑃 𝐴 = − log𝑃 𝑎 − log 𝑃 𝐴
確率1/2の事象が発生したときの情報量はlog2 𝑃 𝑥 ：bit
確率1/10の事象が発生したときの情報量はlog10 𝑃 𝑥 ：decit
