要因計画データに対するベイズ推定アプローチ
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北海道大学 認知行動科学研究室にて発表させていただいた，要因計画データに対するベイズ推定アプローチの発表資料です。 内容に関する留意点は http://tyamane1969.net/?p=172 をご覧ください。
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要因計画データに対するベイズ推定アプローチ
- 2. 本日の発表内容 1. ベイズ推定とは 2. RStanを用いたベイズ推定 3. 要因計画データに対するベイズ推定 アプローチ ・2群の差の推定 (対応なし) ・2群の差の推定 (対応あり) ・2要因群間計画データの推定 ・混合計画データの推定 4. Tips
- 5. ベイズ統計の考え方 ベイズ統計は，母数とデータの扱いが従来 の頻度主義統計学とは異なる データから 母平均μの分布 が得られる データから 母平均μの真値 を推定する 頻度主義統計学では… 母数 = 定数 データ = 確率変数 ベイズ統計では… 母数 = 確率変数 データ = 定数 ベイズ統計では，母数(知りたい値)が分布 として得られる
- 6. ベイズ統計の考え方 パラメータが分布として得られることで， ベイズ統計では「仮説がどの程度確からし いか」を確率で表現できる e.g.,) 仮説H1：母平均μ ＞ 0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 分布の97% 母平均μの事後分布 のうち，＞ 0となる 部分の面積の割合が 仮説H1が正しい確 率となる
- 7. ベイズ推定とは：事前/事後分布 事後分布 = 知りたいパラメータの分布 事後分布を求めるにはベイズの公式を使用 P q | x( )µP(x |q)P q( ) P(θ|x)はデータxが得られたときに母数がθであ る確率を表す条件付き確率 → 事後分布 P(x|θ)：母数がθのときデータxが得られる確率 → データ分布(尤度) P(θ)：データによらず母数が発生する確率 → 事前分布
- 8. 事前分布に得られたデータ(尤度)を掛け合 わせることで，知りたい母数の分布(事後 分布)を得る推定法 要するにベイズ推定とは 事前分布は分析者が決める 通常はパラメータに合った事前分布を選択 平均値・回帰係数 → 正規分布・コーシー分布 標準偏差・分散 → 半コーシー分布 確率・比率 → ベータ分布・一様分布 困ったらとりあえず無情報な一様分布
- 9. 扱うデータに応じて適切な事前分布を選択 する必要がある 分布はそれぞれパラメータによって位置や 形状が決まる 分布とパラメータ 正規分布 (平均,標準偏差) → normal(mu, sigma) 二項分布 (試行数，確率) → binomial(N, theta) ※分布とパラメータの解説としては『StanとRでベイズ統計モ デリング』6章や『基礎からのベイズ統計学』の付録が詳しい
- 13. ベイズ推定の結果の解釈は，事後分布を分析す ることにより行われる 結果の解釈 母数の平均が知りたい → EAP(事後期待値 = 事後分布の平均値)をもとに判断 母数が左右均等な分布でないときの代表値が知りたい → MAP(最大事後確率 = 事後分布の最大値)から判断 母数の散らばりが知りたい → 事後分散・事後標準偏差をもとに判断 条件間に差があるかを知りたい → 差の事後分布の95％確信区間を求め，0が含まれ るかどうかで判断 研究仮説を表現するような値を生成すれば，事 後分布から仮説に関する解釈ができる
- 14. ベイズ推定において，「95%の確率で 求めるパラメータがその範囲内に入 る」区間を95%確信区間(credible interval)という 頻度主義の95%信頼区間 (confidence interval) が↑のように捉えられているこ とがあるが，頻度主義では真値は固定 値なので，真値が「この辺りにある」 と考えることはできない 確信区間(CI)とは
- 15. 95%確信区間は，95%最高密度区間 (HDI: Highest Density Interval)として出 力される 事後分布の95%HDIをもとに母数につい ての判断や仮説に関する判断を行う 最高密度区間(HDI) “条件間のパラメータの差” の95%HDIに0が含まれていない → 条件間に差があると判断
- 17. パラメータの性質：知りたいパラメータ が固定値ではなく分布で得られる 推定方法：パラメータに関するいくつか の条件をもとに無数にサンプリングを行 うことで，パラメータの事後分布を得る 結果の解釈：事後分布の要約統計量 (EAP，MAPなど)や確信区間をもとに， 仮説が支持されたかどうかを解釈する ベイズ的考え方のまとめ
- 18. RStanを用いたベイズ推定の実施 How to use RStan?
- 19. ベイズ推定の実施 今回は無償＋R上で実行できるRStanを使 用する MCMCを行えるソフトウェアは，他にもWinBugs， JAGS，Mplus，SASなど http://mc-stan.org/
- 22. サンプルデータ 2要因 (2×2) 30問の正答数のデータ condition A1, A2はbetween pre, postはwithin 各条件20名 《sample01.csv を参照してください》
- 23. サンプルデータ 1人目の参加者のpreのデータから，正 答率pを推定してみる 30問のうち12問正答したというデータ 二項分布 (試行数，確率) モデル：正答数x ~ binomial(30, 正答率p) ※RStanの使い方の練習なので 「そんな分析するか？」という ツッコミはナシで
- 24. ①Stanコードでモデルを表現 Stanでは独自の記法のStanコードでモデル を表現する ブロックごとに記述 (順番は固定) ・function {} ・data{} ・transformed data{} ・parameters{} ・transformed parameters{} ・model{} ・generated quantities{}
- 26. 正答率の推定：Stanコード transformed data{}ブロック dataの変形を記述 今回は使わない parameters{}ブロック 推定したいパラメータと その定義を宣言 real<lower=0, upper=1> p; 「正答率pは0〜1の実数」
- 27. 正答率の推定：Stanコード transformed parameters{} parameterの変形を記述 今回は使わない model{}ブロック 具体的な統計モデル x ~ binomial (30, p); 「正答数xは試行数30， 正答率pの二項分布に従う」 generated quantities{}ブロック 生成量の記述 今回は使わない
- 36. 要因計画データに対するベイズ 推定アプローチ How to BAYES the designed data?
- 37. 要因計画データに対するアプローチ ベイズ推定では，所与のデータから， 興味のあるパラメータの事後分布を推 定する 要因計画データにおいては，多くの場 合，条件間の差を検討することが目的 なので，各条件のパラメータに加えて， パラメータ同士の差を推定し，事後分 布を解釈する
- 41. 2群の差の推定：Stanコード data{}ブロック int<lower=0> N1; int<lower=0> N2; int<lower=0,upper=30> x1[N1]; int<lower=0,upper=30> x2[N2]; N1, N2 → 各群の参加者数 x1, x2 → 各群のデータ x1[N1]で「データがN1個分ある」 ことを表す 変数の型や下限・上限の指定は 先ほどと同様 《2group.stanを参照してください》
- 42. 2群の差の推定：Stanコード parameters{}ブロック real <lower=0,upper=30> mu1; real <lower=0,upper=30> mu2; real <lower=0> sigma1; real <lower=0> sigma2; 各群の平均μ1, μ2と 分散σ1, σ2を定義 model{}ブロック x1 ~ normal(mu1, sigma1); x2 ~ normal(mu2, sigma2); それぞれの正答数について モデル式を記述
- 43. 2群の差の推定：Stanコード generated quantities{} real diff; diff = mu2-mu1; このブロックでは，定義した パラメータを組み合わせて 任意の生成量を作れる ※作った生成量はブロック内で 宣言する必要があるので注意 ここではmu2からmu1を引く ことで「2群の正答数の差」 を作成している(その他は後述)
- 47. より柔軟な仮説の検討 差があることは分かったが，どれくらいの差？ generated quantities{}で生成量を定義すること で，例えば 「平均正答数に2問以上の差がある確率」 などを求めることもできる diffが特定の値以上であれば 1を返すような変数を定義 EAP(事後分布の平均)をもとに解釈 mu2 – mu1 > 1 は100% mu2 – mu1 > 2 は41%
- 48. 2群の差の推定(対応あり) 対応のある(1つの対象から複数測定され ている)データを扱うためには，多変量 用の分布を用いることになる 正規分布から発生する2つの変数であれ ば，2変量正規分布 → 『新訂 心理統計法−有意性検定からの脱却』 p.121のイメージ図を参照
- 49. 多変量正規分布の引数 多変量正規分布は引数としてベクトルと共 分散行列を持つので，データをその型に合 わせる必要がある 多変量正規分布 (ベクトル, 共分散行列) → multi_normal(mu, Sigma) muとsigmaをそれぞれ ベクトルとして宣言 transformed parameters{} ブロックで共分散行列を作成
- 51. 2群の差の推定(対応あり)：Stanコード data{}ブロック int<lower=0> N; vector[2] x[N]; 参加者数とデータをベクトル型で 宣言している 《2group_within.stanを参照してください》 parameters{}ブロック vector[2] mu; vector<lower=0>[2] sigma; real<lower=-1, upper=1> rho; 平均値と分散をベクトル，相関を −1 ~ 1の実数で宣言している
- 53. 2群の差の推定(対応あり)：Stanコード transformed parameters{}ブロック matrix[2,2] Sigma; Sigma[1,1] = sigma[1]*sigma[1]; Sigma[2,2] = sigma[2]*sigma[2]; Sigma[1,2] = sigma[1]*sigma[2]*rho; Sigma[2,1] = sigma[2]*sigma[1]*rho; 共分散行列のそれぞれの要素を指定 対応ありのデータなので，非対角項 に相関(rho)が掛けられている
- 54. 2群の差の推定(対応あり)：Stanコード model{}ブロック for(i in 1:N){ x[i] ~ multi_normal(mu,Sigma); for文を使って2変量正規分布に 従うモデル式を記述 ※muはベクトル，Sigmaは行列型 generated quantities{} real diff; diff = mu[2] – mu[1]; 平均値の差の生成量を作成
- 57. 2要因群間計画データの推定 2要因計画では，各要因の主効果と交互 作用の推定を行う 2×2の群間計画におけるデータの発生メ カニズムを考えてみる ・・・ ※仮想データはpre, postだが 仮に群間計画だと考える
- 61. 2要因群間計画データの推定：Stanコード 《2way.stanを参照してください》 parameters{}ブロック real effectA; real effectB; real effectAB; 各要因と交互作用の パラメータを定義
- 62. 2要因群間計画データの推定：Stanコード transformed parameters{}ブロック Sigma[1,1] = sigma[1]*sigma[1]; Sigma[2,2] = sigma[2]*sigma[2]; Sigma[1,2] = 0; Sigma[2,1] = 0; 共分散行列のそれぞれの要素 を指定 群間計画のデータなので 非対角成分は0
- 63. 2要因群間計画データの推定：Stanコード transformed parameters{}ブロック mu2[1] = mu – effectB; mu2[2] = mu + effectB; 要因Bの効果を加える 効果は2つの条件で相殺される ように加える必要がある ideal1[1] = mu2[1] – effectA + effectAB; ideal1[2] = mu2[2] – effectA – effectAB; ideal2[1] = mu2[1] + effectA – effectAB; ideal2[2] = mu2[2] + effectA + effectAB; 各条件に要因Aと交互作用ABの 効果を加える
- 64. 2要因群間計画データの推定：Stanコード ideal1[1] ideal2[1] ideal2[2] ideal1[2] effect A + effect A - effect B - effect B + effect AB + effect AB - effect AB - effect AB +
- 66. 2要因群間計画データの推定：出力 muやeffect A, B, ABの推定結果 は，データ作成時の設定と ほぼ一致
- 68. Tips
- 70. Tips:JASP GUIの統計フリーソフトウェア ベイズ推定を使ったt検定・分散分析・回帰 分析などが実施できる ベイズファクターによるモデル比較しかでき ない(生成量を作ったりはできない)
- 71. Tips:ベイズを勉強するなら 『基礎からのベイズ統計学』 豊田秀樹 先生 → バイブル的一冊 基本的な分析のStanコードやStan内の関数・分布 の一覧など付録が充実 『はじめての統計データ分析』豊田秀樹 先生 → もう少し発展的なモデルや仮説の表現 Web上にもたくさんの資料
- 72. Tips:ベイズを勉強するなら 『StanとRでベイズ統計モデリング』 松浦健太郎 先生 → 最近出た本 モデリング寄り 図が多いので視覚的に分かりやすい Web上にもたくさんの資料
- 73. Tips:ベイズ関連情報 『Doing Bayesian Data Analysis』の翻訳本が出ます 『Bayesian Cognitive Modeling』も出るという噂 社会心理学会春の方法論セミナー 3/14(火) @上智大学 「効果の科学からデータ生成過程の科学へ 〜心理学者のためのベイジアン・モデリング入門」 (http://www.socialpsychology.jp/seminar/seminar2.html)
- 74. 参考文献・webサイト 『基礎からのベイズ統計学』 朝倉書店 『はじめての統計データ分析』 朝倉書店 『実践ベイズモデリング』 朝倉書店 『新訂 心理統計法−有意性検定からの脱却』 放送大学教育振興会 『StanとRでベイズ統計モデリング』 共立出版 Stan超初心者入門 http://www.slideshare.net/simizu706/stan-62042940 心理学者のためのベイズ統計入門 http://www.slideshare.net/simizu706/ss-57721033 心理統計の課題をRmdで作る http://www.slideshare.net/KojiKosugi/rmd-67205625 SpecialThanks 本資料の作成にあたって， 山口大学教育学部 小杉 考司 先生 広島大学教育学研究科 平川 真 先生 広島大学教育学研究科 難波 修史 氏 から，多くの重要なご指摘をいただきました。ありがとうございました。
Notas del editor
- ・データの平均値など先に示す
- ・練習だからという点強調
- ・使用ファイルどっかに載せる
- ・対応ありのコードに
- ・対応ありのコードに
- ・対応ありのコードに
- ・対応ありのコードに
- ・対応ありのコードに
- ・データの平均値など先に示す