kalklulus

1. INTEGRAL
Atika Ratna Dewi, S.Si., M.Sc

2. 2
1. Integral Tak Tentu
F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila
Contoh
dan adalah anti turunan dari
karena F’(x) = f(x).
Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya
berupa suatu bilangan konstan.
Proses mencari anti turunan disebut juga proses pengintegralan. Hasilnya
disebut integral tak tentu(anti turunan) dari f
Notasi :
I
x
x
f
x
F 

 )
(
)
(
'
3
3
1
)
( x
x
F 
2
)
( x
x
f 
C
x
x
F 
 3
3
1
)
(
f x dx F x C
( ) ( )
 


3. 3
 
 C
x
dx
x sin
cos
.
3
2. Sifat-sifat integral tak tentu
A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan
 



C
n
x
dx
x
n
n
1
.
1
1
 

 C
x
dx
x cos
sin
.
2
, n  -1
 
 C
x
dx
x tan
sec
.
4 2
 

 C
x
dx
x cot
csc
.
5 2
 
a f x bg x dx a f x dx b g x dx
( ) ( ) ( ) ( )
   


6.

4. Contoh :
1.
2.
4

5. 5
3. Integral dengan substitusi
Definisi:
Misal u = g(x) , , dan F suatu anti turunan dari f,
maka
Contoh : Hitung
Misal u = 2x + 1   sehingga
  



 c
x
g
F
c
u
F
du
u
f
dx
x
g
x
g
f ))
(
(
)
(
)
(
)
(
'
))
(
(
 
sin 2 1
x dx


dx
x
g
du )
(
'

dx
du 2
 du
dx 2
1

  
 
 du
u
dx
x sin
2
1
1
2
sin
  C
x
C
u 





 1
2
cos
2
1
cos
2
1

6. 6
Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran (fungsi
yang diintegralkan) hanya fungsi dari u
Contoh : Hitung
1
3

 x
u 2
3x
dx
du
 2
3x
du
dx 
Jawab : Misal
Maka
  dx
x
x 5
10
3
)
1
(
  dx
x
x 5
10
3
)
1
(
3
x
 

 du
x
u
x
du
x
u 3
10
2
5
10
3
1
3
Integran
fungsi dr
u dan x
3
x
Ctt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu
konstanta
substitusi dengan menggunakan hubungan 1
3

 x
u 1
3

 u
x
sehingga
 
 



 du
u
u
du
u
u
dx
x
x 10
11
10
5
10
3
3
/
1
)
1
(
3
/
1
)
1
( C
u
u 

 11
33
1
12
36
1
C
x
x 



 11
3
33
1
12
3
36
1
)
1
(
)
1
(

7. Contoh :
1.
2.
7

8. Latihan soal :

9. 9
4. Notasi Sigma (  )
Notasi sigma ( jumlah ) :
Sifat dan rumus sigma
dan
...
2
1
1
n
n
i
i a
a
a
a 





k k k k nk
n suku
i
n
    

 ...
 
 

1
 
  
  



n
i
n
i
n
i
i
i
i
i b
l
a
k
lb
a
k
1 1 1
.
1




n
i
n
n
i
1 2
)
1
(
.
2





n
i
n
n
n
i
1
2
6
)
1
2
)(
1
(
.
3







 

n
i
n
n
i
1
2
3
2
)
1
(
.
4
Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan
induksi matematika

10. 10
5. Integral Tentu
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang
menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada
selang tutup [ a,b ].
b
x
x
x
a n 



 ...
1
0
a b
Langkah :
1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang
dengan titik pembagian
}
,...,
,
,
{ 2
1
0 n
x
b
x
x
x
a
P 


disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
1
1
|,
|
||
|| 






 k
k
k
k
n
k
x
x
x
x
Maks
P
]
,
[ 1 k
k
k x
x
c 

3. Pilih k = 1, 2, ..., n
1
x 1

k
x k
x
k
x

k
c

11. 11
a b
2
x 1

k
x k
x
k
x

k
c
4. Bentuk jumlah reiman



n
k
k
k x
c
f
1
)
(
0
||
|| 
P




n
P
k
k
k x
c
f
1
0
||
||
)
(
lim
Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann






 




n
k k
x
k
c
f
n
b
a
n
k k
x
k
c
f
P
dx
x
f
1
)
(
lim
1
)
(
0
||
|
lim
)
(
Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan
Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg
)
( k
c
f

12. 12
Contoh Hitung  
2
0
2 dx
x
Jawab : Langkah
(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang
n
x 2


0 2
x
 x

x

x

1
x 2
x 1

i
x i
x 1

n
x
sehingga
0
0 
x
n
x
x 2
1 0 



n
.
x
x 2
2
2 2
0 



n
i
i x
i
x 2
0 



………………………
………………………

13. 13
(ii) Pilih i
i x
c 
(iii) Bentuk jumlah reiman
   
 
 



n
i
n
i
n
n
i
i
i x
c
f
1 1
2
2
2  




n
i
n
n
i
1
4
4
2 
 



n
i
n
i n
i
n 1
1
2
1
4
4
n
n
n
)
n
(
n
n
2
2
4
2
1
4
2









 

(iv) Jika 

n
 
 







2
0
2 2
2
2 n
n
lim
dx
x

14. Contoh

15. 15
7. Teorema Dasar Kalkulus (TDK)
7.1 TDK I
Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).
Maka
Contoh Selesaikan integral tentu
Jawab : Misal u = 2x  du = 2 dx. Maka
Sehingga
f x dx F b F a
a
b
( ) ( ) ( )
 

 
sin 2
2
x dx



    1
cos
2
cos
2
1
2
cos
2
1
2
sin
2
/
2







 





x
dx
x
 
 x
dx
x 2
cos
2
1
2
sin

16. 16
Contoh:
1.) 1
5
𝑥 − 2 𝑑𝑥
2. )
−1
2
4𝑥 − 6𝑥2
𝑑𝑥
3. )
1
8
𝑥1/3
+ 𝑥4/3
𝑑𝑥
4. )
0
𝜋
3 sin 𝑥 𝑑𝑥
5. )
0
4
𝑥2 + 𝑥 2𝑥 + 1 𝑑𝑥

17. 17
Ctt: Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b]
maka integral tentu diatas menyatakan luas daerah
yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x
antara garis x = a dan x = b
Sifat integral tentu
 
p f x q g x dx p f x dx q g x dx
a
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )
  
  
1. Sifat linear
2. Jika a < b < c, maka
f x dx f x dx f x dx
a
c
a
b
b
c
( ) ( ) ( )
  
 

18. 18
f x dx
a
a
( ) 
 0  
f x dx f x dx
a
b
b
a
 
  ( )
3. dan
4. Bila f(x) ganjil , maka 


a
a
dx
x
f 0
)
(
5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dx
a
a
a
( ) ( )
 


2
0
Contoh Hitung




3
3
2
4
7 dx
x
x
x
Jawab
7
)
(
)
(
)
( 2
4






 x
x
x
x
f )
(
7
2
4
x
f
x
x
x 




 f(x) ganjil
0
7
3
3
2
4





dx
x
x
x

19. Contoh
0
1
𝑥2
+ (𝑥2
+1)4
𝑥 𝑑𝑥

20. 20
7.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)
• Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b],
maka
• Bukti: Misalkan F anti turunan dari f. Dengan TDK I, didapat
Sehingga,
)
(
)
( x
f
dt
t
f
D
x
a
x 









)
(
)
(
)
( a
F
x
F
dt
t
f
x
a



  ).
(
0
)
(
'
)
(
)
(
)
( x
f
x
F
a
F
x
F
D
dt
t
f
D x
x
a
x 














21. 21
• Dari teorema (TDK I ) dan (TDK II) diatas dapat diturunkan rumus:
1.
2.
Contoh : 1. 
2. 
)
(
'
))
(
(
)
(
)
(
x
u
x
u
f
dt
t
f
D
x
u
a
x 









)
(
'
))
(
(
)
(
'
))
(
(
)
(
)
(
)
(
x
u
x
u
f
x
v
x
v
f
dt
t
f
D
x
v
x
u
x 










 

2
4
2
1
1
)
(
x
dt
t
x
G


x
dt
t
x
G
1
2
)
(
2
1
2
)
(
' x
dt
t
D
x
G
x
x 








 
.
1
2
)
(
1
)
(
1
1
1
)
(
' 4
2
2
2
4
2
2













  x
x
x
D
x
dt
t
D
x
G x
x
x

22. Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral
Jika f kontinu pada [a,b], maka terdapat suatu
bilangan c antara a dan b sedemikian sehingga
:
22

23. Contoh :
Tentukan nilai rata-rata integral untuk f(x)=x2
pada selang [0,1]
23

24. Soal
1. )
0
1
(3𝑥 + 1)3𝑑𝑥
2. )
0
4
2𝑡 + 1𝑑𝑡
3. )
0
2
𝑡
(𝑡2 + 9)2
𝑑𝑡
4. )
0
5
9 − 𝑥2𝑥 𝑑𝑥
5. )
0
2
𝑥2
(9 − 𝑥3)3/2
𝑑𝑥