3. CHƯƠNG 1: SỐ THỰC VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Toán Giải tích
1. Trình bày và phân biệt được các khái niệm max với sup, min với inf và biết cách
tìm inf, sup của một số tập hợp, điều kiện tồn tại sup, inf.
2. Trình bày được các khái niệm: dãy hội tụ, dãy con, dãy đơn điệu, dãy bị chặn.
3. Trình bày được các tính chất cơ bản của dãy số hội tụ và biết vận dụng để tính
giới hạn của dãy số.
4. Trình bày được điều kiện hội tụ của dãy đơn điệu và biết vận dụng để xét sự
tồn tại giới hạn của các dãy số.
5. Trình bày được mối liên hệ giữa dãy hội tụ và dãy bị chặn.
6. Trình bày được định nghĩa dãy có giới hạn bằng ±∞ và mối quan hệ giữa dãy
có giới hạn ±∞ với dãy bị chặn.
7. Tính được giới hạn của dãy số.
CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG 1
4. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
• 1.1. Số thực
• 1.1.1. Tập hợp các số thực
• 1.1.2. Tập hợp số thực mở rộng
• 1.2. Giới hạn của dãy số
• 1.2.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản
• 1.2.2. Điều kiện hội tụ của dãy số đơn điệu
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Thị Hồng Thanh và Trần
Đức Thành, Giáo trình Giải tích I (Dùng cho các ngành Tự nhiên và Kỹ thuật), NXB
Trường Đại học Vinh, 2017.
[2]. Đinh Huy Hoàng và Kiều Phương Chi, Toán cao cấp 3(Giải tích 3- Dùng cho sinh
viên ngành Xây dựng và Kỹ thuật), NXB Trường Đại học Vinh, 2009.
[3]. Phan Văn Danh và nhiều tác giả, Toán cao cấp T2, Giải tích hàm một biến, NXBGD,
1998.
[5]. Terence Tao, Analysis I, II, Springer Verlag Berlin Heidelberg, Thirt edition, 2016.
14. Thật vậy,
+) Để c/m dãy số (𝑎𝑛) = (
𝑛−1
𝑛
) là dãy số tăng, ta c/m: 𝑎𝑛+1 ≥ 𝑎𝑛 với mọi n.
Ta có: (𝑎𝑛) = (
𝑛−1
𝑛
)=( 1-
1
𝑛
) ={0,
1
2
,
2
3
,...} nên 𝑎𝑛+1=1-
1
𝑛+1
≥ 1 −
1
𝑛
=𝑎𝑛 với mọi n.
+) Để c/m dãy số (𝑎𝑛) = (
𝑛−1
𝑛
) là ds bị chặn, ta tìm số M sao cho | 𝑎𝑛 |≤ 𝑀 với mọi n.
Ta có: : 𝑎𝑛 =
𝑛−1
𝑛
=1-
1
𝑛
< 1 với mọi n, nên chọn M=1 thì | 𝑎𝑛 |≤ 𝑀 với mọi n./.
15. Thật vậy,
+) Để c/m dãy số (𝑎𝑛) = {−1, 1, −2,
1
2
, −3,
1
3
, … } là dãy số bị chặn trên ta
tìm số thực M sao cho 𝑎𝑛<M với mọi n.
Ta có: (𝑎𝑛) = {….-4, -3, -2, -1, 0, 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, ...} nên 𝑎𝑛 ≤ 1 với mọi n.
+) Để c/m dãy số (𝑎𝑛) là dãy số không bị chặn dưới, ta chỉ ra với bất kỳ số N nào âm,
bé tùy ý, luôn tồn tại k sao cho 𝑎𝑘 < 𝑁.
Thật vậy, dù N âm bé đến mấy thì lấy 𝑎𝑘 = [N]-1 thì 𝑎𝑘 < 𝑁./.
20. Chú ý
Ta có: |𝑎𝑛| < 𝑀 ↔ −𝑀 < 𝑎𝑛<M, hay 𝑎𝑛 ∈ −𝑀, 𝑀 . Do đó ta có kết luận sau.
Từ định nghĩa về dãy phân kỳ, ta có kết luận sau.
Ta xét các ví dụ sau.
21. 1. Ta chứng minh 𝑎𝑛 =
𝑛−1
𝑛
→ 1.
Thật vậy, với 𝜖 > 0 và bé tùy ý, ta có
|𝑎𝑛−1| = |
𝑛−1
𝑛
-1|=
1
𝑛
< 𝜖 ↔ 𝑛 >
1
𝜖
. Chọn n=[
1
𝜖
]+1, thì 𝑛 >
1
𝜖
.
Vậy, với 𝜖 > 0 và bé tùy ý, chọn n0 =[
1
𝜖
]+1 thì với mọi n>n0 >
1
𝜖
, ta có |𝑎𝑛−1| < 𝜖.
Do đó, theo định nghĩa dãy hội tụ, ta kết luận 𝑎𝑛 =
𝑛−1
𝑛
→ 1.
2. Ta chứng minh 𝑎𝑛 =
1
𝑛2+1
→ 0.
Thật vậy, với 𝜖 > 0 và bé tùy ý, ta có |𝑎𝑛 − 0| =
1
𝑛2+1
<
1
𝑛
< 𝜖 ↔ 𝑛 >
1
𝜖
.
Chọn n=[
1
𝜖
]+1, thì 𝑛 >
1
𝜖
.
Vậy, với 𝜖 > 0 và bé tùy ý, chọn n0 =[
1
𝜖
]+1 thì với mọi n>n0 >
1
𝜖
, ta có |𝑎𝑛−0| < 𝜖.
Do đó, theo định nghĩa dãy hội tụ, ta kết luận𝑎𝑛 =
1
𝑛2+1
→ 0.
22.
23.
24. Chú ý:
Điều ngược lại của Định lí 4 là không đúng, nghĩa là: Dãy hội tụ chưa chắc đã hội tụ.
25.
26.
27. 1.2.2. Điều kiện hội tụ của dãy số đơn điệu, số e
Giải:
Rõ ràng 𝑎𝑛+1 = [1 +
1
4
+
1
9
+ … +
1
𝑛2] +
1
𝑛+1 2 = 𝑎𝑛 +
1
𝑛+1 2>𝑎𝑛 với mọi n.
28.
29. TÓM TẮT NỘI DUNG BÀI HỌC
1.1. Số thực
1.1.1. Tập hợp các số thực
1.1.2. Tập hợp số thực mở rộng
Chú ý về các phép toán, đặc biệt là các trường hợp phép toán không thực hiện được trên
tập số thực mở rộng.
1.2. Giới hạn của dãy số
1.2.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản
+ Chú ý các khái niệm: Dãy số, dãy con, dãy đơn điệu (tăng, giảm), dãy bị chặn trên, bị
chặn dưới và bị chặn, dãy hôi tụ, dãy phân kỳ, dãy Cauchy.
+ Các tính chất của dãy hội tụ: Tính duy nhất, sự hội tụ dãy giá trị tuyệt đối, sự hội tụ
của dãy con, sự liên hệ giữa hội tụ và bị chặn, các phép toán về dãy hội tụ, bảo toàn thứ
tự qua giới hạn, nguyên lý kẹp
1.2.2. Điều kiện hội tụ của dãy số đơn điệu
+ Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên hoặc dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
+ Mọi dãy bị chặn luôn có dãy con hội tụ.
34. Nội dung cần củng cố và cần chuẩn bị cho bài học tiếp theo
• 1. Đọc trước mục 1.1.3, mục Chương 1 trong Giáo
trình.
• 2. Đọc chứng minh các tính chất của dãy hội tụ trong
giáo trình và tài liệu tham khảo đọc kiến thức về số e.
• 3. Làm các bài tập cuối Chương 1, trong giáo trình.
Today I would like to introduce some information about this course
Our course was named Fractal geometry.
It ‘’s used for high quality bachelor training program.
Benoit Mandelbrot was a maverick mathematician who is widely known as the "father of fractal geometry”.
Đọc nguyên xi cả slide
Đọc y chang
To study well, you need to remember these basic concepts involving metric space such as: metric, convergent sequences, Cauchy sequence, closed sets, open sets and compact sets, complete metric space, bounded sets.
The distance from a point x to a set A is defined by ….. Thus, if x=0 and a=[2,6] the d(x,A)=2
Đọc y chang
ii) lấy ví dụ A=[0,1], B = (2, 5] thì D(A,B)=2, D(B,A)=4
iii) lấy ví dụ A=(0,1) \delta=0,1 thì A_\delta=(-0,9, 1,1)
iv) This def is shown in order to construct formula computing the distance between 2 sets, because inf and sup exist on compact sets
Một số tính chất của giá trị tuyệt đối mà ta thường dùng trong quá trình học
Nhắc lại các khái niệm về khoảng đoạn
Đọc nguyên xi
Đọc nguyên xi
Đọc nguyên xi
Đọc nguyên xi
Đọc nguyên xi
Đọc nguyên xi
Đọc nguyên, công thức không cần hđọc
- Now, let’s do these multiple choice questions to check your knowledge whether you achieve learning outcomes of this chapter.
Đọc câu hỏi 1,2. The above questions is to check your ability to calculate the Hausdorff distance
Đọc câu 3, this one helps you practice to use properties of metric skillfully.
