Chapitre 3 eingenierie-mecanique

Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 1
Chapitre 3
Equilibre des solides

1. Conditions d’équilibre d’un solide
1.1 Rappels
1.2 Conditions d’équilibre d’un solide
1.3 Un exemple
1.4 Stabilité de l’équilibre
1.5 Recherche d’une action rétablissant
l’équilibre d’un solide
2. Quelques équilibres
2.1 Cas d’une poutre
2.2 Cas d’un système réticulé
2.3 Solide soumis à deux forces coplanaires
2.4 Solide soumis à trois forces coplanaires.
3. Comment traiter les problèmes
d’équilibre
3.1 Notations
3.2 Enoncé de la méthode
3.3 Exemple
Sommaire

1.
Conditions
d’équilibre
du
solide
1.1 Rappels
Domaine d’étude :
 On considère des solides plans chargés dans leur plan par
des forces et de couples concentrés (dénommées actions)
 Lors de l’étude de leur équilibre, les solides sont considérés
comme indéformables
Eléments de réduction d’un ensemble d’actions en un point P :
 Les éléments de réduction d’un ensemble d’actions en un
point P caractérisent complètement l’effet de ces actions.
 Il y a deux éléments de réduction en un point P quelconque :
• la résultante des forces R
• le moment résultant par rapport au point P de l’ensemble des
actions (forces et couples concentrés) M/P
1. Conditions d’équilibre du solide

C1
B1
C2
B2
Figure 1 Solide rectangulaire soumis à 3 forces et 2 couples concentrés
F1
A1
F2
A2
F3
A3
1.
Conditions
d’équilibre
du
solide
1.1 Rappels

1.
Conditions
d’équilibre
du
solide
1.1 Rappels
rotation)
de
(axes
n
applicatio
d'
point
leur
B
C
moments
de
concentrés
couples
m
,
m
,...,
2
,
1
j
,
C
j
j
j 

n
applicatio
d'
point
leur
A
forces
k
,
k
,...,
2
,
1
i
,
F
i
i 
(ici k = 3, m = 2)

1.
Conditions
d’équilibre
du
solide
1.1 Rappels
Pour chacune des forces concentrées, Fi, il y a deux éléments
de réduction:
 une résultante notée Fi indépendante de P
un moment par rapport à P, noté M(Fi)/P, ou plus simplement
Mi/P
Pour chacun des couples concentrés Ci il y a un seul élément
de réduction :
 le moment du couple concentré qui est constant, noté Ci (la
lettre C rappelle que cette valeur est constante et ne dépend
pas du point de réduction). La résultante d’un couple est nulle.

1.
Conditions
d’équilibre
du
solide
1.1 Rappels
Terme constant indépendant du point P où est faite la réduction
Terme qui dépend du point P où est faite la réduction
Calcul de la résultante du système d’actions :


k
i
F
R
Calcul du moment du système d’actions par rapport
au point P :

 

m
j
k
P
/
P
/ C
i
M
M

1.
Conditions
d’équilibre
du
solide
1.2 Conditions d’équilibre d’un solide
0
F
R
k
i 

0
C
i
M
M
m
j
k
P
/
P
/ 

 

0 force : système sans effet 0
M
,
0
R P
/ 

Le solide soumis à ce système d’actions ne sera pas mis en mouvement, il sera en équilibre.
CONDITIONS D’EQUILIBRE D’UN SOLIDE

1.
Conditions
d’équilibre
du
solide
1.3 Exemple
Figure 2 Exemples

1.
Conditions
d’équilibre
du
solide
1.3 Exemple
Figure 3 Equilibre d’une corde
0
F
R
8
i 

1
0
0
0
C
i
M
M
0
j
8
P
/
P
/ 



 

2
Dans ce cas tous les supports des forces peuvent être considérés
comme confondus sur une même droite: on peut choisir un point P sur
cette droite.
Comme il n’y a pas de couples concentrés, et que tous les moments des
forces par rapport à P sont nuls, la condition 2 est automatiquement
vérifiée.

1.
Conditions
d’équilibre
du
solide
1.4 Stabilité de l’équilibre
F12
F21
F12
A
Le décalage du support du poids
du rocher par rapport à A, point
de contact déstabilise l’équilibre
par un effet de moment qui induit
une rotation, puis un
écroulement.
En A l’équilibre est instable
En B l’équilibre est stable
A
B
Figure 4 Stabilité de l’équilibre

1.
Conditions
d’équilibre
du
solide
1.5 Recherche d’une action rétablissant l’équilibre
F1
A1
F2
A2
Figure 5 Solide déséquilibré
Dans cet exemple simple on
construit la résultante F12 des
forces F1 et F2, qui n’est pas
nulle.
Il suffit d’avoir une force F3
directement opposée à F12,
pour rétablir l’équilibre.
Les forces F1, F2, F3 satisfont
les deux conditions d’équilibre.
On peut vérifier que la somme
des moments est nulle (le choix
du point commun
d’intersection des trois
supports comme point P de
réduction des forces suffit à le
prouver)
F12
F3

2.
Quelques
équilibres
2.1 Cas d’une poutre
2. Quelques équilibres
F2
F3
F1
A1
A2
A3
Action répartie d’intensité « p »
Actions « directement » appliquées sur la poutre
Actions exercées par les appuis sur la poutre
« Réactions d’appui »
Figure 6 Actions conditionnant l’équilibre d’une poutre

2.
Quelques
équilibres
2.2 Cas d’un système réticulé
Figure 7 Système “réticulé”
Equilibre de l’ensemble
acquis lorsque tous les
« nœuds sont en
équilibre »

2.
Quelques
équilibres
2.3 Solide soumis à deux forces coplanaires
Figure 8 Equilibre d’un solide soumis à deux forces concentrées
Les supports des deux forces doivent être
confondus, leurs sens opposés et leurs sens
opposés.

2.
Quelques
équilibres
Figure 9 Solides soumis à trois forces coplanaires
Condition nécessaire d’équilibre : les supports des trois forces doivent
appartenir au même plan (elles sont co planaires), et ils doivent être
concourants.

2.
Quelques
équilibres
Figure 10 Equilibre d’un échelle
Sol
Mur
? Inclinaison du support de
l’action du mur sur l’échelle
Echelle

3.
Comment
traiter
les
problèmes
d’équilibre
3.1 Notations
3. Comment traiter les problèmes
d’équilibre
vecteur
force,
F i
absolue
valeur
force,
la
de
intensité
Fi
algébrique
valeur
,
composante
F x
i
algébrique
valeur
,
composante
F y
i
absolue
valeur
couple,
Cj
lié
vecteur
Couple,
C j
algébrique
valeur
couple,
de
composante
Cjz

1. Dessiner le solide et indiquer les cotes. Placer les liaisons
2. Donner un nom à toutes les actions connues, les dessiner sur le
plan, en indiquant
1. leur point d’application Ai, leur support, leur sens et leur
intensité pour les forces,
2. leur point d’application Bj, leur sens et l’intensité Cj pour les
couples concentrés.
3. Donner un nom à toutes les actions inconnues de liaisons entre
les solides. Le point d’application et le support sont associées
aux modes de liaison (d’assemblage, voir chapitre 4). L’intensité
et le sens seront le résultat d’un calcul.
4. Choisir un système d’axes de référence (xOy) et les conventions
de signe (pour la rotation privilégier le sens trigonométrique)
5. Calculer les composantes des forces et des moments connus
6. Donner un nom aux composantes des forces et des moments
inconnus
7. Ecrire les conditions d’équilibre : résultante nulle (ce qui donne 2
équations) et moment résultant nul /P (1 équation)
3.
Comment
traiter
les
problèmes
d’équilibre
3.2 Enoncé de la méthode

3.00 6.00
5.50
2.50 0.50
0.50
1.Dessiner le solide et indiquer les côtes. Placer les liaisons
A1 A2 A3
A4
3.
Comment
traiter
les
problèmes
d’équilibre
3.3 Exemple

2. Donner un nom à toutes les actions connues,
les dessiner sur le plan, en indiquant leur point
d’application Ai, leur support, leur sens et leur
intensité pour les forces
3.00 6.00
5.50
2.50
A3
3
F
A2
2
F
A1
1
F
0.50
0.50
F1 = 15000 N
F2 = 10000 N
F3 = 7500 N
A4
3.
Comment
traiter
les
problèmes
d’équilibre
3.3 Exemple

3 Donner un nom à toutes les actions inconnues de liaisons
entre les solides. Le point d’application et le support sont
associées aux modes de liaison
3.00 6.00
5.50
2.50
A3
3
F
A2
2
F
A1
1
F
0.50
0.50
A4
4
F
3.
Comment
traiter
les
problèmes
d’équilibre
3.3 Exemple

4 Choisir un système d’axes de référence (xOy) et les
conventions de signe
3.00 6.00
5.50
2.50
A3
3
F
A2
2
F
A1
1
F
0.50
0.50
A4
4
F
x
y
+
O
3.
Comment
traiter
les
problèmes
d’équilibre
3.3 Exemple

5 Calculer les composantes des forces et des moments
connus
6 Donner un nom aux composantes des forces et des
moments inconnus
3.00 6.00
5.50
2.50
A3
3
F
A2
2
F
A1
1
F
0.50
0.50
A4
4
F
x
y
+
O
3.
Comment
traiter
les
problèmes
d’équilibre
3.3 Exemple

5 Calculer les composantes des forces et des moments connus
6 Donner un nom aux composantes des forces et des moments
inconnus
0
Fx
1

0
Fx
2

0
Fx
3

N
15000
Fy
1


N
10000
Fy
2


N
7500
Fy
3


x
4
F y
4
F
3.
Comment
traiter
les
problèmes
d’équilibre
3.3 Exemple

7 Ecrire les conditions d’équilibre : résultante nulle (ce qui donne 2 équations) e
moment résultant nul /P (1 équation)
0
M
tout
A


 
to ut
x 0
F 0
F
0
0
0 x
4



 0
Fx
4

0
F
to ut
y 

0
F
7500
10000
15000 y
4





N
32500
Fy
4

On choisit le point A4
0
)
4
F
(
M
)
3
F
(
M
)
2
F
(
M
)
1
F
(
M 4
A
/
4
A
/
4
A
/
4
A
/




0
0
F
d
F
d
F
d
F 4
3
3
2
2
1
1









0
0
5
.
5
7500
5
.
1
10000
5
.
2
15000 






0
18750
 Perte d’équilibre en rotation
3.
Comment
traiter
les
problèmes
d’équilibre
3.3 Exemple

Chapitre 3 eingenierie-mecanique

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