Dãy số nguyễn tất thu

M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s

S GIÁO D C & ðÀO T O ð NG NAI
Trư ng THPT BC Lê H ng Phong

Giáo viên th c hi n
NGUY N T T THU

Năm h c: 2008 – 2009

-1-


M CL C

M C L C.................................................................................................................................... 1

L IM ð U.............................................................................................................................. 3

I. S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S D NG
DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T. ............................................................ 4

II. S D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S ........... 24

III. NG D NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C A DÃY S VÀO GI I M T S BÀI
TOÁN V DÃY S -T H P............................................................................................... 30

BÀI T P ÁP D NG ................................................................................................................. 41

K T LU N – KI N NGH ...................................................................................................... 45

TÀI LI U THAM KH O ........................................................................................................ 46

-2-


L IM ð U
Trong chương trình toán h c THPT các bài toán liên quan ñ n dãy s là m t ph n
quan tr ng c a ñ i s và gi i tích l p 11 , h c sinh thư ng g p nhi u khó khăn khi gi i
các bài toán liên qua ñ n dãy s và ñ c bi t là bài toán xác ñ nh công th c s h ng t ng
quát c a dãy s . Hơn n a m t s l p bài toán khi ñã xác ñ nh ñư c công th c t ng
quát c a dãy s thì n i dung c a bài toán g n như ñư c gi i quy t. Do ñó xác ñ nh công
th c t ng quát c a dãy s chi m m t v trí nh t ñ nh trong các bài toán dãy s .
Chuyên ñ “M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s ”
nh m chia s v i các b n ñ ng nghi p m t s kinh nghi m gi i bài toán xác ñ nh CTTQ
c a dãy s mà b n thân ñúc rút ñư c trong quá trình h c t p và gi ng d y.
N i dung c a chuyên ñ ñư c chia làm ba m c :
I: S d ng CSC – CSN ñ xây d ng phương pháp tìm CTTQ c a m t s d ng dãy s
có d ng công th c truy h i ñ c bi t.
II: S d ng phương pháp th lư ng giác ñ xác ñ nh CTTQ c a dãy s
III: ng d ng c a bài toán xác ñ nh CTTQ c a dãy s vào gi i m t s bài toán v
dãy s - t h p .
M t s k t qu trong chuyên ñ này ñã có m t s sách tham kh o v dãy s , tuy
nhiên trong chuyên ñ các k t qu ñó ñư c xây d ng m t cách t nhiên hơn và ñư c s p
x p t ñơn gi n ñ n ph c t p giúp các em h c sinh n m b t ki n th c d dàng hơn và
phát tri n tư duy cho các em h c sinh.
Trong quá trình vi t chuyên ñ , chúng tôi nh n ñư c s ñ ng viên, giúp ñ nhi t
thành c a BGH và quý th y cô t Toán Trư ng THPT BC Lê H ng Phong. Chúng tôi
xin ñư c bày t lòng bi t ơn sâu s c.
Vì năng l c và th i gian có nhi u h n ch nên chuyên ñ s có nh ng thi u sót. R t
mong quý Th y – Cô và các b n ñ ng nghi p thông c m và góp ý ñ chuyên ñ ñư c t t
hơn.

-3-


M T S PHƯƠNG PHÁP XÁC ð NH
CÔNG TH C T NG QUÁT C A DÃY S

I. S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S
D NG DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T.

Trong m c này chúng tôi xây d ng phương pháp xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy

s có công th c truy h i d ng ñ c bi t. Phương pháp này ñư c xây d ng d a trên

các k t qu ñã bi t v CSN – CSC , k t h p v i phương pháp ch n thích h p. Trư c h t

chúng ta nh c l i m t s k t qu ñã bi t v CSN – CSC .

1. S h ng t ng quát c a c p s c ng và c p s nhân

1.1: S h ng t ng quát c a c p s c ng

ð nh nghĩa: Dãy s (un ) có tính ch t un = un −1 + d ∀n ≥ 2 , d là s th c không ñ i
g i là c p s c ng .
d : g i là công sai c a CSC; u1 : g i s h ng ñ u, un g i là s h ng t ng quát c a c p s
ð nh lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un = u1 + (n − 1)d (1).
ð nh lí 2: G i Sn là t ng n s h ng ñ u c a CSC (un ) có công sai d. Ta có:
n
Sn = [2u + (n − 1)d ] (2).
2 1
1. 2: S h ng t ng quát c a c p s nhân
ð nh nghĩa: Dãy s (un ) có tính ch t un +1 = q.un ∀n ∈ ℕ * g i là c p s nhân công
b i q.
n −1
ð nh lí 3: Cho CSN (un ) có công b i q . Ta có: un = u1q (3).
ð nh lí 4: G i Sn là t ng n s h ng ñ u c a CSN (un ) có công b i q . Ta có:
1 - qn
Sn = u1 (4).
1 -q

-4-


2. Áp d ng CSC – CSN ñ xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s ñ c bi t

Ví d 1.1: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i:
u1 = 1, un = un −1 − 2 ∀n ≥ 2 .
Gi i:
Ta th y dãy (un ) là m t CSC có công sai d = −2 . Áp d ng k t qu (1) ta có:
un = 1 − 2(n − 1) = −2n + 3 .
Ví d 1.2: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i:
u1 = 3, un = 2un −1 ∀n ≥ 2 .
Gi i:
Ta th y dãy (un ) là m t CSN có công b i q = 2 . Ta có: un = 3.2n −1 .
Ví d 1.3: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i:
u1 = −2, un = 3un −1 − 1 ∀n ≥ 2 .
Gi i:
Trong bài toán này chúng ta g p khó khăn vì dãy (un ) không ph i là CSC hay CSN! Ta
th y dãy (un ) không ph i là CSN vì xu t hi n h ng s −1 VT. Ta tìm cách làm m t
−1 ñi và chuy n dãy s v CSN.
3 1
Ta có: −1 = − + nên ta vi t công th c truy h i c a dãy như sau:
2 2
1 3 1
un − = 3un −1 − = 3(un −1 − ) (1).
2 2 2
1 5
ð t vn = un − ⇒ v1 = − và vn = 3vn −1 ∀n ≥ 2 . Dãy (vn ) là CSN công b i q = 3
2 2
5 1 5 1
⇒ vn = v1.q n −1 = − .3n −1 . V y un = vn + = − .3n + ∀n = 1,2,...,.. .
2 2 2 2
3 1
Nh n xét: M u ch t cách làm trên là ta phân tích −1 = − + ñ chuy n công th c
2 2
truy h i c a dãy v (1), t ñó ta ñ t dãy ph ñ chuy n v dãy (vn ) là m t CSN. Tuy
nhiên vi c làm trên có v không t nhiên l m! Làm th nào ta bi t phân tích
3 1
−1 = − + ? Ta có th làm như sau:
2 2

-5-


1
Ta phân tích −1 = k − 3k ⇒ k = .
2
u = x 0

V i cách làm này ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy (un ) :  1 .
un = aun −1 + b ∀n ≥ 2

Th t v y:
* N u a = 1 thì dãy (un ) là CSC có công sai d = b nên un = u1 + (n − 1)b .
ab b
* N u a ≠ 1 , ta vi t b = − . Khi ñó công th c truy h i c a dãy ñư c vi t như
a −1 a −1
b b b b
sau: un + = a(un −1 + ) , t ñây ta có ñư c: un + = (u1 + )a n −1
a −1 a −1 a −1 a −1
a n −1 − 1
Hay un = u1a n −1 + b .
a −1
V y ta có k t qu sau:

D ng 1: Dãy s (un ) : u1 = x 0 , un = aun −1 + b ∀n ≥ 2 (a,b ≠ 0 là các h ng s ) có
CTTQ là:
u1 + (n − 1)b khi a = 1

un =  a n −1 − 1 .
n −1
u1.a +b khi a ≠ 1
 a −1

Ví d 1.4: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh : u1 = 2; un = 2un −1 + 3n − 1 .

Gi i: ð tìm CTTQ c a dãy s ta tìm cách làm m t 3n − 1 ñ chuy n v dãy s là m t
CSN. Mu n làm v y ta vi t :
3n − 1 = −3n − 5 + 2 3(n − 1) + 5 (2).
 
Khi ñó công th c truy h i c a dãy ñư c vi t như sau:
un + 3n + 5 = 2 un + 3(n − 1) + 5  .
 
ð t vn = un + 3n + 5 , ta có: v1 = 10 và vn = 2vn −1 ∀n ≥ 2 ⇒ vn = v1.2n −1 = 10.2n −1
V y CTTQ c a dãy (un ) : un = vn − 3n − 5 = 5.2n − 3n − 5 ∀n = 1,2, 3,... .

Chú ý : 1) ð phân tích ñư c ñ ng th c (2), ta làm như sau:

-6-


a − b = 2
 a = −3

3n − 1 = an + b − 2 a(n − 1) + b  . Cho n = 1; n = 2 ta có: 
  ⇔ .
 −b = 5 b = −5
 
u
( )
2) Trong trư ng h p t ng quát dãy un :  1

un = aun −1 + f (n ) ∀n ≥ 2
, trong ñó f (n )


là m t ña th c b c k theo n , ta xác ñ nh CTTQ như sau:
Phân tích f (n ) = g(n ) − ag(n − 1) (3) v i g(n ) cũng là m t ña th c theo n . Khi ñó ta
có: un − g(n ) = a un −1 − g(n − 1) = ... = a n −1 u1 − g(1)
   
n −1
V y ta có: un = u1 − g (1) a
  + g (n ) .
V n ñ còn l i là ta xác ñ nh g(n ) như th nào ?
Ta th y :
*N u a = 1 thì g(n ) − ag(n − 1) là m t ña th c có b c nh hơn b c c a g(n ) m t b c và
không ph thu c vào h s t do c a g(n ) , mà f (n ) là ña th c b c k nên ñ có (3) ta
ch n g(n ) là ña th c b c k + 1 , có h s t do b ng không và khi ñó ñ xác ñ nh g(n )
thì trong ñ ng th c (3) ta cho k + 1 giá tr c a n b t kì ta ñư c h k + 1 phương trình,
gi i h này ta tìm ñư c các h s c a g(n ) .
* N u a ≠ 1 thì g(n ) − ag(n − 1) là m t ña th c cùng b c v i g(n ) nên ta ch n g(n ) là
ña th c b c k và trong ñ ng th c (3) ta cho k + 1 giá tr c a n thì ta s xác ñ nh ñư c
g(n ) .
u = x 0

D ng 2: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i:  1 , trong
un = a.un −1 + f (n )

ñó f (n ) là m t ña th c b c k theo n ; a là h ng s . Ta làm như sau:
Ta phân tích: f (n ) = g(n ) − a.g(n − 1) v i g(n ) là m t ña th c theo n . Khi ñó, ta ñ t
vn = un − g(n ) ta có ñư c: un = u1 − g(1) a n −1 + g(n ) .
 
Lưu ý n u a = 1 , ta ch n g(n ) là ña th c b c k + 1 có h s t do b ng không, còn n u
a ≠ 1 ta ch n g(n ) là ña th c b c k .

u = 2

Ví d 1.5: Cho dãy s (un ) :  1 . Tìm CTTQ c a dãy (un ) .
un = un −1 + 2n + 1


Gi i: Ta phân tích 2n + 1 = g(n ) − g(n − 1) = a n 2 − (n − 1)2  + b n − (n − 1)
 
 
-7-


( trong ñó g(n ) = an 2 + bn ).
 −a + b = 1
 a = 1

Cho n = 0, n = 1 ta có h :  ⇔  ⇒ g(n ) = n 2 + 2n .
a +b = 3 b =2
 
⇒ un = n 2 + 2n − 1 .
u1 = 1

Ví d 1.6: Cho dãy s (un ) :  .Tìm CTTQ c a dãy (un ) .
un = 3un −1 + 2n ; n = 2, 3,...


Gi i: Ta v n b t chư c cách làm trong các ví d trên, ta phân tích:
2n = a.2n − 3a.2n −1 . Cho n = 1 , ta có: a = −2 ⇒ 2n = −2.2n + 3.2.2n −1
Nên ta có: un + 2.2n = 3(un −1 + 2.2n −1 ) = ... = 3n −1(u1 + 4)
V y un = 5.3n −1 − 2n +1 .
Chú ý : Trong trư ng h p t ng quát dãy (un ) : un = a.un −1 + b.α n , ta phân tích
α n = k .α n − ak .α n −1 v i (a ≠ α ) .
( )
Khi ñó: un − kb.α n = a un −1 − kb.α n −1 = ... = a n −1 u1 − bk( )
Suy ra un = a n −1(u1 − bk ) + bk .α n .
Trư ng h p α = a , ta phân tích α n = n.α n − α (n − 1).α n −1

( )
⇒ un − bn.α n = α un −1 − b(n − 1).α n −1 = ... = α n −1(u1 − bα )

⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 . V y ta có k t qu sau.
u1

D ng 3: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  , ta làm như
un = a.un −1 + b.α n ∀n ≥ 2

sau:
• N u a = α ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 .
• N u a ≠ α , ta phân tích α n = k .α n − ak .α n −1 . Khi ñó: un = a n −1(u1 − bk ) + bk .α n
α
Ta tìm ñư c: k = .
α −a

-8-


u1 = −2

Ví d 1.7: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  .
un = 5un −1 + 2.3n − 6.7n + 12 ; n = 2, 3,...


 3
3n = k .3n − 5k .3n −1
 k = −

Gi i: Ta có:  n cho n = 1 , ta ñư c:  2
n −1
7 = l .7 − 5l .7
n 7
 l =

 2
Hơn n a 12 = −3 + 5.3 nên công th c truy h i c a dãy ñư c vi t l i như sau:
( )
un + 3.3n + 21.7n + 3 = 5 un −1 + 3.3n −1 + 21.7n −1 + 3 = ... = 5n −1 (u1 + 9 + 147 + 3)

V y un = 157.5n −1 − 3n +1 − 3.7n +1 − 3 .
u1 = 1

un = 2un −1 + 3n − n; ∀n ≥ 2


3n = 3.3n − 2.3.3n −1

Gi i: Ta phân tích:  nên ta vi t công th c truy h i c a dãy
n = −n − 2 + 2 (n − 1) + 2 
 

như sau: un − 3.3n − n − 2 = 2 un −1 − 3.3n −1 − (n − 1) − 2 = ... = 2n −1(u1 − 12)
 
V y un = −11.2n −1 + 3n +1 + n + 2 .

u1 = p

D ng 4: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  , trong
un = a.un −1 + b.α n + f (n ); ∀n ≥ 2

ñó f (n ) là ña th c theo n b c k , ta phân tích α n và f (n ) như cách phân tích d ng 2
và d ng 3.

Ví d 1.9: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : u0 = −1, u1 = 3, un = 5un −1 − 6un − 2 ∀n ≥ 2.

Gi i: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s trên, ta thay th dãy (un ) b ng m t dãy s khác là
m t CSN. Ta vi t l i công th c truy h i c a dãy như sau:

-9-


x + x 2 = 5

un − x1.un −1 = x 2 (un −1 − x1un − 2 ) , do ñó ta ph i ch n x1, x 2 :  1 hay x1, x 2 là
x1x 2 = 6

nghi m phương trình : x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2; x = 3 . Ta ch n x1 = 2; x 2 = 3 . Khi ñó:
un − 2un −1 = 3(un −1 − 2un − 2 ) = ... = 3n −1(u1 − 2u 0 ) = 5.3n −1
⇒ un = 2un −1 + 5.3n −1 . S d ng k t qu d ng 3, ta tìm ñư c: un = 5.3n − 6.2n .

Chú ý : Tương t v i cách làm trên ta xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ñư c xác ñ nh b i:
u 0 ; u1

 , trong ñó a,b là các s th c cho trư c và a 2 − 4b ≥ 0
un − a.un −1 + b.un − 2 =0 ∀n ≥ 2

như sau:
G i x1, x 2 là hai nghi m c a phương trình : x 2 − ax + b = 0 (4) ( phương trình này
ñư c g i là phương trình ñ c trưng c a dãy).
Khi ñó: un − x1.un −1 = x 2 (un −1 − x1.un − 2 ) = ... = x 2 −1(u1 − x1.u0 ) .
n

S d ng k t qu c a d ng 3, ta có các trư ng h p sau:
x .u − u1 n u1 − x .u0 n
• N u x1 ≠ x 2 thì un = 2 0 x1 + x 2 . Hay un = k .x1 + l .x 2 , trong ñó
n n
x 2 − x1 y −x
k + l = u0

k, l là nghi m c a h :  .
x1.k + x 2 .l = u1

u a au 
• N u x1 = x 2 = α thì un = α n −1  0 + (u1 − 0 )n  , hay un = (kn + l )α n −1 , trong
 2
 2 

l = α .u0

ñó k, l là nghi m c a h :  .
k + l = u1

u ; u

D ng 5: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  0 1 , trong
un − a.un −1 + b.un − 2 = 0 ∀n ≥ 2

ñó a,b, c là các s th c khác không; a 2 − 4b ≥ 0 ta làm như sau:
G i x1, x 2 là nghi m c a phương trình ñ c trưng: x 2 − ax + b = 0 .

- 10 -


k + l = u0

• N u x1 ≠ x 2 thì un = k .x1 + l .x 2 , trong ñó k, l là nghi m c a h : 
n n
.
x1.k + x 2 .l = u1

l = α .u 0

• N u x1 = x 2 = α thì un = (kn + l )α n −1 , trong ñó k, l là nghi m c a h :  .
k + l = u1


u = 1; u1 = 2
Ví d 1.10: Cho dãy s ( ) 
un ñư c xác ñ nh b i :  0
un +1 = 4un + un −1 ∀n ≥ 1
.


Hãy xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) .
Gi i:
Phương trình x 2 − 4x − 1 = 0 có hai nghi m x1 = 2 + 5; x 2 = 2 − 5 .
k + l = 1

⇒ un = k .x1 + l .x 2 . Vì u 0 = 1; u1 = 2 nên ta có h : 
n n

(2 + 5)k + (2 − 5)l = 2

1 1
⇔k =l = . V y un = (2 + 5)n + (2 − 5)n  .
2 2  

u = 1; u1 = 3

Ví d 1.11: Xác ñ nh CTTQ c a dãy: (un ) :  0 .
un − 4un −1 + 4un − 2 = 0 ∀n = 2, 3,...

Gi i:
Phương trình ñ c trưng x 2 − 4x + 4 = 0 có nghi m kép x = 2 nên un = (kn + l )2n −1
l = 2

Vì u 0 = 1; u1 = 3 nên ta có h :  ⇔ k = 1; l = 2 .
k + l = 3

V y un = (n + 2)2n −1 .

u0 = −1; u1 = 3

Ví d 1.12: Cho dãy (un ) :  . Xác ñ nh
un − 5un −1 + 6un − 2 = 2n + 2n + 1; ∀n ≥ 2
2

CTTQ c a dãy (un ) .
Gi i:
V i cách làm tương t như Ví d 1.4, ta phân tích: 2n 2 + 2n + 1 =

- 11 -


= (kn 2 + ln + t ) − 5 k (n − 1)2 + l (n − 1) + t  + 6 k (n − 2)2 + l (n − 2) + t  (5)
   
19k − 7l + 2t = 1 k = 1
 
(5) cho n = 0; n = 1; n = 2 ta có h : 7k − 5l + 2t = 5 ⇔ l = 8 .
 −k − 3l + 2t = 13 t = 19
 
ð t vn = un − n 2 − 8n − 19 ⇒ v0 = −20; v1 = −25 và vn − 5vn −1 + 6vn − 2 = 0
α + β = −20
 α = 15

⇒ vn = α .3n + β .2n . Ta có h :  ⇔
3α + 2β = −25
  β = −35

⇒ vn = 15.3n − 35.2n ⇒ un = 15.3n − 35.2n + n 2 + 8n + 19 .
u ; u

Chú ý : ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s : (un ) :  0 1 ,
un + 1 + a.un + b.un −1 = f (n ) ; ∀n ≥ 2

( trong ñó f (n ) là ña th c b c k theo n và a 2 − 4b ≥ 0 ) ta làm như sau:
• Ta phân tích f (n ) = g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) (6) r i ta ñ t vn = un − g(n )
v = u0 − g(0); v1 = u1 − g(1)

Ta có ñư c dãy s (vn ) :  0 . ðây là dãy s mà ta ñã xét
vn + avn −1 + bvn − 2 = 0 ∀n ≥ 2

trong d ng 5. Do ñó ta s xác ñ nh ñư c CTTQ c a vn ⇒ un .
• V n ñ còn l i là ta xác ñ nh g(n ) như th nào ñ có (6) ?
Vì f (n ) là ña th c b c k nên ta ph i ch n g(n ) sao cho g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) là
m t ña th c b c k theo n . Khi ñó ta ch c n thay k + 1 giá tr b t kì c a n vào (6) ta s
xác ñ nh ñư c g(n ) .
Gi s g(n ) = am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a 0 (am ≠ 0 ) là ña th c b c m . Khi ñó h
s c a x m và x m −1 trong VP là: am .(1 + a + b) và  −(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am −1  .
 
Do ñó :
i ) N u PT: x 2 + ax + b = 0 (1) có nghi m hai nghi m phân bi t khác 1 thì
1 + a + b ≠ 0 nên VP(6) là m t ña th c b c m .
ii ) N u PT (1) có hai nghi m phân bi t trong ñó có m t nghi m x = 1 ⇒ 1 + a + b = 0
và −(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am −1 = −(a + 2b ).m.am ≠ 0 nên VP(6) là m t ña th c b c
m −1 .
iii ) N u PT (1) có nghi m kép x = 1 ⇒ a = −2;b = 1 nên VP(6) là m t ña th c b c
m − 2.
V y ñ ch n g(n ) ta c n chú ý như sau:
- 12 -


N u (1) có hai nghi m phân bi t, thì g(n ) là m t ña th c cùng b c v i f (n )
N u (1) có hai nghi m phân bi t, trong ñó m t nghi m b ng 1 thì ta ch n
g(n ) = n.h(n ) trong ñó h(n ) là ña th c cùng b c v i f (n ) .
N u (1) có nghi m kép x = 1 thì ta ch n g (n ) = n 2 .h (n ) trong ñó h(n ) là ña th c
cùng b c v i f (n ) .
u ; u

D ng 6: ð tìm CTTQ c a dãy (un ) :  0 1 ,
un + a.un −1 + b.un − 2 = f (n ) ; ∀n ≥ 2

( trong ñó f (n ) là ña th c theo n b c k và b 2 − 4ac ≥ 0 ) ta làm như sau:
Xét g(n ) là m t ña th c b c k : g(n ) = ak n k + ... + a1k + a 0 .
• N u phương trình : x 2 + ax + b = 0 (1) có hai nghi m phân bi t, ta phân tích
f (n ) = g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) r i ñ t vn = un − g(n ) .
• N u (1) có hai nghi m phân bi t trong ñó m t nghi m x = 1 , ta phân tích
f (n ) = n.g(n ) + a(n − 1)g(n − 1) + b(n − 2)g(n − 2) r i ñ t vn = un − n.g(n ) .
• N u (1) có nghi m kép x = 1 , ta phân tích
f (n ) = n 2 .g(n ) + a(n − 1)2 .g(n − 1) + b(n − 2)2 .g(n − 2) r i ñ t vn = un − n 2 .g(n ) .

u = 1; u1 = 4

Ví d 1.13: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  0 .
un − 3un −1 + 2un − 2 = 2n + 1 ∀n ≥ 2

Gi i:
Vì phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 có hai nghi m x = 1; x = 2 nên ta phân tích
2n + 1 = n(kn + l ) − 3(n − 1) k (n − 1) + l  + 2(n − 2) k (n − 2) + l  , cho n = 0; n = 1 ta
   
5k − l = 1

có h :  ⇔ k = −1; l = −6 .
3k − l = 3

ð t vn = un + n(n + 6) ⇒ v0 = 1; v1 = 11 và vn − 3vn −1 + 2vn −2 = 0
α + β = 1

⇒ vn = α .2n + β .1n v i α , β :  ⇔ α = 10; β = −9
2α + β = 11

⇒ vn = 10.2n − 9 ⇒ un = 5.2n +1 − n 2 − 6n − 9 ∀n = 0,1,2,... .

- 13 -


u0 = −1; u1 = 3

Ví d 1.14: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  .
un − 4un −1 + 3un − 2 = 5.2n ∀n ≥ 2

Gi i: Ta phân tích 2n = a.2n − 4a.2n −1 + 3a.2n − 2 .
Cho n = 2 ta có: 4 = 4a − 8a + 3a ⇔ a = −4
ð t vn = un + 5.4.2n ⇒ v0 = 19; v1 = 43 và vn − 4vn −1 + 3vn − 2 = 0
Vì phương trình x 2 − 4x + 3 = 0 có hai nghi m x = 1, x = 3 nên vn = α .3n + β .1n
α + β = 19

V i α, β :  ⇔ α = 12; β = 7 ⇒ vn = 12.3n + 7 .
3α + β = 43

V y un = 4.3n +1 − 5.2n + 2 + 7 ∀n = 1,2,... .

Chú ý : V i ý tư ng cách gi i trên, ta tìm CTTQ c a dãy s (un ) ñư c xác ñ nh b i:
u 0 ; u1

 (v i a 2 − 4b ≥ 0 ) như sau:
un + a.un −1 + b.un − 2 = c.α ∀n ≥ 2
n

Ta phân tích α n = kα n + a.k .α n −1 + b.k .α n − 2 (7).
Cho n = 2 thì (7) tr thành: k (α 2 + a.α + b) = α 2
α2
T ñây, ta tìm ñư c k = khi α không là nghi m c a phương trình :
α + aα + b
2

x 2 + ax + b = 0 (8).
v = u0 − kc; v1 = u1 − kcα

Khi ñó, ta ñ t vn = un − kc.α n , ta có dãy (vn ) :  0
vn + a.vn −1 + bvn − 2 = 0 ∀n ≥ 2

⇒ vn = p.x1 + q.x 2 (x1, x 2 là hai nghi m c a (8)).
n n

⇒ un = p.x1 + q.x 2 + kc.α n .
n n

V y n u x = α là m t nghi m c a (8), t c là: α 2 + aα + b = 0 thì ta s x lí th nào ?
Nhìn l i cách gi i d ng 3, ta phân tích :
α n = kn.α n + a.k (n − 1)α n −1 + bk (n − 2)α n − 2 (9).
α a
Cho n = 2 ta có: α k (2α + a ) = α 2 ⇔ k (2α + a ) = α ⇔ k = (α ≠ − ) .
2α + a 2
⇒ (2) có nghi m k ⇔ α là nghi m ñơn c a phương trình (8).
Khi ñó: ⇒ un = p.x1 + q.x 2 + kcn.α n .
n n

- 14 -


a
Cu i cùng ta xét trư ng h p x = α = − là nghi m kép c a (8). V i tư tư ng như trên,
2
ta s phân tích: α n = kn 2 .α n + a.k (n − 1)2 α n −1 + bk (n − 2)2 α n − 2 (10).
α 1
Cho n = 2 ta có: (10) ⇔ α 2 = 4k .α 2 + ak .α ⇒ k = = .
4α + a 2
1
Khi ñó: ⇒ un = p.x1 + q.x 2 + cn 2 .α n .
n n
2

u 0 ; u1

D ng 7: Cho dãy s (un ) xác ñ nh b i:  .
un + a.un −1 + b.un − 2 = c.α ; ∀n ≥ 2
n

ð xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) ta làm như sau:
Xét phương trình : x 2 + ax + b = 0 (11)
• N u phương trình (11) có hai nghi m phân bi t khác α thì
α2
un = n
p.x1 + q.x 2
n
+ kc.α v i k =
n
.
α 2 + aα + b
• N u phương trình (11) có nghi m ñơn x = α thì
α
un = p.x 1 + q.x 2 + kcn.α n v i k =
n n
.
2α + a
1
• N u x = α là nghi m kép c a (11) thì : un = (p + qn + cn 2 ).α n .
2

u0 = −1; u1 = 3

Ví d 1.15: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  .
un − 5un −1 + 6un − 2 = 5.2n ∀n ≥ 2


Gi i:
Phương trình x 2 − 5x + 6 = 0 có hai nghi m x1 = 2; x 2 = 3 , do ñó
un = p.2n + q.3n + 5kn.2n .

- 15 -


 α 2
k = = = −2
 2α + a 4 − 5
V i  p + q = −1 ⇔ k = −2; p = −26;q = 25 .
2p + 3q + 10k = 3


V y un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − 2n +1(5n + 13) ∀n = 1,2,... .
u0 = 1; u1 = 3

un − 4un −1 + 4un − 2 = 3.2n

Gi i:
3 2 n
Phương trình x 2 − 4x + 4 = 0 có nghi m kép x = 2 nên un = (p + qn + n )2
2
p = 1

D a vào u 0 , u1 ta có h :  ⇔ p = 1; q = −1 .
 p +q = 0

V y un = (3n 2 − 2n + 2)2n −1 ∀n = 1,2,... .

V i cách xây d ng tương t ta cũng có ñư c các k t qu sau:
u , u , u

D ng 8: Cho dãy (un ) :  0 1 2 .ð xác ñ nh CTTQ
un + aun −1 + bun − 2 + cun − 3 = 0 ∀n ≥ 3

c a dãy ta xét phương trình: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (12) .
• N u (12) có ba nghi m phân bi t x1, x 2 , x 3 ⇒ un = α x1 + β x 2 + γ x 3 . D a vào
n n n

u0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ .
• N u (12) có m t nghi m ñơn, 1 nghi m kép:
x1 = x 2 ≠ x 3 ⇒ un = (α + β n )x1 + γ .x 3
n n

D a vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ .
• N u (12) có nghi m b i 3 x1 = x 2 = x 3 ⇒ un = (α + β n + γ n 2 )x1 .
n

D a vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñư c α , β , γ .

u = 0, u2 = 1, u3 = 3,

Ví d 1.17: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  1
un = 7un −1 − 11.un − 2 + 5.un − 3 , ∀n ≥ 4


- 16 -


Gi i : Xét phương trình ñ c trưng : x 3 − 7x 2 + 11x − 5 = 0
Phương trình có 3 nghi m th c: x1 = x 2 = 1, x 3 = 5

V y an = α + β n + γ 5n

Cho n = 1, n = 2, n = 3 và gi i h phương trình t o thành, ta ñư c

1 3 1
α=− , β = , γ =
16 4 16
1 3 1
V y an = − + ( n − 1) + .5n −1 .
16 4 16

u = 2; un = 2un −1 + vn −1

Ví d 1.18: Tìm CTTQ c a dãy s (un ),(vn ) :  0 ∀n ≥ 1 .
v0 = 1; vn = un −1 + 2vn −1

Gi i:
Ta có: un = 2un −1 + un − 2 + 2vn − 2 = 2un −1 + un − 2 + 2(un −1 − 2un − 2 )
⇒ un = 4un −1 − 3un − 2 và u1 = 5
1 + 3n +1 −1 + 3n +1
T ñây, ta có: un = ⇒ vn = un +1 − 2un = .
2 2
Tương t ta có k t qu sau:

x = pxn −1 + qyn −1 ; x1

D ng 9: Cho dãy (xn ),(yn ) :  n . ð xác ñ nh CTTQ c a hai dãy
yn = ryn −1 + sx n −1; y1

(xn ),(yn ) ta làm như sau:
Ta bi n ñ i ñư c: x n − (p + s )x n −1 + (ps − qr )xn − 2 = 0 t ñây ta xác ñ nh ñư c x n ,
thay vào h ñã cho ta có ñư c yn .
Chú ý : Ta có th tìm CTTQ c a dãy s trên theo cách sau:
 q − λr
x n − λyn = (p − λs )(x n −1 − y )

Ta ñưa vào các tham s ph λ , λ ' ⇒  λs − p n −1
x + λ ' y = (p + λ ' s )(x q + λ 'r
n −1
+ y )


n n
p + λ ' s n −1

- 17 -


 q − λr
λ =

Ta ch n λ , λ ' sao cho  λs − p ⇒ x n − λyn = (p − λs )(x n −1 − λyn −1 )


λ ' = q + λ ' r x n + λ ' yn = (p + λ ' s )(x n −1 + λ ' yn −1 )


 λ 's + p
x − λy = (p − λs )n −1(x − λy )
 n

n
n −1
1 1
gi i h này ta tìm ñư c ( xn ) , ( yn ) .
x n + λ ' yn = (p + λ ' s ) (x1 + λ ' y1 )


u1 = 1

Ví d 1.19: Tìm CTTQ c a dãy (un ) :  2un −1 .
un = ∀n ≥ 2
 3un −1 + 4

1 3u +4 3 1 1
Gi i: Ta có = n −1 = +2 . ð t xn = , ta có:
un 2un −1 2 un −1 un
x1 = 1
 5.2n −1 − 3 2
 3 ⇒ xn = ⇒ un = .
x n = 2x n −1 + n −1
 2 5.2 −3
 2
u1 = 2

Ví d 1.20: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  −9un −1 − 24 .
un = 5u + 13
∀n ≥ 2
 n −1

Gi i: Bài toán này không còn ñơn gi i như bài toán trên vì trên t s còn h s t do,
do ñó ta tìm cách làm m t h s t do trên t s . Mu n v y ta ñưa vào dãy ph b ng
cách ñ t un = xn + t . Thay vào công th c truy h i, ta có:
−9x n −1 − 9t − 24 (−9 − 5t )xn −1 − 5t 2 − 22t − 24
xn + t = ⇒ xn =
5x n −1 + 5t + 13 5x n −1 + 5t + 13
Ta ch n t : 5t 2 + 22t + 24 = 0 ⇒ t = −2 ⇒ x1 = 4
x n −1 1 3 1 11.3n −1 − 10 4
⇒ xn = ⇒ =5+ ⇒ = ⇒ xn =
5xn −1 +3 xn x n −1 xn 4 11.3n −1 − 10
−22.3n −1 + 24
⇒ un = x n − 2 = .
n −1
11.3 − 10

- 18 -


pun −1 + q
D ng 10: Cho dãy ( un ): u1 = α ; un = ∀n ≥ 2 . ð tìm CTTQ c a dãy (xn)
run −1 + s
ta làm như sau:
ð t un = x n + t , thay vào công th c truy h i c a dãy ta có:
px n −1 + pt + q (p − rt )x n −1 − rt 2 + (p − s )t + q
xn = −t = (13).
run −1 + rt + s rx n −1 + rt + s
1 1
Ta ch n t : rt 2 + (s − p)t − q = 0 . Khi ñó ta chuy n (13) v d ng: =a +b
xn x n −1
1
T ñây ta tìm ñư c , suy ra un .
xn

u = 2

Ví d 1.21: Xác ñ nh CTTQ c a hai dãy s (un ),(vn ) :  1 và
v1 = 1

u = u 2 + 2v 2
 n n −1 n −1 ∀n ≥ 2 .

vn = 2un −1vn −1

Gi i:
 
un = un −1 + 2vn −1 un + 2vn = (un −1 + 2vn −1 )
2 2 2
Ta có:  ⇒
 2vn = 2 2un −1vn −1 un − 2vn = (un −1 − 2vn −1 )
2
 
 2n − 1 n −1
un + 2vn = (u1 + 2v1 ) = (2 + 2)2
⇒ n −1 n −1
un − 2vn = (u1 − 2v1 )2 = (2 − 2)2

 1 n −1 n −1 
un = (2 + 2)2 + (2 − 2)2 
 2  .
⇒
1  n −1 n −1 
vn =
(2 + 2) − (2 − 2)2 
2

 2 2 

- 19 -


2
 un −1 

v  +2

u = u 2 + 2v 2
 n u u 2 + 2vn −1
2
Nh n xét: T  n −1 n − 1 ⇒ n = n −1 =  n −1 
vn = 2un −1vn −1

vn 2un −1vn −1 u 
2  n −1 
v 
 n −1 
x1 = 2
un 
Do v y n u ta ñ t x n = ta ñư c dãy s (xn ) :  x n −1 + 2 . Ta có bài toán sau:
2
vn x n =
 2x n −1
x1 = 2

Ví d 1.22: Xác ñ nh CTTQ c a dãy s (xn ) :  x n −1 + 2
2 .
xn = ∀n ≥ 2
 2x n −1

Gi i:
u1 = 2 un = un −1 + 2vn −1
 2 2

Xét hai dãy (un ),(vn ) :  và  ∀n ≥ 2 .
v1 = 1 vn = 2un −1vn −1
 
u
Ta ch ng minh x n = n (14).
vn
u2
• n = 2 ⇒ x2 = = 2 ⇒ n = 2 (14) ñúng.
v2
un −1 x n −1 + 2
2
un −1 + 2vn −1
2 2
un
• Gi s x n −1 = ⇒ xn = = = ⇒ (14) ñư c ch ng
vn −1 2x n −1 2un −1vn −1 vn
minh
n −1 n −1
(2 + 2)2 + (2 − 2)2
Theo k t qu bài toán trên, ta có: x n = 2 .
2n − 1 2n − 1
(2 + 2) − (2 − 2)
D ng 11:
1) T hai ví d trên ta có ñư c cách tìm CTTQ c a hai dãy s (un ),(vn ) ñư c xác ñ nh
u = u 2 + a.v 2 ; u = α

b i:  n n −1 n −1 1 (trong ñó a là s th c dương) như sau:
vn = 2vn −1un −1 ; v1 = β


- 20 -


 
un = un −1 + a.vn −1 un + aun −1 = (un −1 + aun −1 )
2 2 2
Ta có:  ⇒
 a .vn = 2 a .vn −1un −1 un − aun −1 = (un −1 − aun −1 )
2
 
 1 2n − 1 n −1 
un = (α + β a )

+ (α − β a )2 
⇒ 2  .
1  n −1 n −1 
vn =
(α + β a )2 − (α − β a )2 

 2 a  
x1 = α

2) Áp d ng k t qu trên ta tìm ñư c CTTQ c a dãy (xn ) :  x n −1 + a .
2

x n =
 2x n −1
u = u 2 + a.v 2 ; u = α

Xét hai dãy (un ),(vn ) :  n n −1 n −1 1

vn = 2vn −1un −1

; v1 = 1
n −1 n −1
un (α + a )2 + (α − a )2
Khi ñó: x n = = a .
vn 2n − 1 2n − 1
(α + a ) + (α − a )

u1 = 1

Ví d 1.23: Cho dãy (un ) :  . Tìm un ?
un = 5un −1 + 24un −1 − 8 ∀n ≥ 2
2


Gi i:
Ta có: u2 = 9; u3 = 89; u4 = 881 . Gi s : un = xun −1 + yun − 2
9x + y = 89
 x = 10

⇒ ⇔  . Ta ch ng minh: un = 10un −1 − un − 2 ∀n ≥ 3
 89x + 9y = 881 y = −1
 
T công th c truy h i c a dãy ta có: (un − 5un −1 )2 = 24un −1 − 8
2

⇔ un − 10un un −1 + un −1 + 8 = 0 (15) thay n b i n − 1 , ta ñư c:
2 2

un − 2 − 10un − 2un −1 + un −1 − 8 = 0 (16) .
2 2

T (15),(16) ⇒ un − 2 , un là hai nghi m c a phương trình : t 2 − 10un −1t + un −1 − 8 = 0
2

Áp d ng ñ nh lí Viet, ta có: un + un − 2 = 10un −1 .

( ) ( )
6 −2 n −1 6 +2 n −1
V y un = 5−2 6 + 5+2 6 .
2 6 2 6
- 21 -


D ng 12:
u1 = 1

1) Dãy (un ) :  là dãy nguyên ⇔ a = 24 .
un = 5un −1 + aun −1 − 8 ∀n ≥ 2
2

Th t v y: u2 = 5 + a − 8 = 5 + t ( t = a − 8 ∈ ℕ ) ⇒ u3 = 5 + (t 2 + 8)(t + 5)2 − 8
⇒ u3 ∈ ℤ ⇔ f (t ) = (t 2 + 8)(t + 5)2 − 8 = m 2 (m ∈ ℤ) .
Mà (t 2 + 5t + 4)2 < f (t ) < (t 2 + 5t + 14)2 k t h p v i f (t ) là s ch n ta suy ra
{ }
m = t 2 + 5t + x v i x ∈ 6, 8,10,12 . Th tr c ti p ta th y t = 4 ⇒ a = 24 .
u1 = α

2) V i dãy s (un ) :  , v i a 2 − b = 1 ta xác ñ nh
un = aun −1 + bun −1 + c ∀n ≥ 2
2

CTTQ như sau:
T dãy truy h i ⇒ (un − aun −1 )2 = bun −1 + c ⇔ un − 2aun un −1 + un −1 − c = 0
2 2 2

Thay n b i n − 1 , ta có: un − 2 − 2aun −1un − 2 + un −1 − c = 0 ⇒ un + un − 2 = 2aun −1 .
2 2

u1 = α


3) V i dãy (un ) :  un −1 ,trong ñó α > 0;a > 1 ; a 2 − b = 1 ta
un = ∀n ≥ 2


 a + cun −1 + b
2

xác ñ nh CTTQ như sau:
1 a b 1
Ta vi t l i công th c truy h i dư i d ng: = + c+ . ð t xn =
un un −1 2 un
un −1

Ta có un = aun −1 + bx n −1 + c ñây là dãy mà ta ñã xét
2
trên.

u1 = u2 = 1

Ví d 1.24: Cho dãy (un ) :  un −1 + 2
2 . Tìm un ?
un = ∀n ≥ 2
 un − 2

Gi i:
Ta có: u 3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 . Ta gi s un = xun −1 + yun −2 + z .T u3 = 3; u4 = 11;

- 22 -


x + y + z = 3 x = 4
 
u5 = 41 ta có h phương trình: 3x + y + z = 11 ⇔ y = −1 ⇒ un = 4un −1 − un − 2
11x + 3y + z = 41 z = 0
 
u = u2 = 1

Ta ch ng minh (un ) :  1 .
un = 4un −1 − un − 2 ∀n ≥ 3

• V i n = 3 ⇒ u3 = 4u2 − u1 = 3 ⇒ n = 3 ñúng
• Gi s uk = 4uk −1 − uk − 2 . Ta có:

( 4uk −1 − uk −2 )
2
uk + 2
2 +2 16uk −1 − 8uk −1uk − 2 + uk − 2 + 2
2 2
uk +1 = = =
uk −1 uk −1 uk −1
16uk −1 − 8uk −1uk − 2 + uk −1uk − 3
2
= = 16uk −1 − 8uk −2 + uk − 3
uk −1
= 4(4uk −1 − uk − 2 ) − (4uk − 2 − uk − 3 ) = 4uk − uk −1

( ) ( )
3 +1 n −1 3 −1 n −1
Theo nguyên lí quy n p ta có ñpcm ⇒ un = 2− 3 + 2+ 3 .
2 3 2 3

- 23 -


II. S D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S

Nhi u dãy s có công th c truy h i ph c t p tr thành ñơn gi n nh phép th lư ng giác.
Khi trong bài toán xu t hi n nh ng y u t g i cho ta nh ñ n nh ng công th c lư ng
giác thì ta có th th v i phương pháp th lư ng giác. Ta xét các ví d sau

 1
u1 =
Ví d 2.1: Cho dãy (un ) :  2 . Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) .
un = 2un −1 − 1 ∀n ≥ 2
2

Gi i:
T công th c truy h i c a dãy, ta liên tư ng ñ n công th c nhân ñôi c a hàm s côsin
1 π π 2π
Ta có: u1 = = cos ⇒ u2 = 2 cos2 − 1 = cos
2 3 3 3
2π 4π 8π
⇒ u3 = 2 cos2 − 1 = cos ⇒ u4 = cos ....
3 3 3
2n −1 π
Ta ch ng minh un = cos . Th t v y
3
22 −1 π 2π
• V i n = 2 ⇒ u2 = cos = cos (ñúng)
3 3
2n − 2 π 2 2
n −1
π 2n −1 π
• Gi s un −1 = cos ⇒ un = 2un −1 − 1 = 2 cos
2
− 1 = cos
3 3 3
n −1
2 π
V y un = cos ∀n ≥ 1 .
3
u1

D ng 13: ð xác ñ nh CTTQ c a dãy s (un ) :  ta làm như
un = 2un −1 − 1 ∀n ≥ 2
2

sau:
• N u | u1 |≤ 1 , ta ñ t u1 = cos α . Khi ñó ta có: un = cos 2n −1α .
1 1
• N u | u1 |> 1 ta ñ t u1 =(a + ) ( trong ñó a ≠ 0 và cùng d u v i u1 ).
2 a
1 1 1 1 1 1
Khi ñó u2 = (a 2 + 2 + ) − 1 = (a 2 + ) ⇒ u3 = (a 4 + ) ....
2 a2 2 a2 2 a4

- 24 -


1 2n −1 1
Ta ch ng minh ñư c un = (a + n −1 ) ∀n ≥ 1 . Trong ñó a là nghi m (cùng d u
2 a2
v i u1 ) c a phương trình : a 2 − 2u1a + 1 = 0 . Vì phương trình này có hai nghi m có
tích b ng 1 nên ta có th vi t CTTQ c a dãy như sau
 2n − 1 2n − 1 
1   u + u2 − 1  .
un =  u1 − u1 − 1 
2
+ 1 
2    1
 
 

 3
u1 =
Ví d 2.2: Xác ñ nh CTTQ c a dãy s (un ) :  2 .
u = 4u 3
− 3un −1 ∀n ≥ 2
 n n −1

Gi i:
3 π 3π π π 32 π
Ta có: u1 = = cos ⇒ u2 = 4 cos − 3 cos = cos 3 ⇒ u3 = cos .....
2 6 6 6 6 6
3n −1 π
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: un = cos .
6
D ng 14:
u1 = p

1) ð tìm CTTQ c a dãy (un ) :  , ta làm như sau
un = 4un −1 − 3un −1 ∀n ≥ 2
3

• N u | p |≤ 1 ⇒ ∃α ∈  0; π  : cos α = p .
 
Khi ñó b ng quy n p ta ch ng minh ñư c : un = cos 3n −1α .
1 1
• N u | p |> 1 , ta ñ t u1 =  a +  (a cùng d u v i u1 )
2 a
1  3n −1 1 
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c un = a + n −1  .
2 a3


 3n − 1 3n − 1 
1    u + u2 − 1  .
Hay un =  u1 − u1 − 1 
2
+ 1 
2    1
 
 
2) T trư ng h p th hai c a bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ c a dãy s

- 25 -


u1 = p
 1 1
(un ) :  b ng cách ñ t u1 = (a − ) . Khi ñó b ng quy n p
un = 4un −1 + 3un −1 ∀n ≥ 2
3
2 a

ta ch ng minh ñư c :
 3n − 1 3n − 1 
1  3n −1 1  1  
un =  a − n −1  =  u + u1 + 1 
2
+  u1 − u1 + 1 
 2
 .
2  3  2  1    
a   
Chú ý : Trong m t s trư ng h p ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy (un ) cho b i:
u1

 .
un = un −1 + aun −1 + bun −1 + c ∀n ≥ 2
3 2

B ng cách ñưa vào dãy ph ñ chuy n dãy ñã cho v m t trong hai d ng trên.

3
Ví d 2.3: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) : u1 = và
6
un = 24un −1 − 12 6un −1 + 15un −1 − 6 ∀n ≥ 2 .
3 2

Gi i:
ð t un = x .vn + y . Thay vào công th c truy h i c a dãy, bi n ñ i và rút g n ta ñư c
x .vn + y = 24x 3vn −1 + 12(6x 2y − 6x 2 )vn −1 + 3(24xy 2 − 8 6xy + 5x )vn −1 +
3 2

+24y 3 − 12 6y 2 + 15y − 6 .
6x 2y − 6x 2 = 0
 1
Ta ch n y :  ⇔y = .
24y − 12 6y + 15y − 6 = y
3 2
6

1
Khi ñó: x .vn = 24x 3vn −1 + 3x .vn −1 ⇔ vn = 24x 2vn −1 + 3vn −1 . Ta ch n x =
3 3

6
⇒ vn = 4vn −1 + 3vn −1 và v1 = 2 .
3

1 n −1 n −1 
⇒ vn = (2 + 5)3 + (2 − 5)3  .
2 
1  n −1 n −1  1
V y un = (2 + 5)3 + (2 − 5)3  + ∀n = 1,2,... .
2 6  6

- 26 -


 3
u1 =
Ví d 2.4: Xác ñ nh CTTQ c a dãy (un ) :  2 .
un = 2 − un −1 ∀n ≥ 2
2


3 π 
Gi i: ð t − = cos α , α ∈  ; π  , khi ñó :
4 2 
u1 = −2 cos α ⇒ u2 = 2(1 − 2 cos2 α ) = −2 cos 2α .
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c un = −2 cos 2n −1α .

 1
u1 =
 2
Ví d 2.5: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  .
 2 − 2 1 − un −1
2

un =
 2
∀n ≥ 2

Gi i: T công th c truy h i c a dãy, g i ta nh ñ n công th c lư ng giác
sin2 α + cos2 α = 1 ⇔ 1 − sin2 α = cos2 α .
π π
2 − 2 1 − sin2 2(1 − cos )
1 π 6 6 = sin π
Ta có: u1 = = sin ⇒ u2 = =
2 6 2 2 2.6
π
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: un = sin .
n −1
2 .6

Ví d 2.6: Cho a,b là hai s th c dương không ñ i th a mãn a < b và hai dãy (an ),(bn )
 a +b
a1 =

;b1 = b.a1
ñư c xác ñ nh:  2 . Tìm an và bn .
a = an −1 + bn −1
;bn = anbn −1 ∀n ≥ 2
 n
 2
Gi i:
a a  π
Ta có: 0 < < 1 nên ta ñ t = cos α v i α ∈  0; 
b b  2
b cos α + b b(1 + cos α ) α α α
Khi ñó: a1 = = = b cos2 và b1 = b.b cos2 = b cos
2 2 2 2 2
- 27 -


α α
a1 + b1 b cos2 + b cos
a2 = = 2 = b cos α .cos2 α và b = b cos α cos α .
2
2
2 2 2 22 2 22
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c:
α α α α α α
an = b cos cos ...cos2 và bn = b cos cos ...cos .
2 22 2n 2 22 2n

u = 3
 1

Ví d 2.7: Cho dãy (un ) :  u + 2 −1 . Tính u2003 (Trích ñ thi
un = n −1 ∀n ≥ 2

 1 + (1 − 2)un −1
Olympic 30 – 4 – 2003 Kh i 11).
π
un −1 + tan
π 8
Gi i: Ta có tan = 2 − 1 ⇒ un =
8 π
1 − tan un −1
8
π π
tan + tan
π 8 = tan(π + π )
3
Mà u1 = 3 = tan ⇒ u2 =
3 π π 3 8
1 − tan tan
3 8
π π
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c un = tan  + (n − 1)  .
3 8
 π 2002π  π π 
V y u2003 = tan  +  = tan  +  = −( 3 + 2) .
3 8  3 4
u1 = a

Chú ý : ð tìm CTTQ c a dãy (un ) :  u +b .
un = n −1 ∀n ≥ 2
 1 − bun −1
Ta ñ t a = tan α ;b = tan β , khi ñó ta ch ng minh ñư c: un = tan α + (n − 1)β 
 

u = 3
 1

Ví d 2.8: Tìm CTTQ c a dãy s (un ) :  un −1 .
un = ∀n ≥ 2


 1 + 1 + un −1
2

- 28 -


1 1 1 1
Gi i: Ta có: = + 1+ . ð t xn = khi ñó ta ñư c dãy (xn ) ñư c xác
un un −1 u2 n −1
un
1
ñ nh như sau: x1 = và x n = x n −1 + 1 + xn −1 .
2

3
π
1 + cos
1 π π π 3 = cot π
Vì x1 = = cot ⇒ x 2 = cot + 1 + cot2 =
3 3 3 3 π 2.3
sin
3
π π
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: x n = cot ⇒ un = tan ∀n = 1,2,...
2n −1.3 2n −1.3

- 29 -


III. NG D NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C A DÃY S VÀO GI I M T S
BÀI TOÁN V DÃY S - T H P
Trong m c này chúng tôi ñưa ra m t s ví d các bài toán v dãy s và t h p mà quá
trình gi i các bài toán ñó chúng ta v n d ng m t s k t qu trên.

Ví d 3.1: Cho dãy s (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an +1 = 2an − an −1 + 1 ∀n ≥ 1 . Ch ng minh
r ng A = 4anan + 2 + 1 là s chính phương.
Gi i:
T công th c truy h i c a dãy ta thay n + 1 b i n ta ñư c:
an +1 = 2an − an −1 + 1

 ⇒ an + 1 − 3an + 3an −1 − an − 2 = 0 .
an = 2an −1 − an − 2 + 1

Xét phương trình ñ c trưng λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = 0 ⇔ λ = 1
1
⇒ an = (α + β n + γ n 2 ) , do a 0 = 0, a1 = 1, a2 = 3 ⇒ α = 0, β = γ = .
2
1
⇒ an = (n + n 2 ) ⇒ A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n 2 + 3n + 1)2 ⇒ ñpcm.
2
Ví d 3.2: Cho dãy s (xn ) : x1 = 7, x 2 = 50; x n +1 = 4x n + 5xn −1 − 1975 ∀n ≥ 2 .
Ch ng minh r ng x1996 ⋮1997 (HSG Qu c Gia – 1997 )
Gi i:
Vì −1975 = 22(mod1997) do ñó ta ch c n ch ng minh dãy
x n +1 = 4x n + 5x n −1 + 22 ⋮1997 .
ð t yn +1 = ax n +1 + b = a(4x n + 5x n −1 + 22) + b = 4(axn + b) + 5(ax n −1 + b) + 22a − 8b
= 4yn + 5yn −1 + 22a − 8b .
Ta ch n a, b sao cho: 22a − 8b = 0 , ta ch n a = 4 ⇒ b = 11 .
⇒ yn +1 = 4x n +1 + 11 ⇒ y1 = 39, y2 = 211; yn +1 = 4yn + 5yn −1
8(−1)n + 25.5n 8 + 25.51996
T ñây ta có ñư c: yn = ⇒ y1996 = .
3 3
Vì 8 + 25.51996 ≡ −1 + 1 = 0(mod 3) ⇒ y1996 ∈ ℤ
Theo ñ nh lí Fecma 51996 ≡ 1(mod1997) ⇒ y1996 ≡ 11(mod1997)
⇒ 4x1996 + 11 ≡ 11(mod1997) ⇒ x1996 ≡ 0(mod1997) .

- 30 -


Nh n xét: T bài toán trên ta có k t qu t ng quát hơn là: x p −1 ⋮ p v i p là s nguyên t
l .
u = 20; u1 = 100

Ví d 3.3: Cho dãy s (un ) :  0 .Tìm s nguyên dương
un + 1 = 4un + 5un −1 + 20 ∀n ≥ 2

h bé nh t sao cho: un + h − un ⋮1998 ∀n ∈ ℕ * (HSG Qu c Gia B ng A – 1998 ).
Gi i:
a = 45; a1 = 205

ð t an = 2un + 5 , ta có dãy (an ) :  0
an +1 = 4an + 5an −1 ∀n ≥ 2

10 125 n 125 n 5 5
⇒ an = (−1)n + .5 ⇒ un = .5 + (−1)n − .
3 3 6 3 2
Vì an + h − an = 2(un + h − un ) ⇒ un + h − un ⋮1998 ⇔ an + h − an ⋮ 2.1998 = 22.33.37
(−1)n .10  n
 + 125.5 (5h − 1)
Mà an + h − an = (−1) − 1
h
3   3
5h − 1⋮ 4
125.5 n 

• N u h ch n ⇒ an + h − an = (5 − 1)⋮ 4.27.37 ⇔ 5h − 1⋮ 81 (17)
h
3  h
5 − 1⋮ 37

G i k là s nguyên dương nh nh t th a mãn 5k − 1⋮ 37 . Vì 536 − 1⋮ 37 ⇒ 36 ⋮ k
{ }
⇒ k ∈ 1,2, 3, 4,12,18, 36 th tr c ti p ta th y ch có k = 36 th a mãn
⇒ 5h − 1⋮ 37 ⇒ h ⋮ 36 (18)
Ch ng minh tương t , ta cũng có: 5h − 1⋮ 81 ⇒ h ⋮ϕ(81) = 54 (19)
T (18) và (19) ta suy ra (17) ⇔ h ⋮ 36, 54  = 108 ⇒ h ≥ 108 .
 
• N u h l : Vì un + h ≡ un (mod 1998)
u ≡ u 0 ≡ 20(mod1998)

Nên ta có:  h ⇒ 5uh −1 ≡ uh +1 − 4uh − 20 ≡ 0(mod1998)
uh +1 ≡ u1 ≡ 100(mod1998)

⇒ uh −1 ⋮ 0(mod1998)
125 h 25 125 h −1 5
Vì h l ⇒ h − 1 ch n ⇒ uh = .5 − và uh −1 = .5 −
6 6 6 6
⇒ uh ≡ 5uh −1 ≡ 0(mod1998) mâu thu n v i uh ≡ 20(mod1998) .

- 31 -


V i h = 108 ta d dàng ch ng minh ñư c un + h ≡ un (mod1998) ∀n ≥ 1 .
V y h = 108 là giá tr c n tìm.

2xn + 1
Ví d 3.4: Cho dãy (xn ) : x 0 = 2; x n +1 =
xn + 2
1) Tính x 2000 ?
2000
2) Tìm ph n nguyên c a A = ∑ xi (Olympic 30 – 4 – 2000 kh i 11 ).
i =1

xn − 1 1 3 1
Gi i: Ta có: x n +1 − 1 = ⇒ =1+ . ð t an = ⇒ a 0 = 1 và
xn + 2 xn +1 − 1 xn − 1 xn − 1
3n +1 − 1 2
an + 1 = 3an + 1 ⇒ an = ⇒ xn = 1 + .
2 3n + 1 − 1
32001 + 1
a) Ta có: x 2000 =
32001 − 1
2000
1 2 2000 1
b) Ta có: A = 2000 + 2 ∑ ⇒ 2000 < A < 2000 + ∑ < 2001
i +1
i =1 3 −1 3 i =1 3i
V y [A] = 2000 .

(2 + cos 2α )xn + cos2 α
Ví d 3.5: Cho dãy (xn ) : x1 = 1; x n +1 = .
(2 − 2 cos 2α )x n + 2 − cos 2α
n
1
ð t yn = ∑ 2x
+1
∀n ≥ 1 . Tìm α ñ dãy s (yn ) có gi i h n h u h n và tìm gi i
i =1 i
h n ñó. ( HSG Qu c Gia B ng A – 2004 ).
Gi i:
1 2 sin2 α 1 1 1 1
Ta có = + ⇒ = + (1 − )sin2 α
2x n + 1 + 1 3 3(2x n + 1) 2x n + 1 3n
3n −1

n n n
1 1 1 1 1 3 1
⇒ yn = ∑ 2x + 1 = ∑ + sin2 α ∑ (1 − )= (1 − ) + [n − (1 − )]sin2 α
i =1 i i =1 3
i
i =1 3i −1 2 3n 2 3n
1
Vì lim = 0 nên dãy (yn ) có gi i h n h u h n ⇔ sin α = 0 ⇔ α = kπ
3n

- 32 -


1
Khi ñó lim yn = .
2
x = −1
 x
 n +1 = −3x n − 2xn yn + 8yn
2 2
Ví d 3.6: Cho hai dãy (xn ),(yn ) :  1 
và ∀n ≥ 1 .
y1 = 1 yn +1 = 2x n + 3x n yn − 2yn
2 2
 
Tìm t t c các s nguyên t p sao cho x p + y p không chia h t cho p . (TH&TT – 327 )
Gi i:
n −1
Ta có: x n + 2yn = (xn −1 + 2yn −1 )2 = ... = (x1 + 2y1 )2 = 1 (20)
Gi s có m t s t nhiên k ñ yk = 2xk ⇒ yk +1 = 0 . Khi ñó, ta có:
x
 k + 2 = −3x k +1
2
 vô lí. V y yn +1 = (2x n − yn )(x n + 2yn ) ≠ 0 ∀n .
xk +2 = 1

x (3x n − 4yn )(x n + 2yn ) −3x n + 4yn
Suy ra : n +1 = − = .
yn + 1 (2x n − yn )(x n + 2yn ) 2x n − yn
xn +1 −3an + 4
ð t an +1 = ⇒ a1 = −1;an + 1 =
yn + 1 2an − 1
an + 2 1 5 1 1 + 2(−5)n −1
⇒ an + 1 + 2 = ⇒ =2− ⇒ =
2an − 1 an + 1 +2 an + 2 an + 2 3
1 − 4.(−5)n −1 xn
⇒ an = = (21)
n −1
1 + 2.(−5) yn
1 − 4.(−5)n −1 1 + 2.(−5)n −1 2 − 2(−5)n −1
T (20) và (21) ⇒ xn = ; yn = ⇒ x n + yn = .
3 3 3
* N u p = 2 ⇒ x 2 + y2 = 4 ⋮ 2 ⇒ p = 2 không th a yêu c u bài toán.
* N u p = 3 ⇒ x 3 + y 3 = −16 không chia h t cho 3 ⇒ p = 3 th a yêu c u bài toán.
* N u p = 5 ta th y cũng th a yêu c u bài toán.
* N u p > 5 ⇒ (−5)p −1 ≡ 1(mod p) ⇒ x p + y p ≡ 0(mod p)
V y p = 3, p = 5 là hai giá tr c n tìm.

- 33 -


 2
u1 =
 3
Ví d 3.7: Cho dãy (un ) :  un −1 . Tính t ng c a 2001 s
un = ∀n ≥ 2

 2(2n − 1)un −1 + 1
h ng ñ u tiên c a dãy (un ) (HSG Qu c Gia – 2001 ).

Gi i:
1 1
Ta có: = + 4n − 2 (22).
un un −1
Ta phân tích 4n − 2 = k n 2 − (n − 1)2  + l n − (n − 1) . Cho n = 0; n = 1 , ta có h
 
 
 −k + l = −2

 ⇔ k = 2; l = 0 .
k + l = 2

1 1 1 1
Suy ra (22) ⇔ − 2n 2 = − 2(n − 1)2 = ... = −2 = −
un un −1 u1 2
1 4n 2 − 1 (2n − 1)(2n + 1)
⇒ = =
un 2 2
2 1 1
⇒ un = = −
(2n − 1)(2n + 1) 2n − 1 2n + 1
2001 2001  1 1  1 4002
⇒ ∑ ui = ∑  2i − 1 − 2i + 1  = 1 − 4003 =
4003
.
i =1 i =1  

x = x + 1 + x n −1
2
x = 3  n n −1
 
Ví d 3.8: Cho hai dãy s (xn ); (yn ) xác ñ nh :  1 và  yn −1
y1 = 3
 yn =

 1 + 1 + yn −1
∀n ≥ 2 . Ch ng minh r ng 2 < xn yn < 3 ∀n ≥ 2 . (Belarus 1999).

Gi i:
π
cos +1
π π π 6 π
Ta có: x1 = 3 = cot ⇒ x 2 = cot + 1 + cot 2
= = cot
6 6 6 π 2.6
sin
6
- 34 -


π
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: x n = cot .
n −1
2 .6
π
Theo k t qu c a ví d 2.8, ta có: yn = tan
2n −1.3
π
ð t αn = ⇒ x n = cot αn ; yn = tan 2αn ⇒ xn .yn = tan 2αn .cot αn
2n .3
1 2 2t
ð t t = tan αn ⇒ tan 2αn .cot αn = . = .
1−t 2 t
1−t 2

π π 1 2
Vì n ≥ 2 ⇒ 0 < αn < ⇒ 0 < t < tan = ⇒ ≤ 1 − t2 < 1
6 6 3 3
2
⇒2< < 3 ⇒ 2 < x n yn ≤ 3 ∀n ≥ 2 ⇒ ñpcm.
1−t 2

| x1 |< 1

Ví d 3.9: Cho dãy s (xn ) :  −x n + 3 − 3x n
2 .
x n +1 = ∀n ≥ 2
 2
1) C n có thêm ñi u ki n gì ñ i v i x1 ñ dãy g m toàn s dương ?
2) Dãy s này có tu n hoàn không ? T i sao ? (HSG Qu c Gia 1990).
Gi i:
 π π
Vì | x1 |< 1 nên t n t i α ∈  − ;  : sin α = x1 . Khi ñó:
 2 2
1 3 π
x 2 = − sin α + cos α = sin( − α )
2 2 3
1 π 3 π
x 3 = − sin( − α ) + | cos( − α ) | .
2 3 2 3
π π
• N u− ≤α < ⇒ x 3 = sin α
6 2
π π 2π
• N u− <α < − ⇒ x 3 = sin(α − ).
2 6 3
B ng quy n p ta ch ng minh ñư c:
sin α khi n = 2k + 1
π π 
i ) N u − ≤ α < thì: x n =  π
6 2 sin( − α ) khi n = 2k
 3

- 35 -


 2π
π π sin(α −

) khi n = 2k + 1
ii ) N u − < α < − thì: x n =  3 ∀k ≥ 1 .
2 6 sin( π − α ) khi n = 2k

 3
sin α > 0  π
 0 < α <
 π
1) Dãy g m toàn s dương ⇔   π  ⇔ 2 ⇔ 0<α < .
sin  3 − α  > 0 − π ≤ α < π 3
    6
 3
3
V y 0 < x1 < là ñi u ki n c n ph i tìm.
2
2) D a vào k t qu trên ta có:
π  π 1
• N u sin α = sin  − α  ⇔ α = ⇔ x1 = . Khi ñó t (1) ta có ñư c
3  6 2
x1 = x 2 = ... = xn = ... ⇒ (x n ) là dãy tu n hoàn.
 1
− ≤ x1 < 1

• N u 2 thì dãy s có d ng x1, x 2 , x1, x 2 ,....
x ≠ 1
 1 2

1
• N u −1 < x1 < − thì dãy s có d ng x1, x 2 , x 3 , x 2 , x 3 ....
2
Ví d 3.10: Tính t ng Sn = 1 + 3 + 5 + .. + 2n − 1 , v i n là s t nhiên n ≥ 1 .
Gi i:
Ta có: S1 = 1 và Sn = Sn −1 + 2n − 1 .
Mà: 2n − 1 = n 2 − (n − 1)2 ⇒ Sn − n 2 = Sn −1 − (n − 1)2 = ... = S1 − 1 = 0
V y Sn = n 2 .

Ví d 3.11: Tính t ng Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n 2 v i n là s t nhiên n ≥ 1 .

Gi i: Ta có S1 = 1 và Sn = Sn −1 + n 2 (23).
Ta phân tích: n 2 = k n 3 − (n − 1)3  + l n 2 − (n − 1)2  + t n − (n − 1)
 
   

- 36 -


k − l + t = 0
 1 1 1
Cho n = 0; n = 1; n = 2 , ta có h : k + l + t = 1 ⇔ k = ;l = ;t =
7k + 3l + t = 4 3 2 6

1 1 1  1 1 1 
⇒ (23) ⇔ Sn −  n 3 + n 2 + n  = Sn −1 −  (n − 1)3 + (n − 1)2 + (n − 1)
3 2 6  3 2 6 
1 3 1 2 1  2n 3 + 3n 2 + n n(n + 1)(2n + 1)
⇒ S n −  n + n + n  = S1 − 1 = 0 ⇒ S n = = .
3 2 6  6 6

Ví d 3.12: Tính t ng Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) ∀n ≥ 1 .

Gi i: Ta có: S1 = 6 và Sn − Sn −1 = n(n + 1)(n + 2) ∀n ≥ 2 .
1 1
Do n(n + 1)(n + 2) = (n + 1)4 − n 4  + (n + 1)3 − n 3  −
4  2 
1 1
− (n + 1)2 − n 2  − (n + 1) − n  .
4  2 
1 1 1 1
ð t f (n ) = (n + 1)4 + (n + 1)3 − (n + 1)2 − (n + 1)
4 2 4 2
⇒ Sn − f (n ) = Sn −1 − f (n − 1) = ... = S1 − f (1) = 0
n(n + 1)(n + 1)(n + 3)
⇒ Sn = f (n ) = .
4

Ví d 3.13: Trong mp cho n ñư ng th ng, trong ñó không có ba ñư ng nào ñ ng quy và
ñôi m t không c t nhau. H i n ñư ng th ng trên chia m t ph ng thành bao nhiêu mi n ?

Gi i: G i an là s mi n do n ñư ng th ng trên t o thành. Ta có: a1 = 2 .
Ta xét ñư ng th ng th n + 1 (ta g i là d ), khi ñó d c t n ñư ng th ng ñã cho t i n
ñi m và b n ñư ng th ng chia thành n + 1 ph n, ñ ng th i m i ph n thu c m t mi n
c a an . M t khác v i m i ño n n m trong mi n c a an s chia mi n ñó thành 2 mi n,
nên s mi n có thêm là n + 1 . Do v y, ta có:an + 1 = an + n + 1
n(n + 1)
T ñây ta có: an = 1 + .
2

- 37 -

Dãy số nguyễn tất thu

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (7)

Similar a Dãy số nguyễn tất thu

Similar a Dãy số nguyễn tất thu (20)

Más de Thế Giới Tinh Hoa

Más de Thế Giới Tinh Hoa (20)

Dãy số nguyễn tất thu