1. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng
1. Giai thừa : n! = 1.2...n; HD: Xét 2 trường hợp. ĐS: 9.8.7 + 8.8.7 = 952 .
0! = 1; n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
a) Chẵn gồm 4 chữ số ĐS : 3.63
2. Quy tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 b) Lẻ gồm 4 chữ số ĐS : 3.63
có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. c) Chẵn không ít hơn 4 chữ số và không vượt quá 6 chữ số
Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. d) 5 chữ số khác nhau có mặt số 2 ? .
3. Quy tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn e) 5 chữ số khác nhau có mặt 2 số 1 và 6 ?
f) 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của
này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn 3 chữ số cuối một đơn vị.
liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. HD: c) Xét 3 trường hợp TH1 : Gồm 4 chữ số . TH2 : Gồm 5 chữ số.
4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. TH3 : Gồm 6 chữ số. ĐS : 3(63 + 64 + 65)
Số cách xếp : Pn = n !. d) Chữ số 2 có có 5 vị trí vậy có 5. A5 = 120 .5= 600 số .
2
5. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ 2 3 2 3
e) Số 1và 6 có A5 , xếp 4 số vào 3 vị trí còn lại là A4 . ĐS A5 . A4 = 480
n! f) Vì tổng tất cả các số là 21 nên tổng ba số đầu là 10, ba số cuối là 11.
khác nhau số cách : An = , Ank = Cnk .Pk . (n ∈ N; k ≤ n)
k
(n − k )! Có 3 cặp số thoả mãn là:
+ Cặp 3 số đầu gồm 1, 4, 5 ba số cuối gồm 2, 3, 6. Có 3!.3! = 36 số.
6. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. + Cặp 3 số đầu gồm 2, 3, 5 ba số cuối gồm 1, 4, 6. Có 3!.3! = 36 số.
n! + Cặp 3 số đầu gồm 1, 3, 6 ba số cuối gồm 2, 4, 5. Có 3!.3! = 36 số.
Số cách chọn : Cn =
k
Vậy có: 3.36 = 108 số.
k !(n − k )! Bài 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh 3.
HD: Coi hai số 2 và 3 là một cặp. Xét 2 trường hợp:
Cnk = Cnn − k ; Cnk−11 + Cnk−1 = Cn
− k
+ TH1: cặp 2,3 đứng đầu, có: 2.4! = 48 số.
7. Công thức nhị thức Niutơn + TH2: cặp 2, 3 đứng ở các vị trí khác, có:4.2.3.3! = 144. ĐS: 192
n Bài 4:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên 6 chữ
(a+b)n = Cn a + Cn a b + ... + Cn a b + ... + Cn b = ∑ Cn a b số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.
0 n 1 n −1 k n−k k n n k k n−k
Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi
k =0
số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1 và 5.
Chú ý: Vế phải có n+1 số hạng .
 Mũ của a và b trong mỡi số hạng có tổng bằng n . Bài 6: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu
k n−k k cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất
 Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng : Tk+1= Cn an b
3 nữ. ĐS 4: 2. A6 .3! = 1440 . ĐS B5: 5.4. A5 = 1200 . ĐS6:
3 3
 Tổng các hệ số là : 2 n
C5 .C10 + C5 .C10 + C5 .C3
3 5 4 4 5 10
Một số công thức đặc biệt:
Bài 7: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam. Lập một
(1 + x) n = Cn + Cn x + ... + Cn x k + ... + Cn x n
0 1 k n
đoàn công tác gồm 3 nguời có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí.
Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: 90 cách
Cn + Cn + ... + Cnn = 2n ;
0 1
Bài 8: Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và
Cn − Cn + Cn2 + ... + (−1) k Cnk + ... + (−1) n Cnn = 0
0 1 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa
khác màu vừa khác số? ĐS: 64 cách
Đặ t P(x) = (1 + x) n = Cn + Cn x + ... + Cnn x n
0 1
Bài 9: Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người, sao cho mỗi
người nhận được ít nhất 1 đồ vật. ĐS: 150 cách
P(x) là đ a thứ c bậ c n nên ta có thể tính giá trị tạ i mộ t đ iể m bấ t kì;
Bài 10: Cho hình thập giác đều.
lấ y đạ o hàm; tích phân trên mộ t đ oạ n bấ t kì. Khi đ ó ta có các bài
1) Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác, nhưng
toán mớ i. cạnh của tam giác không là cạnh nào của thập giác đó? ĐS: 50 tam giác; 10 hcn
Ví dụ: P(2001) = Cn + 2009Cn + ... + 2009n Cn = 2010n
0 1 n
2) Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của thập giác?
Bài 11: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta
 P'(x)=Cn +2xCn +3x Cn +...+nx Cn = (1+x)  '=n(1+x)
1 2 2 3 n-1 n n n-1
  muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói
n−1 trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trường hợp sau:
 P '(1) = Cn + 2Cn + 3Cn + ... + nCn = n.2
1 2 3 n
1) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác
 P '(−1) = Cn − 2Cn + 3Cn + ... + (−1) nCn = 0
1 2 3 n n
trường. ĐS: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6!
n−1 n n−1
2) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường.
 P '(a) = Cn + 2aCn + 3a Cn + ... + na Cn = n(1 + a)
1 2 2 3
Bài 12: Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em. Trong đó có 7 học sinh
 xP '( x) = xCn + 2x Cn + 3x Cn + ... + nx Cn = nx(1 + x)
1 2 2 3 3 n n n−1 khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học
sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn
⇒ Cn + 22 xCn + 32 x 2Cn + ... + n2 x n−1Cn = n(1 + x)n−1 + n(n − 1) x(1 + x)n−2
1 2 3 n
HD: C18 − (C11 + C12 + C13 ) = 41811 .
8 8 8 8
n−2 n
 P ''( x) = 2Cn + 3.2xCn + 4.3x Cn + ... + n(n − 1) x Cn
2 3 2 4
=  n(1 + x)n−1  ' = n(n − 1)(1 + x)n−2
 
2. Các bài toán nhị thứ c, phươ ng trình bấ t ph ươ ng trình
n−2 tổ hợ p, chỉ nh hợ p
 P ''(1) = 2C + 3.2C + 4.3C + ... + n( n − 1)C = n( n − 1)2
2 3 4 n
n n n n
a a a
1) Giải các PT, BPT:
n −1
 ∫ P( x)dx = ∫ (Cn + Cn x + ... + Cn x )dx = ∫ (1 + x) dx a) Cn + Cn = 3Cn +1 (n = 6) b) Cn + 2 + Cn + 2 > 2,5 An (n=5)
0 1 n n n 4 5 6 n 2
0 0 0
c) 23 An4 = 24( An +1 − Cnn − 4 ) (n ≥ 2) d) An + 2Cnn − 2 ≤ 9n (n∈{3;4})
3 3
1 1 1 n+1 n (1 + a)n+1 − 1
⇔ aCn + a2Cn + a3Cn + ... +
0 1 2
a Cn = ....
2 3 n +1 n+1 Pn + 5 +
2) Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k ≥ 0: ≤ 60 Ank+ 32
1. Các bài toán về phép đế m: (n − k )!
PHƯƠ NG PHÁP GIẢ I: Thường lập luận để có thể coi mỗi sự việc
ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3).
mà ta phải đếm hoặc chọn là việc lấy ra k phần tử từ một tập hợp
A có n phần tử (k≤ n). 3) Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập hợp
 Nếu k phần tử được lấy ra từ tập A không có vấn đề thứ tự thì con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần
dùng số tổ hợp chập k của n phần tư của tập A . tử của A. ĐS: A có 18 phần tử.
4) CMR : Cn + 2Cn2 + 3Cn ... + nCn = n.2 n −1 .
1 3 n
 Nếu giữa k phần tử lấy ra từ A có vấn đề thứ tự phải chú ý
 Nếu vai trò các phần tử được lấy ra từ A như nhau(nghĩa là các HD: (1 + x) n = Cn + Cn x + Cn x 2 + Cn x 3 + ... + Cn x n
0 1 2 3 n
phần tử của A có cơ hội đồng đều trong sự lựa chọn)thì dùng số
chỉnh hợp khi k< n và dùng hoán vị khi k = n. Lấy đạo hàm hai vế ta có : chọn x = 1 ⇒ đpcm.
 Nếu vai trò các phần tử lấy ra từ A khác nhau thì lý luận b ằng 2 2 1 23 2n +1 n 3n +1 − 1
qui tắc đếm 5) CMR : 2 Cn + Cn + Cn2 + .... +
0
Cn =
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau. 2 3 n +1 n +1
1

2. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng
2
(1 + x ) n +1 n +1
3 −1 A- 2005Tìm số nguyên dương n sao cho :
HD: Xét : I = ∫ (1 + x ) dx =
n 2
= (1 ) 2 n +1
0 n +1
0
n +1 C2n +1 − 2.2C2n +1 + 3.22 C2n +1 − 4.23 C2 n +1 + ... + (2n + 1)22 n C2 n +1 = 2005.
1 2 3 4
1 1 1 2 1 Xét:( 1-x) 2n+1. Khai triển, lấy đạo hàm hai vế, chọn x=2: (2n+1)=2005⇔n=1002
Mà I = (Cn x + Cn x 2 + Cn x 3 + ... +
0
C n x n +1 )
n 2
2 3 n +1
0
B2005 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam
22 1 23 2 2n + 1 n và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình
I = 2C + Cn + Cn + ... +
0
Cn (2). Từ (1) và (2) ⇒ đpcm
n
2 3 n +1 nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam
ĐS: C12C3 .C84C2 .C44 C11 = 207.900
4 1 1
1
và 1 nữ.
6) Tính : I = ∫ (1 + x) dx và S =
n
An +1 + 3 An4
4
0
D.2005 Tính giá trị biểu thức : M = . Biết rằng :
1 1 1 1 (n + 1)!
Cn + Cn + Cn2 + .... +
0
Cnn
2 3 n +1 Cn +1 + 2Cn + 2 + 2Cn + 3 + Cn + 4 = 149 .HD: n = 5; n = − 9(l). M= ¾
2 2 2 2
1 n+1 n+1
(1 + x) 2 −1 CĐ05 Cho ( 1-x) +x(1+x) n-1=Px. Biết : a0+a1+a2+…+an = 512 .
n
HD : I = ∫ (1 + x) dx = n + 1 =
n 1
0
0
n +1 Tìm a 3=? HD: Khai triển Px= a0+a1x+a2x2+….+ anxn .
1
 0 1 x
2
n x
n+1

1
Cho x=1 thì: 2n-1 = a0 + a1 + a2 +…+ an = 512 = 29 ⇒ n = 10
I = ∫ (Cn + Cn x + ... + Cn )dx = Cn x + Cn
0 1 n
+ ... + Cn 
0  2 n + 1 0 ( 1-x)10 +x(1+x) 9 ⇒ a3 = C92 − C10 = −84
3
n
1 1 1 2 1 2n+1 − 1  1 
= Cn + Cn + Cn + .... +
0 n
Cn => S = n + 1 A2006 Tìm hệ số số hạng chứa x trong khai triển  4 + x 7 ÷ ,
26
2 3 n+1
x 
n −1 n −1
7) CMR: 1 + 4Cn + 4 Cn + ... + 4 Cn + 4 = 5
1 2 2 n n
biết C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ..... + C2 n +1 = 2 − 1
1 2 3 n 20
HD : Khai triển : ( 1+x ) n thay x= 4 ⇒ đpcm. ĐS: n =10, hệ số = 210
8) CMR: 3 C16 − 3 C16 + 3 C16 ... + C16 = 2
16 0 15 1 14 2 16 16
D2006 Có 12 HS : trong dó 5 HS lớp A; 4 HS lớp B và 3 HS lớp
HD: Khai triển : ( 3x-1)16 chọn x = 1 ⇒ đpcm. C . Cần 4 HS đi trực sao cho 4 HS nầy không quá 2 trong 3 lớp
trên. Hỏi có mấy cách chọn .
Cy C y +1 C y −1
9) Tìm x ; y thuộc N* : x +1 = x = x . ĐS : x=8 ; y = 3 HD : Số cách chọn 4 HS: C12 . 4
6 5 2
n −1 * 1A,1B;2C: C5.C4.C3 =60; *1A,2B;1C: C5.C42 .C3 = 90 ;
1 1 2 1 1
10) CmR : Cn + 2Cn + 3Cn ... + nCn = n 2
1 2 3 n
* 2A,1B;2C: C52 .C4.C32 = 120 .
1
HD: Xét : (1+x) n khai triển. Lấy đạo hàm 2 vế. Chọn x = 1 ⇒ đpcm .
( )
−28 n ĐS : C12 - ( 60+90+120) = 495-270=225
4
11) Trong khai triển : x 3 x + x 15 hãy tìm số hạng không chứa
1 1 1 3 1 5 1 22 n − 1
n −1 n−2 A2007 Cm C2 n + C2 n + C2 n + ... + C22n = n
x . Biết : Cn + Cn + Cn + = 79 . HD: k = 5 ⇒ C12 = 792
n 5
2 4 6 20 2n + 1
1
2n+1 − 1
B2007 Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết
12) Tính I = ∫ x (1 + x ) dx .
2 3 n
Đổi biến: u= 1+x3 có I = rằng 3n Cn − 3n −1 Cn + 3n − 2 Cn2 − 3n − 3 Cn + ... + (−1) n Cnn = 2048
0 1 3
3(n + 1)
0
ĐS: n = 11, hệ số = 22
Mặt khác ta có : (1 + x3 )n = Cn + Cn2 x3 + Cn x6 + ... + Cnn x3n
0 3
2
D2007 Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau:
Nhân hai vế cho x , lấy tích phân hai vế . P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320
Tìm nguyên hàm thế cận từ 0 −> 1 ta được vế trái .
 Ax2 + C y = 22

3
(2 )
n
A-2002 Cho khai triển : −
x−1 1 1 x
. Biết : Cn = 5Cn và số Bdb07 Tìm x, y ∈ N thỏa mãn hệ  3 .
+2 3 2
 Ay + Cx = 66
2

hạng thứ tư bằng 20. Hãy tìm n và x ? ĐS : n = 7 và x= 4 .
 1
D-2002 Tìm n ∈ N*: Cn + 2Cn + 4Cn + ... + 2 Cn = 243  x ( x − 1) + 6 y ( y − 1) ( y − 2) = 22
0 1 3 n n

ĐK: x ≥ 2, y ≥ 3 
ĐS : Xét (1+x ) n và chọn x= 2 => n= 5.  y ( y − 1) ( y − 2) + 1 x ( x − 1) = 66
n 
 2
 1 
A- 2003 Tìm hệ số của x8 trong khai triển  3 + x 5 ÷ . 6x2 − 6x + y3 − 3y2 + 2y = 132 (1) 6x2 − 6x + y3 − 3y2 + 2y = 132
x   
⇔ 3 ⇔ 2
n +1
Biết : Cn + 4 − Cn + 3 = 7(n + 3) .
n
HD : K= 4 => C12 = 495 .
4  ( 2
)
 y − 3y + 2 y .2 + x − x = 132 (2)
2
11x − 11x − 132 = 0

 x = 4 hay x = −3 (l )
 x = 4
22 − 1 1 23 − 1 2 2n+1 − 1 n ⇔ 3 ⇔
B-03 Cho n∈N* tính: S = Cn +
0
Cn + Cn + .. + Cn  y − 3y + 2y = 60

2
y = 5
2 3 n+1
3N +1 − 2n+1 Ddb07 Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết:
Xét : (1+x) n Khai triển tính tp hai vế ta có : S =
n+1 An − 8Cn + Cn = 49 .
3 2 1
D2003 Với n ∈ N*, gọi a3n - 3 là hệ số của x3n -3 trong khai triển n
Điều kiện n ≥ 4. Ta có: ( x + 2 ) = ∑ Cn x 2 .
2 k 2k n−kn
thành đa thức của biểu thức (x2 +1)n(x+2)n.
k =0
Tìm n để a3n-3 = 26n. ĐS: n = 5.
A-2004 Tìm hệ số của x8 trong khai triển :[1+x2( 1-x)]8 Hệ số của số hạng chứa x8 là Cn4 2n − 4
Ta có: An − 8Cn + Cn = 49 ⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
3 2 1
Hd:Số hạng thứ 4 và thứ 5: C83 x6 (1 − x)3; C84 x8 (1 − x)4 .KQ : 3C83 + C84 = 238.
 1 
7
⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = 0 ⇔ n = 7.
D04 Tìm số hạng không chứa x:  3 x + 4 ÷ (x > 0)ĐS : k = 4 ⇒
Hs của x8 là C7 2 = 280
4 3
 x
35 n +1  1 1  1
B- 2004 Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau : 5 câu khó ;10 câu B2008 Chứng minh rằng  + + ÷= (n, k là các
n + 2  Cnk+1 Cnk+11  Cnk
tb ; 15 câu dễ. Hỏi từ 30 câu trên lập được bao nhiêu đề kiểm tra
k
sao cho mỗi đề có 5 câu khác nhau trong đó mỗi đề nhất thiết số nguyên dương, k ≤ n, Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử).
phải có 3 loại câu hỏi : khó ; tb ; dễ và câu dễ không ít hơn hai . n+1 1 1  n+1 Ck+1 k !( n − k)! 1
 k + k+1 ÷
+2
= n + 2 . Ck nCk+1 = = k
Giải : Có ba THợp 2dễ + 1TB + 2 khó: 10500.  2d + 2TB +1khó: n + 2  Cn+1 Cn+1  n! Cn
n+1. n+1
23625  3d + 1TB + 1 khó: 22750 . Tổng : 56.875 .
2

3. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng
D2008 Tìm n ∈ N* thoả hệ thức C + C + ... + C
1
2n
3
2n
2 n −1
2n = 2048 phần tử x.Vậy mỗi số cần lập gồm phần tử x và 3 trong 4
2 n −1 2 n −1 chữ số chẵn 0, 2, 4, 6.
(1 + x) 2n
= C + xC + x C + x C + ... + x
0
2n
1
2n
2 2
2n
3 3
2n C 2n + x 2 n C2 nn
2
Gọi n = a4 a3 a2 a1a0 . ta có các trường hợp sau:
x=1: 2 2 n = C2 n + C2 n + C2 n + C2 n + ... + C2 n −1 + C22nn (1)
0 1 2 3 2n
Trường hợp 1: a0 = 0. Đưa x vào 4 vị trí đầu: Có 3 cách.
2 n −1
x = - 1 : 0 = C2 n − C2 n + C2 n − C2 n + ... − C2 n + C2 n (2)
0 1 2 3 2n
2
Đưa 2 chữ số chẵn 2,4, 6 vào 2 vị trí còn lại có A3 cách.
2 n −1
(1) - (2) : 2 = 2(C2 n + C2 n + ... + C2 n ) = 4096 = 2 ⇔ n = 6.
2n 1 3 12
Vậy có: 3.A3 = 18 cách.
2
Bài tập tham khảo Trường hợp 2: a0 chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a3a4. Có
Câu 1: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia 3.A3 = 18 cách..
2
lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ
Trường hợp 3: a0 chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a3a2 hoặc
3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? a2a1. Có 24 cách. Vậy ta có: 6 ( 18 + 18 + 24 ) = 360 số n.
Giải: Có 3 trường hợp: Câu 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao
Trường hợp 1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam ⇒ C7 C26 . Tổ 2 có 2
3 7
nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của
tất cả các số tự nhiên đó.
nữ, 9 nam ⇒ C4 C19 . Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam ⇒ C2 C10
2 9 2 10
Giải:
3 7 2 9
Vậy ta có: C7 C26C4 C19 cách. Cách 1:
Trường hợp 2: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam ⇒ C7 C26
2 8
Gọi n = a4 a3 a2 a1a0 = a4 .10 4 + a3 .103 + a2 .102 + a110 + a0 là
Tổ 2 có 3 nữ, 8 nam ⇒ C5 C18 ,
3 8
Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam số cần lập. Ta có 4 cách chọn a4, 4 cách chọn a3, 3 cách
chọn a2, 2 cách chọn a1, 1 cách chọn a0. Vậy có:
⇒C C 2 10 2
Vậy ta có: C C C C
8 3 8
cách
2 10 7 26 5 18 4.4.3.2.1 = 96 số n.
Trường hợp 3: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam ⇒ C7 C26 , Tổ 2 có 2
2 8
Cách 2:
nữ, 9 nam ⇒ C5 C18 , Tổ 3 có 3 nữ, 9 nam ⇒ C3 C9 ,
2 9 3 9 Ta có 4 cách chọn và 4! Cách sắp xếp 4 số còn lại.
2 8 2 9
Vậy có: 4. 4! = 96 số n.
Vậy ta có: C7 C26C5 C18 cách * Tính tổng 96 số n lập được:
Theo quy tắc cộng ta có: Cách 1: Có 24 số n n = a4 a3 a2 a1a0 , có 18 số n = a4 a3 a2 a11
3 7 2 9 2 8 3 8 2 8 2 9
C7 C26C4 C19 + C7 C26C5 C18 + C7 C26C5 C18 cách.
, có 18 số n = a4 a3 a2 a1 2 , có 18 số n = a4 a3 a2a1 3 , có 18 số
Câu 2: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên
đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 n = a4 a3 a2 a1 4 .
có n điểm phân biệt ( n ≥ 2 ) . Biết rằng 2800 tam giác có Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 18(1 + 2 + 3 + 4) = 180 .
đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n thoả mãn điều kiện trên. Tương tự: Tổng các chữ số hàng chục là 1800, tổng các
Giải: Số tam giác có một đỉnh thuộc d1, hai đỉnh thuộc d2 chữ số hàng trăm là 18000, tổng các chữ số hàng nghìn là
là: 10Cn
2 180000.
Số tam giác có một đỉnh thuộc d2, hai đỉnh thuộc d1 là: Có 24 số n = 1a3 a2a1a0 , có 24 số n = 2a3 a2a1a0 , có 24 số
2
nC10 n = 3a3 a2 a1a0 , có 24 số n = 4a3 a2a1a0 .
Theo đề bài ta có: Tổng các chữ số hàng chục nghìn là
10Cn + nC10 = 2800 ⇔ n 2 + 8n − 560 = 0 ⇔ n = 20
2 2
24(1 + 2 + 3 + 4).10000 = 2400000
Câu 3: Từ các chữ số 0, 1,. 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được Vậy tổng 96 số n là:
bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi 180 + 1800 + 18000 + 180000 + 2400000 = 2599980
số lập được đều nhỏ hơn 25000. Cách 2: Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng ở vị trí a 4.
Giải: Gọi n = a1a2a3 a4 a5 chẵn, ai ≠ a j ( i ≠ j , n < 25000 ) . Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng ở vị trí ai, với i = 0,
1, 2, 3. Vậy tổng 96 số n là:
Vì n < 25000 ⇒ a1 ∈ { 1 } ta có các trường hợp sau:
;2
(1 + 2 + 3 + 4) 24.10 4 + 18(103 + 10 2 + 101 + 100 ) 
 
Trường hợp 1: a1 = 1. Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 4 cách
(x )
3 100
chọn a5 ( n chẵn). A5 cách chọn a2a3 a4 . Vậy ta có: Câu 6: áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn của 2
+x ,
1.4.A5 = 240 số n.
3
chứng minh rằng:
Trường hợp 2: a1 = 2, a2 chẵn nhỏ hơn 5. 0  1
99
1  1
100 198
99  1 
199
100  1 
100C100  ÷ − 101C101  ÷ + .. − 199C100  ÷ + 200C100  ÷ =0. (
Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 2 cách chọn a2. 2 2 2 2
2
Ta có 2 cách chọn a5. A4 cách chọn a3a4. k
Cn là tổ hợp chập k của n phần tử)
Vậy ta có: 1.2.2.A4 = 48 số n.
2
Giải: Ta có:
(x )
100
Trường hợp 3: a1 = 2, a2 lẻ nhỏ hơn 5. 2
+x = C100 x 100 + C100 x 101 + C100 x 102 + .. + C100 x 200 , lấy
0 1 2 100
Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 2 cách chọn a2
2 1
Ta có 3 cách chọn a5 . A4 cách chọn a3a4 đạo hàm hai vế, cho x = − và nhân hai vế với
2
Vậy ta có; 1.2.3.A4 = 72 số n.
2
( -1), ta có kết quả:
Theo quy tắc cộng ta có: 240 + 48 + 72 = 360 số n. 0  1
99
1  1
100 198
99  1 
199
100  1 
100C100  ÷ − 101C101  ÷ + .. − 199C100  ÷ + 200C100  ÷ =0
Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được 2 2 2 2
bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó Câu 7: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 có thể lập
có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau. được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác
Giải: Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau từ 3 chữ nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng
số 1, 3, 5 là: A5 = 6 cách. Ta xem mỗi cặp số lẻ như một
3
nghìn bằng 8.
Giải:
3

4. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng
Bước 2: Có A = 3.4.5 = 60 cách bốc 3 trong 5 số còn lại
3
Gọi n = a1a2a3 a4 a5 a6 là số cần lập. Yêu cầu bài toán: 5
a3 + a4 + a5 = 8 ⇒ a3 , a4 , a5 ∈ { 1,2,5} hay a3 , a4 , a5 ∈ { 1,3,4} rồi xếp vào 3 vị trí còn lại. Vậy có 20. 60 = 1200 số n thoả
mãn yêu cầu bài toán.
a) Khi a3 , a4 , a5 ∈ { 1,2,5} . Có 6 cách chọn a1; có 5 cách Câu 11: Tìm k ∈ { 0;1;2;........;2005} sao cho C2005 đạt giá
k
chọn a2. k
Có 3! Cách chọn a3, a4, a5. Có 4 cách chọn a6. trị lớn nhất ( với Cn là tổ hợp chập k của n phần tử).
Vậy ta có: 6.5.6.4 = 720 số n. Giải:
b) Khi a3 , a4 , a5 ∈ { 1,3,4} tương tự ta cũng có 720 số n. C2005 ≥ C2005

k k +1
C2005 lớn nhất ⇔  k
k
k −1
( k ∈N)
Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n . C2005 ≥ C2005

Cách khác: * Khi a3 , a4 , a5 ∈ { 1,2,5} . Có 3! = 6 cách chọn  2005! 2005!
3  k !(2005 − k )! ≥ (k + 1)!(2004 − k )! k + 1 ≥ 2005 − k
a3 a4 a5 , có A6 cách chọn a1, a2, a6. 
⇔ ⇔
Vậy ta có: 6.5.6.4 = 720 số n.  2005!
≥
2005! 2006 − k ≥ k
* Khi a3 , a4 , a5 ∈ { 1,3,4} , tương tự ta cũng có 720 số n.  k !(2005 − k )! (k − 1)!(2006 − k )!

Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n . k ≥ 1002 k = 1002
⇔ ⇔ 1002 ≤ k ≤ 1003, k ∈ N ⇔  .
Câu 8: Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức ( 2 − 3 x )
2n
k ≤ 1003 k = 1003
7
, trong đó n là số nguyên dương thoả mãn: Câu 12: Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức:
2 n +1
C2n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 1024 . ( Cn là tổ hợp chập
1 3 5 k
2Pn + 6 An − Pn An = 12 ( Pn là số hoán vị của n phần tử và
2 2
k
k của n phần tử) An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
Giải:Ta có: Giải:
( 1+ x )
2 n +1
= C2n +1 + C2n +1x + C2n +1x 2 + C2n +1x 3 + ... + C2n +1 x 2n +1 Ta có: 2Pn + 6 An − Pn An = 12 ( n ∈ N, n > 1)
0 1 2 3 2 n +1 2 2
Cho x = 1, ta có: 6.n ! n! n! 6.n !
2.n !+ − n! = 12 ⇔ − 2(6 − n !) = 0
22n +1 = C2n +1 + C2n +1 + C2n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1
0 1 2 3 2 n +1
( 1) (n − 2)! ( n − 2)! ( n − 2)! ( n − 2)!
Cho x = -1, ta có: 6 − n ! = 0
2 n +1
( 2) n ! = 6 n = 3 n = 2
0 = C2n +1 − C2n +1 + C2n +1 − C2 n +1 + C2 n +1 − ... − C2 n +1 ⇔  n!
0 1 2 3 4
⇔ ⇔ 2 ⇔
 −2 = 0 n(n − 1) − 2 = 0 n = 3
Lây (1) – (2) ⇒ 2
2 n +1
= 2 C 1
+C
3
+C
5
+ ... + C 2 n +1
  n − n − 2 = 0
 2 n +1 2 n +1 2 n +1 2 n +1   (n − 2)!
1 3 5 2 n +1
22n = C2n +1 + C2n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 1024 = 210 ( Vì n ≥ 2 )
Vậy 2n = 10.  Ax + Cy = 22

2 3
10 Câu 13: Tìm x, y ∈ N thoả mãn hệ:  3
 Ay + Cx = 66
2
Ta có: ( 2 − 3 x ) = ∑ ( −1)k C10 210 − k (3 x )k .
10 k

k =0
Giải:
Suy ra hệ số của x7 là: −C10 .3 .2 hay −C10 .3 .2
7 7 3 3 7 3
Với điều kiện: x ≥ 2, y ≥ 3 , ta có:
Câu 9: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5  1
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8  Ax + Cy = 22

2 3
 x ( x − 1) + 6 y ( y − 1)( y − 2) = 22
  2
6 x − 6 x + y
3
người biết rằng trong đó phải có ít nhất 3 nữ.  3 ⇔ ⇔  3
Giải:  Ay + Cx = 66

2
 y ( y − 1)( y − 2) + 1 x( x − 1) = 66  (
 y − 3y + 2
2
Ta có 3 trường hợp: 
 2
* 3 nữ và 5 nam: có C5 C10 = 2520 cách.
3 5
6 x 2 − 6 x + y 3 − 3 y 2 + 2y = 132
 
 x = 4 hay x = −3 ( loai
⇔ ⇔  3
* 4 nữ và 4 nam: Có C C
4
5
4
10 = 1050 cách. 11x − 11x − 132 = 0

2
 y − 3 y + 2y = 60

2
* 5 nữ và 3 nam: có C C = 120 cách
5 3
5 10 x = 4 x = 4
Theo quy tắc cộng, ta có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách. ⇔ ⇔
( y − 5)( y + 2y + 12) = 0 y = 5
2
Câu 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được
bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và Câu 14: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông
nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5. ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệ khác A, B,
Giải: C, D. Tìm n biết số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã
cho là 439.
Gọi n = a1a2a3 a4 a5 là số cần lập.
Giải:
Ta có thể xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí ⇒ A5 = 4.5 = 20
2
Nếu n ≤ 2 thì n + 6 ≤ 8 . Do dó số tam giác có 3 đỉnh được
cách. lấy từ n + 6 điểm không vượt quá C8 = 56 < 439
3
Xếp 1, 5 rồi ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại đầu ( loại).
tiên Vậy n ≥ 3 .
4 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 2.
Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n
3 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 3
+ 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA
* Theo quy tắc nhân ta có: A5 .5.4.3 = 20.60 = 1200 số n.
2
có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:
Cách khác: (n + 4)(n + 5)(n + 6) ( n − 2)( n − 1)n
Cn + 6 − C3 − Cn =
3 3 3
− 1− = 439
Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: Ta có: A5 = 4.5 = 20
2
6 6
cách. ⇔ (n + 4)(n + 5)(n + 6) − ( n − 2)( n − 1)n = 2540
⇔ n 2 + 4n − 140 = 0 ⇔ n = 10 hay n = −14 ( loai )
Đáp số: n = 10.
4

5. Chuyên đề đại số tổ hợp Hồ Văn Hoàng
Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà a1 a
mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau? thức a0 + + ... + n = 4096 . Tìm hệ số lớn nhất trong các
2 2n
Giải: số a0, a1, …., an.
Gọi n = a1a2a3 a4 là số cần lập. Giải:
* Trường hợp 1: a4 = 0, ta có: 8 cách chọn a1 ( Vì a1 ≥ 2 ). a a  1
Đặt f ( x ) = ( 1 + 2x ) = a0 + a1x + ... + an x ⇒ a0 + 21 + ..... + 2n = f  2 ÷ = 2
n n
n
n
 
8 cách chọn a2, 7 cách chọn a3; 1 cách chọn a4.
Vậy ta có: 8. 8. 7.1 = 448 số n . Từ giả thiết suy ra: 2n = 4096 = 212 ⇔ n = 12
Với mọi k ∈ { 0;1;2;3...;11} ta có: ak = 2 C12 , ak +1 = 2 C12
k +1 k −1
* Trường hợp 2: a4 ≠ 0 vì a4 chẵn.
k k
Ta có: 4 cách chọn a4; 7 cách chọn a1; 8 cách chọn a2; 7 ak 2k C k k +1 23
cách chọn a3. < 1 ⇔ k +1 12+1 < 1 ⇔ < 1⇔ k <
ak +1 2 C12 k
2(12 − k ) 3
Vậy ta có: 4 . 7. 8 . 7 = 1568 số n.
Vậy cả hai trường hợp ta có: 448 + 1568 = 2016 số n Mà k ∈ Z ⇒ k ≤ 7 . Do đó a0 < a1 < ….< a8.
Câu 16: Chứng minh rằng: ak
Tương tự : > 1 ⇔ k > 7 . Do đó a8 > a9 > ….> a12.
1 1 1 3 1 5 1 2 n −1 22n − 1 ak +1
C2n + C2n + C2n + .... + C2n = ( n là số
2 4 6 2n 2n + 1 Số lớn nhất trong các số a0, a1, ……, an là:
k
nguyên dương, Cn là tổ hợp chập k của n phần tử). a8 = 28 C12 = 126720
8
Giải: n +1 1 1  1
Ta có: Câu 20: Chứng minh rằng:  k + k +1 ÷ = k ( n, k
n + 2  Cn +1 Cn +1  Cn
( 1+ x ) = C2n + C2n x + ... + C2n x 2 n , ( 1 − x )
2n 2n
0 1 2n
= C2 n − C2 n x + ... + C2 n x 2n
0 1 2n
k
là các số nguyên dương, k ≤ n , Cn là tổ hợp chập k của n
⇔ ( 1+ x )
2n
(
− (1 − x )2n = 2 C2n x + C2n x 3 + ... + C2n −1x 2n −1
1 3 2n
phần tử). )
1
(1 + x )2n − (1 − x )2 n 1 1 Giải: Ta có:
⇔∫
2
(
= ∫ C2n x + C2n x 3 + ..... + C2n −1x 2n −1 dx
3 2n
n +1 1 ) 1  n + 1 k !(n + 1 − k )!+ ( k + 1)!( n − k )!
0 0
 k + k +1 ÷ = .
n + 2  Cn +1 Cn +1  n + 2 (n + 1)!
(1 + x )2n − (1 − x )2 n (1 + x )2n +1 + (1 − x )2n +1 1 22n − 1
1
⇔∫ = 0 = ( 1) 1 k !(n − k )! k !(n − k )! 1
0
2 2(2n + 1) 2n + 1 = . [ (n + 1 − k ) + (k + 1)] = = k .
1 n+2 n! n! Cn
(
∫ C2n x + C2n x + ..... + C2n x dx
1 3 3 2 n −1 2 n −1
) Câu 21: Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức:
0
1
C2n + C2n + ... + C2 n −1 = 2048 ( Cn là tổ hợp chập k của n
1 3 2n k
 1 x 2
3 x
4
 phần tử).
=  C2n . + C2n . + ... + C2n x 2 n ÷
2n
 2 4 0 Giải:
(1 + x )2n = C2n + C2 n x + C2 n x 2 + C2n x 3 + ... + C2 n −1x 2 n −1 + C2n x 2 n
0 1 2 3 2n 2n
1 1 1 3 1 2n −1
= C2n + C2 n + ... + C2 n ( 2) * x = 1: 2 = C2n + C2n + C2n + C2n + ... + C2n + C2n ( 1)
2n 0 1 2 3 2 n −1 2n
2 4 2n
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. * x = −1: 0 = C2n − C2 n + C2 n − C2n + ... − C2 n + C2 n ( 2 )
0 1 2 3 2 n −1 2n
5
Câu 17: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức:
Lấy (1) – (2):
x ( 1 − 2 x ) + x 2 (1 + 3 x )10
5
22n = 2(C2n + C2n + ... + C2n −1 ) = 4096 = 212 ⇔ n = 6
1 3 2n
Giải: Câu 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị
Hệ số của x5 trong khai triển của x (1 − 2 x ) là ( −2) .C5
5 4 4 18
 1 
thức Niutơn của  2x + 5 ÷ ( x > 0).
Hệ số của x5 trong khai triển của x (1 + 3 x ) là 3 .C10
2 10 3 3
 x
Hệ số của x5 trong khai triển của x (1 − 2 x ) + x (1 + 3 x ) là Giải:
5 2 10
( −2)4 .C5 + 33.C10 = 3320
4 3 18 1 k
18 − k 
− 
6
 1  18 18 18 − k
10  2 x + 5 ÷ = ∑ C18 (2 x ) k
 x ÷ = ∑ C18 .2 .x 5
5 k 18 − k
Câu 18: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  x k =0   k =0
nhị thức Niu tơn của (2 + x ) , biết
n
6
3n Cn − 3n −1Cn + 3n −2 Cn − 3n −3 Cn + ... + ( −1)n Cn = 2048 (n là
0 1 2 3 n Yêu cầu bài toán ⇔ 18 − k = 0 ⇔ k = 15
5
k
số nguyên dương, Cn là tổ hợp chập k của n phần tử). Vậy số hạng không chứa x là: 2 .C18 = 6528
3 15
Giải:Ta có: Câu 23: Cho khai triển nhị thức:
3n Cn − 3n −1Cn + 3n −2 Cn − 3n −3 Cn + ... + ( −1)n Cn = (3 − 1)n
0 1 2 3 n
−x n x −1 n x −1 n −1
 x2 1
−
 0  1   −x  n −1 
x −1
 −x
Từ giả thiết suy ra n = 11.  2 + 2 ÷ = Cn  2 ÷ + Cn  2 2 ÷  2 3 ÷ + ... + Cn  2 2 ÷ 2 3
3 2
11          
Ta có: ( 2 + x ) = ∑ C11.2 x . Suy ra hệ số của số hạng
11 k 1− k k
( n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
k =0
Cn = 5Cn và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm x và n.
3 1
chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của (2 + x ) là:
10 x
Giải: Từ Cn = 5Cn ta có: n ≥ 3 và
3 1
C11 .211−10 = 22 .
10
n! n! n(n − 1)(n − 2) n = 7
=5 ⇔ = 5n ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0 ⇔
Câu 19: Cho khai triển ( 1 + 2 x ) = a0 + a1 x + ... + an x n ,
n
3!( n − 3)! ( n − 1)! 6  n = −4

trong đó n ∈ N * và các hệ số a0, a1, ….,an thoả mãn hệ Với n = 7 ta có:
3
3  −x 
x −1
C7  2 2 ÷ 2 3 ÷ = 140 ⇔ 35.22 x − 2.2− x = 140 ⇔ 2 x − 2 = 4 ⇔ x = 4
 ÷
  
5