Barisan & Deret Aritmatika Pembinaan KSN-KSM

1. KONSEP DASAR
PEMBAHASAN SOAL

2. 2
Barisan adalah fungsi yang domain-nya adalah bilangan asli , yang memetakan ke sembarang
bilangan real.
𝑓: 𝑁 ⟶ 𝑅
KONSEP DASAR
Deret : Jumlah dari semua suku dalam Barisan.
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎𝑛
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯
Finite
Infinite
Barisan Aritmatika adalah Barisan yang jarak antar suku berurutan-nya tetap. Jarak disebut
juga beda (common difference)
Contoh : 1,4,9,16, ⋯ 𝑎𝑛 = 𝑛2
, 𝑛 ∈ 𝐴
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
, ⋯ 𝑎𝑛 =
𝑛
𝑛 + 1
, 𝑛 ∈ 𝐴
1,3,5,7, ⋯ 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1, 𝑛 ∈ 𝐴
1,3,7,13,21, ⋯ 𝑎𝑛 = 𝑛2
− 𝑛 + 1, 𝑛 ∈ 𝐴
1,1,2,3,5,8, ⋯ 𝑎1 = 𝑎2 = 1, 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2, 𝑛 > 2, 𝑛 ∈ 𝐴
2,3,5,7,11,13, ⋯ ∴ 𝑇𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛
Barisan Aritmatika
𝑎1 = 𝑎1
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑎3 = 𝑎2 + 𝑏𝑒𝑑𝑎 = 𝑎1 + 𝑏𝑒𝑑𝑎 + 𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑎4 = 𝑎3 + 𝑏𝑒𝑑𝑎 = 𝑎2 + 𝑏𝑒𝑑𝑎 + 𝑏𝑒𝑑𝑎 = 𝑎1 + 𝑏𝑒𝑑𝑎 + 𝑏𝑒𝑑𝑎 + 𝑏𝑒𝑑𝑎
⋮
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑏𝑒𝑑𝑎 + 𝑏𝑒𝑑𝑎 + ⋯ + 𝑏𝑒𝑑𝑎
(𝑛 − 1)
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑎𝑛 = 𝑎𝑝 + (𝑛 − 𝑝)𝑏𝑒𝑑𝑎
Deret Aritmatika/Hitung adalah Jumlah Semua Suku dalam Barisan Aritmatika :
𝑎1 = 𝑎1
𝑎2 = 𝑎1 + 𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑎3 = 𝑎1 + 2. 𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑎4 = 𝑎1 + 3. 𝑏𝑒𝑑𝑎
⋮
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎
= 𝑛 2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑎𝑛−1 = 𝑎1 + (𝑛 − 2)𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑎𝑛−2 = 𝑎1 + (𝑛 − 3)𝑏𝑒𝑑𝑎
𝑎𝑛−3 = 𝑎1 + (𝑛 − 4)𝑏𝑒𝑑𝑎
⋮
𝑎1 = 𝑎1
+
+
+
+
= 2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎
= 2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎
= 2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎
= 2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎
= 2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎
⋮
𝑆𝑛 𝑆𝑛
+
𝑆𝑛 + 𝑆𝑛 = 𝑛 2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎 𝑆𝑛 =
𝑛
2
2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑏𝑒𝑑𝑎
+
𝑆𝑛 =
𝑛
2
𝑎1 + 𝑎𝑛

3. 3
KONSEP PENTING
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
𝑏𝑒𝑑𝑎 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1
𝑏𝑒𝑑𝑎 =
𝑈𝑝 − 𝑈𝑞
𝑝 − 𝑞
𝑎, 𝑏, 𝑐 membentuk barisan aritmatika jika:
2𝑏 = 𝑎 + 𝑐

4. 4
Jika suku ke 9 dari suatu deret aritmatika adalah 0 maka suku ke 29 adalah … dari suku ke
19 :
Multiple Choice
A
1
a) 3 ×
b) 2 ×
c) Τ
1
2 ×
d) Sama Dengan
Jumlah dari 20 suku pertama dari suatu deret aritmatika 𝑎𝑛 = 7 − 3𝑛 :
2
a) 382
b) 420
c) -490
d) -382
Dalam suatu deret aritmatika jumlah dari n suku pertama adalah
3𝑛2
2
+
13𝑛
2
maka suku ke 25
adalah :
a) 80
b) 120
c) 60
d) 78
3
Jumlah semua suku pertama dari suatu deret aritmatika bersuku sepuluh tanpa
menyertakan suku pertama adalah 99 dan tanpa menyertakan suku keenam adalah 89 maka
berapakah suku ke 8 jika jumlah dari suku pertama dan keenam adalah 10 :
a) 15
b) 18
c) 25
d) 10
4
Dalam suatu barisan aritmatika jika suku ke 𝑝 adalah 𝑞 dan suku ke 𝑞 adalah 𝑝 maka suku
ke 𝑛 adalah :
a) 𝑝 + 𝑞 − 𝑛
b) 𝑝 + 𝑞 + 𝑛
c) 𝑝 − 𝑞 + 𝑛
d) 𝑝 − 𝑞 − 𝑛
5
Jika 𝑥 ≠ 𝑦 dan 𝑥, 𝑎1, 𝑎2, 𝑦 dan 𝑥, 𝑏1, 𝑏2, 𝑦 keduanya adalah barisan aritmatika maka nilai
𝑎2−𝑎1
𝑏2−𝑏1
adalah :
a)
2
3
b)
3
2
c)
3
4
d) 1
6
Diantara 4 dan 39 disisipkan empat buah bilangan sehingga membentuk suatu barisan
aritmatika maka bilangan terbesar yang disisipkan adalah :
a) 33
b) 32
c) 31
d) 30
7

5. 5
dari suatu deret aritmatika suku ke 𝑚 adalah
1
𝑛
dan suku ke 𝑛 adalah
1
𝑚
maka jumlah 𝑚𝑛
suku pertama adalah :
8
a) 𝑚𝑛 + 1
b)
𝑚𝑛+1
2
c)
𝑚𝑛−1
2
d)
𝑚𝑛−1
3
Jika terdapat 2𝑛 + 1 suku dalam suatu deret aritmatika, maka perbandingan dari jumlah
semua suku ganjil dengan jumlah semua suku genap adalah :
9
a) 𝑛 ∶ 𝑛 + 1
b) 𝑛 ∶ 𝑛 + 2
c) 𝑛 + 1 ∶ 𝑛
d) 𝑛 + 2 ∶ 𝑛
Suku pertama dan suku terakhir dari suatu deret aritmatika adalah 𝑎 dan 𝑧, jika 𝑆 adalah
jumlah seluruh suku dalam deret tersebut dan beda (common difference) nya adalah
𝑧2−𝑎2
𝑘− 𝑧+𝑎
maka nilai 𝑘 adalah :
10
a) 𝑆
b) 2𝑆
c) 3𝑆
d) 4𝑆
Essay Problem
B
Jika 2𝑘 + 7, 6𝑘 − 2, 8𝑘 − 4 membentuk suatu deret aritmatika maka nilai 𝑘 adalah :
11
Berapakah hasil dari :1 + 2 − 3 + 4 + 5 − 6 + 7 + 8 − 9 ⋯ + 1999 + 2000 − 2001
12
13 Perbandingan dari jumlah suku ke-n dari dua buah deret aritmatika adalah 3𝑛 + 8 ∶ 7𝑛 + 15
maka Perbandingan dari suku ke- 12 adalah :
14
Terdapat lima buah bilangan bulat non-negatif 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 yang membentuk barisan
aritmatika dan jumlahnya adalah 440 maka berapakah nilai terbesar 𝑒 yang mungkin
terjadi :
15
Jika 𝑎 𝑏 + 𝑐 , 𝑏 𝑎 + 𝑐 , 𝑐 𝑎 + 𝑏 adalah barisan aritmatika maka buktikan
1
𝑎
,
1
𝑏
,
1
𝑐
Juga barisan aritmatika :
Jumlah 𝑛 suku pertama dari barisan aritmatika: 3,5
1
2
, 8, ⋯
Sama dengan nilai suku ke 2𝑛 dari barisan aritmatika : 16
1
2
, 28
1
2
, 40
1
2
, ⋯ Maka nilai 𝑛 :
16

6. 6
17 150 Pekerja bekerja menyelesaikan sebuah Proyek Jalan Tol, pada hari kedua 4 orang
diantaranya sakit sehingga mengundurkan diri, pada hari ketiga dan seterusnya tiap 4 orang
mengalami sakit dan mengundurkan diri, sehingga waktu untuk menyelesaikan Proyek jalan
terlambat 8 hari dari waktu yang dijadwalkan, berapa hari Proyek Jalan Tol tersebut selesai?
18
Jika : 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ⋯ , 𝑎𝑛
merupakan barisan aritmatika, maka berapakah jumlah dari deret berikut :
1
𝑎1𝑎2
+
1
𝑎2𝑎3
+
1
𝑎3𝑎4
+ ⋯ +
1
𝑎𝑛−1𝑎𝑛
19
Barisan Bilangan asli dibagi menjadi Grup seperti ini :
1 , 2,3,4 , 5,6,7,8,9 , ⋯ dan seterusnya
Buktikan bahwa Jumlah semua bilangan didalam grup ke 𝑛 adalah 𝑛 + 1 3
+ 𝑛3
20
Sebuah Deret aritmatika bersuku 12 jumlah nya adalah 354, Perbandingan antara Jumlah
Semua suku yang genap dengan yang ganjil adalah 32 ∶ 27 maka berapakah
beda ( common Difference ) dari deret tersebut:
Tulus Budi Prasetyo