O documento descreve os sólidos platônicos, incluindo seu histórico, características e processos de construção. Existem apenas cinco sólidos platônicos: o tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro. Estes sólidos podem ser construídos usando apenas polígonos regulares congruentes em torno de vértices cuja soma dos ângulos internos é menor que 360°.
2. Um pouco da história
Poliedro
Tetraedro
Hexaedro ou Cubo
Octaedro
Icosaedro
Dodecaedro
3. Os sólidos platónicos são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares
congruentes. A sua designação deve-se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C.. A existência
destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitectura
e noutros objectos que construíram.
Existem apenas cinco sólidos platónicos.
Estes sólidos foram adquirindo ao longo dos tempos diversos significados místicos. Por
exemplo, Kepler sentia uma grande admiração e reverência por eles (Porquê apenas cinco?) e chegou
mesmo a tentar explicar os movimentos planetários a partir deles. Além
disso, interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de Platão da seguinte forma:
Uma demonstração de que são apenas cinco os sólidos platónicos pode ser obtida através do processo
da sua construção, como Platão fez num seu texto incluído no diálogo Timeu.
Para a construção dos sólidos platónicos, por definição, apenas podemos utilizar polígonos regulares
congruentes. Comecemos por considerar o triângulo equilátero, que é o polígono regular com menos
lados. Quantos poliedros, cujas faces são apenas este polígono, conseguimos construir? Para responder
a esta pergunta, centremos a nossa atenção nos vértices dos possíveis poliedros (basta considerar
apenas um, pois os restantes são idênticos).
Com dois triângulos equiláteros, não se consegue constituir um vértice de um poliedro, pois um ângulo
sólido tem que ser constituído pelo menos por três planos. Com três triângulos equiláteros é possível
constituir um vértice de um poliedro, que é concretamente o tetraedro. Esta possibilidade prende-se
com facto de a soma das amplitudes dos ângulos internos dos diversos triângulos adjacentes, no
vértice, ser inferior a 360º, exactamente 180º.
Se considerarmos quatro triângulos equiláteros, cuja soma das amplitudes dos ângulos internos
adjacentes no vértice é de 240º, obtemos o octaedro. Considerando cinco desses triângulos num
vértice, essa soma é de 300º, ainda inferior a 360º, e obtemos o icosaedro. Passando para seis
triângulos equiláteros, chegamos a uma impossibilidade. A soma das amplitudes dos ângulos internos
adjacentes no vértice é, neste caso, 360º, o que não permite "fechar" o vértice, isto é, formar um
ângulo sólido, pois os triângulos ficam todos sobre o mesmo plano (formando uma pavimentação do plano
em torno do suposto vértice). A consideração de um número maior de triângulos equiláteros em torno
de um vértice, obviamente já não possibilita a construção de um poliedro.
4. •Enumeremos então os sólidos que acabámos de
construir: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo e
dodecaedro. São precisamente cinco, como se
queria demonstrar.
•Outra forma demonstrar a existência de apenas
cinco sólidos platónicos é através da fórmula de
Euler, considerando as restrições relativas aos
vértices, arestas e faces inerentes aos sólidos
platónicos.
5. O pressuposto de construção que tem estado a ser utilizado é o de que a
formação de um ângulo sólido no vértice de um poliedro só é possível se a
soma das amplitudes dos ângulos internos dos polígonos adjacentes no
vértice for inferior a 360º.
Considerando o quadrado, e o pressuposto atrás enunciado, chegamos à
conclusão de que apenas conseguimos construir o cubo. Com pentágonos,
apenas conseguimos construir o dodecaedro.
Com hexágonos não se consegue construir nenhum sólido platónico. Basta
verificar que três hexágonos adjacente em torno de um ponto
(supostamente um vértice) pavimentam o plano, pois a soma das amplitudes
dos ângulos internos desses hexágonos é precisamente 360º, o que não
permite formar um ângulo sólido. Um número maior de hexágonos,
obviamente, que também não permite a construção de um sólido platónico.
Analogamente, com polígonos com um número maior de lados isso também
não é possível.
6. Poli = muitos; hedros = faces, são sólidos
delimitados por regiões planas (polígonos)
que constituem as denominadas faces. Os
segmentos de recta que limitam as faces
designam-se por arestas e os pontos de
encontro destas por vértices.
7.
8. É um poliedro regular com 4 faces sendo
estas triângulos equiláteros, 4 vértices e 6
arestas. O Tetraedro pode formar-se a
partir de um molde com quatro triângulos.
9. É um poliedro regular com 6 faces sendo
estas quadrados, 8 vértices e 2 arestas. O
cubo pode ser formado a partir de um
molde com seis quadrados.
10. É um poliedro regular com 8 faces sendo
estas triângulos equiláteros, 6 vértices e
12 arestas. O octaedro pode ser formado
a partir de um molde com oito triângulos
equiláteros.
11. É um poliedro regular com 20 faces que
são triângulos equiláteros, 12 vértices e
30 arestas. O icosaedro pode ser formado
a partir de um molde de vinte triângulos
equiláteros.
12. É um poliedro regular com 12 faces que
são pentágonos, 20 vértices e 30 arestas.
O dodecaedro pode formar-se a partir de
um molde com vinte pentágonos.
