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www.TutoresNaWebCom.Br - Matemática -  Polinômios
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• Produtos Notáveis
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• Noções de Função
Vamos aprender
                 definição


                 grau


                                 adição

                                 subtração

                 operações        multiplicação

     Polinômio                               métodos
          s                    divisão

                                             Teoremas




                  Equações
                 polinomiais
Polinômio
  Definição:
  Chamamos de polinômio na variável x,
toda expressão na forma:
                   n −1                n−2
  an x + an −1 x
      n
                          + an − 2 x         + ... + a2 x + a1 x + a0
                                                        2


 Onde:
an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexos
 denominados coeficientes
n é um número inteiro não negativo
x é uma variável complexa
definição   an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0




Polinômio
     s
Polinômio
 Grau do polinômio:
 O grau do polinômio é determinado pelo
maior expoente da variável.

Exemplos:
 4x2 – 3  2º grau

 8x5 + 6x3+ 2x  5º grau
definição     an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
            grau        Maior expoente da variável




Polinômio
     s
Tente fazer
              sozinho
 1) (Mack-SP) Determine m real para que o
polinômio:
     p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4
seja de grau 2.
Tente fazer
              sozinho
 1) (Mack-SP) Determine m real para que o
polinômio:
     p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4
seja de grau 2.
Solução
p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4

    m−4 = 0        m − 16 ≠ 0
                    2


    m=4            m ≠ ±4

Resposta: m não existe.
Tente fazer
              sozinho
2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c
para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam
idênticos:
 p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d)
 p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
Tente fazer
              sozinho
2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c
para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam
idênticos:
 p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d)
 p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
Solução
p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14

a ( x + c ) + b( x + d ) = x + 6 x + 15 x + 14
           3                   3       2


a ( x + 3x c + 3xc + c ) + bx + bd = x + 6 x + 15 x + 14
       3       2       2   3                 3       2


ax + 3acx + 3ac x + ac + bx + bd = x + 6 x + 15 x + 14
   3               2   2           3             3       2


ax 3 + 3acx 2 + ( 3ac 2 + b ) x + ac 3 + bd = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 14
Solução
 p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14

               (           )
ax 3 + 3acx 2 + 3ac 2 + b x + ac 3 + bd = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 14

  ax = x
     3     3
                   3acx = 6 x
                       2        2
                                     (3ac   2
                                                   )
                                                + b x = 15 x
  a =1             3.1.c = 6         3.1.2 2 + b = 15
                   c=2               12 + b = 15
                                     b=3
Operações com
           Polinômios
 A) Adição:
  Sendo p(x) = 3x2+2x-1 e q(x) = -x3+7x2-6,
logo p(x) + q(x) = -x3+10x2+2x-7.

 B) Subtração:
  Sendo p(x) = 3x2-4x+1 e q(x) = 5x2-3x+4,
logo p(x) - q(x) = -2x2-x-3.
Operações com
           Polinômios
 C) Multiplicação :
 Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3-4x2+5x-3, logo
p(x).q(x) = 7(2x3-4x2+5x-3)=14x3-28x2+35x-21.

 Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logo
p(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2+15x+8x-20 =
           = -6x2+23x-20.
definição     an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
            grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
            operações


Polinômio
     s
Tente fazer
               sozinho
 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus
7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças
seguintes, corrigindo o que for falso:
a)O grau de f(x) . g(x) é 35
b) O grau de f(x) + g(x) é 7
c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
Tente fazer
               sozinho
 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus
7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças
seguintes, corrigindo o que for falso:
a)O grau de f(x) . g(x) é 35
b) O grau de f(x) + g(x) é 7
c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
Solução
 f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5

 a)f(x) . g(x)  grau 35 (falso)
     x7 . x5 = x12  grau 12
 b) f(x) + g(x)  grau 7 (verdadeiro)
 c) (x2-1) . g(x) + f(x)  grau 7 (falso)

grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente da
soma dos termos de grau 7 pode ser zero
Divisão de
                 Polinômios
 C.1) Método da chave
 No método da chave temos que armar a conta,
como se fosse uma divisão de números naturais:
              dividendo   divisor



                resto     quociente




e seguir os passos conforme os exemplos.
Divisão de
               Polinômios
Exemplo 1: Calcule (x2 + 2x – 15) : (x + 5)
1º passo: ordenar e completar o dividendo,
  se necessário.
Nesse caso não será necessário


2º passo: armar a conta. x2 + 2x - 15 x + 5
Divisão de
                 Polinômios
  3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo
1º termo do divisor.

             x2 + 2x - 15 x + 5
                          x
Divisão de
                  Polinômios
  4º passo: multiplicar o resultado por cada
termo do divisor, colocando a resposta
  embaixo
do dividendo, com o sinal contrário.
                            P a ra f a c i
     x2 + 2x - 15 x + 5                   litar o pró
                          passo, pr                     ximo
                                        o c u re c o l
    -x2 - 5x      x        termos se                  ocar os
                                           melhante
                                m e sm a d             s na
                                               ireção.
Divisão de
                Polinômios
 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha,
obtendo um novo dividendo.

            x2 + 2x - 15 x + 5
           -x2 - 5x      x
               - 3x - 15
Divisão de
                 Polinômios
  6º passo: verificar se o grau do 1º termo do
novo dividendo é menor que o grau do 1º termo
do divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo.
              x2 + 2x - 15 x + 5
             -x2 - 5x      x
                 - 3x - 15
Divisão de
                Polinômios

 x2 + 2x - 15 x + 5        x2 + 2x - 15 x + 5
-x2 - 5x      x           -x2 - 5x      x -3
    - 3x - 15                 - 3x - 15
                                3x + 15
                                   0

    Logo, quociente é x – 3 e resto é 0.
Divisão de
                  Polinômios
  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de

x4 + 1 por x3 +1.
1º passo:
            x4 + 1 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1

2º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
Divisão de
                Polinômios
  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de

x4 + 1 por x3 +1.
3º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
      x4 +
                             x
Divisão de
                Polinômios
  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de

x4 + 1 por x3 +1.
4º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
      x4 +
      -x4           - x      x
Divisão de
                Polinômios
  Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de

x4 + 1 por x3 +1.
5º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
      x4 +
      -x4           - x   x
                    - x+1
Divisão de
                  Polinômios
   Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4 + 1 por x3 +1.
                                  6º passo: co
5º passo:                                       mo o 1 º
                                     termo do n
                                                 ovo
                                 dividendo
 x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 o gr         apresenta
                                      au menor q
-x 4
                - x      x       grau do 1º        ue o
                                             termo do
                - x+1           divisor, não
                                              podemos
                                 continuar a
                                              divisão.

Logo, o quociente é x e o resto é - x +1
definição      an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
            grau        Maior expoente da variável
                                   adição

                                   subtração

                                    multiplicação
            operações
                                                                      Método da
                                                                                           Divisão comum
                                                                       Chave
Polinômio                                         métodos
     s
                                divisão
Divisão de divisão de
Note que para toda
Polinômios a sentença:
 polinômios, vale
  D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
          Exemplo:
  x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1
Tente fazer
             sozinho
4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
     4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é:
 a) 1
 b) 2
 c) 4
 d) 6
 e) 8
Tente fazer
             sozinho
4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
     4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é:
 a) 1
 b) 2
 c) 4
 d) 6
 e) 8
Solução

 4x3 + 12x2 + x – 4    2x + 3
-4x3 – 6x2             2x2 + 3x – 4
       6x2 + x – 4
      – 6x2 – 9x
            – 8x – 4
            + 8x+12
                   8         Letra E
Tente fazer
               sozinho
5) Determine o polinômio p(x) que dividido
pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente
 q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
Tente fazer
               sozinho
5) Determine o polinômio p(x) que dividido
pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente
 q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
Solução
D(x)= d(x).q(x) + r(x)
P(x)= f(x) . q(x) + r(x)
P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3
P(x) = x2 – 2x + 5x – 10 + 3
P(x) = x2 + 3x – 7
Divisão de
                Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
  Vamos usar o próximo exemplo para
  mostrar
os passos a serem seguidos:
  Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de
(x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
 1º passo: Calcular=a0raiz x = 3
              x−3      ⇒ do divisor.
Divisão de
                  Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
  2º passo: Dispor a raiz do divisor e os
coeficientes do dividendo da seguinte forma

              3   1 -4 5 -2
Divisão de
                  Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
  2º passo: Dispor a raiz do divisor e os
coeficientes do dividendo da seguinte forma
 raiz do                              coeficientes
              3   1 -4 5 -2
 divisor                             do dividendo
Divisão de
                   Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).

3º passo: abaixar o 1º coeficiente do
  dividendo
               3   1 -4 5 -2
                   1
Divisão de
                    Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
  4º passo: multiplicar o número abaixado pela
raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte. (3 . 1 - 4 = -1)
            3   1 -4 5 -2
                1   -1
Divisão de
                      Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).

  4º passo: multiplicar o número abaixado pela
raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte. +
                                 Colocar o resultado
              3   1 -4 5 -2         embaixo do
                  1   -1         coeficiente somado
          x
Divisão de
                  Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini

Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).

  5º passo: repetir as operações (multiplicar
pela raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte)
Divisão de
                   Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
  5º passo:
        +                                  +
   3    1 -4 5 -2               3       1 -4 5 -2
        1   -1 2                        1 -1 2 4
    x                               x
Divisão de
                  Polinômios
  C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3).
 6º passo: identificar o resto e os coeficientes
do quociente.
                    3    1 -4 5 -2
 O quociente é:
    x2 – x + 2           1 -1 2 4          Resto = 4
Divisão de
                Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini

Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).

1º passo: x + i = 0 ⇒ x = −i

2º passo:                 3º passo:
   -i   2 0 -5 1               -i   2 0 -5 1
                                    2
Divisão de
                  Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini

Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i).

4º e 5º passos:            6º passo:
-i   2 0 -5 1           O quociente é: 2x2 – 2ix – 7
     2 -2i -7 1+7i           O resto é: 1 + 7i
definição      an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
            grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
            operações
                                                                      Método da
                                                                                           Divisão comum
                                                                       Chave
Polinômio                                         métodos
     s                                                                  Dispositivo
                                                                                               Seguir os 6 passos
                                divisão                                      de
                                                                        Briot-Ruffini
Tente fazer
               sozinho
6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b
  são constantes reais) é divisível por x – 5.
  Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos
  resto 35.
a)Determine os valores de a e b.
b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
Tente fazer
               sozinho
6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b
  são constantes reais) é divisível por x – 5.
  Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos
  resto 35.
a) Determine os valores de a e b.
b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
Solução
5      -1    a      5              b
       -1   a – 5 5a – 20    25a – 100 + b
                                  0
-2     -1    a       5           b
       -1   a + 2 - 2a + 1   4a – 2 + b
                                  35
    25a – 100 + b = 0          a=3
     4a – 2 + b = 35           b = 25
Teorema do Resto


 “ Seja p(x) um polinômio
 tal que p ≥ 1. O resto da
divisão de p(x) por x – a é
   igual a p(a), ou seja,
         r = p(a).”
Teorema do Resto
Exemplo: Para calcular o resto da divisão de
p(x) = 3x2 – 17x + 15 por x – 2, basta aplicar
o Teorema do Resto.
A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2
Pelo Teorema do Resto temos que:
r(x) = p(2)
r(x) = 3.22 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.
definição     an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
            grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
            operações
                                                                      Método da
                                                                                              Divisão comum
                                                                       Chave
Polinômio                                        métodos
     s                                                                 Dispositivo
                                                                                               Seguir os 6 passos
                                divisão                                     de
                                                                       Briot-Ruffini
                                                                       Teorema             r(x)=p(a) , sendo
                                                                       do resto          (x-a) divisor de p(x)
                                                  Teoremas
Tente fazer
              sozinho
7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)
por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5
como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto.
  Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)
por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:
a) 10    b) 12     c) 15     d) 25     e) 70
Tente fazer
              sozinho
7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)
por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5
como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto.
  Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)
por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:
a) 10    b) 12     c) 15     d) 25     e) 70
Solução
P(x)= k(x) . q(x) + r(x)
P(x) = k(x) . (x3 + 3x2 + 5) + (x2 + x + 7)
P(0) = k(0) . (03 + 3.02 + 5) + (02 + 0 + 7)
P(0) = k(0) . 5 + 7
Pelo Teorema do resto, temos que k(0) =
 2
Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C
Teorema de
D’Alembert
 “ Seja a (complexo) é raiz de
um polinômio f(x), então f(x) é
     divisível por x – a e,
   reciprocamente, se f(x) é
 divisível por x – a, então a é
          raiz de f(x).”
definição     an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
            grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
            operações
                                                                      Método da
                                                                                              Divisão comum
                                                                       Chave
Polinômio                                        métodos
     s                                                                 Dispositivo
                                                                                               Seguir os 6 passos
                                divisão                                     de
                                                                       Briot-Ruffini
                                                                       Teorema             r(x)=p(a) , sendo
                                                                       do resto          (x-a) divisor de p(x)
                                                  Teoremas
                                                                       Teorema de               a é raiz de f(x) f(x)
                                                                       D’Alembert               é divisível por (x-a)
Equações
                 Polinomiais
  Equação polinomial é aquela que pode ser
escrita na forma:
                        n −1
       an x + an −1 x
           n
                               + ... + a1 x + a0 = 0
 Exemplos:
 x3 + 1 = 0
 3x2 – 2ix + 1 = 0
 x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0
definição      an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
            grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                   subtração

                                    multiplicação
            operações
                                                                      Método da
                                                                                           Divisão comum
                                                                       Chave
Polinômio                                         métodos
     s                                                                  Dispositivo
                                                                                               Seguir os 6 passos
                                divisão                                      de
                                                                        Briot-Ruffini
                                                                        Teorema            r(x)=p(a) , sendo
                                                                        do resto         (x-a) divisor de p(x)
                                                   Teoremas
                                                                        Teorema de             a é raiz de f(x) f(x)
                                                                        D’Alembert             é divisível por (x-a)

                                    Definição           an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0
             Equações
            polinomiais
Equações
               Polinomiais
 Raiz da equação é o valor que da variável,
que satisfaz a igualdade.

 Exemplos:
    a) 2x + 12 = 0        b) x2 – 9 = 0
         2 x = - 12          x2 = 9
           x=-6               x=±3
definição     an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
            grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
            operações
                                                                      Método da
                                                                                              Divisão comum
                                                                       Chave
Polinômio                                        métodos
     s                                                                 Dispositivo
                                                                                               Seguir os 6 passos
                                divisão                                     de
                                                                       Briot-Ruffini
                                                                       Teorema             r(x)=p(a) , sendo
                                                                       do resto          (x-a) divisor de p(x)
                                                  Teoremas
                                                                       Teorema de               a é raiz de f(x) f(x)
                                                                       D’Alembert               é divisível por (x-a)

                                   Definição           an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0
             Equações                                            Valor da variável que
            polinomiais                        definição         satisfaz a igualdade

                                 raiz
Equações
                 Polinomiais
c)x − 2x + 2x = 0
     3   2
                          d)x + 2x + x + 2 = 0
                              3       2


 (           )
x x − 2x + 2 = 0
     2
                        x ( x + 2) + 1( x + 2) = 0
                           2


                                  (       )
x = 0 ou x − 2x + 2 = 0 ( x + 2) x 2 + 1 = 0
          2

            x1 = 1 + i;
                        x + 2 = 0 ou x + 1 = 0
                                          2

            x2 = 1 − i       x = -2       x = ±1
Equações
                       Polinomiais
 Podemos decompor um polinômio em fatores
do 1º grau, de acordo com suas raízes, através
da fórmula:
   p ( x) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn )
 Onde:
 an é o coeficiente de xn .
 xi são as raízes de p(x).
Equações
                        Polinomiais
  Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio
2x3 – 4x2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2,
podemos decompor esse polinômio em fatores
do 1º grau, usando a fórmula:
          p( x) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn )
       Sendo assim, temos:
               2(x + 1) (x – 1) (x – 2)
Tente fazer
          sozinho
8) Resolva a equação abaixo, sabendo
que duas de suas raízes são – 1 e 1.
         x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
Tente fazer
          sozinho
8) Resolva a equação abaixo, sabendo
que duas de suas raízes são – 1 e 1.
         x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
Solução
  Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, então
p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0.
 Logo,
  -1   1   -2   1    2   -2
   1   1   -3   4   -2    0
       1   -2   2    0        q(x) = x2 – 2x + 2

 Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i ,
então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.
Multiplicidade
                 da Raiz
 Entende-se por multiplicidade da raiz o
número de vezes que uma mesma raiz
 aparece.

 Exemplo:
  Na resolução da equação x2 – 12x + 36 = 0 ,
encontramos duas raízes iguais a 6. Nesse
  caso,
dizemos que x = 6 é uma raiz de
definição     an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
            grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
            operações
                                                                      Método da
                                                                                              Divisão comum
                                                                       Chave
Polinômio                                        métodos
     s                                                                 Dispositivo
                                                                                               Seguir os 6 passos
                                divisão                                     de
                                                                       Briot-Ruffini
                                                                       Teorema             r(x)=p(a) , sendo
                                                                       do resto          (x-a) divisor de p(x)
                                                  Teoremas
                                                                       Teorema de               a é raiz de f(x) f(x)
                                                                       D’Alembert               é divisível por (x-a)

                                   Definição           an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0
             Equações                                            Valor da variável que
            polinomiais                        definição         satisfaz a igualdade

                                 raiz                                                           Nº de vezes que
                                                                            definição            a raiz aparece
                                                multiplicidade
Multiplicidade
                 da Raiz
  Para identificar qual é a multiplicidade de
uma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz,
até encontrar um resto diferente de zero.

 Exemplo:
    Qual é a multiplicidade da raiz 2 do
 polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
Multiplicidade
                  da Raiz
 Exemplo:
    Qual é a multiplicidade da raiz 2 do
 polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
       2   1   -5    6   4   -8
       2   1   -3    0   4    0
                                  Logo, a raiz
       2   1   -1   -2   0                      2
                                  tem
não    2   1    1   0             multiplicid
                                              ade 3.
           1    3
definição     an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
            grau        Maior expoente da variável
                                  adição

                                  subtração

                                   multiplicação
            operações
                                                                      Método da
                                                                                              Divisão comum
                                                                       Chave
Polinômio                                        métodos
     s                                                                 Dispositivo
                                                                                               Seguir os 6 passos
                                divisão                                     de
                                                                       Briot-Ruffini
                                                                       Teorema             r(x)=p(a) , sendo
                                                                       do resto          (x-a) divisor de p(x)
                                                  Teoremas
                                                                       Teorema de               a é raiz de f(x) f(x)
                                                                       D’Alembert               é divisível por (x-a)

                                   Definição           an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0
             Equações                                            Valor da variável que
            polinomiais                        definição         satisfaz a igualdade

                                 raiz                                                           Nº de vezes que
                                                                            definição            a raiz aparece
                                                multiplicidade
                                                                                                    Divisões
                                                                            identificação
                                                                                                   sucessivas
Tente fazer
           sozinho
9) Determine uma equação algébrica
do 4º grau que tenha -1 como raiz de
multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
Tente fazer
           sozinho
9) Determine uma equação algébrica
do 4º grau que tenha -1 como raiz de
multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
Solução
Como o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é a
outra raiz, podemos escrever o polinômio
assim:
p(x) = (x + 1)3 (x – 2) = 0
p(x) = (x3 +3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0
p(x) = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0
Bibliografia
• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson;
  Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo,
  Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 –
  Páginas: 551 a 585
• Matemática Contexto e Aplicações: Dante,
  Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição –
  2008 - Páginas: 134 a 164
• Figuras: google imagens
Note que para toda divisão de
polinômios, vale a sentença:
   D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
          Exemplo:
  x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1

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  • 3. Conhecimento Anterior • Produtos Notáveis • Fatoração • Conjuntos Numéricos • Números Complexos • Noções de Função
  • 4. Vamos aprender definição grau adição subtração operações multiplicação Polinômio métodos s divisão Teoremas Equações polinomiais
  • 5. Polinômio Definição: Chamamos de polinômio na variável x, toda expressão na forma: n −1 n−2 an x + an −1 x n + an − 2 x + ... + a2 x + a1 x + a0 2 Onde: an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexos denominados coeficientes n é um número inteiro não negativo x é uma variável complexa
  • 6. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 Polinômio s
  • 7. Polinômio Grau do polinômio: O grau do polinômio é determinado pelo maior expoente da variável. Exemplos:  4x2 – 3  2º grau  8x5 + 6x3+ 2x  5º grau
  • 8. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável Polinômio s
  • 9. Tente fazer sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que o polinômio: p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4 seja de grau 2.
  • 10. Tente fazer sozinho 1) (Mack-SP) Determine m real para que o polinômio: p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4 seja de grau 2.
  • 11. Solução p(x) = (m-4)x3 + (m2-16)x2 + (m+4)x + 4 m−4 = 0 m − 16 ≠ 0 2 m=4 m ≠ ±4 Resposta: m não existe.
  • 12. Tente fazer sozinho 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam idênticos: p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
  • 13. Tente fazer sozinho 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam idênticos: p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14
  • 14. Solução p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14 a ( x + c ) + b( x + d ) = x + 6 x + 15 x + 14 3 3 2 a ( x + 3x c + 3xc + c ) + bx + bd = x + 6 x + 15 x + 14 3 2 2 3 3 2 ax + 3acx + 3ac x + ac + bx + bd = x + 6 x + 15 x + 14 3 2 2 3 3 2 ax 3 + 3acx 2 + ( 3ac 2 + b ) x + ac 3 + bd = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 14
  • 15. Solução p1(x) = a(x+c)3 + b(x+d) e p2(x) = x3 + 6x2 +15x +14 ( ) ax 3 + 3acx 2 + 3ac 2 + b x + ac 3 + bd = x 3 + 6 x 2 + 15 x + 14 ax = x 3 3 3acx = 6 x 2 2 (3ac 2 ) + b x = 15 x a =1 3.1.c = 6 3.1.2 2 + b = 15 c=2 12 + b = 15 b=3
  • 16. Operações com Polinômios A) Adição: Sendo p(x) = 3x2+2x-1 e q(x) = -x3+7x2-6, logo p(x) + q(x) = -x3+10x2+2x-7. B) Subtração: Sendo p(x) = 3x2-4x+1 e q(x) = 5x2-3x+4, logo p(x) - q(x) = -2x2-x-3.
  • 17. Operações com Polinômios C) Multiplicação :  Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3-4x2+5x-3, logo p(x).q(x) = 7(2x3-4x2+5x-3)=14x3-28x2+35x-21.  Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logo p(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2+15x+8x-20 = = -6x2+23x-20.
  • 18. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Polinômio s
  • 19. Tente fazer sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus 7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças seguintes, corrigindo o que for falso: a)O grau de f(x) . g(x) é 35 b) O grau de f(x) + g(x) é 7 c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
  • 20. Tente fazer sozinho 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus 7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças seguintes, corrigindo o que for falso: a)O grau de f(x) . g(x) é 35 b) O grau de f(x) + g(x) é 7 c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
  • 21. Solução f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5 a)f(x) . g(x)  grau 35 (falso) x7 . x5 = x12  grau 12 b) f(x) + g(x)  grau 7 (verdadeiro) c) (x2-1) . g(x) + f(x)  grau 7 (falso) grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente da soma dos termos de grau 7 pode ser zero
  • 22. Divisão de Polinômios C.1) Método da chave No método da chave temos que armar a conta, como se fosse uma divisão de números naturais: dividendo divisor resto quociente e seguir os passos conforme os exemplos.
  • 23. Divisão de Polinômios Exemplo 1: Calcule (x2 + 2x – 15) : (x + 5) 1º passo: ordenar e completar o dividendo, se necessário. Nesse caso não será necessário 2º passo: armar a conta. x2 + 2x - 15 x + 5
  • 24. Divisão de Polinômios 3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo 1º termo do divisor. x2 + 2x - 15 x + 5 x
  • 25. Divisão de Polinômios 4º passo: multiplicar o resultado por cada termo do divisor, colocando a resposta embaixo do dividendo, com o sinal contrário. P a ra f a c i x2 + 2x - 15 x + 5 litar o pró passo, pr ximo o c u re c o l -x2 - 5x x termos se ocar os melhante m e sm a d s na ireção.
  • 26. Divisão de Polinômios 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha, obtendo um novo dividendo. x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x - 3x - 15
  • 27. Divisão de Polinômios 6º passo: verificar se o grau do 1º termo do novo dividendo é menor que o grau do 1º termo do divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo. x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x - 3x - 15
  • 28. Divisão de Polinômios x2 + 2x - 15 x + 5 x2 + 2x - 15 x + 5 -x2 - 5x x -x2 - 5x x -3 - 3x - 15 - 3x - 15 3x + 15 0 Logo, quociente é x – 3 e resto é 0.
  • 29. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 1º passo: x4 + 1 = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 2º passo: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1
  • 30. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 3º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x4 + x
  • 31. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 4º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x4 + -x4 - x x
  • 32. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 5º passo: 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 x4 + -x4 - x x - x+1
  • 33. Divisão de Polinômios Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de x4 + 1 por x3 +1. 6º passo: co 5º passo: mo o 1 º termo do n ovo dividendo x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 1 o gr apresenta au menor q -x 4 - x x grau do 1º ue o termo do - x+1 divisor, não podemos continuar a divisão. Logo, o quociente é x e o resto é - x +1
  • 34. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômio métodos s divisão
  • 35. Divisão de divisão de Note que para toda Polinômios a sentença: polinômios, vale D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1
  • 36. Tente fazer sozinho 4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
  • 37. Tente fazer sozinho 4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x3 + 12x2 + x – 4 por 2x + 3 é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
  • 38. Solução 4x3 + 12x2 + x – 4 2x + 3 -4x3 – 6x2 2x2 + 3x – 4 6x2 + x – 4 – 6x2 – 9x – 8x – 4 + 8x+12 8 Letra E
  • 39. Tente fazer sozinho 5) Determine o polinômio p(x) que dividido pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  • 40. Tente fazer sozinho 5) Determine o polinômio p(x) que dividido pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  • 41. Solução D(x)= d(x).q(x) + r(x) P(x)= f(x) . q(x) + r(x) P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3 P(x) = x2 – 2x + 5x – 10 + 3 P(x) = x2 + 3x – 7
  • 42. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Vamos usar o próximo exemplo para mostrar os passos a serem seguidos: Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 1º passo: Calcular=a0raiz x = 3 x−3 ⇒ do divisor.
  • 43. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 2º passo: Dispor a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo da seguinte forma 3 1 -4 5 -2
  • 44. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 2º passo: Dispor a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo da seguinte forma raiz do coeficientes 3 1 -4 5 -2 divisor do dividendo
  • 45. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 3º passo: abaixar o 1º coeficiente do dividendo 3 1 -4 5 -2 1
  • 46. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 4º passo: multiplicar o número abaixado pela raiz do divisor e somar com o coeficiente seguinte. (3 . 1 - 4 = -1) 3 1 -4 5 -2 1 -1
  • 47. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 4º passo: multiplicar o número abaixado pela raiz do divisor e somar com o coeficiente seguinte. + Colocar o resultado 3 1 -4 5 -2 embaixo do 1 -1 coeficiente somado x
  • 48. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 5º passo: repetir as operações (multiplicar pela raiz do divisor e somar com o coeficiente seguinte)
  • 49. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 5º passo: + + 3 1 -4 5 -2 3 1 -4 5 -2 1 -1 2 1 -1 2 4 x x
  • 50. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 1: (x3 – 4x2 + 5x -2) : (x - 3). 6º passo: identificar o resto e os coeficientes do quociente. 3 1 -4 5 -2 O quociente é: x2 – x + 2 1 -1 2 4 Resto = 4
  • 51. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i). 1º passo: x + i = 0 ⇒ x = −i 2º passo: 3º passo: -i 2 0 -5 1 -i 2 0 -5 1 2
  • 52. Divisão de Polinômios C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini Exemplo 2: (2x3 – 5x + 1) : (x + i). 4º e 5º passos: 6º passo: -i 2 0 -5 1 O quociente é: 2x2 – 2ix – 7 2 -2i -7 1+7i O resto é: 1 + 7i
  • 53. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini
  • 54. Tente fazer sozinho 6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35. a)Determine os valores de a e b. b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  • 55. Tente fazer sozinho 6) O polinômio p(x) = -x3 + ax2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35. a) Determine os valores de a e b. b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  • 56. Solução 5 -1 a 5 b -1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b 0 -2 -1 a 5 b -1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b 35 25a – 100 + b = 0 a=3 4a – 2 + b = 35 b = 25
  • 57. Teorema do Resto “ Seja p(x) um polinômio tal que p ≥ 1. O resto da divisão de p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a).”
  • 58. Teorema do Resto Exemplo: Para calcular o resto da divisão de p(x) = 3x2 – 17x + 15 por x – 2, basta aplicar o Teorema do Resto. A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2 Pelo Teorema do Resto temos que: r(x) = p(2) r(x) = 3.22 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.
  • 59. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas
  • 60. Tente fazer sozinho 7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  • 61. Tente fazer sozinho 7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio k(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) = x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  • 62. Solução P(x)= k(x) . q(x) + r(x) P(x) = k(x) . (x3 + 3x2 + 5) + (x2 + x + 7) P(0) = k(0) . (03 + 3.02 + 5) + (02 + 0 + 7) P(0) = k(0) . 5 + 7 Pelo Teorema do resto, temos que k(0) = 2 Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C
  • 63. Teorema de D’Alembert “ Seja a (complexo) é raiz de um polinômio f(x), então f(x) é divisível por x – a e, reciprocamente, se f(x) é divisível por x – a, então a é raiz de f(x).”
  • 64. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a)
  • 65. Equações Polinomiais Equação polinomial é aquela que pode ser escrita na forma: n −1 an x + an −1 x n + ... + a1 x + a0 = 0 Exemplos:  x3 + 1 = 0  3x2 – 2ix + 1 = 0  x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0
  • 66. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 Equações polinomiais
  • 67. Equações Polinomiais Raiz da equação é o valor que da variável, que satisfaz a igualdade. Exemplos: a) 2x + 12 = 0 b) x2 – 9 = 0 2 x = - 12 x2 = 9 x=-6 x=±3
  • 68. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz
  • 69. Equações Polinomiais c)x − 2x + 2x = 0 3 2 d)x + 2x + x + 2 = 0 3 2 ( ) x x − 2x + 2 = 0 2 x ( x + 2) + 1( x + 2) = 0 2 ( ) x = 0 ou x − 2x + 2 = 0 ( x + 2) x 2 + 1 = 0 2 x1 = 1 + i; x + 2 = 0 ou x + 1 = 0 2 x2 = 1 − i x = -2 x = ±1
  • 70. Equações Polinomiais Podemos decompor um polinômio em fatores do 1º grau, de acordo com suas raízes, através da fórmula: p ( x) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn ) Onde: an é o coeficiente de xn . xi são as raízes de p(x).
  • 71. Equações Polinomiais Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio 2x3 – 4x2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2, podemos decompor esse polinômio em fatores do 1º grau, usando a fórmula: p( x) = an ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn ) Sendo assim, temos: 2(x + 1) (x – 1) (x – 2)
  • 72. Tente fazer sozinho 8) Resolva a equação abaixo, sabendo que duas de suas raízes são – 1 e 1. x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
  • 73. Tente fazer sozinho 8) Resolva a equação abaixo, sabendo que duas de suas raízes são – 1 e 1. x4 – 2x3 + x2 – 2 = 0
  • 74. Solução Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, então p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0. Logo, -1 1 -2 1 2 -2 1 1 -3 4 -2 0 1 -2 2 0 q(x) = x2 – 2x + 2 Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i , então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.
  • 75. Multiplicidade da Raiz Entende-se por multiplicidade da raiz o número de vezes que uma mesma raiz aparece. Exemplo: Na resolução da equação x2 – 12x + 36 = 0 , encontramos duas raízes iguais a 6. Nesse caso, dizemos que x = 6 é uma raiz de
  • 76. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz Nº de vezes que definição a raiz aparece multiplicidade
  • 77. Multiplicidade da Raiz Para identificar qual é a multiplicidade de uma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz, até encontrar um resto diferente de zero. Exemplo: Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?
  • 78. Multiplicidade da Raiz Exemplo: Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8? 2 1 -5 6 4 -8 2 1 -3 0 4 0 Logo, a raiz 2 1 -1 -2 0 2 tem não 2 1 1 0 multiplicid ade 3. 1 3
  • 79. definição an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 grau Maior expoente da variável adição subtração multiplicação operações Método da Divisão comum Chave Polinômio métodos s Dispositivo Seguir os 6 passos divisão de Briot-Ruffini Teorema r(x)=p(a) , sendo do resto (x-a) divisor de p(x) Teoremas Teorema de a é raiz de f(x) f(x) D’Alembert é divisível por (x-a) Definição an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 Equações Valor da variável que polinomiais definição satisfaz a igualdade raiz Nº de vezes que definição a raiz aparece multiplicidade Divisões identificação sucessivas
  • 80. Tente fazer sozinho 9) Determine uma equação algébrica do 4º grau que tenha -1 como raiz de multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  • 81. Tente fazer sozinho 9) Determine uma equação algébrica do 4º grau que tenha -1 como raiz de multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  • 82. Solução Como o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é a outra raiz, podemos escrever o polinômio assim: p(x) = (x + 1)3 (x – 2) = 0 p(x) = (x3 +3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0 p(x) = x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0
  • 83. Bibliografia • Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 551 a 585 • Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 134 a 164 • Figuras: google imagens
  • 84. Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x4 + 1 = x (x3 + 1) – x + 1