1. Pendugaan Parameter
1
Pendahuluan
• Pendugaan Parameter Populasi dilakukan dengan menggunakan nilai Statistik Sampel,
Misal :
x
1.
digunakan sebagai penduga bagi
µ
2.
s
digunakan sebagai penduga bagi
σ
$
p atau p
digunakan sebagai penduga bagi
π
3.
• Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karena
hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter.
• Selang Kepercayaan = Konfidensi Interval = Confidence Interval
☺
Didekati dengan distribusi Normal (Distribusi z atau Distribusi t)
☺
Mempunyai 2 batas : batas atas (kanan) dan batas bawah (kiri)
☺
Derajat Kepercayaan = Tingkat Kepercayaan = Koefisien Kepercayaan =
1-α
☺
α kemudian akan dibagi ke dua sisi, α/2 di atas batas atas dan α/2 di
bawah batas bawah
• Selang kepercayaan menurut Distribusi z dan Distribusi t
☺
Selang Kepercayaan dengan Distribusi z (Tabel hal 175)
Nilai α dan Selang kepercayaan yang lazim digunakan antara lain:
Selang kepercayaan 90 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 9
α = 10 % → α/2 = 5 % → z5% = z0.05 = 1.645
Selang kepercayaan 95 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 95%
α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96
Selang kepercayaan 99 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 99%
α=1%→
α/2 = 0.5 %
z 0.5% = z 0.005 = 2.575
Contoh Distribusi z untuk SK 95 %
Nilai z ini diketahui dari luas daerah tidak
terarsir ini dalam Tabel Normal (z)
Luas = 0.95 × ½
= 0.4750.
Luas daerah terarsir =
0.05 × ½ = 0.0025
"""
-z0.025 = -1.96
Luas = 0.5
Luas daerah terarsir =
0.05 × ½ = 0.0025
"""
z0.025 = 1.96
1

2. ☺
Selang Kepercayaan dengan Distribusi t (Tabel hal 177)
Nilai α (dan tentu saja α/2) sudah diterakan dalam Tabel.
Perhatikan derajat bebas (db).
Nilai t tabel tergantung dari nilai derajat bebas (db) dan nilai α/2 (Tabel hal 177)
Misal : Selang kepercayaan 95 %; db = 13 → 1 - α = 95%
α = 0.5 % → α/2 = 2.5 % t tabel (db=13;α/2 = 2.5%) = 2.160
Contoh Distribusi t untuk SK 95 % ; db = 13
Nilai t ini diketahui dari nilai α/2 dan db
dalam Tabel t
Luas daerah terarsir =
0.05 × ½ = 0.0025
"""
-t(α/2 0.025; db=13) = -2.160
Luas = 0.5
Luas daerah terarsir =
0.05 × ½ = 0.0025
"""
-t(α/2 0.025; db=13) = -2.160
Selang Kepercayaan yang baik?
Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat
kepercayaan yang tinggi.
Banyak Selang Kepercayaan yang dapat dibentuk dalam suatu populasi adalah
Tidak terhingga, anda bebas menetapkan derajat kebebasan dan lebar selangnya.
Contoh 1:
Di bawah ini terdapat 4 selang kepercayaan mengenai rata-rata umur mahasiswa. Semua
selang dibuat untuk populasi yang sama, manakah yang paling baik?
A.
B.
C.
D.
Selang kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 25 tahun
Selang kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 27 tahun
Selang Kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 27 tahun
Selang Kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 25 tahun
Jawab : D, karena................................
2

3. • Bentuk Umum Selang Kepercayaan
Batas Bawah < (Simbol) Parameter < Batas Atas
• Untuk Sampel Berukuran Besar :
Statistik - ( zα /2 ×Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( zα /2 × Std Error Sampel)
atau
Parameter = Statistik ± ( zα /2 ×Standard Error Sampel)
• Untuk Sampel Berukuran Kecil :
Statistik - ( t ( db;α / 2 ) × Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( t ( db;α / 2 ) ×Std Error
Sampel)
atau
Parameter = Statistik ± ( t ( db;α / 2 ) × Standard Error Sampel)
2.
Pendugaan 1 Nilai Rata-rata
2.1.
Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel besar (n ≥30)
• Nilai simpangan baku populasi (σ) diketahui
• Jika nilai simpangan baku populasi σ tidak diketahui → gunakan simpangan baku
sampel (s)
Selang Kepercayaan 1
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi adalah :
σ 
σ 


x -  zα 2 ×

 < µ < x +  zα 2 ×


n
n
Jika σ tidak diketahui, dapat digunakan s
• Ukuran Sampel bagi pendugaan µ
Pada Derajat Kepercayaan (1-α) ukuran sampel dengan Error (galat) maksimal = E adalah
n=
[ ] 
zα/2 ×σ 2
Ε
n dibulatkan ke bilangan bulat terdekat terbesar (fungsi ceiling)
jika σ tidak diketahui, gunakan s
E : error maksimal
→ selisih x dengan µ; E dinyatakan dalam persen (%)
3

4. Contoh 2:
Dari 36 mahasiswa tingkat II diketahui bahwa rata-rata IPK = 2.6 dengan simpangan baku
= 0.3.
a.
Buat selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata IPKseluruh mahasiswa tingkat II?
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96
x = 2.6s = 0.3
s 
s 


x -  z 0.025 ×
 < µ < x +  z0.025 ×



n
n
0.3 
0.3 


2.6 -  1.96 ×
) < µ < 2.6 +  1.96 ×
)


36 
36 
< µ < 2.6 + 0.098
< µ < 2.698
2.6 - 0.098
2.502
b.
Buat selang kepercayaan 99 % untuk rata-rata IPK seluruh mahasiswa tingkat II?
Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % → z0.5% = z0.005 = 2.575
(selanjutnya.....selesaikan sendiri!!!)
c.
Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 95 % tidak
lebih dari 6 %?
E = 6 % = 0.06
s = 0.3
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96
n=
d.
[ ]  [
zα /2 σ 2
Ε
=
]  = (9.8)  = 9604
.
1.96 × 0.3 2
0.06
2
= 97
Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 99 % tidak
lebih dari 6 %? (Kerjakan sebagai latihan)
4

5. 2.2.
Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel kecil (n < 30)
dan nilai simpangan baku populasi (α) tidak diketahui → gunakan simpangan baku
sampel (s)
Selang Kepercayaan 2
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi µ adalah :

x -  t ( db;α 2 ) ×

s 

 < µ < x +  t ( db;α 2 ) ×

n 
s 

n 
db = derajat bebas = n-1
Contoh 3:
9 orang mahasiswa FE-GD rata-rata membolos sebanyak 10 hari/tahun dengan standar
deviasi 1.8 hari.
Buat selang kepercayaan 95 % bagi rata-rata banyaknya hari membolos setiap tahun untuk
seluruh mahasiswa!
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % = 0.025
= 10
s = 1.8
db = n-1 = 9 -1 = 8 t (db=8; α/2 =0.025) = 2.306
x

x -  t ( db ;α 2 ) ×

s 
<
n 
18 
.

10 -  2.306 ×
 <

9 
10 - 1.3836 <
8.6164 <

µ < x +  t ( db;α 2 ) ×

s
n
18
.

µ < 10 +  2.306 ×

9
µ < 10 + 1.3836
µ < 11.3836






3.
Pendugaan Beda 2 Rata-rata
3.1
Pendugaan Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel besar dan nilai ragam populasi
2
2
2
2
( σ1 dan σ 2 ) diketahui
dan jika nilai ragam populasi ( σ1 dan σ 2 ) tidak
2
2
diketahui → gunakan ragam sampel ( s1 dan s2 )
5

6. Selang Kepercayaan 3
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi
x1 - x2
2

-  zα 2 ×


µ1 − µ2 adalah :
σ 12 σ 2 2 
 < µ1 - µ2
+
n1
n2 

2
2
<

x1 - x2 +  z α 2 ×


σ 12 σ 2 2 

+
n1
n2 

2
tidak diketahui → gunakan s1 dan s2
σ1 dan σ 2
Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak   atau gunakan
x1 > x2
Contoh 4:
64 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka makan 48 kg ikan
dengan ragam = 8. 56 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka
makan 28 kg ikan dengan ragam = 7.
Tentukan selang kepercayaan 95 % untuk beda rata-rata banyak ikan yang dimakan setiap
bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris
x1 = 48
x2 = 28
x1 − x2 = |48 - 28| = 20
n1 = 64
n2 = 56
2
2
s1 = 8
s2 = 7
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96
x1 - x2

-  zα 2 ×


σ 12 σ 2 2 
 < µ1 - µ2
+
n1
n2 

<

x1 - x2 +  z α 2 ×


σ 12 σ 2 2 

+
n1
n2 



8
7
8
7
 < µ1 − µ2 < 20 +  196 ×

20 -  196 ×
.
+
.
+
64
56 
64
56 


20 - 0.98
< |µ1 − µ 2 | < 20 + 0.98
19.02
< |µ1 − µ 2 | < 20.98
3.2.
Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecil
2
2
dan nilai kedua ragam populasi tidak sama ( σ1 ≠σ 2 ) dan
2
tidak diketahui → gunakan ragam sampel (s12 dan s2 )
6

7. Selang Kepercayaan 4
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ1 − µ 2 | adalah:

s2 s 2
t α × 1 + 2  <
x1 - x 2 -  ( db; 2 )
n1 n2 


2
µ1 - µ2 <

s2 s 2
 t α × 1 + 2  der
x1 - x 2 +  ( db; 2 )
n1 n2 


2
(s1 n1+ s2 n2) 2
ajat bebas (db) =
2
2
(s1 n1) 2 (n1 − 1) + (s2 n2) 2 (n2 − 1)
db : dibulatkan ke bilangan bulat terbesar terdekat (fungsi Ceiling)
Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak   atau gunakan
x1 > x2
Contoh 5:
12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter
2
( x 2 = 22 ) teh dengan Ragam = 16. ( s2 = 16 )
10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter
( x1 = 36 ) teh dengan Ragam = 25. ( s12 = 25 )
Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai tidak sama, hitung :
a.
derajat bebas bagi distribusi t
2
db =
=
b.
2
2
(s1 n1) 2 (n1 − 1) + (s2 n2) 2 (n2 − 1)
( 2.5 + 1333) 2
.
.
[(2.5) 9] + [(1333)
2
( 2510 + 1612) 2
2
(s1 n1+ s2 n2) 2
2
]
11
=
=
[(
25
10
] [
) 2 (10 − 1) + (1612) 2 (12 − 1)
]=
14.6944...
14.6944...
=
=  17.165  = 18
[ 0.6944] + [ 01616...]
0.8560...
.
Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang
diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris
Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005
db = 18
Nilai t (db = 18; α/2 = 0.005) = 2.878
7

8. 
s2 s 2
 t α × 1 + 2  < µ1 - µ2 <
x1 - x2 -  ( db; 2 )
n1 n2 



s2 s 2
t α × 1 + 2 
x1 - x2 +  ( db; 2 )
n1 n2 




25 16 
25 16 
 < µ1 - µ2 < 36 − 22 +  2.878 ×

+
+
36 − 22 -  2.878 ×
10 12 
10 12 


14 - 5.53
< |µ1 − µ 2 | < 14 + 5.63
8.37 < |µ1 − µ 2 | < 19.63
3.3
Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecil
2
2
dan nilai kedua ragam populasi sama ( σ1 =σ 2 ) dan tidak diketahui
2
→ gunakan ragam sampel gabungan (sgab )
Selang Kepercayaan 5
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ1 − µ 2 | adalah:

x1 - x2 -  t (db;α 2 ) × sgab ×

s
2
gab

1 1
+  < µ1 - µ2 < x1 - x2 +  t (db;α 2 ) × sgab ×
n1 n2 

2
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s2
=
dan
n1 + n2 − 2
2
sgab = sgab
dan derajat bebas (db) =
1 1
+ 
n1 n2 
n1 + n2 − 2
Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak   atau gunakan
x1 > x2
Contoh 6:
12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter
2
( x 2 = 22 ) teh dengan Ragam = 16. ( s2 = 16 )
10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter
( x1 = 36 ) teh dengan Ragam = 25. ( s12 = 25 )
Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai sama, hitung :
a.
b.
c
a.
derajat bebas
Ragam dan Simpangan baku gabungan kedua sampel
Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang
diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris.
db = n1 + n2 − 2 = 10 +12 - 2 = 20
8

9. b.
s
2
gab
2
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s2 (9 × 25) + (11 × 16) 401
=
= 20.05
=
=
20
20
n1 + n2 − 2
2
sgab = sgab = 20.05 = 4.477...
c.
Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005
db = 20
Nilai t (db = 20; α/2 = 0.005) = 2.845


1 1
1 1
x1 - x2 -  t (db;α 2) × sgab ×
+  < µ1 - µ2 < x1 - x2 +  t (db;α 2) × sgab ×
+ 
n1 n2 
n1 n2 



1
1 
<
+
36 − 22 -  2.845 × 4.477...×
10 12 

14 - 5.45
8.55
3.4
<
<

1
1 

µ1 - µ2 < 36 − 22 +  2.845 × 4.477...×
+
10 12 

|µ1 − µ 2 | < 14 + 5.45
|µ1 − µ 2 | < 19.45
Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari data berpasangan (paired data) sampelsampel kecil
Data berpasangan didapat dari 1 individu (yang relatif) sama yang dikenai 2 perlakuan.
Selang Kepercayaan 6:
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi |µ1 − µ 2 | adalah:
s 
s 


d −  t db;α / 2 × d  < µ1 − µ2 < d +  t db;α / 2 × d 


n
n
derajat bebas (db) = n-1
Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak   atau gunakan
x1 > x2
x1
n:
banyak pasangan data
di :
x1i- x2i: selisih pasangan data ke-i untuk i = 1,2,3,...n
9

10. d
:
rata-rata dI
d =
2
d
:
ragam nilai d
sd
:
∑d
n
∑ (d
=
− d )2
n −1
simpangan baku d
s
Contoh 7:
Nama
A
B
C
D
2
d
s
i
2
sd = sd
Banyak produk rusak pada 2 shift diukur dari 4 karyawan.
Banyak Produk yang
rusak
Shift malam Shift Pagi
(x1)
(x2)
10
3
15
5
9
4
12
2
di
d
(di - d )
(di - d )²
7
10
5
10
Σ di=32
8
8
8
8
-1
2
-3
2
1
4
9
4
Σ(di - d )²=18
n=4
2
sd =
i
d =
∑ (d
−d)
18
=
=6
n −1
3
2
i
dan
∑d
n
i
=
32
=8
4
2
sd = sd = 6 = 2.449...
Selang kepercayaan 99% untuk data berpasangan tersebut adalah:
Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005
db = n-1 = 4-1 = 3
Nilai t (db = 3; α/2 = 0.005) = 5.841
s 
s 


d −  t db;α / 2 × d  < µ1 − µ2 < d +  t db;α / 2 × d 


n
n
2.449...
2.449...


8 −  5.841 ×
 < µ1 − µ2 < 8 +  5.841 ×



4 
4 
8 − 7.15... < µ1 − µ2 < 8 + 7.15..
0.85 < µ1 − µ < 1515
.
10

11. 4.
Pendugaan Proporsi
• Pengertian proporsi
π = proporsi populasi
p = proporsi "sukses" dalam sampel acak
1 - p = q = proporsi "gagal" dalam sampel acak
Misal : kelas "sukses" → "menyukai seafood"
kelas "gagal" → "tidak menyukai seafood"
4.1
Pendugaan 1 Nilai Proporsi dari sampel besar
Pendugaan Proporsi lebih lazim menggunakan sampel besar, jadi lebih lazim menggunakan
Distribusi z.
Selang Kepercayaan 7:
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi π adalah :

p -  zα 2 ×


p×q 
 < π < p +  zα 2 ×
n 

p×q 

n 
ingat→ 1 - p = q
• Ukuran Sampel untuk pendugaan proporsi
Ukuran Sampel pada Selang Kepercayaan (1-α) dengan Error (galat) maksimal= E
2
 zα /2 × p × q 
n=

E2


n di ceiling!
n : ukuran sampel
E : error maksimal → selisih p dengan π
Contoh 8:
Dari suatu sampel acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood.
a.
Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi yang menyukai
seafood
Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z2.5% = z0.025 = 1.96
p = 160/500 = 0.32
q = 1 - p = 0.68
11

12. 
p -  zα 2 ×


p×q 
 < π < p +  zα ×
n 
 2
p×q 

n 


0.32 × 0.68 
0.32 × 0.68 
 < π < 0.32 +  1..96 ×

0.32 -  1..96 ×
500
500




0.28 <
b.
π < 0.36
Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 95 % dan Error maksimal = 2%
196 2 × 0.32 × 0.68 
 z2 × p × q 
.
n =  α /2 2
= 
 = 2089.8304 = 2090

E
0.02 2




4.2.
Pendugaan Beda 2 Proporsi dari sampel-sampel besar
Selang Kepercayaan 8
Selang Kepercayaan sebesar (1-α) bagi

p1 - p2 -  zα 2 ×

π 1 − π 2 adalah :

p1 × q1 p2 × q2 
 < π1 - π2 < p1 - p2 +  zα ×
+
n1
n2 
 2
p1 × q1 p2 × q2 

+
n1
n2 
Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak   atau gunakan
p1 > p2
Contoh 9:
Dari 1000 penduduk Jakarta, 700 menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru ( p2 =0.70)
Dari 800 penduduk Surabaya, hanya 200 yang tidak menyetujui aturan lalulintas baru
( q1 = 0.25 )
Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi beda proporsi penduduk Jakarta dan Surabaya
yang menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru.
kelas "sukses" = menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru.
p2 = 0.70
q1 = 0.25
→
→
q 2 = 1 − p2 = 1 - 0.70 = 0.30
p1 = 1 − q1 = 1 - 0.25 = 0.75
p1 − p2 = |0.75 - 0.70| = 0.05
Selang kepercayaan 90 % → α = 10 % → α/2 = 5 % → z5% = z0.05 = 1.645
12

13. 
p1 - p2 -  z α 2 ×

p1 × q1 p2 × q 2 
 < π1 - π 2
+
n1
n2 

< p1 - p2 +  z α 2 ×

p1 × q1 p2 × q 2 

+
n1
n2 


0.75 × 0.25 0.7 × 0.3 
0.75 × 0.25 0.7 × 0.3 
 < π 1 - π 2 < 0.05 +  1.645 ×

0.05 -  1.645 ×
+
+
800
1000 
800
1000 


0.05 - (1.645 × 0.02108...) < π1 - π 2 < 0.05 + (1.645 × 0.02108...)
0.05 - 0.03467... < π1 - π 2
< 0.05 + 0.03467...
0.01532... < π1 - π 2 < 0.08467...
selesai
13