【Unity道場スペシャル 2018仙台】物理シミュレーション完全マスター
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2018/1/20に開催されたUnity道場スペシャル 2018仙台の講演スライドです。 講師：安原 祐二 （ユニティ・テクノロジーズ・ジャパン合同会社） Unityのイベント資料はこちらから： https://www.slideshare.net/UnityTechnologiesJapan/clipboards
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【Unity道場スペシャル 2018仙台】物理シミュレーション完全マスター
- 2. 積分 完全マスター
- 8. ３ 極小の長さぶんを
- 9. ３ 範囲ぶん足す
- 13. 長さmを長さmで積分→面積m2
- 16. 例：球の体積（部分） r S t V = Z t r Sdx = Z t r ⇡(r2 x2 )dx = ⇡[r2 x x3 3 ]t r = ⇡{r2 t t3 3 ( r2 r r3 3 )} = ( t3 3 + r2 t + 2 3 r3 )⇡ 円の面積を重ねる 呪文 理解 x y
- 18. 物理シミュレーションの 最小実装
- 20. 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt;
- 21. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt;
- 22. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ
- 23. 動画 最小実装はこれだ！
- 24. public class MyRigidbody : MonoBehaviour { public Vector3 acceleration; public Vector3 velocity; public Vector3 position; const float dt = 1f/60f; public void AddForce(Vector3 force) { acceleration += force; } void FixedUpdate() { velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; if (position.y < 0.5f) { velocity = -velocity; } transform.position = position; acceleration = Vector3.zero; } }
- 29. 余裕 1/60秒
- 30. 余裕 1/60秒
- 31. 1/60秒 余裕
- 32. 1/60秒 余裕
- 33. 超過 1/60秒
- 34. 待機 1/60秒
- 35. 1/60秒 責任重大
- 41. 外力
- 44. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ 加速度があれば位置を出せる
- 45. 力ベクトルは足せる
- 49. AddForceは足すだけ void FixedUpdate() { Vector3 f = new Vector3(0f, -9.81f, 0f); // 重力 f += new Vector3(1f, 0f, 0f); // 風の影響 f += new Vector3(0f, 1f, 0f); // 浮力 rigidbody.AddForce(f); } こんなふうにあらかじめ足しても良い AddForceをそれぞれ呼ぶのと同じ
- 50. 外力の応用 浮力
- 53. 動画 浮力っぽい
- 54. 浮力の計算はたいへん 球で代用する V = ( t3 3 + r2 t + 2 3 r3 )⇡ 単純な式で出せる！ 向きを考慮しなくていい 波の対応も容易 r S t x y
- 55. 力積
- 57. 加速度は 微小期間の速度変化 mF= a a dv dt = mF= dv dt これも運動方程式
- 58. 加速度は 微小期間の速度変化 mF= dv dtmF = dvdt 力積 運動量（速度）の変化
- 59. 加速度は 微小期間の速度変化 mF= dv dtmF = dvdt 力積 力積も運動量も の変形に過ぎない F = ma 運動量（速度）の変化
- 64. ForceMode.Impulse rigidbody.AddForce(force, ForceMode.Impulse); 内部的には速度の直接変更 （ の右辺） 質量は考慮するが は考慮しない mF = dvdt dt
- 65. ForceMode.Impulse に依存しない速度変化になる OnCollisionEnterなどの瞬間的な力 rigidbody.AddForce(force, ForceMode.Impulse); 内部的には速度の直接変更 （ の右辺） 質量は考慮するが は考慮しない mF = dvdt dt dt
- 66. if (hit) { rb.AddForce(force); } if (hit) { rb.AddForce(force, ForceMode.Impulse); } 誤 正 を変えると動作が変わってしまう 瞬間的な外力には力積を使用する dt
- 67. Drag
- 69. 指定終端速度 を得るための外力 [Unity]RigidbodyのDragから終端速度を得る https://qiita.com/yuji_yasuhara/items/1f438f0f27f5ef854a73参 考 :質量 :Drag m k F = 1 dt vmk k v F
- 71. 物理シミュレーションの ウソ
- 76. 接触
- 77. 接触していない 移動
- 83. 慣性テンソル
- 85. 「質量 」 F = m dv dt m m F v 外力 ：速度v 質量は「動かしにくさ」
- 86. T = I d! dt 慣性テンソルは「回しにくさ」 回転ににおける「慣性テンソル 」 F = m dv dt 移動における「質量 」 m I m I T ! F v 外力 トルク ：速度v ：角速度!
- 87. 動画 慣性テンソルを可視化
- 91. B 行列 〜ベクトルに掛けるもの〜 BにPを掛けたらA AもBもひとつの値（スカラー）なら大きさしか変えない が、ベクトルの場合は大きさも方向も変えるのでPは行列 0 @ Ax Ay Az 1 A 0 @ Bx By Bz 1 A 0 @ P00 P01 P02 P10 P11 P12 P20 P21 P22 1 A= PA =
- 94. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ 再掲 加速度があれば位置を出せる
- 99. 動画 衝撃的な事実
- 100. 期待した動き 実際の動き 動画
- 102. 重心 r 角速度ω 速度vで移動している点pは 働いた力fの結果そうなっている f m dv dt = f v = ! ⇥ r v 点p
- 103. 重心 r トルクT トルクTは すべての点で働いた力fを 距離を考慮して合計したもの 外積 r×f をぜんぶ足す X はぜんぶ足すの意味 T = X r ⇥ f ff f f f 点p
- 105. 動画 慣性テンソルの性質
- 106. v = ! ⇥ r f = m d dt (! ⇥ r) f = m dv dt 角速度と速度の関係 運動方程式 力と角速度の関係！
- 107. T = X r ⇥ f f = m d dt (! ⇥ r) T = X r ⇥ m d dt (! ⇥ r) 力とトルクの関係 力と角速度の関係 トルクと角速度の関係！
- 108. トルクと角速度の関係 T = X r ⇥ m d dt (! ⇥ r) T = I d! dt I 右辺はベクトル を線形変換している この変換は必ず行列 とおけて d! dt （計算略）
- 109. この すなわち トルクベクトルと角速度ベクトルを関連づける 行列（２階テンソル）のこと 慣性テンソルとは I T = I d! dt 複雑な状況を行列ひとつで吸収できる驚異
- 110. ~A ⇥ ( ~B ⇥ ~C) = ( ~A · ~C) ~B ( ~A · ~B) ~C ~r ⇥ (~! ⇥ ~r) = (~r · ~r)~! (~r · ~!)~r = |~r|2 ~! (rx!x + ry!y + rz!z)~r = |~r|2 ~! (rx!x + ry!y + rz!z) 0 @ rx ry rz 1 A = |~r|2 ~! 0 @ r2 x!x + rxry!y + rzrx!z rxry!x + r2 y!y + ryrz!z rzrx!x + ryrz!y + r2 z!z 1 A = (r2 x + r2 y + r2 z)~! 0 @ r2 x rxry rzrx rxry r2 y ryrz rzrx rxry r2 z 1 A 0 @ !x !y !z 1 A = 0 @ r2 y + r2 z rxry rzrx rxry r2 x + r2 z ryrz rzrx ryrz r2 x + r2 y 1 A ~! 参考 密度と 物体形状で を 積分したものが 慣性テンソル I
- 111. 0 @ r2 y + r2 z rxry rzrx rxry r2 x + r2 z ryrz rzrx ryrz r2 x + r2 y 1 A x y z a b c m abc Z c 2 c 2 Z b 2 b 2 Z a 2 a 2 (y2 + z2 )dxdydz = m 12 (b2 + c2 ) I = 0 @ m 12 (b2 + c2 ) 0 0 0 m 12 (c2 + a2 ) 0 0 0 m 12 (a2 + b2 ) 1 A 例：立方体の慣性テンソル ９要素すべてを計算
- 115. 0 @ A00 0 0 0 A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 対角化とは0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 対角行列に変換する術 対角行列 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 =
- 116. 0 @ A00 0 0 0 A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 = IdIr I Ir 1
- 117. 0 @ A00 0 0 0 A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 = IdIr I Ir 1 I = IrIdIr 1
- 119. 動画 具体的に慣性テンソルを使う
- 120. public class SimpleRotator : MonoBehaviour { void Update() { if (Input.GetMouseButton(0)) { var rb = GetComponent<Rigidbody>(); var omega = new Vector3(0f, 1f, 0f); var R = transform.rotation; var RI = Quaternion.Inverse(transform.rotation); var Id = rb.inertiaTensor; var Ir = rb.inertiaTensorRotation; var IrI = Quaternion.Inverse(Ir); var torque = R * Ir * Vector3.Scale(Id, IrI * RI * omega); rb.AddTorque(torque, ForceMode.Impulse); } } } 鉛直の角速度をもたらすトルクを得るサンプル （現在の姿勢も考慮したもの）
- 121. おしまい