Aula

1. ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Arranjo e Combinação
Profª Juliana Schivani

2. GRUPO
DE ELEMENTOS
ORGANIZAR / AGRUPAR
ORDENADAMENTE
PARTE deles
Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

3. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani
Uma pessoa dispõe de 4 frutas distintas e deseja fazer
uma salada com EXATAMENTE 3 dessas quatro frutas.
Quantas saladas distintas podem ser produzidas?
234
1ª 2ª 3ª
= 24 modos distintos

4. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani
A ordem da escolha não importa, ou seja, LUB = LBU =
BLU = BUL = UBL = ULB.
Então temos que “descontar” estas possibilidades
dividindo pelo total de escolhas, isto é, por 3!.
Assim o resultado correto será 24/3! = 4 saladas distintas.

5. 3. ARRANJO
Precisa-se escolher dentre 50 alunos de uma turma, 1 para ser
líder, 1 para vice-líder e 1 para tesoureiro de uma comissão.
GRUPO
DE n ELEMENTOS
SUBGRUPO
DE p ELEMENTOS
COM ORDEM
De quantas maneiras distintas
pode ocorrer esta escolha?
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6. 3. ARRANJO
JOÃO, PEDRO e RITA ≠RITA, JOÃO, PEDRO
PRESIDENTE, VICE-PRESIDENTE, TESOUREIRO
A ordem da escolha é importante!!!
50 49 48· ·
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= 50 · 49 · 48 · 47!
47!
50!
(50 – 3)!
= = 117 600
possibilidades

7. 3. ARRANJO
Quantas senhas podem ser formadas no banco que utiliza 6
números distintos?
A ordem da escolha é importante!!!
123456 ≠ 654321
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10 9 8 7 6 5
= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4!
4!
= 10!
(10 – 6)!
= 151 200

8. 4. COMBINAÇÃO
Precisa-se escolher dentre 50 alunos de uma turma, 3 deles para
montarem uma comissão de formatura.
GRUPO
DE n ELEMENTOS
SUBGRUPO
DE p ELEMENTOS
SEM ORDEM
De quantas maneiras distintas
pode ocorrer esta escolha?
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9. = 117 600
3 · 2 · 1
JOÃO, PEDRO e RITA =RITA, JOÃO, PEDRO
1ª pessoa, 2ª pessoa, 3ª pessoa
A ordem da escolha NÃO é importante!!!
50 49 48· ·
4. COMBINAÇÃO
= 117 600
6
= 19 600 escolhas
distintas3!
total de permutações
entre três escolhidos
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10. 4. COMBINAÇÃO
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Ache todas as combinações simples (sem repetição) constituída
de 3 elementos com os objetos a1 , a2 , a3 , a4 e a5.
345 5 · 4 · 3 = 60
Para cada tripla de elementos, contamos 6 (=3!) vezes, ao invés de apenas 1 vez.
Dessa forma, o número que encontramos (60) é na verdade 6 vezes o número real
de possibilidades. Assim, podemos chegar ao resultado correto dividindo o que
encontramos por 6 (ou 3!).

11. 4. COMBINAÇÃO
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Além da notação , usa-se também para simbolizar o uso
de combinatória as notações Cn,p e , de modo que:

12. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani
4. COMBINAÇÃO
Num hospital, há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 vagas no banco de
sangue e 2 vagas na radioterapia. Se 6 pessoas se candidatarem para o
berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a radioterapia, de quantas formas
distintas essas vagas poderão ser preenchidas?
Decisão d1:
escolher 3 pessoas para trabalhar no berçário dentre os 6 candidatos.
Decisão d2:
escolher 5 pessoas para trabalhar no banco de sangue dentre os 8 candidatos.
Decisão d3:
escolher 2 pessoas para trabalhar na radioterapia dentre os 5 candidatos.

13. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

14. = 50.063.860 possibilidades de cartões com 6 números
C60,6 = 60!
6! (60 – 6)!
= 60!
6! · 54!
Quantos cartões da Mega Sena (60 números) com 6 marcações
cada, podemos fazer?
1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6, 5, 4, 3, 2, 1
A ordem não é importante!!!
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15. = 1,99 · 10 -8 = 0,00000199%
P = 1
50.063.860
Fazendo uma aposta simples com 6 números, qual a
probabilidade de você ser sorteado?
1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6, 5, 4, 3, 2, 1
A ordem não é importante!!!
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16. => 1 cartão de 7 números ≈ 7 cartões de 6 números
C7,6 = 7!
6! (7 – 6)!
= 7!
6! · 1!
Se um apostador jogar 7 números, quantos cartões de 6 números
serão equivalentes?
= 7 · 6!
6!
= 7 cartões
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17. Numa casa lotérica encontramos a tabela abaixo onde
são mostrados os preços das apostas da MEGA-SENA.
Será que estes valores são justos?
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QTD DE NÚMEROS VALOR
6 R$ 2,00
7 R$ 14,00
8 R$ 56,00
9 R$ 168,00
10 R$ 420,00
C7,6 = 7 → 7 · R$2,00 = R$ 14,00
C8,6 = 28 → 28 · R$2,00 = R$ 56,00
C9,6 = 84 → 84 · R$2,00 = R$ 168,00
C10,6 = 210 → 210 · R$2,00 = R$ 420,00

18. A Caixa Econômica Federal permite uma aposta de até
15 números num mesmo cartão. Neste caso, quanto
custaria uma aposta de um cartão de 15 números?
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C15,6 = 15!
6! (15 – 6)!
= 15!
6! · 9!
= 15 · 14 · 13 · ... · 8 · 9!
720 · 9!
= 5 005 cartões de 6 números
5 005 x R$ 2,00 = R$ 10.010,00

19. Se você fosse apostar
R$10.010,00 na Mega Sena,
pensando em maximizar
suas chances de acertar a
sena você preferiria jogar
apenas UM único cartão com
15 números ou 5005 Cartões
com 6 números?
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