Pt to-hop-nhi-thuc-newton

1. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com
BÀN VÊ HAI DNG TOÁN CA GII TÍCH TO HP
--------
LÊ NGÔ NHẬT HUY (Bến Tre)
Giải tích Tổ hợp là một mảng Toán khó trong Đại Số, do độ rộng của dạng Toán này nên
trong chuyên đề chỉ đề cập hai vấn đề chính: Phương trình Tổ hợp và Nhị thức Newton,
trước khi vào nội dung chính, ta nhắc lại các công thức sau:
I/ CÔNG THỨC TỔ HỢP, NHỊ THỨC
NEWTON.
* Với n và k thuộc tập hợp các số tự nhiên
ta có các công thức sau:
1) Công thức hoán vị:
P = n!= n(n -1)(n - 2).......3.2.1. n
( n giai thừa, n 1).
2) Công thức chỉnh hợp:
Ak
n £ £
(1 )
!
n
-
( )!
k n
n k
=
3) Công thức Tổ hợp:
n £ £
(0 )
!
n
-
!( )!
k n
k n k
Ck
=
* Một số tính chất số Tổ hợp:
k
n C C C C C C -
n k
n
+ k
- 1 = k
,
k
+ k
= n
n
n
n
1
-
-
+ -
1
1 1
*Khai triển nhị thức Newton:
( )
n
= + n =Σ k n k k
(I)
P a b a b C a - b
( , ) . .
0
n
k
=
+ Có n + 1 số hạng trong khai triển.
+ Tổng các số mũ của a và b trong mỗi
số hạng bằng số mũ của nhị thức.
4) Các công thức biến đổi với số mũ.
( )
n
n m a
n m
- +
= = =
1) . , 2) a n m , 3) a n . a m a
n m
,
m
m
a

-
= n n m
= 
, 5) .
a a
1
4)
n
n
a a a
a


II/ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP
Phương trình tổ hợp là phương trình
(PT) có ẩn số nằm trong các công thức tổ
hợp, chỉnh hợp, hoán vị.
Ví dụ 1: Giải phương trình :
1 2 3 7
2 x x x C +C +C = x (1)
Lời giải:
Điều kiện: xÎN; x ³ 3 . Sử dụng công thức tổ
hợp, ta có:
( 1 ) Û
x
!
+
x
!
x
!
7
1! ( x
-
1 ) !
2! ( x
-
2 ) +
=
x
!
3! ( x
-
3 ) !
2
( )( ) x
Û x ( x - 1) x x - 1 x
- 2
x
+ + =
7
2
6
2
( ) ( )( )
Û + - + - - =
6 3 1 1 2 21
x x x x x x x
( )

  

=
0
= -
=
Û - = Û - = Û
4
4
3 2
16 0 16 0
x
x
x
x x x x
Đối chiếu nghiệm với ĐK đề bài ta có PT (1)
có nghiệm là x = 4.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
C 3 - C 2 = .
A 2
(2)
x - 1 x - 1 3 x - 2
Lời giải:
Đk: x ³ 4, xÎN .Sử dụng công thức tổ hợp,
ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
= -
-
- -
1 !
-
Û -
1 !
-
2
.
3
x
2! 3 !
x
3! 4 !
x
x
x
x
( )( ) ( ) ( )
(2)
Û - - - - = 2
-
. 3
3
=
1
x

=

2
1 3
x x x
6
Û - + = Û
9
2
11 18 0
2 !
4 !
2
x
x x
x
So với ĐK đầu bài PT (2) chỉ có duy nhất một
nghiệm x = 9.
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 1

2. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com
Ví dụ 3: Giải phương trình:
+ - + - = + + (3)
A 3 C - 1 C - 3 x 2
P
x x x 1 1 6 2 x 3 x 3 159
Lời giải:
Đk : x ³ 3, xÎN .
!
- -
+ +
x
x
x
(3) Û = x
2 + +
( )
( )
( )
( )
( ) 3 6! 159
3 1 !
-
2! 3 !
2 1 !
-
2! 1 !
3 !
-
x
x
x
3
( )( ) ( ) ( )( )
2 13 15 1764 0
Û - - + + - - - = 2
+
1 2 3 879
x x x x x x x x
2
1 2 1
Û x 3 - x 2
+ x
- =
Đến đây bằng cách nhập PT này vào máy
tính ta tìm được một nghiệm x = 12 .Sử
dụng sơ đồ Horner tách PT trên ta được:
(x -12)(2x2 +11x +147)= 0 Û x =12
vô nghiêm
Từ ĐK x ³ 3, xÎN nên PT (3) chỉ có duy
nhất một nghiệm x = 12.
Ví dụ 4: Giải phương trình (ẩn n):
C 6 + 3 C 7 + 3 C 8 + C 9 = 2 C 8
(4)
n n n n n + 2 Lời giải:
Đk: n ³ 9,nÎN ,theo tính chất số Tổ hợp
+ - 1
= , ta có
C k
C k
C k
n n
n
1
+
( )
+ + + = + + + + +
6 7 8 9 6 7 7 8 8 9
C C C C C C C C C C
n n n n n n n n n n
+ + + + + + = + + = + =
9
3
9
2
8
2
3 3 2
9
1
8
1
7
1
2
C C C C C C
n n n n n n
Vậy, theo giả thiết tương đương với:
( )
( )
( )
( )
= +
2 2 !
-
n
8! 6 !
3 !
= Û + + +
-
n
9! 6 !
n
n
Û + = Û =
2 15
9
3
2 8
2
9
3
n
n
C Cn n
Từ điều kiện đầu bài ta có PT (4) có duy
nhất một nghiệm là n = 15.
Lưu ý:
Khi giải PT tổ hợp ta làm như sau:
+ Đặt đk cho ẩn số, với một chú ý đối với
số tổ hợp thì 0 £ k £ n , ví dụ: 8
n+3 C thì đk của
n là: n + 3 ³ 8Û n ³ 5 .
+Trong trường hợp có nhiều số tổ hợp
chứa ẩn thì phải chọn đk cho ẩn tổng quát
và bao hàm nhất, ví dụ: 7
C 9
+ C thì đk là:
n +1 n + 2
  
+ 1 ³ 9 Û ³
8
2 7 5
n n
+ ³ Û ³
n n
Û n ³ 8 .
+ Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp, hoặc tính chất số tổ hợp (nếu
được) để biến đổi, rút gọn và giải PT.
+ Đối chiếu nghiệm tìm được với đk của bài
toán để kết luận.
III/ NHỊ THỨC NEWTON.
Hai vấn đề chính thường gặp đối với dạng này
là : Khai triển nhị thức và tìm hệ số của đa
thức, ta xét cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Khai triển ( )5 x - y thành tổng các
đơn thức.
Lời giải:
Theo công thức Nhị thức Newton ta có:
( ) [ ( )] ( ) ( ) ( )
- = + - = - + - + - +
1 4
5
0 5 0
5
5 5
x y x y C x y C x y C x y
+ - + - + -
( ) ( ) ( ) . 5 0 5
C x y C x y C x y
5
4 4
5
3 2 3
5
2 3 2
5
= x5 - 5x4 y +10x3 y 2 -10x2 y3 + 5xy4 - y5 .
Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong
6
khai triển ( )
1
  =  -  ¹
 
A x 2x , (x 0)
2
x
.
Lời giải:
Với ; 6
= 2 ; = - 1
n =
2 a x b , Từ (I) ta có:
x
( ) 6
= Σ
( )
 -
Σ Σ ( )
 
k k
. 2 .

6
A x C x
6
0
1
2
6
6
k k k k
k
k
x
= k k - k k k
= -
.2 .( 1) . . .2 . 1 .
C x x C x
=
- -
=
-
- - -
=
0
6 6 3
6
0
6 6 2
6
k
k
Do là số hạng không chứa x nên ta tìm k sao
cho 6 - 3k = 0Û k = 2
Vậy số hạng cần tìm là 2 .26 2.( 1)2 240
6 C - - =
Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa x8 trong khai
12
triển ( )
=    + 5
 ¹
 
1
B x x , (x 0)
3
x
.
Lời giải:
5
Ta có 1 ; 2
, 12
= = x- 3 b = x 5
= x n =
x
3 a
Từ (I) ta có:
( ) Σ ( ) 12
Σ
B x Ck x k x C k
x
k
12 . . .
=
- +
12
=


5
- - =  

 

=
0
72 11
2
12
0
2
3 12
k
k
k
- 72 + 11 k
= Û =
Tìm k sao cho 8 8
2
k
12 C = .
Vậy số hạng cần tìm là : 8 495
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 2

3. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com
Ví dụ 4: Xét khai triển
C(x, y) = (x3 + xy)15 .Tìm hệ số chứa x21y12 .
Lời giải:
Ở đây, ta có a = x3 , b = xy, n = 15
Từ (I) ta có
( ) Σ ( ) 15
Σ
C x y Ck x k xy k C x y
Đến đây, ta tìm k sao cho
k k k
15 , . .( ) . .
=
-
15
- = =
=
0
45 2
15
0
3 15
k
k
12
- =
45 2 21
12
Û =
  
=
k
k
k
.
Vậy hệ số chứa x21 y12 là 12 455
15 C = .
Ví dụ 5: Tìm hệ số chứa x7 trong khai
triển ( ) 2 ( ) 2
=    -  , ¹ 0,
ÎN
 
n
D x x x n
x
, biết n
thỏa mãn hệ thức sau: 3 2 3
1 4 2 n n n C C A + + = .
Lời giải:
Đk: n ³ 2; nÎN.
Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương
đương :
( )
!
!
2.
1 !
=
+
+
n
n
n
( -
) ( ) ( )
.( 1) 1 2 2 22 11
6
3! 2 !
4
3 !
-
2! 2 !
4.
-
n
n
n
Û n + + = n - Û n = Û n
=
= 2 = - 2
, = - x-1 n =
Ta có 2. , 11
x
a x b
Từ (I) ta có
( 11
11
D x ) =Σ Ck ( x 2 ) 11 - k . ( - 2 x - 1
) k =Σ C . ( -
2 )k . x22 -
3
k
11 = k
=
k
k
0
11
0
Tìm k sao cho 22 - 3k = 7 Û k = 5
Vậy số hạng cần tìm là : C 5 .( - 2) 5
= -
14784 11 Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x trong
khai triển ( ) 3 2 n
 
=  + 
 
E x x
x
, biết rằng n
thỏa mãn hệ thức: 9 8 ( )
3 2 2 , 0, . n n C + C + x n = ÎN
Lời giải:
Đk: n ³ 6; nÎ N .
Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương
đương :
( )
( )
( )
( )
Û + 3
=
15
2
8!
9!
2 !
= +
-
n
8! 6 !
2.
3 !
+
-
n
9! 6 !
n
Û n
=
n
n
2
-
1
x n
1
Ta có 2. , 15
=3 = , = = 2
=
a x x 3
b
x
Từ (I) ta có:
( ) 15
Σ Σ
E x Ck x x C k k
x Ta
k k
15 . 2. .2 .
=
-
15
=
- -

=  

15 1

 


 


 

=
0
30 5
6
15
0
2
1
3
k
k
k
30 - 5 k
= Û =
tìm k sao cho 0 6
6
k
15 C = .
Vậy số hạng cần tìm là: 6 .26 320320
Ví dụ 7: Khi khai triển nhị thức Newton
( ) (1 )n G x = + ax ta được số hạng thứ hai là 24x ;
số hạng thứ ba là 252x2 . Hãy tìm a và n.
(a Î R; n Î N*).
Lời giải:
Ta có: a = 1, b = ax . Từ (I) ta có
n n
( )
=Σ =Σ
k n k k k k k
n n
G x C - ax C a x
( ) .1 . . .
= =
0 0
k k
*Theo đề bài số hạng thứ hai là 24x nên:
  
k k k
n
=
*Theo đề bài số hạng thứ ba là 252x2 nên:
=
= ⇒
1
k
. . 24 C1 a
. 24 (1)
C a x x
n
  
k k k
n
=
*Từ PT(1) và PT(2) ta có hệ phương trình
sau:
=
= ⇒
2
2
k
. . 252 2 2
. 252 (2)
C a
C a x x
n

 
=
. 252 (2)
1
C a
. 24 (1)
2 2
=
C a
n
n
24
PT (1) 1
Û a  
= thay vào (2) ta được:
C
n 2 ( ) 
2
= Û C
( )
= = 
!
n
1 2 2
n
C
n
( )
252
-
2! 2 !
7
=
n
n n
16

 

Û
n
C
C
PT C
n
Û = Û
Û - =
2
1
7
252
24
2
n
16
Û = Û =
2 16 8
7
16
7
16
24
2
2 .
2
n
2
1
n n
n
24
* Với n = 8 thay vào (1) 3
= =
C
1
8
a
Vậy a = 3, n = 8 .
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 3

4. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com
Ví dụ 8:
Khi khai triểnH(x) = (a + x)6 (b + x)3 (*) ta
được hệ số chứa x7 là -9 ; không có số hạng
chứa x8 . Hãy tìm a và b. (a,bÎ R).
Lời giải:
Ta có nhận xét: (*) là tích của hai nhị thức:
nhị thức bậc 6 và nhị thức bậc 3. Vậy để tạo
ra số hạng x7 thì phải tồn tại trong nhị thức
bậc 6 các biến x4 , x5 , x6 nhân với các biến số
tương ứng trong nhị thức bậc 3 là x3 , x2 , x .
*Vậy trong nhị thức bậc 6 ta có:
6
Σ=
Ck a -
k xk số hạng chứa x4 , x5 , x6 tương
0
6
6 . .
k
ứng với k lần lượt là 4, 5,6. 6 0
⇒C 4 .a 2
, C 5
.a, C .a
6 6
6
*Vậy trong nhị thức bậc 3 ta có:
3
Σ=
Ck b -
k xk số hạng chứa x3 , x2 , x tương ứng
0
3
3 . .
k
với k lần lượt là 3, 2, 1. 1 2
⇒C 3 .b 0
, C 2
.b, C .b
3 3
3
*Hệ số chứa x7 là - 9 vậy:
C 4
.C 3 .a 2
+ C 5
.C 2
.ab + C 6
.C 1 .b 2
= - 9 (1)
6 3
6
3
6
3
(với quy ước a0 = 1)
*Tương tự trên, đối với x8 ta cũng có:
6
6 C C b + C C a =
. . . 3. 0 (2)
3
5
6
2
3
Từ PT (1) và PT (2) ta có hệ phương trình
sau:
+ + = -
1 2
3
6
6
2
3
5
6
3 2
3
. . . . . 9
4
6
C C a C C ab C C b
+ =
3
3
5
6
2
3
. . . . 0
6
6
C C b C C a
+ + = -
2 2 2 2
15 a 18 ab 3 b
9
+ =
3 6 0
( ) ( )
+ + = -
5 a 6 ab b
3
= -
2
b a
2 2 2
  
=
1
= -
Û
  
  
  
Û

 
Û
b a
Û + - + - = -
5 a 6 a 2 a 2 a
3
= -
a
2
b a
2
b a
Vậy có hai kết quả là:
a = 1, b = -2 và a = -1, b = 2
= Lưu Σý: Để tính hệ số của số hạng xa (α
là một số hữu tỉ cho trước) trongkhai triển
nhị thức Newton của P(x) = ( f (x))n ta làm
như sau:
n
+ Biểu diễn P ( x ) =
a x
g ( k
)
k k
0
+ Số hạng chứa α tương ứng với g(k) =a
+ Giải phương trình g(k) =a ta tìm được k.
+ Nếu k ÎN, k £ n, hệ số phải tìm là k a .
Nếu k ÏN hoặc k n thì trong khai triển không
có số hạng chứa xa hệ số cần tìm bằng 0.
* Một số đề bài không cho bậc n của đa thức
P(x) , ẩn n sẽ được cho trong một hệ thức, lúc
đó ta giải PT chứa ẩn n, F(n) = 0 để tìm bậc
của P(x) , sau đó ta thực hiện các bước như
trên.
IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
1)Giải các phương trình sau:
) + -1 + n-2 = 79
a C n
C n
C Đs: n = 12
n n
n
b ) A 3 - A 2 = 12 Đs: n = 4
n n ) n
+
7( 3) Đs: n = 12
n 3
1
4 - = + +
c C + C n
n n
1 1 7
)
d - =
Đs: x = 8 x = 3.
C 1 C 2
+ 6.
C
1
x x 1
x +
4
2) Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển
n
 
3 - 1 
x biết rằng n thỏa mãn hệ
x
2
thức:C 4 = 13 C 2 , nÎN ,Đs: n = 15; k = 7; -6435.
n n 3) Cho khai triển nhị thức

12 3
x
 -
3



x
a)Tìm số hạng chứa x4 . Đs:
55
k = 4; .
9
b)Tìm số hạng không chứa x Đs: k = 6; 924 .
4) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n

3 1
. , biết rằng n thỏa mãn hệ thức:
x x  
15 28
x


 

+
C + C -1 + Cn-2 = 79, (x ¹ 0, nÎN).
n
n
Đs: 792
n n
n
5) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
n

1
 + 4
. , biết rằng n thỏa mãn hệ thức:
x x 
x

2 1 44, ( 0, ). n n C -C = x nÎN Đs: n = 11, k=3,165.
6) a)Tìm hệ số chứa x3 trong khai triển và rút
gọn của đa thức: ( )3 ( )4 ( )7 P(x) = 2x +1 - 3x +1 + x +1
Đs: - 65
b)Tìm hệ số chứa x9 trong khai triển và rút
gọn của đa thức: ( )10 ( )12 Q(x) = 2 + x + 2 - x
Đs: -1740
7) Xét khai triển (1- x + x2 - x3 )6 thành đa
thức 18
P(x) = a + a x + a x 2
+ a x 3
+ ..... + a x .
0 1 2 3
18
Tìm hệ số 9 a .Đs: -580
----HẾT----
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 4

5. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 5