Belajar dinamika struktur

1. DINAMIKA
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
2011

2. Analisis respon gempa pada bangunan:
 Analisis statik ekivalen
Beban gempa dimodelkan sebagai beban terpusat pada masing-
masing tingkat/lantai struktur gedung, dimana beban bekerja
secara statis.
Hanya meninjau respon maksimum gempa.
Digunakan untuk sistem struktur sederhana
 Analisis dinamis
Didasarkan pada teori mekanika vibrasi yang memperhitungkan
faktor simpangan, kecepatan dan percepatan massa bangunan
sebagai fungsi waktu.
Keseimbangan gaya elastis, gaya inersia dan gaya redaman
berubah dari waktu ke waktu

3. P(t)P
STATIS DINAMIS

4. MODEL BANDUL SEDERHANA
K
m
m
K
x
EI
P(t)
P(t)
KK1 K2
m
P(t)
m
K
Model Struktur Model SDOF Model Matematis
Digunakan untuk memodelkan getaran pada struktur sederhana
dan bangunan tidak bertingkat.

5. m
y
K2K1
P
y
K1 K2
21 kkke
21
111
kkke
Pegas Paralel Pegas Seri

6. Gerakan Harmonis
Bentuk kurva gerak harmonis

7. PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN
Gaya yang bekerja dan berada pada keseimbangan dinamis yaitu:
k = kekakuan pegas
x = perpindahan
Gaya pegas akibat deformasi (P)
Gaya inersia akibat perubahan kecepatan (F)
xkP .
2
2
..
dt
xd
mamF
m = massa
a = percepatan
K
m
m
K
x
K.x
m.a
0.. 2
2
xk
dt
xd
m
……(1)
……(2)
……(3)

8. SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL GERAK
tCosBtSinAx
Solusi Umum:
m
k
ω = frekuensi natural (radian/detik)
t = waktu (detik)
tAx
tAx
sin
cos ……(4)
……(5)
……(6)
tAx
dt
xd
tAx
dt
dx
tAx
cos
sin
cos
2
..
2
2
.
Mencari besarnya frekuensi natural (ω)
0
0.
0..
2
2
..
tCosAkm
tCosAktCosAm
xkxm
Substitusikan ke pers. (3)
……(7)

9. Mencari besarnya konstanta A dan B
00xtx
Vxtx 0
..
Jika dimasukkan masalah kondisi awal (t = 0) yaitu:
:
Perpindahan:
Kecepatan:
……(8)
……(9)
tCosBtSinAx
Maka:
0B)0()0(0 CosBSinA
V
A
SinSinBCosAV
ttSinBtCosAV
dt
dx
00)0()0(
0
……(10)
……(11)

10. KEKAKUAN KOLOM
Kolom bermassa seragam dengan kedua ujung terjepit
/tak berotasi, kekakuan pegasnya adalah:
EI
PL
kP
L
EI
k
12
12
3
3
L
Δ
P
Kolom bermassa seragam dengan satu ujung terjepit
dan ujung lain berengsel/bebas, kekakuan pegasnya
adalah:
EI
PL
kP
L
EI
k
3
3
3
3
……(12)
……(13)
……(14)
……(15)
Δ
P

11. 3
2112
L
IIE
k
Deformasi
lentur
Deformasi
geser
L
GA
L
EI
P 3
3

12. CONTOH KASUS
Contoh 1
EI=400 KN/cm2 m = 1000 kg
K = 2 N/cm
L=100 cm
Kekakuan balok:
Jawab
N/cm2,1
100
100040033
33
cm
N
L
EI
k
Kekakuan balok dan pegas:
2
320kg/dtN/cm2,31,22
pegasbalokparalel kkK
Frekuensi natural:
detik
rad56,0
1000
320
m
k
Tentukan besarnya frekuensi
natural struktur pada gambar
di samping.

13. Contoh 2
Jawab
Persamaan gerak:
Frekuensi natural:
Tentukan persamaan-persamaan gerak (perpindahan, kecepatan dan
percepatan) struktur pada gambar contoh 1.
Gunakan syarat awal getaran pada t=0, perpindahan (x) = 0 dan
kecepatan (dx/dt) = 5 cm/detik.
detik
rad56,0
ttVtAx
dt
xd
ttVtAx
dt
dx
tx
V
AtAx
56,0sin8,2sinsin
56,0cos5coscos
56,0sin
56,0
5
sin
2
..
2
2
.
Kecepatan awal (V) = 5 cm/dtk

14. Contoh 3
F(t)
F(t)
W8x24
m
200 lb/ft
15 ft
SDOF
Data yang diketahui:
E = 30.106 psi
I = 82,5 in4
W = 200 x 25 = 5000 lb
g = 386 ft/dt2
• Tentukan persamaan kesetimbangan struktur pada gambar diatas.
• Tentukan besarnya frekuensi natural struktur tersebut

15. Jawab
F(t)m
K
fs
m F(t)
I
(Model matematis) (Freebody Diagram)
Persamaan kesetimbangan:
tFxkxmtFfsI ..
..
Frekuensi natural:
spsfdtrad
m
k
g
W
minlb
L
IE
K
46.4
5000
386.10185
2
1
2
atau/041,28
5000
386.10185
386
5000
/10185
12.15
5,82.210.30.12212
3
6
3

16. EI=108
lb/in2
k = 2000 lb/in
L=100 in
k = 2000 lb/in
W = 3000 lb/in
Contoh 4
Jika berat W mempunyai perpindahan awal x0 = 1 inci dan kecepatan
awal V0 = 20 inci/detik, tentukan perpindahan dan kecepatan pada 1
detik kemudian.
Kekakuan balok: lb/in300
100
1033
3
8
3
L
EI
kbalok
Jawab
Kekakuan pegas: lb/in4000200022kkpegas
Kekakuan total:
lb/in43000004003
pegasbaloktotal kkK

17. Frekuensi natural:
detik
rad52,23
3000
3864300
m
k
in89,0
)52,23()52,23(085
)52,23()1()52,23(
52,23
20
V
detik)1(
0
tx
tCostSin
tCostSin
tCosxtSintCosBtSinAx
x0 = 1 inchi dan V0 = 20 in/dtk
in/detik66,22
)52,23(52,23)52,23(992,19
detik)1(
.
.
tx
tSintCosx

18. REDAMAN
• Redaman adalah jumlah energi yang terhambur atau lenyap ketika terjadi
satu siklus gerak bolak balik
• Redaman timbul karena ada gesekan internal dalam bahan ketika
mengalami gerakan.
• Redaman bisa juga berasal dari bantalan eksternal yang sengaja dipasang
seperti pada rel kereta api
• Redaman internal dapat berasal dari gesekan mikro bahan, dapat pula dari
gesekan dalam sambungan tidak rigid.
• Model redaman yang paling sering dipakai adalah model dashpot.
• Selain model dashpot, dapat juga dipakai model Coulomb, yaitu redaman
yang berasal dari friksi dan berbanding lurus dengan simpangan dan arah
gerakan

19. MODEL REDAMAN DASHPOT
Model redaman dashpot menghasilkan penurunan simpangan
mengikuti fungsi eksponen
Getaran bebas redaman viscous

20. MODEL REDAMAN COULOUMB
Struktur dengan redaman couloumb mempunyai persamaan gerakan
diferensial linier sehingga menjadi lebih mudah diselesaikan untuk kasus
respon getaran bebas ataupun respon akibat adanya gaya luar
Dalam praktek, redaman ini biasanya terjadi akibat hilangnya
sambungan, gesekan antar komponen dan redaman dari material yang
semuanya menyebabkan perilaku struktur menjadi nonlinier.

21. mgNf
kxf
ff
dt
xd
m
kkD
s
Ds 02
2
Model persamaan kesetimbangan:
……(39)
……(40)

22. MODEL BANDUL DENGAN REDAMAN
• Redaman digunakan untuk menghentikan getaran bebas dari suatu
struktur.
• Gaya redaman berbanding linier terhadap konstanta dashpot (c) dan
kecepatan gerak (V)
m
P(t)
K2K1 K,c
mP(t)
P(t)
m
x
K
I
c
P(t)
I
fs
fd

23. PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN
Persamaan kesetimbangan dapat ditulis:
)(
)(0
...
...
tPkxxcxm
kxfxcfxmI
tPffIH
sd
sd
Solusi persamaan difensial:
pt
pt
pt
Aep
dt
xd
pAe
dt
dx
Aex
2
2
2
……(16)
……(17)
……(18)
……(19)

24. Substitusi pers. (17, 18, 19) ke dalam pers. (16)
0
0
2
2
pt
ptptpt
Aekcpmp
AekpAecAepm
02 pt
Aekcpmp
Solusi nontrivial:
Akar-akar dari persamaan tsb. adalah:
……(20)
……(21)
m
k
m
c
m
c
p
2
2,1
22
Karena ada 2 nilai p, maka solusi persamaan differensial menjadi:
tptp
BeAex 21
Nilai p bisa bersifat riil atau imaginer, tergantung dari faktor
dibawah akar apakah positif atau negatif.
p riil persamaan gerak berupa fungsi eksponen
p imaginer persamaan gerak berupa fungsi berulang
(22)
……(23)

25. FAKTOR REDAMAN
0
222
22
2,1
m
k
m
c
m
k
m
c
m
c
p
Berdasarkan pers. 22, jika nilai variabel didalam tanda akar = 0
Maka,
crcmk
m
k
mc
m
k
m
c
m
k
m
c
22
2
0
2
2
2
Ccr disebut dengan faktor redaman kritis
Keadaan redaman kritis adalah batas antara redaman berlebih (over damped)
dan redaman kurang (under damped)
Kasus Redaman Kritis……

26. Pada kondisi redaman kritis,
m
c
p
m
k
m
c
m
k
m
c
m
c
p
2
0
222
22
2,1
Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah:
t
m
c
pt
eex 2
……(24)
……(25)
Kasus Redaman Kurang (Under-damped)……
Jika nilai koefisien redaman lebih kecil dari koefisien
redaman kritis (c < ccr)
2
2,1
22
2,1
22
222
m
c
m
k
i
m
c
p
m
k
m
c
m
k
m
c
m
c
p
……(26)

27. Untuk menyelesaikan persamaan dengan bilangan imaginer, maka
digunakan persamaan Euler:
tSinitCose
tSinitCose
it
it
Sehingga, solusi persamaan gerak adalah:
2
2
2m
c
m
k
tSinBtCosAex
D
DD
t
m
c
……(27)
……(28)
……(29)
……(30)
Persamaan 30 dapat juga ditulis dalam bentuk:
cr
cr
D
D
c
c
c
c
mk
c
11
4
1
2
2
2
2
……(31)
……(32)
……(33)

28. Kasus Redaman Berlebih (Over-damped)……
Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari
koefisien redaman kritis yaitu:
cr
cr
cc
c
c
1 ……(34)
tptp
BeAex 21
Sehingga solusi persamaan geraknya menggunakan solusi dasar untuk getaran
bebas teredam, yaitu menggunakan persamaan (23)…..
Kurva hubungan perpindahan-waktu untuk kondisi redaman yang berbeda

29. MENENTUKAN FAKTOR RASIO REDAMAN
Terdapat dua metode untuk menentukan besarnya faktor rasio redaman, yaitu:
Metode setengah amplitudo
Metode pengurangan logaritmik
D
D
T
Q
P
T
e
x
x D
2
METODE SETENGAH AMPLITUDO
……(35)
……(36)
Dimana:
xP = perpindahan awal
xQ = perpindahan setelah 1 siklus
ξ = faktor rasio redaman
ω = frekuensi natural
TD = periode teredam

30. METODE PENGURANGAN LOGARITMIK
D
Q
P
T
x
x
ln
2
1
22
D
DT
2
1
2
DT
……(37)
……(38)
Kurva hubungan antara jumlah putaran (N) dan faktor rasio
redaman:
Dimana:
xP = perpindahan awal
xQ = perpindahan setelah 1 siklus
ξ = faktor rasio redaman
ω = frekuensi natural
TD = periode teredam
δ = pengurangan logaritmik
ωD = frekuensi teredam

31. Contoh 5
Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa terpusat bergerak
dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan.
Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang mengindikasikan
bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi natural pada titik
a dalam radian/detik dan hertz. Hitung pula periodennya.

32. Jawab
Pada titik a, massa telah bergetar sepanjang 1,25 putaran.
Hz125.3
4.0
putaran25.1
s
fn
rad/s6.19)125.3)(28.6(2 nn f
s
f
T
n
n 32.0
125.3
11

33. Contoh 6
Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan
K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak
1,0 dan 0,85.
Tentukan:
• Frekuensi natural
• Pengurangan logaritmik
• Faktor rasio redaman
• Faktor redaman
• Frekuensi teredam
Jawab
detik
rad78,27
386/10
20
m
k
SPSf 42,4
2
78,27
2
Frekuensi natural:

34. 165,0
85,0
1
lnln
2
1
x
x
0256,0
165,014,32
165,0
21
2
2
Pengurangan logaritmik:
Faktor rasio redaman:
Faktor redaman:
in
dtk
lbcc cr 037,0
386
10202256,0
Frekuensi teredam:
dtk
rad
D 422,270256,0178,271 2

35. Contoh 7
Sebuah lantai seberat W = 4000 lb ditunjang oleh 4 buah kolom yang sama
dan diikat pada pondasi, demikian pula pada lantai. Secara eksperimental
telah ditentukan gaya statis sebesar P = 1000 lb bekerja horizontal pada
lantai itu dan mengakibatkan perpindahan x sebesar 0,1 in. Diperkirakan
redaman struktur sebesar 5% dari redaman kritis. Tentukan:
• Frekuensi natural tak teredam
• Koefisien redaman absolut dan redaman kritis
• Jumlah siklus dan waktu yang diperlukan supaya amplitudo gerakan
berkurang dari harga awal 0,1 in menjadi 0,01 in.
Jawab
inlbkxkP /10000
1,0
1000
.
detik
rad06,31
386/4000
10000
m
k
Frekuensi natural:

36. in
dtlb
mkccr
.
8,643386/4000.1000022
314,0
05,01
05,014,32
1
2
22
in
dtk
lbcc cr 19,328,64305,0
Faktor redaman kritis:
Pengurangan logaritmik:
Faktor redaman absolut:
37,1314,0ln
Q
P
Q
P
x
x
x
x
Frekuensi teredam:
dtk
rad
D 02,3105,0106,311 22

37. siklus833,7
0,314
10ln
314,0
01,0
1,0
ln
...ln
.... 1
2
1
1
kk
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Q
P
Q
QP
Q
P
Periode teredam:
det2025,0
02,31
14,322
D
DT
Waktu untuk 8 siklus:
det62,1det2025,088siklus8 DTt

38. Contoh 8
EI=400 KN/cm2
K = 2 N/cm
L=100 cm
c = 200 kg/dtk
m = 1000 kg
Tentukan solusi persamaan gerak
dari struktur pada gambar
disamping.
Jawab
Kekakuan balok: N/cm1,2KN/cm0012,0
100
40033
33
cm
KN
L
EI
k
Kekakuan balok dan pegas:
2
kg/dt320N/cm2,322,1
pegasbalokparalel kkK
Frekuensi natural: detik
rad56,0
1000
320
m
k

39. i
m
k
m
c
m
c
p
55,01,032,001,01,0
22
2
2,1
Keadaan redaman kurang (under-damped)
55,0
32010004
200
156,0
4
1
22
mk
c
D
Persamaan solusi getaran beban dengan redaman untuk kondisi redaman
kurang (under-damped) adalah:
tSinBtCosAe
tSinBtCosAex
t
DD
t
m
c
55,055,01,0
2
Misalkan syarat awal getaran pada t = 0 adalah x = 0,3 dan dx/dt = 0
Maka didapatkan nilai konstanta A = 0,3 dan B = 0
tCosex t
55,03,01,0
Pengurangan simpangan setelah 10 detik adalah 0,369 kali simpangan awal.

40. GETARAN PAKSA STRUKTUR TANPA REDAMAN
Getaran paksa adalah getaran yang disebabkan beban luar yang bergetar
Getaran bebas adalah getaran yang diakibatkan beban luar pada keadaan
awal saja. Selanjutnya struktur bergetar bebas tanpa beban.
m
K
x
P
P
K1 K2
m
Model persamaan kesetimbangan:
tSinPxk
dt
xd
m .. 2
2
……(41)

41. Persamaan (34) merupakan persamaan diferensial non-homogin. Sehingga
solusi persamaan geraknya terdiri dari:
• Solusi homogin (solusi umum) yaitu solusi yang menghasilkan persamaan
gerak getaran bebas
• Solusi khusus (disesuaikan dengan bentuk beban)
Bentuk solusi umum:
t
m
k
CosBt
m
k
SinAx
tCosBtSinAx
Bentuk solusi khusus:
tSinX
dt
xd
tCX
dt
dx
tSinXx
2
2
2
os
……(42)
……(43)
……(44)
……(45)

42. Substitusi persamaan solusi khusus ke dalam persamaan
kesetimbangan, menghasilkan persamaan:
r
rk
P
k
P
X
1
1
2
2
2 ……(46)
……(47)
Dimana X adalah amplitudo getaran dan r adalah rasio antara frekuensi beban
luar dan frekuensi alami
Sehingga, solusi persamaan gerak secara lengkap yang terdiri dari solusi umum
dan solusi khus adalah
tSin
rk
P
tCosBtSinAx 2
1
……(48)

43. RESONANSI DAN PEMBESARAN DINAMIS
Persamaan (41) menunjukkan bahwa bentuk solusi persamaan
gerak adalah superposisi dari getaran bebas dan getaran akibat
beban luar.
tSin
rk
P
tCosBtSinAx 2
1
Getaran bebas Getaran beban luar
Pada suku ketiga (akibat getaran beban luar), bila frekuensi
getaran luar mendekati frekuensi alami struktur, (r mendekati
1) maka nilai suku ketiga tersebut akan mendekati tak hingga.
Keadaan ini disebut resonansi.
1...00,0....9999,011 2
k
P
k
P
tSin
rk
P
x

44. 22max
1
1
1 rk
P
rk
P
x
Nilai x maksimum akan terjadi bila:
1tSin
……(47)
Simpangan statis (xst)
Faktor pembesar dinamis 2
1
1
r
D ……(48)
Kurva hubungan antara rasio
frekuensi dan faktor pembesar
dinamis

45. Contoh 9
Suatu sistem mempunyai k = 40 lb/in dan berat benda 38,6 lb. Jika x0 = dx0/dt = 0
dan gaya luar P(t) = 10 cos (10)t, tentukan persamaan geraknya dan sketsa hasilnya.
Jawab
tBtAt
r
k
P
x cossincos
1 2
Dari persamaan (41)
tBtAt
r
kP
x sincossin
1
/
2
.

46. rad/s20
)6.38(
)386(402
1
2
1
W
kg
m
k
nFrekuensi natural:
in.25.0
40
10
k
P
XstSimpangan statis:
5.0
20
10
rRasio frekuensi:
in33.0
25.01
25.0
)5.0(1
25.0
1
/
22max
r
kP
x
in33,0
1
/
1
/
0)0( 22
r
kP
BB
r
kP
x
Gunakan kondisi awal untuk menentukan A dan B
000)0(
.
AAx

47. ttx
ttx
tBtAt
r
k
P
x
20cos10cos33,0
20cos33,010cos33,0
cossincos
1 2

48. GETARAN PAKSA STRUKTUR DENGAN REDAMAN
Model persamaan kesetimbangan:
tSinPkx
dt
dx
c
dt
xd
m. 2
2
……(49)
Solusi dari persamaan kesetimbangan tersebut terdiri dari solusi
umum dan solusi khusus.

49. Solusi umum (solusi persamaan getaran bebas teredam)
tSinBtCosAex DD
t
m
c
2
Solusi khusus (tergantung pada bentuk beban luar) bisa berbentuk fungsi
trigonometri atau fungsi eksponen.
tCosCtSinCx 21
……(50)
……(51)
Atau…
ti
ti
ti
Ce
dt
xd
Cei
dt
dx
Cex
2
2
2
……(52)
……(53)
……(54)
Substitusi pers. (51) ke pers. (49)……
cimk
P
C
PkCcCiCm
2
2
.
.
……(55)

50. Sehingga, solusi khusus dapat ditulis:
ti
ti
e
cimk
P
x
Cex
2
. ……(56)
Untuk menghilangkan bilangan imaginer pada ruas penyebut,
maka digunakan bantuan persamaan trigonometri dan
Euler.Didapatkan hasil akhir:
222
. cmk
Pe
x
i
……(57)
i
cr
e
rrk
P
x
m
k
mkc
2222
21
2
Persamaan (57) dapat juga ditulis dalam bentuk:
……(57)
statisx

51. RESONANSI PADA GETARAN PAKSA
1maksimumNilai
xstatisSimpangan
21
st
222 i
i
e
k
P
rrk
Pe
x
222
21
1
rr
D
Dari persamaan (57)…
Sehingga didapatkan:
Pada keadaan resonansi (r = 1)
2
1
D
……(58)
……(59)

52. Tipe Bangunan Rasio Redaman
Rangka baja terbuka, sambungan las, dinding lentur
Rangka baja, sambungan las, memakai lantai dan
dinding sekat
Rangka baja, sambungan baut, memakai lantai dan
dinding sekat
Rangka beton dengan dinding lentur
Rangka beton dengan dinding sekat
Rangka beton dengan dinding bata
Dinding geser beton
Rangka kayu dan dinding geser
0,02
0,05
0,1
0,05
0,07
0,1
0,1
0,15
Tabel Nilai Rasio Redaman pada berbagai jenis struktur
berdasarkan SNI-1726-2002

53. Contoh 10
Sebuah balok pada tengah bentangnya memikul sebuah mesin dengan berat W =
1000 lb. Balok ini terbuat dari 2 profil standard S8 x 23 dengan bentang bersih L =
12 ft dan dengan momen inersia penampang total I = 2 x 64,2 = 128,4 in4. Motor
berotasi pada 300 rpm (putaran per menit), dengan ketidakseimbangan rotornya
sebesar W’=40 lb pada jari-jari e0 = 10 in. Berapa besar perpindahan statis jika
redaman liat (redaman viskous) dianggap ekivalen dengan 10% redaman kritis.

54. Jawab
lb/in61920
144
4,12810304848
3
6
3
L
EI
k
rad/s65,83
)16000(
)386(619202
1
2
1
W
kg
m
k
nFrekuensi natural:
Frekuensi beban = 300 rotasi per menit, maka
rad/s41,31
60
2300
Rasio frekuensi: 813,0
65,38
41,31
r
Gaya luar: lb1022386/41,311040
2
P
Perpindahan statis:
in044,0
1,0813,02813,01
61920/1022
21
222
222
rrk
P
x

55. 9

56. GETARAN AKIBAT BEBAN IMPULS
Beban dinamik tidak selalu bergetar periodik seperti fungsi
sinus atau cosinus, tetapi dapat juga berubah secara tak tentu.
Salah satu bentuk beban dinamis adalah beban impuls, yaitu
beban yang bekerja sesaat tetapi dapat menimbulkan getaran
setelah beban tesebut dihilangkan.
P(t)
Po
tr t
Contoh bentuk-bentuk beban impuls:

57. Percepatan yang timbul akibat beban impuls:
m
Fdt
dt
xd
2
2
Getaran yang dihasilkan akibat beban impuls adalah getaran bebas teredam.
Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah:
tSinBtCosAe
m
c
dt
xd
tCosBtSinAe
m
c
dt
dx
tSinBtCosAex
DDDD
t
m
c
DDDD
t
m
c
DD
t
m
c
222
2
2
2
2
2
2
4
2
……(60)
……(61)
……(62)
……(63)
2
2m
c
m
k
Ddengan

58. Masukkan syarat batas:
m
Fdt
dt
xd
dt
dx
x 2
2
00)0(
Didapatkan:
Dm
Fdt
BA 0
Sehingga, solusi pers. Gerak akibat beban impuls untuk
sistem dengan redaman adalah:
tSin
m
Fdt
ex D
D
t
m
c
2
Dan solusi persamaan gerak untuk sistem tanpa redaman:
tSin
m
Fdt
x
……(64)
……(65)
F
t
x
t

59. GETARAN AKIBAT BEBAN DINAMIS KOMPLEKS
Beban dinamis kompleks adalah jumlah dari beban impuls,
sehingga pengaruhnya adalah superposisi dari sejumlah besar
beban impuls.
Digunakan variabel waktu beban (τ) dan waktu getaran (t)
untuk menjabarkan pembebanan dinamis kompleks.

60. Solusi persamaan gerak akibat beban impuls satuan adalah:
tSin
m
Fd
x ……(66)
Sehingga superposisi/gabungan dari sejumlah beban impuls
satuan menghasilkan solusi persamaan gerak:
t
dtFSin
m
x
0
1
……(67)
Bentuk persamaan integral diatas disebut dengan integral
duhamel/integral konvolusi

61. BEBAN MERATA YANG BEKERJA TIBA-TIBA DARI t = O
k
F
x
tCos
k
F
tCos
m
F
dtSinF
m
x
st
t
0
0
0
0
0
0
1
1
(68)
P(t)
Po
t
Nilai maksimum dari (1-cos ωt) = 2.
Sehingga nilai pembesaran simpangan adalah 2 kali simpangan
statis (xst)
Grafik hubungan pembesaran
simpangan dan waktu untuk
sistem SDOF teredam………

62. BEBAN SEGI EMPAT YANG BEKERJA DENGAN INTERVAL WAKTU TERBATAS
Misal:
Daerah pada saat impuls masih bekerja (0 < t < td),maka td = 5/4 Tn
Daerah pada saat impuls masih bekerja (t > td),maka td = 1/8 Tn

63. Getaran paksa terjadi sampai interval waktu td . Setelah waktu td, terjadi
getaran bebas dengan syarat awal posisi pada td.
Solusi persamaan gerak pada waktu sebelum td (0 < t < td),
tCos
k
F
ttCos
m
F
dtttSinF
m
x
dt
d
t
dd
1
1
0
0
0
0
0
Solusi persamaan gerak pada saat td (t = td),
d
d
tSin
k
F
dt
dx
tCos
k
F
x 1
0
0
…(69)
…(70)
…(71)

64. Solusi persamaan gerak setelah waktu t1 (t > t1) mempunyai bentuk getaran
bebas:
11
0
11
0
1 ttSintSin
k
F
ttCostCos
k
F
x
tBSintACosx
…(72)
Faktor Pembesaran Dinamis:
stx
x
FBD …(73)
Untuk (0 < t < t1),
T
t
CostCosFBD 211
Untuk (t > t1),
T
t
Cos
T
t
T
t
CosFBD 22 1
…(74)
…(75)

65. Kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak
teredam yang dibebani dengan beban merata segi empat untuk waktu terbatas:

66. BEBAN IMPULS SEGITIGA
untuk t0
0untuk1
1
1
1
1
0
0
tF
tt
t
t
FF
dtFSin
m
x
t
Solusi persamaan geraknya menggunakan
persamaan (66)
…(76)Sehingga, untuk interval waktu 10 tt
tSin
t
tCos
t
t
k
F
x
11
1
1 .…(78)
.…(76)
.…(77)
Untuk interval waktu 1tt
111
1
1
1
tSinttCostCostSin
tk
F
x .…(79)

67. Kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak
teredam yang dibebani dengan beban merata segi tiga:

68. Contoh 11
Sebuah kerangka baja dipengaruhi gaya horizontal pada balok. Gaya brkurang
secara linier dari 5 kip pada saat t = 0 menjadi nol pada saat t = 0,6
detik.Tentukan lendutan horizontal pada saat t = 0,5 detik dan lendutan
horizontal maksimum (dengan anggapan bahwa kolom tidak bermassa, balok
sangat kaku dan redaman diabaikan.

69. Jawab
rad/s44,01
20000
3862,56502
1
m
k
Data beban:
in
lb
L
EI
L
EI
kkk
2,5650
1220
8,8210303
1215
8,82103012
312
3
6
3
6
2
2
2
1
21
F
t
t1=0,6 s
F=5 kips

70. Dari pers. (78) untuk t = 0,5 detik:
tSin
t
tCos
t
t
k
F
x
11
1
1
in0,4072-
5,044,10
6,044,10
1
5,044,10
6,0
5,0
1
2,5650
5000
SinCosx
Perpindahan maksimum:
Dari kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak
teredam yang dibebani dengan beban merata segi tiga,
in37,1
2,5650
5000
55,1
k
F
55,155,155,1
1,55(FBD)maxdidapatkankurvadr9972,0
602,0
6,0
s602,0
44,10
22
max
max
1
st
st
xx
x
x
T
t
T

71. Contoh 12
Sebuah gedung yang ditujukan untuk mendapatkan gaya ledak dibuat model
dengan sistem SDOF. Tentukan gaya ledak maksimum yang dapat ditahan bila
perpindahan dibatasi sampai 5 mm dan apabila : (1) t1 = 0.4 s, (2) t1 = 0.04 s
Jawab
s21,0
2
T
rad/s30
106
109
6
92
1
m
k
Frekuensi natural:

72. Berdasar kurva Faktor Pembesaran Dinamis (FBD) untuk beban segitiga:
Untuk t1 = 0,4 s dan x = 5 mm = 0,005 m
NP
P
k
P
x
x
xx
x
FBD
FBD
T
t
st
st
stst
6
9
max
1
107,25
10.9
00286,0
00286,0
005,0
75,1
75,1905,1
Untuk t1 = 0,04 s dan x = 5 mm = 0,005 m
NP
P
k
P
x
x
xx
x
FBD
FBD
T
t
st
st
stst
6
9
max
1
106,77
10.9
0263,0
0263,0
005,0
19,0
58,019,0

73. 10

74. SISTEM BANYAK DERAJAT KEBEBASAN

75. PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN DUADERAJAT KEBEBASAN
Persamaan Kesetimbangan Massa 1:
0211
21
12
1
2
1 xxk
dt
xxd
c
dt
xd
m .…(85)
Persamaan Kesetimbangan Massa 2:
0211
21
122
2
22
2
2
2 xxk
dt
xxd
cxk
dt
dx
c
dt
xd
m (86)

76. Kedua persamaan tersebut disusun dalam bentuk matriks:
0
0
0
0
2
1
211
11
2
1
211
11
2
2
2
2
1
2
2
1
dt
dx
dt
dx
ccc
cc
x
x
kkk
kk
dt
xd
dt
xd
m
m
(87)
02
2
dt
dx
CxK
dt
xd
M (88)
Untuk redaman = 0
02
2
xK
dt
xd
M (89)

77. Solusi persamaan homogen tersebut adalah: x
dt
xd 2
2
2
Dengan ω adalah frekuensi alami getaran.
Substitusi persamaan (90) ke dalam persamaan (89):
(90)
02
xKxM (91)
Atau:
0
12
xIxMK (92)
2
1 1
danDMK
Maka diperoleh persamaan homogen: 0xID
Yang menghasilkan nilai eigen λ dan eigen vektor (x) melalui
persamaan penentu:
0IDDet
(93)
(94)
[D] adalah
matriks dinamis

78. Contoh 15
Tentukan bentuk ragam (mode-
shape) dari struktur disamping
Jawab
Matriks kekakuan:
kk
kkK
kk
kk
K
3
1
3
1
3
1
3
4
4
1
Matriks massa:
m
m
M
0
0

79. Matriks dinamik:
k
m
k
m
k
m
k
m
MKD
33
33
4
1
k
m
k
m
k
m
k
m
ID
33
33
4
0
333
4
0
2
k
m
k
m
k
m
IDDet
k
m
k
m
mkmkm
mkmkm
k
k
m
k
m
k
m
51,0833,0
09154
0334
30
333
4
2,1
2222
2
2

80. m
k
k
m
m
k
k
m
,0903323,0
,7440343,1
2
2
2
1
Ragam getaran diperoleh dengan memasukkan nilai frekuensi alami ke dalam
persamaan gerak:
0
12
xIxMK
k
m
k
m
k
m
k
m
MKD
33
33
4
1
Ragam 1
m
k
,74402
0
0
10
01
33
33
4
744,0
2
1
2
1
x
x
x
x
k
m
k
m
k
m
k
m
m
k

81. 00,1
07,3
0
0
10
01
248,0248,0
248,0992,0
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
Ragam 2
m
k
,09032
0
0
10
01
33
33
4
090,3
2
1
2
1
x
x
x
x
k
m
k
m
k
m
k
m
m
k
00,1
33,0
0
0
10
01
03,103,1
03,112,4
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x

82. Contoh 16
Model bangunan penahan geser digunakan untuk kerangka seperti gambar .
Tenukan frekuensi natural dan bentuk ragamnya.
Jawab
m1 m2
K1 K2

83. in
kips
L
IE
K
in
kips
L
EI
L
EI
L
IE
K
889,13
in1210
10212)2(12
028,6
in1212
10181812)2(3
3
6
3
2
1
3
6
3
1
3
1
3
1
1
in
dtK
g
W
m
in
dtK
g
W
m
2
2
2
2
2
2
1
1
1554,0
dt
in386
ft203
2073,0
dt
in386
ft402
1554,00
02073,0
0
0
2
1
m
m
M
889,13889,13
889,1397,19
22
221
kk
kkk
K

84. Dengan cara yang sama seperti contoh 15, didapatkan hasil:
2
1 1
danMKD
2)(ragam21,170
1)(ragam27,15
0
2
2
2
1
IDDet
0
12
xIxMK
206,1
00,1
1Ragam
2
1
x
x
107,1
00,1
1Ragam
2
1
x
x

85. 11

86. PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN TIGADERAJAT KEBEBASAN
Gaya inersia:
3
2
33
2
2
22
1
2
11
xmF
xmF
xmF
i
i
i
Gaya elastis:
333
3222
2111
XkF
XXkF
XXkF
i
E
E
(95)
(96)
(97)
(98)
(99)
(100)

87. 02
0
0
321
32
233
3
32
3
2
3
211
21
1322
32
22
2
2
1
211
21
12
1
2
1
xxk
dt
xxd
cxk
dt
dx
c
dt
xd
m
xxk
dt
xxd
cxxk
dt
xxd
c
dt
xd
m
xxk
dt
xxd
c
dt
xd
m
Persamaan kesetimbangan untuk masing-masing tingkat:
Dalam bentuk matriks:
0
0
0
0
0
0
0
00
00
00
3
2
1
322
2211
11
3
2
1
322
2211
11
2
3
2
2
2
2
2
1
2
3
2
1
dt
dx
dt
dx
dt
dx
ccc
cccc
cc
x
x
x
kkk
kkkk
kk
dt
xd
dt
xd
dt
xd
m
m
m
02
2
dt
dx
CxK
dt
xd
M
(104)
(102)
(103)
(101)
(105)

88. Untuk redaman nol:
02
2
xK
dt
xd
M (106)
x
dt
xd 2
2
2
(107)
Dengan cara yang sama dengan sistem 2 derajat kebebasan,
didapatkan nilai eigen dan vektor eigen (λ):
0IDDet (108)
Perhitungan ragam struktur dengan mencari matriks D atau
invers matriks K untuk struktur dengan banyak derajat
kebebasan, sangat susah untuk dilakukan.
Oleh karena itu, digunakan metode iterasi untuk mempermudah
perhitungan. Metode iterasi yang biasa dipakai adalah
metode STODOLA dan HOLZER.

89. METODE ALTERNATIF:
02
2
xK
dt
xd
M
x
dt
xd 2
2
2
0
0
2
2
xMK
xKxM
Nilai eigen: 02
MK
Bentuk ragam perpindahan struktur dapat diperoleh
menggunakan persamaan (109)
(109)
(110)

90. Contoh 17
Suatu struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem berderajat kebebasan tiga
dengan data-data seperti pada gambar. Tentukan frekuensi natural dan bentuk
ragamnya.
Jawab
lb/in30000
lb/in40000
lb/in50000
3
2
1
K
K
K
in/lb.dt36,10kips4
in/lb.dt54,15kips6
in/lb.dt91,25kips10
2
33
2
22
2
11
mW
mW
mW

91. Dalam bentuk matriks:
30000300000
300007000040000
04000090000
0
0
33
3322
221
kk
kkkk
kkk
36,1000
054,150
0091,25
00
00
00
3
2
1
m
m
m
02
MKDet
0
36,1030000300000
3000054,157000040000
04000091,2590000
2
2
2
Det

92. 0106102173,145346360641,4169
0)]36,1030000(40000(40000)30000)(30000(
)36,1030000)(54,1570000)[(81,2590000(
1321146
2
222
rad/dtk64,836996
rad/dtk96,563244
rad/dtk17,2578,633
3
2
3
2
2
2
1
2
1
02
xMK
Ragam 1:
0
0
0
36,1030000300000
3000054,157000040000
04000091,2590000
31
21
11
2
1
2
1
2
1
x
x
x

93. Ragam 2:
0
0
0
36,1030000300000
3000054,157000040000
04000091,2590000
32
22
12
2
2
2
2
2
2
x
x
x
Ragam 3:
0
0
0
36,1030000300000
3000054,157000040000
04000091,2590000
33
23
13
2
2
2
2
2
2
x
x
x
6102,12362,13551,2
2804,21490,08396,1
111
333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx

94. 12

95. METODE STODOLA
Digunakan untuk sistem MDOF tanpa redaman.
Jika sistem bergetar tanpa redaman, maka terjadi
keseimbangan antara gaya inersia dan gaya elastis.
02
2
xK
dt
xd
M
xMKx
xKxM
xKxM
1
2
2
2
1
0
(111)
(112)
(113)
(114)
D Matriks dinamis

96. Analisa mode-mode batas:
Mode terendah: xDx2
1
Mode tertinggi: KMExEx
12
Mode antara
DSD nn 1
0SISn
0S Didapat dari ragam yang setingkat lebih rendah.
Misal: matriks S0 untuk mode 2 didapat dari
bentuk ragam mode 1
0000
0000
0000
.... 11223344
0
xmxmxmxm
S
(115)
(116)
(117)
(118)
(119)
Misal, untuk
gedung 4 lantai:

97. METODE HOLZER
Perbedaan pokok metode Stodola dan Holzer:
•Cara Holzer memakai perumpamaan pada natural
frequency
•Cara Holzer dapat menentukan mode ke-n yang
dikehendaki tanpa harus mengetahui mode ke-(n-1)
terlebih dahulu.
Persamaan dasar cara Holzer: xKxM2
(120)

98. Contoh 18
Suatu bangunan dengan 3 buah massa satuan = m dan kekakuan = k seperti
pada gambar dianggap bergetar horizontal. Tentukan bentuk ragam struktur
tersebut.

99. Menyusun matriks kekakuan:
520
231
011
0
0
122
2233
33
kkk
kkkk
kk
kK

100. 222
255
2511
6
11
K
KF
Matriks Fleksibilitas:
Matriks massa:
300
040
006
6
1
200
05,10
001
00
00
00
1
3
2
1
m
M
m
m
m
mM
Matriks dnamis: MFD
432
45,75
45,711
6
200
05,10
001
222
255
2511
6 k
m
k
m
D

101. Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 1:
xDx2
1
Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya:
3,0
5,0
1
x
Iterasi-1:
2947,0
6238,0
1
6
95,15
7,4
95,9
95,15
6
3,0
5,0
1
432
45,75
45,711
6 k
m
k
m
k
m
Iterasi-2:
konvergen.xnilaidengansampai
.....!
2996,0
6441,0
1
6
8573,16
0502,5
8573,10
8573,16
6
2947,0
6238,0
1
432
45,75
45,711
6
dst
k
m
k
m
k
m

102. Pada iterasi ke-7 didapatkan:
3019,0
6485,0
1
6
0714,17
1531,5
0714,11
0714,17
6
3019,0
6485,0
1
432
45,75
45,711
6 k
m
k
m
k
m
2
1 Bentuk
ragam
Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 3:
KMExEx
12
1560
8124
066
6
520
231
011
300
040
006
6 m
k
m
k
E

103. Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya:
1
1
1
x
Iterasi-1:
75,1
2
1
2
21
24
12
6
1
1
1
1560
8124
066
6 m
k
m
k
m
k
Iterasi-2:
konvergen.xnilaidengansampai
.....!
13,2
33,2
1
3
25,38
42
18
6
75,1
2
1
1560
8124
066
6
dst
m
k
m
k
m
k

104. Iterasi-1:
Pada iterasi ke-10 didapatkan:
2
Bentuk
ragam
44,2
54,2
1
6
25,21
82,51
54
25,21
6
44,2
54,2
1
1560
8124
066
6 m
k
m
k
m
k
Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode
antara/mode 2 (menggunakan nilai x dari mode 1):
000
000
5,087,01
000
000
1
000
000
33
11
33
22
33
11
33
22
33
33
0
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
S

105. 100
010
5,087,00
000
000
5,087,01
100
010
001
01 SIS
326,10
5,115,30
5,107,20
6
100
010
5,087,00
432
45,75
45,711
6
12
k
m
k
m
SDD
xxD 22
1
Persamaan iterasi:

106. 19,1
3,1
1
6
57,3
26,4
65,4
57,3
6
1
1
1
326,10
5,115,30
5,107,20
6 k
m
k
m
k
m
Iterasi 1:
Iterasi 2:
16,1
31,1
1
6
48,4
26,4
65,4
57,3
6
19,1
3,1
1
326,10
5,115,30
5,107,20
6 k
m
k
m
k
m
Dst…
Sampai nilai (x) konvergen.
m
k
m
k
k
m
3453,1
48,4
6
6
48,41 2
22
2
15,1
32,1
1
2x

107. Note:
Mode antara (mode 3) untuk gedung 4 lantai
(gunakan nilai (x) dari mode 2)
xxD
DSD
SSS
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
xm
S
23
223
112
44
11
44
22
44
33
44
11
44
22
44
33
44
44
1
1
'
0
0
0
0
0
0
0
0
0
000
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
000'

108. METODE HOLZER
Mode 1

109. Mode 2

110. Mode 3

111. 13

112. PERSAMAAN GERAK DENGAN METODE ENERGI
Selain dengan persamaan keseimbangan, persamaan
gerak getaran juga dapat diturunkan dengan metode
energi.
Berdasarkan hukum kekekalan energi maka energi
gerak timbul akibat perubahan dari energi regangan,
energi kinetik dan energi redaman.
Untuk kasus getaran bebas tanpa redaman, energi
yang terlibat adalah energi regangan dan energi
kinetik dari massa yang mendapat percepatan.
Energi regangan pada pegas yang berdeformasi dari
posisi seimbang adalah:
2
2
1
kxE (121)

113. 2
2
1
kxE
P = kx
x
Energi kinetik dari massa yang
mendapat percepatan :
dtdv
2
2
22
2
1
2
1
dt
xd
m
dt
dv
mV
Energi total:
2
2
2
2
2
1
2
1
dt
xd
mkx
(122)
(123)
karena variasi energi sama dengan nol, maka didapat
persamaan
0 02
2
dt
xd
mkx (123)

114. Energi regangan pada balok atau tiang kantilever dengan
perpindahan ujung tempat massa terpusat X adalah:
y
X x = X
22//
0
2
2
2
0
2
1
)(
2
1
2
1
KXdyXEIdy
dy
xd
EIE
lL
dyEIK
L 2
0
//
K = konstanta pegas balok dinyatakan dalam fungsi
ragam
x
(124)
(125)

115. Besar energi kinetik jika massa terpusat diujung adalah:
2
2
22
2
1
2
1
dt
Xd
m
dt
dv
mV
dengan prinsip kekekalan energi, didapat persamaan
keseimbangan:
02
2
dt
Xd
mKX
(126)
(127)

116. MODEL GERAK BENDA KAKU DAN TUMPUAN ELASTIS
y
x X(t)
L
Gerakan struktur, selain
disebabkan sifat elastis struktur,
juga disebabkan sifat elastis
tumpuannya.
Bila struktur dianggap kaku,
maka simpangan salah satu titik
dapat digunakan untuk
menghitung simpangan di titik
lain.
X
L
y
x (128)
Jika pusat massa pada posisi y, maka percepatan massa adalah:
2
2
2
2
2
2
dt
Xd
L
y
X
L
y
dt
d
dt
xd
(129)

117. Sehingga, persamaan kesetimbangan menjadi:
0
0
2
22
2
2
KX
dt
Xd
L
y
m
KXLy
dt
Xd
L
y
m
m
k
y
L
tBtAX cossin
(130)
(131)
(132)
Contoh 19
ScanTeknik gempa hal 77

118. Sebuah balok kaku terdiri dari tumpuan sendi dan pegas, dua
massa dan satu redaman.
Jika koordinat umum diwakili oleh simpangan X, maka simpangan
dari massa 1 adalah (-0,25X), simpangan massa 2 adalah (0,25X)
dan simpangan redaman sebesar (0,5X), maka didapat persamaan
gerak:
0425,025,025,0 2
2
22
2
1 kXa
dt
dX
ca
dt
Xd
ma
dt
Xd
ma
……(133)
Atau:
0425,0 2
2
21 Xak
dt
dX
ac
dt
Xd
mma ……(134)
Atau:
0**
2
2
*
XK
dt
dX
C
dt
Xd
M ……(135)
Dimana M* adalah massa umum, C* adalah redaman umum dan
K* adalah kekakuan bersama.

119. SISTEM MASSA TERDISTRIBUSI
Tidak semua bangunan dapat dimodelkan dengan sistem
massa terpusat pada beberapa titik.
Beberapa bangunan (seperti menara), memiliki masa yang
terdistribusi pada seluruh bangunan. Namun sistem ini tetap
dapat bergetar dengan beberapa ragam getar
Pada sistem massa terdistribusi ini, fungsi ragam getar
dinyatakan dalam rasio terhadap salah satu titik patokan yaitu:
X(y,t) = f(y).X0(t)
f(y) adalah fungsi ragam,
X(y,t) adalah fungsi getaran atau perpindahan pada titik y,
X0(t) adalah fungsi getaran atau perpindahan pada titik
patokan yang mewakili getaran bersama
(136)

120. Simpangan pada titik patokan
X0, kemudian dinyatakan
dalam persamaan gerak
harmonis yaitu:
tBtAX cossin0
……(137)
jika fungsi ragam diketahui dan ini tidak dipengaruhi oleh
variabel-t, maka persamaan gerak dapat dinyatakan dalam
koordinat umum yaitu X0.
Untuk mencari massa umum, redaman umum dan kekakuan
umum, digunakan metode emergi

121. contoh 20
sebuah kolom kantilever prismatis dengan massa dan
redaman terdistribusi
Gerakan selama getaran adalah:
X(y,t) = f(y)X0(t)
Energi regangan akibat simpangan
elastis adalah:
2
0
2
2
22
2
2
0
2
1
2
1
Xdy
dy
fd
EIdy
dy
xd
EIV
H
Energi ini harus sama dengan energi regangan kekakuan umum
K* yaitu:
2
0
*
2
1
XKV
……(138)
……(139)
……(140)

122. Dari persamaan energi ini dapat diperoleh nilai kekakuan
umum:
dy
dy
fd
EIK
H 2
0
2
2
*
Dengan cara yang sama didapat nilai redaman umum C* dan
massa umum M*
dy
dy
df
cC
H 2
0
* dymfM
H
0
2*
……(141)
……(142) ……(143)
Persamaan getaran bebas sistim massa dan redaman terdistribusi
sekarang dapat dinyatakan dalam persamaan gerak satu derajat
kebebasan yaitu
00
*0*
2
0
2
*
XK
dt
dX
C
dt
Xd
M
Berdasarkan fungsi ragam yang dipilih, persamaan ini berlaku
untuk ragam pertama atau ragam yang lebih tinggi.
……(144)

123. dipilih fungsi ragam pertama……
H
y
yf
2
cos1
H
y
Hdy
df
2
sin
2
H
y
Hdy
fd
2
cos
2
2
2
2
83
22
cos1
2
0
* mH
dy
H
y
mM
H
Massa umum:
3
4
2
4
0
*
322
cos
2 H
EI
dy
H
y
H
EIK
H
Kekakuan umum:
H
cdy
H
y
H
cC
H
82
sin
2
2
2
2
0
*
Redaman umum:

124. Selanjutnya persamaan gerak akan memiliki model sama
dengan model bandul satu derajat kebebasan dengan
redaman. M*, K*, dan C* adalah massa umum, kekakuan-umum
dan redaman umum dari sistem
Besaran umum:
 Massa umum ini nilainya bergantung pada fungsi ragam
dan fungsi massa. Jadi ada perbedaan antara massa
umum pada ragam pertama dan ragam kedua.
 Dengan memakai hasil dari sistem bandul sederhana
untuk getaran bebas, maka akan diperoleh nilai frekuensi
alami sistim terdistribusi
*
*
M
K
2
*
*
*
*
2M
C
M
K
D
Tanpa redaman Dengan redaman
……(145) ……(146)

125. Ragam pertama tanpa redaman
83
22
cos1
2
0
* mH
dy
H
y
mM
H
3
4
2
4
0
*
322
cos
2 H
EI
dy
H
y
H
EIK
H

126. 14

127. KOMBINASI RAGAM
 Getaran aktual struktur merupakan kombinasi beberapa
ragam getaran
 Salah satu cara mengkombinasikan melalui analisis ragam
 Analisis ragam didasarkan pada sifat ortogonal ragam yang
merupakan eigen-vektor dari persamaan gerak simultan
sistim dengan banyak derajat kebebasan. Sifat ortogonal
antara dua ragam dinyatakan dalam bentuk:
sifat ortogonal ragam-i dan
ragam-j dengan massa
sifat ortogonal ragam-i dan
ragam-j dengan kekakuan
(147)
(148)

128. Persamaan kesetimbangan sistem dengan banyak
derajat kebebasan:
02
2
dt
dx
CxK
dt
xd
M
Dimana:
……(149)
……(150) ……(151)
……(152)

129. ……(153) ……(154) ……(155)
Gaya inersia =
12
2
XX
dt
d
m g
Merupakan variabel
yang dipengaruhi oleh
percepatan pondasi
……(156)
PercepatanAkibat Beban Gempa

130. Gaya elastis = K(X1 + Xg) – (X2 + Xg) = K(X1 - X2)
(Merupakan variabel yang tidak dipengaruhi oleh simpangan
pondasi)
Simpangan relatif dan simpangan absolut
Jika percepatan terjadi akibat gempa atau
pergerakan horizontal tanah maka (x)
adalah nilai perpindahan relatif, dan (X)
adalah nilai perpindahan absolut.
Hubungan keduanya adalah:
gxxX
X
x
xg
X
xg
X
Perpindahan absolut mempengaruhi gaya
inersia, dan perpindahan relatif
mempengaruhi gaya elastis dan gaya
redaman antar tingkat.
……(157)

131. Matriks Persamaan Kesetimbangan:
02
2
2
2
dt
dx
CxK
dt
xd
dt
xd
M
g
2
2
2
2
dt
xd
M
dt
dx
CxK
dt
xd
M
g
……(158)
……(159)
2
2
211
21
12
1
2
1
)(
dt
xd
mxxk
dt
xxd
c
dt
xd
m g
Persamaan kesetimbangan massa 1:
Dst……
Sehingga persamaan kesetimbangan massa total:
2
2
2
2
2
2
3
2
1
322
2211
11
3
2
1
322
2211
11
2
3
2
2
2
2
2
1
2
3
2
1
0
0
0
0
00
00
00
dt
xd
dt
xd
dt
xd
m
dt
dx
dt
dx
dt
dx
ccc
cccc
cc
x
x
x
kkk
kkkk
kk
dt
xd
dt
xd
dt
xd
m
m
m
g
g
g
……(160)
……(161)

132. PERCEPATAN GEMPA PADA SDOF……
Gaya gempa pada bangunan berasal dari gaya inersia karena massa bagunan
mendapat persepatan tanah. Jika percepatan tanah yang dirambatkan oleh
gempa berubah menurut fungsi waktu, maka gaya gempa juga berubah.
xg
x
x
FD
FE
Fi
gxxX
kxF
dt
dx
cF
dt
xd
m
dt
xd
m
dt
Xd
mF
E
D
g
i 2
2
2
2
2
2
.…(80)
.…(81)
.…(82)
.…(83)
Persamaan kesetimbangan:
2
2
2
2
2
2
2
2
0
dt
xd
mkx
dt
dx
c
dt
xd
m
kx
dt
dx
c
dt
xd
m
dt
xd
m
g
g
.…(84)

133. Salah satu metode untuk mencari besarnya nilai xg adalah memakai kurva
spektrum respon sistem elastis untuk gempa El Centro 1940…..

134. Besarnya peerpindahan tanah juga dapat dicari dengan menggunakan
spektrum dasar rencana yang dinormalisasi untuk 1,0 g

135. Contoh 21
Sebuah struktur dengan model sistem massa-pegas seperti gambar, dianggap
dipengaruhi pada penyokongnya oleh gempa bumi El Centro 1940. Anggaplah
struktur ini bersifat elastis dan gunakan grafik spektrum respon yang tepat untuk
mendapatkan perpindahan relatif maksimum antara massa dan penyokong. Juga
hitung gaya maksimum yang bekerja pada pegas. Abaikan redaman.

136. Jawab
spd0,442
2
778,2
2
f
rad/s778,2
400
38682
1
m
k
Frekuensi natural:
Dari gambar respon spektrum, didapatkan SD = 11 in
kips88118max Ds SKF

137. Contoh 22
Sebuah struktur dengan model sistem berderajat kebebasan tunggal mempunyai
frekuensi natural T = 0,5 s. Gunakan metode spektrum respon untuk menentukan
percepatan absolut maksimum , perpindahan relatif maksimum dan kecepatan
palsu maksimum pada daerah elastis untuk:
a) Gerakan pondasi yang sama dengan gempa bumi El Centro 1940
b) Spektrum rencana dengan percepatan tanah maksimum sebesar 0,3g (abaikan
redaman).
Jawab
a) Dari kurva respon spektrum
gempa El Centro dengan f = 1/T
= 1/0,5 = 2 spd
g63,1S
in/det3,50S
4S
0
rad/s566,12
2
f
a
V
D in
b) Dari kurva respon spektrum
rencana dengan f = 2 spd, ξ = 0
dan percepatan tanah maksimum
0,3g
g96,13,063,1S
in/det603,0200S
8,43,016S
a
V
D in

138. PERCEPATAN GEMPA PADA MDOF……
W2 = 50 lb/ft
W1 = 100 lb/ft
10'
15'
W 10 x 21
W 10 x 45
30'
Contoh 23
Bangunan kerangka baja sederhana kaku.
Berat lantai dan dinding dianggap termasuk
berat struktur lainnya. Bangunan
dimodelkan sebagai bangunan penahan
geser dengan spesifikasi struktur tertera
pada gambar. Bila kerangka tersebut
dipengaruhi secara tiba-tiba oleh
percepattan konstan sebesar 0,28g pada
dasar pondasi. Hitung besarnya
perpindahan maksimum yang terjadi pada
masing-masing lantai.
Jawab

139. Dengan cara yang sama seperti pada contoh 15 atau 16, didapatkan
harga frekuensi natural dan bentuk ragam:
629,1
1
263,1
1
/9,321082
/8,11140
22
12
1
21
11
1
1
2
2
1
2
1
dtkrad
dtkrad
Kekakuan kolom :
lb/in44300
12.10
2.3,106.10.30.12
lb/in30700
12.15
2.6,248.10.30.12
212
3
6
2
3
6
1
3
K
K
L
IE
K

140. Pola normal dari bentuk ragam:
0924,0
08,311
6287,1
06437,0
08,311
1
0813,0
31,241
263,1
06437,0
31,241
1
08,311)629,1(66)1(136.2mode
31,241)263,1(66)1(136.1mode
.
1112
2111
22
1
22
1
1
1
aa
aa
m
m
m
a
n
k
kjk
n
k
kjk
n
k
kjk
ij

141. Mendapat percepatan konstan sebesar 0,28 g paa dasar pondasi:
det2
2
47,108386.28,0 ing
dt
xd
Faktor partisipasi:
613,1
12,14
2
222
2
121
222121
2
2
212
2
111
212111
1
amam
amam
amam
amam
Persamaan kesetimbangan:
tygg
tygg
dt
xd
mxkxk
dt
xd
m
dt
xd
mxkxkk
dt
xd
m
s
s
g
g
..
2
2
2
..
2
..
1
2
1
..
1
2
2
222122
2
2
2
2
2
1221212
1
2
1

142. Sehingga,
47,1081082
47,108140
2
..
2
1
..
1
gg
gg
Masukkan kondisi batas dengan memisalkan perpindahan dan kecepatan pada
awal gerakan = 0. Karena gaya impuls bersifat konstan, maka persamaan respon
perpindahan adalah:
P(t)
Po
t
tyty st cos1
ttg
ttg
89,32cos1
1082
47,108
83,11cos1
140
47,108
2
1

143. tttutu
tgatgatu
tttu
tgatgatu
89,32cos015,083,11cos9,0874,0
89,32cos009,083,11cos704,07135,0
12
222212112
1
212211111
Perpindahan maksimum yang terjadi:
in800,1max
in409,1max
1cosmax
maxmaxmax
maxmaxmax
2
1
2
2222
2
12112
2
2122
2
11111
u
u
tg
gagau
gagau

144. 15