Materi fungsi-dan-grafik-trigonometri

of 16
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Kegiatan Belajar 4
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 4, diharapkan siswa dapat
a. Menentukan nilai fungsi trigonometri
b. Menentukan persamaan grafik fungsi trigonometri
c. Menggambar grafik fungsi trigonometri
d. Menentukan nilai maksimun dan minimum grafik fungsi trigonometri.
B. Uraian Materi 4
Fungsi Trigonometri
a. Pengertian Fungsi Trinonometri
Karena untuk setiap sudut θ mengakibatkan hanya ada satu nilai sin θ, cos θ dan tan θ maka
terdapat pemetaan dari himpunan real (R) ke himpunan bilangan real (R). Pemetaan-pemetaan
atau fungsi-fungsi sin, cos dan tan merupakan pemetaan dari himpunan sudut ke bilangan real.
Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut :
Y
• P
yr
X
θ
x P1O
Jika kita perhatikan gambar di samping, perbandingan
trigonometri untuk sudut θ masing-masing adalah
r
y
=θsin
r
x
=θcos
x
y
=θtan
R
•
θ
R
•
sin θ
f
Gambar (i)
R
•
θ
R
•
cos θ
f
Gambar (ii)
B
•
θ
R
•
tan θ
f
Gambar (iii)

of 16
a. Gambar (i) fungsi sinus didefenisikan ( ) θθθθθ sin,,sin: =∈→ fdenganRf
b. Gambar (ii) fungsi kosinus didefenisikan ( ) θθθθθ cos,,cos: =∈→ fdenganRf
c. Gambar (iii) fungsi tangent didefenisikan ( ) θθθθθ tan,,tan: =∈→ fdenganBf
Untuk






−−= ,...
2
3
,
2
,
2
,
2
3
...,
ππππ
RB artinya semua anggota himpunan bilangan real
selain






−− ,...
2
3
,
2
,
2
,
2
3
...,
ππππ
.
Fungsi ( ) θθ sin=f , ( ) θθ cos=f , ( ) θθ tan=f disebut sebagai fungsi trigonometri.
Adapun nilai sin, cos dan tan suatu sudut dapat bernilai positif, nol atau negatif tergantung
letak sudut di kuadrannya.
b. Nilai fungsi trigonometri
Menentukan nilai fungsi trigonometri sama dengan cara menentukan fungsi linier, fungsi
kuadrat yang sudah kita pelajar, yakni dengan cara mensubtitusikan nilai variabel yang
diberikan kedalam fungsi.
Contoh
1. Tentukan nilai fungsi dari f(x) = 2 sin x, jika nilai x = 45o
Penyelesaian
f(x) = 2 sin x; x = 45o
f(45o
) = 2 sin 45o
f(450
) = 2 





2
2
1
f(45o
) = 2
2. Tentukan nilai fungsi ( )
3
;
sec22sin
tancossin 2
π
=
+
−+
= xjika
xx
xxx
xf
Penyelesaian
( )






+











−





+





=





⇒
=
+
−+
=
3
sec2
3
2
sin
3
tan
3
cos
3
sin
3
3
;
sec22sin
tancossin
2
2
ππ
πππ
π
π
f
xjika
xx
xxx
xf

of 16
( )
( )
61
31343
3
643
403133
3
83
83
83
53
3
83
2
2
53
3
2
83
2
613
3
223
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
−
−
=





⇒
−
+−
=





⇒
−
−
×
+
−
=





⇒
+
×
−
=





⇒
+
−+
=





⇒
+
−+
=





⇒
π
π
π
π
π
π
f
f
f
f
f
f
3. Jika ( ) ( ) 3sin4cos. +++= xkxkxf dan 23
4
+=




π
f maka nilai k adalah..
Penyelesaian
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
2
22
322232
322223
32
2
1
42
2
1
2
2
1
23
3
4
sin4
4
sin
4
cos
4
3sin4sincos
3sin4sin.cos.
3sin4cos.
−=⇒
−
=⇒
−=⇒
+−+=⇒
++=+⇒
+





+





+=+⇒
+





+











+





=





⇒
+++=⇒
+++=⇒
+++=
k
k
k
k
k
k
kf
xxxkxf
xxkxkxf
xkxkxf
ππππ

of 16
Grafik Fungsi Trigonometri
a. Menggambar grafik fungsi trigonometri
untuk memahami cara menggambar grafik fungsi trigonometri lakukanlah kegiatan di
bawah ini
Kegiatan 4.1
1. Lengkapilah tabel berikut
f(x) = sin x, untuk 0o
≤ x ≤ 270o
x 0o
30o
45o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
f(x) = sin x ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
(x, y) ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
Gambarkan titik (x, y) pada bidang koordinat cartesius berikut
Hubungkan titik sehingga membentuk sebuah kurva
Grafik yang terbentuk adalah grafik f(x) = sin x, untuk 0o
≤ x ≤ 270o

of 16
2. Lengkapi tabel berikut
f(x) = 2 cos x, untuk π≤≤ x0
x 0 6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π
π
cos x ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
f(x) = 2 cos x ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
(x, y)
Grafik yang terbentuk adalah grafik f(x) = 2 cos x, untuk π≤≤ x0
3. Lengkapi tabel berikut
f(x) = 





+ π
6
1
sin3 x , untuk π≤≤ x0
x 0 6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π
π
x + 6
π
....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
Sin ( )6
π
+x ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
f(x) = 3 Sin ( )6
π
+x
(x, y)

of 16
Grafik yang terbentuk adalah grafik f(x) = 





+ π
6
1
sin3 x , untuk π≤≤ x0
Kesimpulan:
Dari kegiatan di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa langkah-langkah menggambar grafik
fungsi trigonometri adalah
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….

of 16
b. Nilai Maksimum dan Minimum Grafik Fungsi Trigonometri
Lakukanlah kegiatan berikut
Kegiatan 4.2
Tujuan Kegiatan : Menentukan nilai maksimum dan minimum grafik fungsi, f(x) = sin
x, f(x) = cos x, dan f(x) = tan x
Permasalahan : Bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi
trigonometri.
Kegiatan : 1) Lengkapi tabel fungsi f(x) = sin x, untuk 0o
≤ x ≤ 360o
berikut,
kemudian gambarlah grafiknya
x 0o
30o
45o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
f(x) = sin x .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
(x, y) .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
Perhatikan grafik yang anda gambar, nilai maksimum/titik puncak terjadi pada y
=…… dan x =…….., nilai y merupakan nilai maksimal dari fungsi f(x) = sin x.
Nilai minimum/titik paling rendah terjadi pada saat y = ……. dan x = ........., nilai y
merupakan nilai minimum dari fungsi f(x) = sin x.

of 16
2) Lengkapi tabel fungsi f(x) = cos x, untuk 0o
≤ x ≤ 360o
berikut, kemudian gambarlah
grafiknya
x 0o
30o
45o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
f(x) = cos x .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
(x, y) .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
=…… dan x =…….., nilai y merupakan nilai maksimal dari fungsi f(x) = cos x.
merupakan nilai minimum dari fungsi f(x) = cos x.
3) Lengkapi tabel fungsi f(x) = tan x, untuk 0o
≤ x ≤ 360o
berikut, kemudian gambarlah
grafiknya
x 0o
30o
45o
900
120o
135o
150o
180o
210o
225o
240o
270o
300o
315o
330o
360o
f(x) = tan x .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
(x, y) .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

of 16
=…… dan x =…….., nilai y merupakan nilai maksimal dari fungsi f(x) = tan x.
merupakan nilai minimum dari fungsi f(x) = tan x.
Pada fungsi f(x) = tan x grafik tidak akan pernah memotong garis x = 90o
dan x =
270o
, karena pada saat x = 90o
dan x= 270o
nilai fungsi tak terdefinisi, sehingga garis x =
90o
dan x = 270o
disebut sebagai garis asimtot, jadi panjang priodik pada fungsi f(x) = sin
x, adalah 0o
≤ x ≤ 180o
Kesimpulan :
Dari kegiatan di atas dapat di tarik kesimpulan bahwa nilai maksimum/minimum grafik
trigonometri adalah :
1. Nilai maksimum f(x) = sin x adalah.......... untuk x=..............
2. Nilai minimum f(x) = sin x adalah............ untuk x=................
3. Nilai maksimum f(x) = cos x adalah......... untuk x=.............
4. Nilai minimum f(x) = cos x adalah........... untuk x=...............
5. Nilai maksimum f(x) = tan x adalah...................... untuk x=............
6. Nilai minimum f(x) = tan x adalah......................... untuk x=............

of 16
c. Menentukan Persamaan Grafik fungsi Trigonometri
Untuk menentukan persamaan dari grafik fungsi trigonometri yang perlu kita ingat adalah
bentuk umum persamaan trigonometri.
1. ( ) ( )axkAyxf −== sin , dimana
puncaktitikamplitudoA /=
p
k
π2
= , karena priodik fungsi f(x) = sin x, adalah 0o
≤ x ≤ 360o
p = priode grafik
a = absis titik awal grafik
Contoh :
1. Tentukan persamaan grafik di bawah
Penyelesaian
Jika kita perhatikan grafik di atas adalah grafik fungsi sinus, bentuk umum fungsi sinus
adalah ( ) ( )axkAyxf −== sin
3=A
p = π
a = 0
2
2
=⇒= kk
π
π
,
Jadi persamaan fungsinya adalah f(x) = 3 sin 2(x – 0)
f(x) = 3 sin 2x
3 •
- 3 •
•
π
•
4
π
•
2
π
•
2
3π

of 16
2. Tentukan persamaan grafik berikut
Penyelesaian
Grafiknya berbentuk grafik sinus, maka
( ) ( )axkAyxf −== sin
A = 2
p = 4π






−−=
6
4
6
10
6
4 πππ
a
36
4 π
π
π
−⇒−=
2
1
4
2
=⇒= kk
π
π
,
Jadi persamaan fungsinya adalah 





+=
32
1
sin2)(
π
xxf
2 •
- 2 •
•
6
22π
•
6
4π
•
6
10π
•
6
16π
1 •
•
4π

of 16
C. Rangkuman 4
1. Fungsi Sinus, f(x) = sin x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π
2. Fungsi kosinus, f(x)= cos x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π
3. Fungsi tangen, f(x) = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ π
4. Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri maka terlebih dahulu menentukan nilai
fungsi yang diberikan, dengan mengambil titik ujinya adalah sudut-sudut.
5. Untuk menentukan persamaan fungsi trigonometri dati suatu grafik gunakan bentuk
umum fungsi ( ) ( )axkAyxf −== sin , dimana
puncaktitikamplitudoA /=
p
k
π2
= , karena priodik fungsi f(x) = sin x, adalah 0o
≤ x ≤ 360o
p = priode grafik
Sifat
a. Max = 1
b. Min = - 1
c. sin (- x) = - sin x
d. Priode = 2π
1 •
- 1 •
•
2π
•
2
π
•
π
•
2
3π
Sifat
a. Max = 1
b. Min = - 1
c. cos (- x) = - cos x
d. Priode = 2π
1 •
- 1 •
•
2π
•
2
π
•
π
•
2
3π
Sifat
a. Tidak ada max dan
min
b. Garis α = ± 90, ±
270, ± k.90 k adalah
bilangan ganjil
adalah asimtot
c. tan (- x) = - tan x
d. Priode = π
1 •
- 1 •
•
2π
•
2
π
•
π
•
2
3π
•
4
π
•
4
3π
•
4
5π
•
4
7π

of 16
a = absis titik awal grafik
D. Lembar Kerja 4
1. Tentukan nilai dari
a.
3
,sin
2
1
6
3cos2)(
ππ
=+





−= xuntukxxxf
b.
4
7
;
tan
sin2cos
)( 2
π
=
+
= xuntuk
x
xx
xf
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
2. Tentukan nilai maksimum dan minumum dari fungsi
a. 





++=
6
sin23)(
π
xxf
b. 





−=
3
3cos2)(
π
xxf
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................

of 16
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
3. Gambarlah sketsa gafik fungsi dari :
a. π20;sin)( 2
≤≤= xuntukxxf
b. 





−=
4
tan2)(
π
xxf
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

of 16
4. Tentukan persamaan fungsi trigonometri dari grafik berikut
a.
b.
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
2 •
- 2 •
•
180o
•
60o
• ••
15o
2
π π
2
- 2

of 16
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................

Materi fungsi-dan-grafik-trigonometri

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Materi fungsi-dan-grafik-trigonometri

Similar a Materi fungsi-dan-grafik-trigonometri (20)

Materi fungsi-dan-grafik-trigonometri