1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
(Exponential Function and Logarithm Function)
ข้อกาหนด เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก
บทนิยาม
aaaaa
n
... ( n ตัว) เมื่อ a เป็นจานวนจริงใด ๆ
n เป็นจานวนเต็มบวก
เรียก a ว่า ฐาน (base)
เรียก n ว่า เลขชี้กาลัง ( exponent)
เรียก n
a ว่า เลขยกกาลัง (power)
ทฤษฎีบท (Theorem)
ถ้า a , b เป็นจานวนจริงที่ไม่เป็น 0 และ m , n เป็นจานวนเต็ม จะได้
(1) nmnm
aaa
(2) mnnm
a)a(
(3) nnn
baab )(
(4) n
nn
b
a
b
a
(5) mn
nm
m
n
a
a
a
a
1
(6) 1a
0
(7) n
n
a
1
a
; n เป็นจานวนเต็มบวก
0
0 ไม่นิยาม
ตัวอย่างที่ 2
(1) 103
.10-4
= 103+(-4)
= 10-1
=
10
1
(2) X4
X5
= X4+5
= X9
(3) ถ้า 0X แล้ว X.X-1
= X1+(-1)
= X0
= 1
3. รากที่ n ในระบบจานวนจริง และจานวนจริงในรูปกรณฑ์
บทนิยาม ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และถ้า a, x เป็นจานวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ
สมการ xn
= a แล้วเราเรียก x ว่าเป็นรากที่ n ของ a
ตัวอย่างที่ 1 (1) รากที่ 2 ของ 4 คือ 2 และ -2 เพราะว่า (2)2
= 4 และ (-2)2
= 4
(2) รากที่ 3 ของ -8 คือ -2 เพราะว่า (-2)3
= -8
(3) รากที่ 6 ของ 64 มีสองจานวนคือ 2 หรือ -2
(4) รากที่ 6 ของ -64 ที่เป็นจานวนจริงไม่มีเลย
(5) รากที่ 3 ของ 64 มีจานวนเดียวคือ 4
(6) รากที่ 3 ของ -64 มีจานวนเดียวคือ -4
ข้อสังเกต
(1) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคู่แล้ว จานวนบวกแต่ละจานวนจะมีรากที่ n เป็น
จานวนจริงสองจานวน รากหนึ่งจะเป็นจานวนบวก และอีกรากหนึ่งเป็น
จานวนลบ
(2) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคู่ แล้วจานวนลบแต่ละจานวนจะไม่มีรากที่ n ที่เป็น
จานวนจริง
(3) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคี่ แล้ว จานวนจริงแต่ละจานวนจะมีรากที่ n เป็นจานวน
จริงเพียงจานวนเดียว รากที่ n ของจานวนบวกเป็นจานวนบวกและรากที่ n
ของจานวนลบก็เป็นจานวนลบ
บทนิยาม ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และ a เป็นจานวนจริง ( ยกเว้นกรณีที่ n เป็น
จานวนคู่ และ a เป็นจานวนลบ ) แล้วเรากาหนดความหมายของ n a ดังนี้
n
a = n
a
1
สัญลักษณ์ที่เกี่ยวกับรากที่ n ของจานวนจริง
(ก) เครื่องหมาย n เรียกว่า เครื่องหมาย กรณฑ์ ( Radical) และเรียก n ว่าเป็นอันดับ
ของกรณฑ์ ( อันดับของ กรณฑ์)
(ข) n a อ่านว่า กรณฑ์อันดับที่ n ของ a หรือรากที่ n ของ a
(ค) 2 a นิยมเขียนแทนด้วย a
4. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากที่ n ของจานวนจริง
ถ้า a และ b เป็นจานวนจริง และ m ; n เป็นจานวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 โดยที่ n a
และ n b หาค่าได้แล้ว
1. nn a = a
2. n ab = nn ba
3. n
b
a
=
n
n
b
a
; b 0
4.
n n
a =
คี่nเป็ นจำนวน;a
คู่nเป็ นจำนวน;a
5. m n a = mn a
6. kn km
a =
n m
a ; k เป็นจานวนเต็มบวก
7. n m
a =
m
n
a
1
= n
m
a
8. n 0 = 0
9. n
1 = 1
การบวกและการลบของจานวนที่ติดกรณฑ์
ข้อตกลง
จะนาจานวนที่ติดกรณฑ์ มาบวกหรือลบกันได้ต่อเมื่อจานวนนั้น ๆ ต้องมีคุณสมบัติครบ 2
ประการ คือ
1. อันดับของกรณฑ์ต้องเท่ากัน
2. จานวนที่อยู่ภายใต้กรณฑ์ต้องเท่ากัน
และเวลาบวกหรือลบกันให้นา " สัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาบวกหรือลบ " เท่านั้น
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ 323335
แนวคิด นาสัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาบวก ลบ กัน
323335 = 3235
= 36
12. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
นิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป
1a,0a,ayRRy,xf
x
จากสมการ y = ax
จะเรียก a ว่า ฐาน ( base) ซึ่งแบ่งการพิจารณาค่าของ a ออกได้ 2 ช่วง
เมื่อนามาเขียนกราฟได้ดังนี้
กรณี 0 < a < 1 กรณี a > 1
y y
(0,1) (0,1)
0 0
ข้อสังเกตจากกราฟ
1. กราฟของฟังก์ชัน y =ax
, a > 0 , a 1 จะผ่านจุด (0,1)
2. ถ้า 0 < a < 1 โดเมนเพิ่มขึ้น เรนจ์จะลดลง
เรียก y = ax
เป็นฟังก์ชันลด ( Decreasing Function)
3. ถ้า a > 1 โดเมนเพิ่มขึ้น เรนจ์จะเพิ่มขึ้น
เรียก y = ax
เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ( Increasing Function)
4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 จาก R ไปทั่วถึง R+
(one to one onto)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 หมายความว่า ถ้า ax
= ay
แล้ว x = y
R R+
f :
R
ทั่วถึง
11
R
x x