1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
(Exponential Function and Logarithm Function)
ข้อกาหนด เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก
บทนิยาม
aaaaa
n
 ... ( n ตัว) เมื่อ a เป็นจานวนจริงใด ๆ
n เป็นจานวนเต็มบวก
เรียก a ว่า ฐาน (base)
เรียก n ว่า เลขชี้กาลัง ( exponent)
เรียก n
a ว่า เลขยกกาลัง (power)
ทฤษฎีบท (Theorem)
ถ้า a , b เป็นจานวนจริงที่ไม่เป็น 0 และ m , n เป็นจานวนเต็ม จะได้
(1) nmnm
aaa


(2) mnnm
a)a( 
(3) nnn
baab )(
(4) n
nn
b
a
b
a






(5) mn
nm
m
n
a
a
a
a



1
(6) 1a
0

(7) n
n
a
1
a 

; n เป็นจานวนเต็มบวก
0
0 ไม่นิยาม
ตัวอย่างที่ 2
(1) 103
.10-4
= 103+(-4)
= 10-1
=
10
1
(2) X4
X5
= X4+5
= X9
(3) ถ้า 0X  แล้ว X.X-1
= X1+(-1)
= X0
= 1

2. ตัวอย่างที่ 3
(1) 6422)2(
62323


(2)
729
1
3
1
33)3( 6
6)3)(2(32


(3) ถ้า 0x  แล้ว 2
2)2)(1(21
x
1
xx)x( 

ตัวอย่างที่ 4
(1) 2222
x9x3)x3( 
(2) x4x4)x(2)x2(
2)(222 2
1
2
1
2
1

(3) 623223
1021.1)10()1.1()101.1(


ตัวอย่างที่ 5
(1) ถ้า 0y  แล้ว 2
2
2
y
x
)
y
x
( 
(2)
4
x
4
x
2
)x(
2
x
2)
2
1(
2
22
1
2
2
1











ตัวอย่างที่ 6
(1)
10
1
101010
10
10 123)2(3
2
3




(2) 128222
2
2 725)2(5
2
5



(3) ถ้า 0x  แล้ว 235
5
3
xx
x
x



3. รากที่ n ในระบบจานวนจริง และจานวนจริงในรูปกรณฑ์
บทนิยาม ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และถ้า a, x เป็นจานวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ
สมการ xn
= a แล้วเราเรียก x ว่าเป็นรากที่ n ของ a
ตัวอย่างที่ 1 (1) รากที่ 2 ของ 4 คือ 2 และ -2 เพราะว่า (2)2
= 4 และ (-2)2
= 4
(2) รากที่ 3 ของ -8 คือ -2 เพราะว่า (-2)3
= -8
(3) รากที่ 6 ของ 64 มีสองจานวนคือ 2 หรือ -2
(4) รากที่ 6 ของ -64 ที่เป็นจานวนจริงไม่มีเลย
(5) รากที่ 3 ของ 64 มีจานวนเดียวคือ 4
(6) รากที่ 3 ของ -64 มีจานวนเดียวคือ -4
ข้อสังเกต
(1) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคู่แล้ว จานวนบวกแต่ละจานวนจะมีรากที่ n เป็น
จานวนจริงสองจานวน รากหนึ่งจะเป็นจานวนบวก และอีกรากหนึ่งเป็น
จานวนลบ
(2) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคู่ แล้วจานวนลบแต่ละจานวนจะไม่มีรากที่ n ที่เป็น
จานวนจริง
(3) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคี่ แล้ว จานวนจริงแต่ละจานวนจะมีรากที่ n เป็นจานวน
จริงเพียงจานวนเดียว รากที่ n ของจานวนบวกเป็นจานวนบวกและรากที่ n
ของจานวนลบก็เป็นจานวนลบ
บทนิยาม ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และ a เป็นจานวนจริง ( ยกเว้นกรณีที่ n เป็น
จานวนคู่ และ a เป็นจานวนลบ ) แล้วเรากาหนดความหมายของ n a ดังนี้
n
a = n
a
1
สัญลักษณ์ที่เกี่ยวกับรากที่ n ของจานวนจริง
(ก) เครื่องหมาย n เรียกว่า เครื่องหมาย กรณฑ์ ( Radical) และเรียก n ว่าเป็นอันดับ
ของกรณฑ์ ( อันดับของ กรณฑ์)
(ข) n a อ่านว่า กรณฑ์อันดับที่ n ของ a หรือรากที่ n ของ a
(ค) 2 a นิยมเขียนแทนด้วย a

4. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากที่ n ของจานวนจริง
ถ้า a และ b เป็นจานวนจริง และ m ; n เป็นจานวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 โดยที่ n a
และ n b หาค่าได้แล้ว
1.  nn a = a
2. n ab = nn ba 
3. n
b
a
=
n
n
b
a
; b  0
4.
n n
a =



คี่nเป็ นจำนวน;a
คู่nเป็ นจำนวน;a
5. m n a = mn a
6. kn km
a =
n m
a ; k เป็นจานวนเต็มบวก
7. n m
a =
m
n
a







 1
= n
m
a
8. n 0 = 0
9. n
1 = 1
การบวกและการลบของจานวนที่ติดกรณฑ์
ข้อตกลง
จะนาจานวนที่ติดกรณฑ์ มาบวกหรือลบกันได้ต่อเมื่อจานวนนั้น ๆ ต้องมีคุณสมบัติครบ 2
ประการ คือ
1. อันดับของกรณฑ์ต้องเท่ากัน
2. จานวนที่อยู่ภายใต้กรณฑ์ต้องเท่ากัน
และเวลาบวกหรือลบกันให้นา " สัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาบวกหรือลบ " เท่านั้น
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ 323335 
แนวคิด นาสัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาบวก ลบ กัน
323335  =   3235 
= 36

5. ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ 32712 
แนวคิด จะต้องทาตัวเลขภายใต้กรณฑ์ให้เท่ากันเสียก่อน แล้วจึงนามาบวกลบกัน
จะได้ 32712  = 33.93.4 
= 33332 
=   3132 
= 34
การคูณกรณฑ์ด้วยกรณฑ์
ข้อตกลง
1. จะนากรณฑ์มาคูณกันได้ก็ต่อเมื่ออันดับกรณฑ์ต้องเท่ากัน
2. เมื่ออันดับกรณฑ์เท่ากันก็ให้นาตัวเลขภายใต้กรณฑ์มาคูณกัน
3. นาสัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาคูณกัน
ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ    225273
แนวคิด จะเห็นว่าคูณกันได้เลยตามข้อตกลง
จะได้    225273 =   2.5.72.2.3
= 7012
ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ   3535 
แนวคิด
  3535  =       33533555 
= 5 - 3
= 2
ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ   3522 3
แนวคิด จะเห็นว่าโจทย์ที่ให้อันดับของกรณฑ์ตัวตั้งกับตัวคูณไม่เท่ากัน ต้องทาให้เท่ากันเสียก่อน
โดยนาอันดับของกรณฑ์ที่ทั้งตัวตั้งและตัวคูณมาหา ค.ร.น. โดยใช้ทฤษฎีบทข้อ 6 เข้าช่วย
km kn
a =
m n
a
จะได้ 3
2 =
2.3 2
2 = 6
4
3 =
3.2 3
3 = 6
27

6.   35223
 =   66
27542
=  6
27.45.2
= 6
10810
การคูณโดยอาศัยรูปผลต่างกาลังสอง
)))((
22
bababa 
ดังนั้น bababa  ))((
รูปผลต่างกาลังสองจะนามาใช้ในการแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับกรณฑ์ในกรณีที่ตัวส่วนติดกรณฑ์
การหารกรณฑ์ด้วยกรณฑ์
ข้อตกลง
1. จะนากรณฑ์มาหารกันได้ก็ต่อเมื่ออันดับของกรณฑ์ต้องเท่ากัน
2. เมื่ออันดับของกรณฑ์เท่ากันก็ให้นาตัวเลขภายใต้กรณฑ์มาหารกัน
3. ถ้าตัวส่วนติดกรณฑ์ต้องใช้รูปผลต่างกาลังสองแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของผลหารต่อไปนี้
( 1 )
2
32
แนวคิด จากโจทย์จะเห็นว่าอันดับของกรณฑ์เท่ากัน สามารถกระทากันได้เลย
จะได้
2
32
=
2
32
= 16 = 4
( 2 )
2
15
แนวคิด จะเห็นว่าอันดับของกรณฑ์เท่ากัน แต่ผลหารไม่ลงตัว จะต้องทากรณฑ์ของตัวส่วนให้
หมดไป
โดยนา 2 คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วน
จะได้
2
15
=
2
30
22
215



( 3 )
3
23

7. แนวคิด จะเห็นว่าอันดับกรณฑ์ไม่เท่ากันต้องเปลี่ยนเป็นกรณฑ์อันดับ 6
จะได้
3
23
=
6 3
6
3.2 3
2.3 2
3
4
3
2

=
  
6 6
6
6 36 3
6 36
3
274
33
34



=
3
1086
ตัวอย่างที่ 9 จงทาให้ส่วนไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์
( 1 )
35
1

=
 
  3535
351


=
35
35


=
2
35 
ข้อสังเกต จากตัวอย่างข้างต้น   3535  เราสามารถใช้
รูปผลต่างกาลังสองมาใช้แก้ปัญหา
   bababa 
สรุป
1. กรณฑ์ เหมือนกันเท่านั้นจึงจะบวกลบกันได้
2. กรณฑ์ อันดับเดียวกันเท่านั้น จึงจะคูณ หารกันได้
3. การเปรียบเทียบ กรณฑ์ จะเปรียบเทียบได้ก็ต่อเมื่อเป็นกรณฑ์อันดับเดียวกัน

8. การหารากที่สองของจานวนที่อยู่ในรูป y2x 
นักเรียนพิจารณาการกระจายต่อไปนี้
ab2)ba(bab2a)ba(
22222

ab2)ba()b(b.a2)a()ba(
222

ดังนั้น
ba)ba(ab2)ba(
2

ถ้า

 Rb,a ซึ่ง x = a + b และ y = ab ;
1. ab2)ba(  = ba 
2. ab2)ba(  = ba  =
0เมื่อb
bเมื่อa
ab
ba







3. รากที่สองของ )ba(ab2)ba( 
4. รากที่สองของ )ba(ab2)ba( 
5.
2
)ba(ab2)ba( 
ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของ 9610 
แนวคิด 1. พยายามแยกตัวประกอบ(Facter)ตัวที่อยู่ในกรณฑ์
2. หน้ากรณฑ์สัมประสิทธิ์ต้องเป็น 2
จะได้ 9610  = 24.410 
= 24210 
= 4.62)46( 
=
2
)46( 
=
2
)26( 
ดังนั้น รากที่สองของ 9610  = 24210 
= 2
)26( 
= )26( 

9. ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 625 
แนวคิด 625  = 2.32)23( 
= 2
)23( 
= 23 
ตัวอย่างที่ 3 จงหารากที่สองของ 5818 
แนวคิด 5818  = 5818 
= 5.4218
2

= 80218 
= 8.102)810( 
= )810( 
= 2210( 
การแก้สมการจานวนที่อยู่ในรูปเครื่องหมายกรณฑ์
หลักการแก้สมการ ( การหาเซตคาตอบ)
เป้าหมายหลัก คือ ต้องทาให้ตัวแปรและตัวเลขในสมการไม่ติดกรณฑ์
1. ถ้ามีเพียงหนึ่งกรณฑ์ ให้ย้ายข้างให้เหลือกรณฑ์ตัวเดียว
2. ถ้ามีกรณฑ์ 2 ตัว ให้ย้ายไปอยู่ข้างละ 1 ตัว
3. ในกรณฑ์ที่มีกรณฑ์มากให้แบ่งกรณฑ์ไปอยู่แต่ละข้างให้ยึดหลักว่า " ผลบวกของ
สัมประสิทธิ์ของตัวแปรทั้งสองข้างนั้นต้องเท่ากันหรือใกล้เคียงกันมากที่สุด"
4. ยกกาลังเพื่อให้กรณฑ์หมด โดยนา a)a(
nn  มาใช้
5. แก้สมการตามปกติ
6. ตรวจคาตอบที่ได้ว่าสมการเป็นจริงหรือไม่

10. ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคาตอบจากสมการ x119x 
แนวคิด 9x  = x - 11
2
)9x(  =
2
)11x(  (ยกกาลังสองทั้งสองข้าง)
x + 9 = 121x22x
2

112x23x
2
 = 0
)16x)(7x(  = 0
 16,7x 
ตรวจคาตอบ
1. กรณี x = 7 จะได้ 71197  เป็นเท็จ ดังนั้น 7 ไม่เป็นคาตอบของสมการ
2. กรณี x = 16 จะได้ 1611916  เป็นจริง ดังนั้น 16 เป็นคาตอบของสมการ
ดังนั้น เซตคาตอบของสมการ คือ  16
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ 011x8x 
แนวคิด 8x  = 11x 
2
)8( x =  2
11x  (ยกกาลังสองทั้งสองข้าง)
8x  = 11x21x 
1x2  = 8
1x  = 4 ( ย้าย 2 มาหาร 8)
2
)1x(  = 2
4 ( ใช้กฎ a)a(
nn  )
x - 1 = 16
x = 17
ตรวจคาตอบ
1117817  = 0
1169  = 0
3 - 4 + 1 = 0
0 = 0 สมการเป็นจริง

11.  เซตคาตอบคือ  17
ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ 4x53x42x31x2 
แนวคิด จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้มี 4 กรณฑ์ ให้แบ่งเป็นข้างละ 2 กรณฑ์ โดยพยายามให้ผลบวกของ
สัมประสิทธิ์ของ x ทั้ง 2 ข้างเท่ากันหรือใกล้เคียงกัน แล้วยกกาลังสองทั้งสองข้าง 2
ครั้ง
จะได้ 4x51x2  = 2x33x4 
2
)4x51x2(  =
2
)2x33x4( 
)4x5)(1x2(2)4x5()1x2(  =
)2x3)(3x4(2)2x3()3x4( 
)4x5)(1x2(  = )2x3)(3x4( 
 2
)45)(12(  xx =  2
)23)(34(  xx
4x13x10
2
 = 6x17x12
2

2x4x2
2
 = 0 ( นา 2 มาหารทุก
เทอม)
x2
- 2x + 1 = 0
(x-1) (x-1) = 0
x = 1
ตรวจคาตอบ
4)1(51)1(2  = 2)1(33)1(4 
11  = 11 
1 - 1 = 1 - 1
0 = 0 สมการเป็นจริง
 เซตคาตอบ = { 1 }

12. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
นิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป
  1a,0a,ayRRy,xf
x


จากสมการ y = ax
จะเรียก a ว่า ฐาน ( base) ซึ่งแบ่งการพิจารณาค่าของ a ออกได้ 2 ช่วง
เมื่อนามาเขียนกราฟได้ดังนี้
กรณี 0 < a < 1 กรณี a > 1
y y
(0,1) (0,1)
0 0
ข้อสังเกตจากกราฟ
1. กราฟของฟังก์ชัน y =ax
, a > 0 , a 1 จะผ่านจุด (0,1)
2. ถ้า 0 < a < 1 โดเมนเพิ่มขึ้น เรนจ์จะลดลง
เรียก y = ax
เป็นฟังก์ชันลด ( Decreasing Function)
3. ถ้า a > 1 โดเมนเพิ่มขึ้น เรนจ์จะเพิ่มขึ้น
เรียก y = ax
เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ( Increasing Function)
4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 จาก R ไปทั่วถึง R+
(one to one onto)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 หมายความว่า ถ้า ax
= ay
แล้ว x = y
R R+
f :

R
ทั่วถึง
11
R
x x

13. ตัวอย่างที่ 1 ฟังก์ชันที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
1. y =
x






5
1
2. y = 3x
3. y = 3-x
แนวคิด
1. ฟังก์ชันลด เพราะ
5
1
เป็นฐาน ซึ่ง 0<
5
1
<1
2. ฟังก์ชันเพิ่ม เพราะ 3 เป็นฐาน ซึ่ง 3 > 1
3. ฟังก์ชันลด เพราะ y = 3-x
=
x
x
3
1
3
1






 ดังนั้น
3
1
เป็นฐาน
ซึ่ง 0 <
3
1
<1
สมการเอกซ์โพเนนเชียล
สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กาลัง โดยที่ฐานเป็นค่าคงตัว
หลักการทั่วไปในการแก้สมการ
1. ถ้าโจทย์มี 2 พจน์ ให้จัดพจน์แต่ละพจน์ไว้คนละข้างของสมการ ทาฐานของเลขยก
กาลังให้เท่ากัน แล้วเทียบเลขชี้กาลัง
2. ถ้าโจทย์มีมากกว่า 2 พจน์ ให้จัดข้างใดข้างหนึ่งของสมการให้เท่ากับศูนย์ แยกตัว
ประกอบ ( factor) แล้วพิจารณาค่าของตัวแปร
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ 2x
= 8
แนวคิด ทาฐานให้เท่ากัน แล้วเทียบเลขชี้กาลัง
จะได้ 2x
= 23
 x = 3

14. ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 5x
=
125
1
แนวคิด ทาฐานให้เท่ากัน แล้วเทียบเลขชี้กาลัง
จะได้ 5x
= 3
5
1
5x
= 53
 x = -3
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคาตอบของสมการ   642
1

xx
แนวคิด โจทย์ข้อนี้ เป็นลักษณะโจทย์ 2 พจน์ ต้องทาฐานให้เท่ากัน เทียบเลขชี้กาลัง
แล้วแก้สมการปกติ
จะได้ (2x
)x-1
= 64
xx 
2
2 = 64 = 26
 x2
– x = 6
x2
– x – 6 = 0
(x-3)(x+2) = 0
จะได้ x = 3, -2
 เซตคาตอบของสมการคือ { -2 , 3 }