1. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
1 MTs N Jatiash
PANGKAT RASIONAL DAN BENTUK AKAR
1. Bilangan berpangkat
1.1. Bilangan berpangkat bulat positif
Jika a R dan n A maka didefinisikan :
Maka an didefinisikan sebagai Perkalian berulang-ulang sebanyak pangkatnya .
an = a x a x a x ... x a
sebanyak “ n “ faktor
an , disebut bilangan berpangkat, dengan :
a , adalah bilangan pokok
n , adalah pangkat dari a
Contoh 1 : Tentukan nilai dari : a. 25
b. 






1
3
4
c. (
2
3
)
3
Jawab : a. 25
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =32
b. 






1
3
4
= x x x =
c. (
2
3
)
3
= x x =
1.2. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat
1.2.1. Sifat perkalian bilangan berpangkat
Berdasarkan definisi bilangan berpangkat di atas, perkalian 2 bilangan berpangkat dapat
diuraikan menjadi ,
a. 23
. 22
= ( 2 𝑥 2 𝑥 2) 𝑥 (2 𝑥 2) = 25
b. (
1
2
)
4
. (
1
2
)
2
= (
1
2
.
1
2
.
1
2
.
1
2
) . (
1
2
.
1
2
) = (
1
2
)
6
Jadi sifat perkalian bilangan berpangkat : 𝑎 𝑛
. 𝑎 𝑚
= 𝑎 𝑛+𝑚
,
Contoh 1. Sederhanakanlah
a. 23
. 22
= 23+2
= 25
b. (
1
2
)
4
. (
1
2
)
2
= (
1
2
)
4+2
= (
1
2
)
6
c. 32
𝑥4
.36
𝑥 = 32+6
𝑥4+1
= 38
𝑥5

2. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
2 MTs N Jatiash
Contoh 2. Tentukanlah hasilnya
a. 23
. 22
= 23+2
= 25
= 32
b. (
1
2
)
4
. (
1
2
)
2
= (
1
2
)
4+2
= (
1
2
)
6
=
1
64
c. 32
𝑥4
.36
𝑥 = 32+6
𝑥4+1
= 38
𝑥5
= 6561 𝑥5
1.2.2. Sifat pembagian bilangan berpangkat
Berdasarkan definisi bilangan berpangkat di atas, pembagian bilangan berpangkat dapat
diuraikan menjadi
a. 26
∶ 23
=
(2 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 ) .
(2 𝑥 2 𝑥 2)
=
(2 𝑥 2 𝑥 2 )
1
= 23
b. (
2
3
)
4
∶ (
2
3
)
3
=
(
2
3
𝑥
2
3
𝑥
2
3
𝑥
2
3
)
(
2
3
𝑥
2
3
𝑥
2
3
)
=
2
3
Jadi sifat pembagian berpangkat : 𝑎 𝑛
∶ 𝑎 𝑚
= 𝑎 𝑛−𝑚
Contoh 1. Sederhanakanlah
a. 26
∶ 23
= 26−3
= 23
b. (
2
3
)
4
∶ (
2
3
)
3
= (
2
3
)
4−3
= (
2
3
)
1
=
2
3
Contoh 2. Sederhanakanlah dan tentukan hasilnya
a. 35
𝑏7
∶ 33
𝑏2
= 35−3
𝑏7−2
= 32
𝑏5
= 9 𝑏5
b.
25 𝑥8 . 23 𝑥2
26 𝑥4
=
25+3−6 𝑥8+2−4
1
=
22 𝑥6
1
= 4 𝑥6
1.2.3. Sifat perpangkatan bilangan berpangkat
Berdasarkan definisi bilangan berpangkat di atas, perpangkatan bilangan berpangkat dapat
diuraikan menjadi
a. (23)4
= 23
𝑥 23
𝑥23
𝑥23
= (2 .2 .2) 𝑥 (2.2.2) 𝑥 (2.2.2) 𝑥 (2.2.2) = 212
b. ( 𝑎2
34)2
= ( 𝑎2
34) . ( 𝑎2
34) = ( 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3).( 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥3 )
= 38
𝑎4
Jadi sifat perpangkatan bilangan berpangkat : ( 𝑎 𝑛) 𝑚
= 𝑎 𝑛 𝑥 𝑚

3. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
3 MTs N Jatiash
Contoh 1. Sederhanakanlah
a. (23)4
= 23 𝑥 4
= 212
b. ( 𝑎2
34)2
= 𝑎2 𝑥 2
34 𝑥 2
= 38
𝑎4
Latihan 1. Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yang paling
sederhana dari :
a) 2 23 4
x c)  23 4
e)
2
3
4






b)
3
3
7
2
d)  pq
5
Jawab : a) 2 23 4
x = ………….
b)
3
3
7
2
= ………….
c)  23 4
= ………….
d)  pq
5
= …………..
e)
2
3
4





 = ……………
latihan 2. Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen di atas, sederhanakan bentuk berikut :
a) x x2 7
. d)  x y2 3
b)
n
n
7
2
e)
2 2 4
p
q






c)  x2 5
f)  2 3 4 2
xy x y.
Jawab : a) x x2 7
. = ...
b)
n
n
7
2
= ...
c)  x2 5
= ....
d)  x y2 3
= ...
e)
2 2 4
p
q





 = ....
f)  2 3 4 2
xy x y. = ...

4. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
4 MTs N Jatiash
latihan 3. Sederhanakan
a) p xp6 4
f) x x10 3
: k)  3 3 3
k
b) 4 2 3
a x a g) 8 25 2
k k: l)  2 5 2 3
p
c) 2 62 5
p xpx p h) 4 23 2 4
d x d d: m)  3 2 3
p q
d)
1
2
5





 i)  12 2 310 2 3
a a a: . n)
 4
8
2 5 3
2 2
p qr
pq r
e)
2
3
4





 j)  2 2 5
p o)
 2
8
2 3 3
5 4
x y
x y
latihan 4. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan:
1. (23
)4
=..........
2. ((-3)2
)5
= ..........
3. (c2
)4
= .........
4.
23
3
1














= ..........
5. (c-5
)2
= .........
6. (a-3
)-1
= ........
latihan 5. Sederhanakan
a)
a
a
n1
b)  2 2 1
p pn n 
c) 2 3x
d) 522 1
. x
1.3. Bilangan berpangkat Negatif dan Nol
1.3.1. Bilangan pangkat Negatif
Berdaasarkan definisi bilangan berpangkat, bahwa
( i )
𝑎4
𝑎6
=
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎
=
1
𝑎 𝑥 𝑎
=
1
𝑎2
Berdasarkan sifat pembagian berpangkat, bahwa
(ii)
𝑎4
𝑎6
= 𝑎4−6
= 𝑎−2
( i ) Dan (ii) diperoleh
1
𝑎2
= 𝑎−2
atau 𝑎−2
=
1
𝑎2
Sifat bilangan berpangkat negatif : 𝑎−𝑛
=
1
𝑎 𝑛

5. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
5 MTs N Jatiash
Contoh 1. Sederhanakanlah dan ubah kedalam pangkat positif
a. 3−5
=
1
35
c. 2−4
𝑥2
.22
𝑎−3
= 2−4+2
𝑥2
.
1
𝑎3
= 2−2
.
𝑥2
𝑎3
=
1
22
.
𝑥2
𝑎3
=
𝑥2
22 𝑎3
b. a-3
b3
: a2
b = a-3-2
b3-1
= a-5
b2
=
b2
a5
c. (
23 𝑎−4
24 𝑎3
)
−3
= 23 𝑥−3
𝑎−4 𝑥−3
∶ 24𝑥−3
𝑎3𝑥−3
= 2−9
𝑎12
∶ 2−12
𝑎−9
= 2−9—12
𝑎12—9
= 23
𝑎21
Contoh 2. Sederhanakan dan ubah kedalam pangkat negative
a.
2
35
= 21
.
1
35
=
1
2−1
. 3−5
=
3−5
2−1
b. 23
=
1
2−3
Latihan 1. Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari :
a) 5 3
b)
1
2 3
c)  

2 2 2
x y
d)
2
2
3
5
e)
3
3
2
6
Jawab : a. 5 3
= ...
b.
1
2 3
= ...
c.  

2 2 2
x y = ...
d.
2
2
3
5
= ………………..
e .
3
3
2
6
= ……………….
Latihan 2. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari :
a) a5
f) a b xa b 6 4 2 2
k)
5 2
3
2
q
h
 






b) 3 2
k
g) 4 27 4 6 3
m n x m n  
l)    3 22 3 3 4 2
a b x a 
c)
2
5
4
k
h)
8
2
6
4
a
a

m)
5
6
2 3
5 3
2
p q r
pq r








6. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
6 MTs N Jatiash
d)
4
3
x
i)
56
7
5
2
t
t
e)  4
2
a

j)
8
16
2 3
5
3
x y
x y






Latihan 3. Jika a = 2, b = 3 dan c = -2. maka tentukan :
a)
a b
c
2 2







b)
 2
4
3 2
bc
a

c)
a b
b c
x
c
a
2 5
3 2
4

1.3.2. Bilangan pangkat Nol
Berdasarkan definisi perpangkatan , pembagian bilangan berpangkat diperoleh
(i)
𝑎4
𝑎4
−
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥𝑎
𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎
= 1
Berdasarkan sifat pembagian didapat
(ii)
𝑎4
𝑎4
= 𝑎4−4
= 𝑎0
Jadi 𝑎0
= 1
Contoh 1. Sederhanakan dan Hitunglah
a. 20
23
30
= 1 .8.1 = 8
b. 36
23
𝑎0
∶ 34
23
= 36−4
23−3
.1 = 22
20
. 1 = 4
2. Eksponen rasional (pangkat pecahan)
Seperti kita ketahui jika 2 83
 maka 2 83

Maka jika 22
... maka 2 = ...
24
.... maka 2 = ...
34
.... maka 3 = ...
Misal a xm n
 /
, jika kedua ruas dipangkatkan n, maka :
 nnmn
xa /

𝑎 𝑛
= 𝑥 𝑚
a = √ 𝑥 𝑚𝑛
Jadi :

7. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
7 MTs N Jatiash
𝑥
𝑚
𝑛 = √ 𝑥 𝑚𝑛
, sehingga 𝑥
1
𝑛 = √ 𝑥𝑛
Sifat - sifat eksponen rasional sbb ;
(i). x = √ 𝑥 𝑛𝑛
( ii). 𝑥
𝑚
𝑛 = √ 𝑥 𝑚𝑛
(iii). 𝑥
𝑚
𝑛 = (𝑥
1
𝑛)
𝑚
= ( √ 𝑥𝑛
)
𝑚
(iv). √ 𝑎 . 𝑏
𝑛
= √ 𝑎𝑛
. √ 𝑏
𝑛
Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari :
a) 21 2/
b) 63 5/
c) 2 3 2
x /
Jawab : a) 21 2/
= ....
b) 63 5/
= ....
c) 2 3 2
x /
= ....
Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari :
a) 3 b)
1
23
x
Jawab : a) 3 = ...
b)
1
23
x
= .....
Contoh 3: Tentukan nilai dari : a. 163 4/
b. √125 𝑥53
Jawab : a. 163 4/
= √1634
= √(24)34
= 2
4 𝑥3
4 = 23
= 8
b . √125 𝑥53
= √1253
√𝑥53
= √533
√𝑥33
√𝑥23
= 5. 𝑥. √𝑥23
= 5𝑥 √𝑥23
LATIHAN SOAL
1. Ubah menjadi bentuk akar
a) 31 2/
b) 5 1 3 /
c) 43 4/
d) x4 9/
e)
1
3
2 3
x /
2. Ubah ke bentuk pangkat
a) 2 5 b)
1
25
c) 523
d)
3
343
e)
2
7
25
x

8. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
8 MTs N Jatiash
3. Tentukan nilainya
a) 643
b) 82 3/
c) 323 5/
d) 813 8/
e)
27
64
2 3






/
4. Sederhanakan dalam bentuk akar
a) 2 23 4 1 8/ /
. b)  6
2
c) 2 2 18. d)
2
2
e)
12
2 3.
5. Sederhanakan bentuk berikut ini.
a.  2
3 =…..
b.
33 24 




 =…..
c.
2
4 332 




 =…..
d.
6
3 23 




 a =…..
e.
6
4 22 




 x =…
6. Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari x
b b ac
a

  2
4
2
2. BENTUK AKAR
Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan
pecahan a/b, a dan b bilangan bulat dan b  0
Bentuk akar adalah bilangan irrasional yang penulisannya dinyatakan dengan √𝑎 , dengan a
bilangan positif (tidak negative), sedangkan √ : merupakan symbol tanda akar , digunakan untuk
menyimbolkan akar pangkat dua . tidak semua bilangan yang ditulis dengan symbol tanda akar
disebut bentuk akar , ada yang bukan bentuk akar , seperti contoh di bawah ini
bentuk akar : 2 3 5 2 4 73 3 5
, , , , , dsb
bukan bentuk akar : 4 9 8 163 4
, , , dsb
a. Penyederhanaan bentuk akar
Bentuk akar dapat dikatakan sederhana apabila memiliki sifat sebagai berikut :
1. Tidak mengandung factor yang pangkatnya lebih dari Satu
a. √ 𝑥
b. √5 a dan bentuk sederhana
c. √20
d. √𝑥5
e. √353
c, d dan e bukan bentuk sederhana

9. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
9 MTs N Jatiash
Menyederhanakan nya dengan cara , merubah kedalam bentuk perkalian dua
bilangan , dimana bilangan 1 bukan bentuk akar dan bilangan 2 bentuk akar
(i) √ 𝑎𝑏 = √ 𝑎 . 𝑏 = √ 𝑎 .√ 𝑏 = √ 𝑎 . √ 𝑏
(ii) √(𝑎. 𝑏) 𝑚𝑛
= √ 𝑎 𝑚 𝑏 𝑚𝑛
= √ 𝑎 𝑚𝑛
𝑥 √ 𝑏 𝑚𝑛
2. Tidak ada bentuk akar pada bagian penyebutnya, seperti :
𝑎
√𝑏
(lihat pada pembahasan merasionalkan bentuk akar)
3. Tidak mengandung pecahan pada bilangan akarnya, seperti : √
3
4
(lihat pada pembagian bentuk akar)
Contoh 1: Sederhanakan :
Jawab : a) 20 = √4 .5 = √4 . √5 = 2 . √5 = 2√5 =
b) 75 = ....
c) x3
= √𝑋2 . 𝑋1 = √𝑋2 . √𝑥 = 𝑥 √𝑥
d) a83
= ....
latihan 1. Sederhanakan bentuk akar berikut
1. 24 = …...
2. 48 = ......
3. 72 = ......
4. p25 = ......
5. 2
72p = ……
b. Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar
Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila bentuk akarnya sejenis, yaitu
bilangan akar dan pangkat akarnya sama. Koefisien (factor angka) dari bentuk akarnya
yang dihitung
(i) . √ 𝑎 + √ 𝑎 = 2√ 𝑎
(ii). 𝑎√ 𝑏3
+ 𝑐√ 𝑏3
= ( 𝑎 + 𝑐) √ 𝑏3
Contoh 1: Sederhanakan :
a) 3 2 4 2 b) 4 3 7 3 5 3  c) 8 18
Jawab : a) 3 2 4 2 = .(3 + 4) √2 = 7 √2
b) 4 3 7 3 5 3  = .(4 + 7 – 5) √3 = 6 √3
c) 8 18 = .√4 .2 + √9 .2 = √4 . √2 + √9 . √2 = 2√2 + 3√2 = 5√2
c. Perkalian bentuk akar.

10. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
10 MTs N Jatiash
Sifat perkalian
(i). √ 𝑎 𝑥 √ 𝑏 = √ 𝑎 . 𝑏
(ii) 𝑎 √ 𝑏 𝑥 𝑐 √ 𝑑 = 𝑎. 𝑏 √ 𝑏 . 𝑑
Contoh 1 : Sederhanakan :
a) 6 3x b)   5 3 5 3  c)  2 2 3
2

Jawab : a) 6 3x = √6 𝑥 3 = √18 = √9 .2 = √9 √2 = 3√2
b)   5 3 5 3  = √5 . √5 + √5 . (−√3 ) + √3 √5 + √3 . (−√3)
= 5 + - 3 = 5 – 3 = 2
c)  2 2 3
2
 = (2 √2 + √3 ) . (2 √2 + √3 )
= 2 √2 .2 √2 + 2 √2 . √3 + √3 2√2 + √3 . √3
= 2 . 2 √2 . √2 + 2 √2 . 3 + 2 √2 .3 + √3 .3
= 4 . 2 + 2 √6 + 2 √6 + 3
= 8 + 3 + 4 √6 = 11 + 4 √6
Latihan 1. Hitunglah:
1. 32  =……
2. 312  =……
3. 33 819  =……
4.
5 45 3 32 . =……
b.a =……
d. Pembagian bentuk akar
Sifat pembagian
.
𝑝 √ 𝑎
𝑞 √𝑏
=
𝑝
𝑞
√
𝑎
𝑏
Contoh seerhanakanlah bentuk akar berikut
a.
√20
√64
= √
20
64
= √
4 .5
4 .16
= √
5
16
=
√5
√16
=
√5
4
=
1
4
√5
b.
24 √24
8√32
=
24
8
√
24
32
= 3 √
24
32
= 3 √
4.6
4.8
= 3
√6
√8
= 3
√6 𝑥 √8
√8 𝑥 √8
= 3
√6 .8
√8 .8
= 3
√45
√64
= 3
√9 .5
8
= 3.
√9 √5
8
= 3.
3 .√5
8
=
9
8
√5

11. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
11 MTs N Jatiash
LATIHAN SOAL
1. Sederhanakan
a) 72 b) 160 c) 1200 d) 2 80 e) 8 2
x
f) 3 12 5 3
a b g)
2
2
h)
9
3
i)
8
9
j) 2
4
3 2
4
a b
c
2. Sederhanakan
a) 12 50 48  d)
72 180
45 18


b) 2 16 3 18 27  e)
2 8
4
2
x x
x

c)
3 20 4 45
2 5

3. Sederhanakan
a)   3232  c)   32533253 
b)   3535  d)  x x y
2
2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR
Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi
operasi pembagian dengan bentuk akar.
Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :
1. Pecahan Bentuk
a
b
Diselesaikan dengan mengalikan
b
b
Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :
a)
2
3
b)
2
3 3
Jawab : a)
2
3
=
2
3
x
√3
√3
=
2.√3
√3.3
=
2
3
√3
b)
2
3 3
=
2
3 3
x
2
3√3
𝑥
√3
3
=
2 √3
3 .3
=
2
9
√3
latihan
1. Rasionalkan bentukakar berikut

12. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
12 MTs N Jatiash
a.
b
a
b.
5
3
c.
8
6
d.
60
24
e.
3 2
4
2. Rasionalkan bentukakar be6rikut
a.
cb
a
b.
53
2
c.
86
4
d.
38
53
e. 3 62
5
2. Pecahan Bentuk
a
b c
Diselesaikan dengan mengalikan
b c
b c


Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan
8
3 5
Jawab :
53
8

=
)53(
8

x
(3+ √5 )
(3+ √5)
=
8 .(3+ √5)
( 9−5 )
=
8 .(3+ √5)
4
= 4 (3 + √5 )
3. Pecahan Bentuk
cb
a

Diselesaikan dengan mengalikan
b c
b c


Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan
12 3
6 2

13. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
13 MTs N Jatiash
Jawab :
12 3
6 2
=
12 3
6 2
x
(√6 + √2)
(√6 + √2)
=
12 √3 𝑥 √6 + 12 √3 𝑥 √2
(6−2)
=
12 . √18 +12 √6
4
=
12 √9 . 2 +12 √6
4
=
36 √2 +12 √6
4
= 9 √2 + 3 √6
LATIHAN SOAL
1. Rasionalkan penyebutnya
a)
12
3
b)
10
5
c)
9
2 3
d)
7 3
7
e)
4 3
5 2
2. Rasionalkan penyebutnya
a)
9
5 7
b)
20
4 6
c)
5
11 6
d)
2 5
7 13
e)
4 6
8 2 3
3. Rasionalkan penyebutnya
a)
14
10 13
b)


10
2 7
c)
8 3
11 7
d)
6
10 2 3
e)
3 2
3 5 4 2
3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA)
Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung
variabel/peubah.
1. Jika a af x p( )
 maka f(x) = p
2. Jika a af x g c( ) ( )
 maka f(x) = g(x)
dimana p suatu konstanta
Contoh 1: Tentukan HP dari :
a) 4 82 3x
 b) 8 162 1 3 2x x 

Jawab : a) 4 82 3x
 b) 8 162 1 3 2x x 

 2 2
2 3.... ....x
 .... = ....
2 2............ ...
 ..... = ....
..........= .... ...... = .....
x = ... x = ....
HP:{............} HP:{ ....... }
LATIHAN SOAL
Tentukan HP dari :
1. 27 812 2 5x x 
 6. 5 259 3x x 


14. Drs.Abdul Karim,M.Pd.I
14 MTs N Jatiash
2. 8 12 1x
 7.
1
2
82




 
x
x
3. 9
1
27
4 5x
 8.
1
25
1253 2
x
x
 
4. 5
5
5
2x
 9. 16
8
2
2 1
1
x
x



5.  3 1
5x
 10.
8
4
1
32
8
2 3x
