1. Matemática
Professor: Roberto Rayala

2. Janeiro Fevereiro Março
Matemática 20 000 32 000 45 000
Física 15 000 18 000 25 000
Química 16 000 17 000 23 000
Quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro?
Quantos livros de física foram vendidos em janeiro?
Quantos livros de Química foram vendidos em março?
Quantos livros de matemática foram vendidos durante este período?
Durante este período , qual foi a maior venda entre os livros citados?

3. Matrizes Conceitos Básicos
Consideremos o sistema
a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3
...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
A= a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 ... amn
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

4. Matemática
 As linhas horizontais da matriz são chamadas
de linhas e as linhas verticais são chamadas de
colunas.
 Uma matriz com m linhas e n colunas é
chamada de uma matriz m por n (escreve-se
m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões,
tipo ou ordem.
 Um elemento de uma matriz A que está na i-
ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de
elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A.
 Ele é escrito como Ai,j ou A[i,j].
Professor: Roberto Rayala

5. Matrizes Conceitos Básicos
1 2 2 0 1
2 5 4 2 0 
  a13= 2
0 1 4 7 8 
  3x5
a34= 7
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

6. Matemática
Professor: Roberto Rayala

7. Matemática
Professor: Roberto Rayala

8. Matemática
Professor: Roberto Rayala

9. Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
As matrizes podem ser classificadas segundo:
A forma
A natureza dos elementos

10. Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a forma em: Amxn = [aij]mxn
Retangular
Se o número de linhas é diferente do número de colunas
1 0 2 3 4 
0 2 5 2 1 
 
2 4 4 5 0 3×5
 
Quadrada
Se o número de linhas é igual do número de colunas
 1 0 2
0 1 3
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m  
1 3 23×3
 
Linha
Se o número de linhas é igual a um [1 2 2]1 3
×
Coluna
Se o número de colunas é igual a um
1
0 
 
13×1
 

11. Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn
Real se todos os seus elementos são reais
∀ a ij ∈ A : a ij ∈ ℜ  1 5 2
0 0 1
 
Complexa se pelo menos um dos seus elementos é complexo
∃ a ij ∈ A : a ij ∈ C  1 5 2
0 i 1
 
Nula se todos os seus elementos são nulos
∀ a ij ∈ A : a ij = 0
0 0 0 
0 0 0 
 

12. Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn
Triangular Superior uma matriz quadrada em que os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos
∀ a ij ∈ A : i > j a ij = 0 1 1 2 7
0 0 3 0
 
0 0 2 6
 
0 0 0 5
Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos acima
da diagonal principal são nulos
∀ a ij ∈ A : i < j a ij = 0 1 0 0 0
5 2 0 0
 
0 2 2 0
 
3 0 1 5

13. Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn
Diagonal uma matriz quadrada em que os ∀ a ij ∈ A : i ≠ j a ij = 0
elementos não principais são nulos
1 0 0 0
0 0 0 0
 
0 0 2 0
 
0 0 0 5
Escalar uma matriz diagonal em que os ∀ a ij ∈ A : i ≠ j a ij = 0
elementos principais são iguais
i = j a ij = λ
2 0 0 0
0 2 0 0
 
0 0 2 0
 
0 0 0 2

14. É uma matriz quadrada de ordem n em que todos
os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e
os outros elementos iguais a zero. É representada
por pelo símbolo In
Ex: Escreva a matriz I3.
1 0 0 
 
I3 =  0 1 0 
 0 0 1
 

15. Matrizes Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em: Amxn = [aij]mxn
Simétrica se os elementos aij são iguais aos aji
1 1 2 0
1 0 3 4
 
2 3 2 7
 
0 4 7 5
Densa se a maioria dos seus elementos são não nulos
Dispersa se a maioria dos seus elementos são nulos

16. Matrizes Operações com Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os
elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
∀ A,B ∈M m×n ∃C ∈ M m×n :C = A + B
c ij = a ij + bij ; i = 1,, m ∧ j = 1,, n
 1 2 3 2 1 3 
A = 5 1 0 
  B =  1 3 0
 
2 4 3 
  3 0 3 
 
33 3
3 66
c = A + B = 6
6 4
4 0
0
5
 4 66
4 

17. Matrizes Operações com Matrizes
A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades:
Comutativa
∀ A,B ∈M m×n A + B = B + A
Associativa
∀ A , B , C ∈M m×n ( A + B ) + C = A + (B + C )
Tem elemento neutro
∀ A ∈M m×n ∃ O ∈M m×n : A + O = A
Todos os elementos têm oposto
∀ A ∈ M m×n : A + ( − A) = O

18. Vamos igualar as duas matrizes A e B, de mesmo tipo 2 x 3.
 a11 a 12 a13   b11 b12 b13 
A=
a  eB= 
 21 a 22 a 23 

b
 21 b 22 b 23


a11 = b11 , a12 = b12 , a13 = b13
Logo:
a21 = b 21 , a 22 = b22 , a 23 = b23
Ex.: Calcule os valores de x, y, z e w para que as
matrizes A e B sejam iguais.
 2x + y 1 5 y 
A=
 1  eB= 
 z

w
 w + 3


19. Matrizes Operações com Matrizes
Produto por um escalar
Sejam A uma matriz e λ um escalar
O produto de λ por A é uma matriz C do mesmo tipo de A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por λ
∀ A∈M m×n λ A ∈ M m×n :C = λ A
c ij = λ a ij ; i = 1,, m ∧ j = 1,, n
 1 2 3  3 6 9
A = 5 1 0 
  3 A = 15 3 0
 
2 4 3 
   6 12 9
 

20. Matrizes Operações com Matrizes
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
e os escalares λ e µ as seguintes propriedades são válidas:
( λ µ ) A = λ ( µ A)
(λ + µ ) A = λ A + µ A
λ ( A + B) = λ A + λ B
1 A= A

21. Matrizes Operações com Matrizes
Consideremos o sistema
a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3
...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
a11 a12 a13 ... a1n x1 b1
a21 a22 a23 ... a2n x2 b2
a31 a32 a33 ... a3n x3 = b3
...
...
...
...
...
...
am1 am2 am3 ... amn xn ...
bm
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

22. Matrizes Operações com Matrizes
=
1 2 3 1 2 3
2 5 3 2 5 3
2x3 2x 3
1 0 2
3 x3
=

23. Matrizes Operações com Matrizes
=
1 2 3 1 2 3 8
2 5 3 2 5 3
2x3 2x 3
1 0 2
3x3

24. Matrizes Operações com Matrizes
=
1 2 3 1 2 3 8 12
2 5 3 2 5 3
2x3 2x 3
1 0 2
3x3

25. Matrizes Operações com Matrizes
=
1 2 3 1 2 3 8 12 15
2 5 3 2 5 3
2x3 2x 3
1 0 2
3x3

26. Matrizes Operações com Matrizes
=
1 2 3 1 2 3 8 12 15
2 5 3 2 5 3
2x3 2x 3
1 0 2
3x3

27. Matrizes Operações com Matrizes
=
1 2 3 1 2 3 8 12 15
2 5 3 2 5 3 15
2x3 2x 3
1 0 2
3x3

28. Matrizes Operações com Matrizes
=
1 2 3 1 2 3 8 12 15
2 5 3 2 5 3 15 29
2x3 2x 3
1 0 2
3x3

29. Matrizes Operações com Matrizes
=
1 2 3 1 2 3 8 12 15
2 5 3 2 5 3 15 29 27
2x3 2x 3
1 0 2
3x3

30. Matrizes Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp.
O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp
cujos elementos são dados por:
n
ci j = ∑ ai k bk j
k =1
e escreve-se C=AB.
O produto de matrizes não é comutativo

31. Matrizes Operações com Matrizes
Dadas as matrizes A, B e C, e α um escalar.
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,
as seguintes propriedades são válidas:
( A B) C = A ( B C )
(A+ B ) C = A C + B C
A ( B + C) = A B + A C
α ( A B ) = (α A) B = A(α B )

32. Matrizes Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.
Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
bi j = ai j ( i = 1,..., n; j = 1,....m )
e escreve-se B=AT
1 0 2 3 4 1 0 2
0 2 4
A = 0 2 5 2 1
   
2 4 4 5 03×5
  A = 2
T
5 4
 
3 2 5
4
 1 05×3


33.  A transposta de uma matriz Am × n é a matriz
Atn × m em que , ou seja, todos os elementos da
primeira linha, tornar-se-ão elementos da
primeira coluna, todos os elementos da segunda
linha, tornar-se-ão elementos da segunda
coluna, todos os elementos da n linha, tornar-se-
ão elementos da m coluna.

34. Matrizes Operações com Matrizes
Dadas as matrizes A e B e α um escalar.
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,
as seguintes propriedades são válidas:
(A )
T T
=A
( A + B )T = AT + BT
(α A ) = (α A)
T T
( A B)T = BT AT