maths

1. 1
é
é à
L’usage de la calculatrice scientifique est autorisé : durée : 3h
Exercice 1 : 8pts
I-Soit   1x
g x xe
 
1-montrer que  lim 1
x
g x

  et interpréter ce résultat géométriquement
2-montrer que  
 lim lim
x x
g x
g x et que
x 
   et interpréter ce résultat
géométriquement.
3-verifier que  
1
: ' x
x
x IR g x
e

  
4-etudier le signe de  'g x et donner le tableau de variation de g.
5-verifier que  
1
1
e
g
e

 et déduire que  : 0x IR g x 
6-construire la courbe  gC dans un repère orthonormé  ; ;O i j (unité 1cm).
7-Montrer que
1
0
2
1x
xe dx
e

  en utilisant une intégration par partie.
8-calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbe gC , l’axe des
abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1.
II-soit       
2 2
1x
f x xe g x
   pour tout x IR
1-calculer  lim
x
f x

et interpréter ce résultat géométriquement
2-calculer  
 lim lim
x x
f x
f x et montrerque
x 
 et interpréter ce résultat
géométriquement. (Remarquer que
   
2
f x g x
x
x x
 
  
 
)
3-calculer  'f x en fonction de    'g x et g x

2. 2
4-etudier le signe de  'f x et donner le tableau de variation de f .
5-determiner l’équation de la tangente (T ) à  fC au point d’abscisse 0.
6-construire la courbe  fC et la tangente (T) dans un repère orthonormé  ; ;O i j
(unité 1cm).on donne
2
1
0,4
e
e
  
     
.
III-soit h la restriction de f sur  ;1I  
1-montrer que h admet une fonction réciproque 1
h
définie sur un intervalle J à
déterminer.
2-verifier que  0 1h  et calculer    1
' 1h
3-construire  1
h
C  dans le même repère ; ;O i j .
Exercice 2 : 3pts
1-resoudere dans l’équation suivante : 2
6 25 0z z  
2-on considère dans le plan complexe rapporte au repère orthonormé  ; ;O u v
d’les points A ; B ; C et D d’affixes respectifs
3 4 ; 3 4 ; 2 3 5 6a i b i c i et d i        :
a-calculer
d c
a c


en déduire que les points A ; C et D sont alignes.
b-montrer que : 3 8p i  est l’affixe du point P l’image du point A par
l’homothétie de centre B et de rapport
3
2
.
c- donner la forme trigonométrique du nombre complexe
d p
a p


d: en déduire que :   ; 2 2
4
PA PD et PA PD

 
Exercice 3 : 3pts
On considère une urne contenant 10 boules qui portent les nombres suivants 1 ;
2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4. Ces boules sont indiscernables au toucher. On
considère l’expérience suivante. On tire au hasard successivement et sans remise
deux boules de cette urne.

3. 3
1-Soit A l évènements suivant : les deux boules tirées portent de nombres pairs
Montrer que  
1
3
p A 
2-On répète l’expérience précédente trois fois de suite tel que .on repose les
deux boules tirées dans l’urne après chaque expérience.
2-Soit X la variable aléatoire qui est égal au nombre de fois de réalisation de
l’évènement A.
a-montrer que :  
4
1
9
p X  
b-montrer que  
8
3
15
p X  
b- donner la loi de probabilité
Exercice 4 : 3pts
L’espace rapporte à un repère orthonormé direct ; ; ;O i j k . On considère les
points    1;1;1 ; 1; 2;2A  et le plan (P) d’équation : y-z=0
1-montrer que l’ensemble  S des points  ; ;M x y z de l’espace tel que :
2 2 2
2 2 2 1 0x y z x y z       est une sphère de centre  1;1;1 et de rayon 2.
2-calculer   ;d P en déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) selon un
cercle (C).
3-dterminer le centre et le rayon du cercle (C).
4-soit (D) la droite qui passe par le point A et orthogonale au plan (P)
a-montrer que :  0;1; 1u  est un vecteur directeur de la droite (D).
b-montrer que 2A u u  
c-en déduire que la droite (D) coupe la sphère. (S) en deux points E et F à
déterminer leurs triples de coordonnes.
Exercice 5 : 3pts
Soit la suite  nu définie par :  
3
3
1 0
1
: 1 0
8
n nn IN u u et u    
1-calculer 1u et 2u

4. 4
2-montrer que : :0 1nn IN u   
2-etudier la monotonie de la suite  nu , en déduire que  nu est convergente
4-on pose : 3 1n nv u  .
a-montrer que : la suite  nv est géométrique de raison
1
2
b-calculer nu en fonction de n et calculer lim n
n
u

c- écrire 3 33 3
0 1 2 ......n nS u u u u    en fonction de n et calculer lim n
n
S
