maths

1. 1
Ennaji Ahmed : Docteur ; prof de maths et Ingénieur en
informatique décisionnelle BI.
Examen Blanc 1 de mathématiques pour 2 BAC PC biof
é à
Année scolaire : 2017-2018 : durée 3h ; coefficient : 7
Exercice 1 : (4pts)
Dans une zone de Beni Mellal, on s’intéresse à la population des libellules. On
note 0P la population initiale et nP la population au bout de n années.
Des études ont permis de modéliser l’évolution de nP par la relation :
 2 1 1
1
:
2
n n n nn IN P P P P       . On suppose que 0 140000 60000P et P 
On définit l’accroissement de la population pendant la nième année par la
différence : 1n nP P
1-calculer l’accroissement de la population pendant la première année, la
deuxième année, la troisième année puis en déduire 2 3P et P .
2- On considère les deux suites tel que :
1
1 1
: 1
2
n n n
n n n
U P P
n IN
V P P

 
 

  
 
a-montrer que la suite  nU est géométrique en précisant sa raison et son premier
terme.
b-exprimer nU en fonction de n
c-calculer 1n nV V  et déduire que : 1 0
1
:
2
nn IN V P P    et calculer nV
3-a-montrer que :  : 2n n nn IN P V U   
b-déduire nP en fonction de n et calculer la limite de la suite  nP
c-Que peut-on en déduire en ce qui concerne l’évolution de cette population au
bout d’un nombre d’années suffisamment grand ?
Exercice 2 : (4pts)
Soit l’équation (E) suivante : 2
: 6 2 0z z z   

2. 2
Ennaji Ahmed : Docteur ; prof de maths et Ingénieur en
informatique décisionnelle BI.
1-resoudre dans cette équation (E) tel que  2Im 0z
2-donner la forme trigonométrique de 1 2z et z et calculer    6 6
1 2z z
3-donner la forme exponentielle de 1 2z et z déduire que 3
2 1
i
z e z


4-dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct  ; ;O u v .on
considère les deux points    1 2A z et B z .
a-Montrer qu’il existe une rotation R qui transforme A en B en précisant son
centre et la mesure de son angle.
b-déduire la nature du triangle OAB
c-déterminer l’ensemble des points  M z tel que : 1 2z z z z  
Exercice 3 : (3pts)
1-resoudre le système suivant :
3 2ln 2
4ln 2
x y
x y
 

 
2-on pose :
ln16
0
3
4
x
x
e
I dx
e
 
  
 
 et
ln16
0
1
4x
J dx
e
 
   

a-calculer : 3I J et I J 
b- En déduire les valeurs exactes de I et J
3-avec la méthode d’intégration par parties calculer
1
0
x
xe dx et prouver que
1
2
0
2x
x e dx e 
Exercice 4 : (4pts)
I- On considère la fonction g définie sur l’intervalle
1
;
2
 
  
par :
   2
ln 2g x x ax x b    ou a et b sont deux réels.
Calculer a et b pour que la courbe représentative  gC de la fonction g dans un
plan muni d’un repère orthonormé  ; ;O i j passe par l’origine du repère et
admette une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse
1
2

3. 3
Ennaji Ahmed : Docteur ; prof de maths et Ingénieur en
informatique décisionnelle BI.
II-Soit f la fonction définie sur l’intervalle
1
;
2
 
  
par :
   2
2 ln 2 1f x x x x     .on admet que f est dérivable et on note 'f sa dérivée.
Le tableau de variation de la fonction f est le suivant :
1-justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.
2-montrer que l’équation   0f x  admet une solution unique  dans l’intervalle
1
;1
2
 
  
3-donner un encadrement de  d’amplitude 2
10
.
4-determiner le signe de  f x sur l’intervalle
1
;
2
 
  
Exercice 5 : (5pts)
I-Soit     1 2x x
g x e e   pour tout x IR
1-resoudre dans IR l’équation :   0g x 
2-etudier le signe de  g x pour tout x IR
II-on considère la fonction f définie sur IR par    
22
2x x
f x e e 
1-verifier que :  lim 0
x
f x

 et interpréter graphiquement ce résultat.
2-verifier que :  lim
x
f x

  et étudier la branche infinie de la courbe  fC au
voisinage de 
3-montrer que :    2
: ' 4 x
x IR f x e g x  

4. 4
Ennaji Ahmed : Docteur ; prof de maths et Ingénieur en
informatique décisionnelle BI.
4-pourqoi le signe de  f x est celui de  g x sur IR ?
5-calculer  ln 2f et donner le tableau de variation de sur IR
6-construire la courbe représentative fC de la fonction f dans le repère
orthonormé ; ;O i j (unité : 4cm).
7-Soit h la restriction de la fonction f sur l’intervalle  0;ln 2I 
a-montrer que h admet une fonction réciproque 1
h
définie sur un intervalle J à
déterminer.
b-construire la courbe représentative  1
h
C  de la fonction 1
h
dans le même
repère ; ;O i j .
III-Soit   4 3 21 4
2
4 3
x x x
F x e e e   pour tout x IR
1-montrer que : la fonction F est une primitive de f sur IR
2-calculer en 2
cm l’aire de la partie du plan délimite par la courbe fC , l’axe des
abscisses et les droites d’équations : 0 ln2x et x 