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2015年度春学期 画像情報処理 第１４回 逆投影法による再構成
- 4. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 5. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 6. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 7. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 8. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理．
- 9. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で ２次元関数が再構成できる
- 10. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない
- 11. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy
- 12. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 13. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 14. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 15. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 16. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 17. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない
- 18. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない →補間を行う
- 19. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 20. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 21. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 22. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 23. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 24. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標
- 25. 2015 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 図 3: 投影定理． となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと，先に述べたように dxdy = dsdu ですから， Gθ(ξ) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18) となります。 フーリエ変換法による再構成 投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると，物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか ることになります。したがって，すべての θ についての投影を求めれば，物体のフーリエ変換 F(fx, fy) の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば，もとの物体 f(x, y) が再構成されます。このような再構成法を，フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体に ひろがるアーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標
- 29. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
- 30. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
- 31. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y)
- 32. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y)
- 33. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて 合計してみれば？
- 34. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて 合計してみれば？ どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから， 合計したら f(x, y) が強調される？
- 37. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では
- 38. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) h
- 39. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) h (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり
- 40. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) h (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は
- 41. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) h (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ f
- 42. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) h (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ f
- 43. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) h (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ f 用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。 逆投影法 投影定理からはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復 この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみま 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分 した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
- 44. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) h (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ f 用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。 逆投影法 投影定理からはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復 この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみま 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分 した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち
- 45. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s 図 2: Radon 変換． この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 る直線を x 方向に s cos θ ，y 方向に s sin θ だけ移動したものですから， (x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = すなわち x cos θ + y sin θ − s = 0 を満たします。したがって (3) 式と同様に g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s) が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１３回 (2013. 7. 3) h (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべて とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算して 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってき した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d つまり よって投影は 投影定理からはいったん離れて，もうすこ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を とを考えます。こうすると，これらの投影は れ，投影に含まれている他の値によるぼけは この方法を逆投影法といいます。本当に復元 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, した s と x, y の関係式 s によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) g(s, θ) = ∞ f 用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。 逆投影法 投影定理からはいったん離れて，もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ (x, y) での値 f(x, y) を求めるのに，(x, y) を通って写された投影をすべての θ とを考えます。こうすると，これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか れ，投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの，一応 f(x, y) が復 この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみま 角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分 した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち復元できているのか？ f(x, y) とどれほど違うのだろうか？
- 46. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は， の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))d 逆投影
- 47. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は， の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))d 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 48. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は， の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))d 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 49. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x co = ∞ f(x′ , y′ ) π δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は， の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))d 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 50. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x co = ∞ f(x′ , y′ ) π δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は， の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))d 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影
- 51. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x co = ∞ f(x′ , y′ ) π δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は， の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))d 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 52. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x co = ∞ f(x′ , y′ ) π δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は， の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))d 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 53. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x co = ∞ f(x′ , y′ ) π δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は， の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))d 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 54. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x co = ∞ f(x′ , y′ ) π δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は， の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))d 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 55. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通って した s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ によって，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい 投影法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)d と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x co = ∞ f(x′ , y′ ) π δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) 投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は， の関係式 s = x cos θ + y sin θ cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる 再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式に代入すると y) = π ∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))d 成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ don 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 代入すると = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ で，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] Radon変換 逆投影 方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか，計算してみましょう。 度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち，(x, y) を通ってきた部分は，前回の (8) 式 s と x, y の関係式 s = x cos θ + y sin θ って，g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか 法による再構成像 b(x, y) は b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式)，すなわち g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ ります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
- 56. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 57. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 58. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 co
- 59. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 co を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ 三角関数を合成
- 60. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 co を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
- 61. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 になら δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数につ (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+( で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。した δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 co を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ す。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] つことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関数 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ g(s, θ) = −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy と (1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ となります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] がなりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 で，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/ 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
- 62. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 63. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 64. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
- 65. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
- 66. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが 積分すると1 −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5
- 67. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが 積分すると1 −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) ) 式は b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法によ (x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 よって
- 68. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが 積分すると1 −∞ 1) 式を (2) 式に代入すると b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ なります。ここで，関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ) = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) ) 式は b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法によ (x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] なりたつことを用います（証明は略）。(4) 式のデルタ関数の引数について (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 ，0 θ < π でこの値が 0 になるのは θ = π − α のときだけです。したがって，(4) 式のデルタ関 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第１４回 (2013. 7. 10) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 よって コンヴォリューションに なっている
- 69. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元するにはは b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1
- 70. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 は b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1
- 71. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 は b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1 = f(x, y) ∗ x2 + y2 第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による ，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 (9) FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y (10) ると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11)
- 72. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 は b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に ) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま は，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法に は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になりま ，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません フーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フ 」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 1 1 = f(x, y) ∗ x2 + y2 第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆投影法による ，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像になります。 得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはいえません。し リエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ変換＝フーリ の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 (9) FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y (10) ると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] (11) = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 となります。∗ は，第１部で出てきたコンヴォリューションの記号です。したがって，逆 再構成像 b(x, y) は，もとの物体 f(x, y) の各点に関数 1/ x2 + y2 を重畳してぼかした像に このままでは，得られた像は大きくぼやけているので，まだ再構成像が得られたとはい かし，(8) 式をフーリエ変換すると, 第１部で説明した「コンヴォリューションのフーリエ エ変換のかけ算」の関係があるので FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 となります。 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y であることを用いると（証明は略），(9) 式は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] なので