Más contenido relacionado La actualidad más candente (20) معادلة لاغرانج2. معادالتانجرالج
واملطر الديناميكية املسألة كانت للديناميكا السابقة استناردفيذاتحةصيغات
اإلحداثيات كانت سواء املستخدمة اإلحداثيات على تعتمد خاصةترالكايزيةأو
الذاتية أو القطبية.تصاغ وكانتبمعلوميةللحركة نيوتن قوانين.ثهذا رتطو م
الدي املجموعات أوضاع تحكم التي الهندسية للعالقات باللجوء اءراإلجناميكية
اسةرالد موضع.
أي العامة الحاالت في سنأخذها التالية استنارد فيفإنه وبذلكئ بشمنالتعميم
في وضعها ويتحدد عامة صيغة ذات ديناميكية مجموعة نعتبر بأن وذلكاغرالف
لنق إحداثيات نتكو كأن الهندسية املعلومات من بمجموعة كامل تحديدط
متميزةخاصةبهااياوز أو املجموعة هذه مركز لحو رتدو رمحاو عن أبعاد أو
املجموعة لهذه متميزةخاصة لخطوط ميل.
املعلومات لهذه ادني حد عادة يوجد عامة ديناميكية مجموعة ألي وبالنسبة
تس املعلومات هذه مثل اغرالف في املجموعة وضع تحدد التي الهندسيةعادة مى
املجموعة لهذه املعممة اإلحداثياتGeneralized Coordinates
.
3. الطالقة جاتردDegrees of Freedom
من مكونةمجموعة موضع لتحديدمةزالال اإلحداثياتعدد
للمجموعة الطالقة جاتردعدد يسمى أكثرأو جسيم.
-الطالقةجاترد عرف
- Define Degrees of Freedom
4. مثال:
ويلزم اغرالف في بحرية جسيم يتحرك3مثل إحداثيات
(x,y,z)الطالق جاتردعدد نيكو بذلك موضعه لتحديدة
3
الحل:
باملعادالتاملنحنى وصف يمكنامتريةرالباx=x(s) ,
y=y(s) , z=z(s)حيثsهوامتررالبا.يحدد عندئذ
معينواحد إحداثيبواسطة املنحنى علىالجسيم موضع
واحدة طالقة جةردتوجد وبذلك.
5. مثال:
من نتتكومجموعةnفي بحرية تتحرك الجسيمات من
يلزمنا اغرالف3nنيكو وبذلك موضعها لتحديد إحداثيات
هو الطالقة جاتردعدد3n.
الحل:
يتطلب جسيم كلإحداثياناملستو في موضعه لتحديدوبذلك ى
يلزم5 x 2 = 10الجسيماتمواضع لتحديدإحداثي
لهااملجموعة أن أي الخمسة10طالقة جاترد.
6. مثال:
م على يتحرك جسيم اآلتية الحاالت من كل في الطالقة جاترد عدد حددنحنى
معين اغرف–ىمستوفي بحرية تتحرك جسيمات خمسة–جسيم خمسةات
اغرالف في بحرية تتحرك–قضيب بواسطة متصالن جسيمانئ جاسيتحرك
ىمستوفي بحرية.
الحل:
بواسطة جسمين إحداثيات عن التعبير يمكن(x1,y1) , (x2,y2)بعةرأ أي
ثابتة النقطتين هاتين بين املسافة أن وحيث إحداثيات
(القضيب لطو(x1-x2)2 + (y1-y2)2 = a2)
ذل على وبناء ىاألخر بداللة طالقته جةرد عن التعبير يمكن انه وينتجيوجد ك
4-1 = 3جاتردطالقة
7. مثال:
لجسم الطالقةجاترد عدد اوجدئ جاس
األبعاد ثالثياغرففي بحرية يتحرك أن يمكنه
اغرالففي حولها ريدوأن يمكن ولكن مثبته نقطة لديه
الحل:
1-الجسمفي نقط ثالث هناك كانتإذائ الجاساس على تقعوالاغرالف في مثبتهواحدةتقامة
على هي النقطهذهاعتبراغرالففي مثبت
ً
أيضا نيكوالجسم فإن واحد ىمستو وفىالتوالي(
x1,y1,z1) , (x2,y2,z2) , (x3,y3,z3)
الجسمأن وحيث تسعة نيكوعددها أيئ جاسنيكو فإنه
(x1-x2)2 + (y1-y2)2 + (z1-z2)2 = cont.
(x1-x3)2 + (y1-y3)2 + (z1-z3)2 = cont.
(x2-x3)2 + (y2-y3)2 + (z2-z3)2 = cont.
الباقية الستة بداللة إحداثيات ثالثةعن التعبير يمكنانه أي.
يلزم وبذلك9-3=6طالقجاترد ست توجد انهأيالحركة توصف لكي مستقلة إحداثياتة.
8. 2-الففي حولها ريدو أن يمكن ولكن مثبته نقطة لديهاغر
الحل:
مث نقطتين إحداثيات علمنا إذا
ً
تماما الحركة وصف يمكن
ً
ال(
x1,y1,z1) , (x2,y2,z2)الثابتة النقطة تؤخذ حيث
الجسم أن وحيث اإلحداثياتملجموعة األصل نقطة عند
نيكو أنيجبمتماسك
الباقي الثالثة بداللة إحداثيات ثالثة إيجاد يمكن ومنهاوبذلك ، ة
طالقة جاترد ثالثة هناك نيكو.
9. املعممةاإلحداثيات:Generalized Coordinates
نظام يوجد أنه نفرضبهnالحركة محكم جزء(مقيد)جزء مثل
سلك علىيتحركىدائرىمستوفييتحركمتماسك جسمأو.
هيالحركة لوصفمةزالالاملستقلةاإلحداثياتمن عدد يوجدفإنه
q1,q2,…….qn(حيثnالجسيمات عدد)هذه تسمى
املعممةباإلحداثياتاإلحداثيات.
ماالثنينأواياوزأومسافاتعنةرعبااإلحداثيات هذه نتكو قد
ً
عا
وهكذا.الحريةجاترد عددهو املعممةاإلحداثيات عدد.
11. -ىمستو في يتحرك مزدوج للبندو التحويلمعادالت اكتب.
- Write the transformation
equations for the two masses in a
double pendulum constrained to move
in a plane.
الجسمينموضع
ً
تماماتحددان اإلحداثياتm1,m2انريعتب وبذلك
الطالقةجاترد عدد أي ،املعممة اإلحداثيات هما2.أن نفرض
(x2,y2)،(x1,y1)الجسيمين إحداثيات هماm1,m2.
وهذههىالتحويلمعادالت.
12. الديناميكية املجموعة:Dynamical system
منف نتكوقدالجسيمات وهذه ىالقومن مجموعة تأثير تحت تتحركالجسيماتمن مجموعة هيصلة
متصلة أو البعض بعضها عن.المن
ً
ازحي تشغل املتصلةالجسيمات من مجموعة هوالجسمإذا اغرف
ً
مرنا
ً
جسما يسمى تتغيرالجسيمات بيناملسافات كانت.ال بيناملسافات كانتإذاأماثابتةجسيمات
الجسم يسمى
ً
جاسئا
ً
متماسكا أو.الجسمئ الجاس(املتماسك أو)م خطشكلعلى نيكوقدمثل ستقيم
و ذلكغير أو ناقص قطع أودائرةشكلعلى سلك مثل منحنىشكل على أومستقيم قضيبله نيكو
طولية كثافة(األطوال وحدة كتلة)الك منتظمغيرالجسم كانإذا املوضععلى تعتمد وهىإذاأما ثافة
شك على منتظم سلك
ً
فمثال، ثابتة نتكو الطوليةكثافته فإن
ً
منتظماالجسم كاننصفدائرةل
ىتساو كتلته فان وكثافته قطرها.ًمستويا
ً
سطحاالجسم كانإذاعلى صفيحة مثلأو مثلث شكل
س كثافة لهنفيكو مجوفةكرة أو مجوفة اسطوانة سطح مثل
ً
منحنيا
ً
سطحا كان أودائرةطحية
منتظمةغير أو منتظمة.فم ثابتة نتكو السطحيةكثافتهفإن
ً
منتظما السطح كانإذاعلى صفيحة
ً
ثال
بعداه مستطيلشكلa,bوك هي املستطيلة الصفيحة كتلة فإن قطرها نصفكرهسطح أوتلة
السطحية للكثافة
ً
اراختصا الكثافةهي حيثهي يةوالكر الصفيحة.يأن العامةالحالةالجسم نكو
كثافة له أياألبعاد ثالثيحجميةمنتظمالجسم كانإذا منتظمةغير أومنتظمة نتكوقدفإن
ً
ا
كثافتهالحجميةحرفه لطو مكعبشكل على جسم
ً
فمثال ثابتة نتكوaقطرها نصف مصمتةكره أو
bللكثاف
ً
اراختصا الكثافة هي حيث هي املصمتةالكرة وكتلة هي املكعب كتلة فإنةالحجمية.
13. القيود أنواع:Kinds of constraints
عليه ليسحرة نتكو أن إماحركتها أثناء الديناميكيةاملجموعةأو قيود ا
منمجموعة هناك نتكو الحالةهذه وفى القيودمنعدد عليها أن
املجموعةجسيمات وسرعات مواضع علىطوالشر.كانت إذا
من نتتكو الديناميكيةاملجموعةNوكانت جسيم
q1,q2,…….,qnعندالحركة تصف التيمعممة إحداثيات
الزمنtـلnالحرك قيودجميع كانت فإذااملعممة اإلحداثيات عددة
باملعادالت عنها التعبير يمكن للمجموعة
وتحق تتفقمعينة
ً
قيماتأخذ الجسيمات وسرعات مواضع أن أيهذهق
املجموعات تقسيم يمكناألخيرة العالقة(األنظمة)الديناميكية
اآلتية األنواع إلىاملقيدة:-
14. 1-
ً
منياز املستقرالقيد:م في احةرصالزمن يظهر لم إذاعادلة
الديناميكيةاملجموعة وتسمى القيدفىبا الحالة هذهملجموعة
االسكليرونوميهScleronomic
2-
ً
منيازمستقر الغير القيد:الزمن كان إذاtاحةرص يظهرفى
باملجموعة الديناميكيةاملجموعة وتسمى القيد معادلة
الريهونوميةRehonomic.
3-ي الهندس القيد:معادل في احةرص السرعات تظهر لم إذاة
باملجموعةاملجموعة وتسمى القيدالهولونوميه
Holonomic.
15. 4-القيدالكينماتيكى:القمعادلة في احةرص السرعات ظهرت إذايد
نوعين إلى تنقسم الحالةوهذه:
أ-القيدمعادلة تكامل أمكن إذاوتحويلةهند قيدإلى بالتاليي س
الديناميكيةاملجموعة نتكو ولذلكهولونوميه
ب-الديناميكياملجموعة فإن القيدمعادلة تكامل يمكن لم إذاة
غير مجموعة تسمىهولونوميةNon – holonomic
5-محافظةالغيرواملجموعاتاملحافظة املجموعات:
Conservative and non-conservative
اشتقايمكن جسيمات مجموعة علىاملؤثرة ىالقو جميع كانت إذاقها
الجهد دالة من(الجهد طاقة أو)محافظاملجموعة تسمى فعندئذة
محافظة غير نتكو فإنها وإال.
16. مثال:
معادلته سطح علىيتحرك جسيمF(x,y,z) = oالقيد نوع بين
الحل:
السطحمعادلة هي القيدمعادلةF(x,y,z) = oمستقر قيدوهو
املج نوتكو القيدمعادلة في احةرص يظهر ال الزمن الن
ً
منيازموعة
سكليرونومية.ف السرعات فيها تظهر ال القيدمعادلة أن حيثان
املجموعة نوتكو ي هندس القيدهولونوميه.املجموعة أن أي
هولونوميهسكليرونومية
ً
منياز مستقر ي هندس والقيد.
17. مالحظة:اإلحداثيات من عديدة فئاتاختيار يمكن
ه مافي ةراملها ولكن معينة مسألة ملعالجةاملعممةي
تبسأن ويمكن مةزالال املعممة اإلحداثيات مجموعةط
عظيمة جةرد إلى التحليل.