Modelling strategies in market finance Lecture 2: Market expectations

1. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Mod´elisation de strat´egies en finance de
march´e
S´eance 7 : Anticipations du march´e
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD
alexander.surkov@usherbrooke.ca
´Ecole de gestion
Universit´e de Sherbrooke
Le 22 f´evrier 2017

2. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Table de mati`ere
Anticipations du march´e
Estimation des rendements
Estimation des variances et corr´elations
Mod`ele EWMA

3. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Table de mati`ere
Anticipations du march´e
Estimation des rendements
Estimation des variances et corr´elations
Mod`ele EWMA

4. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Rendement moyen
Pour former les anticipations du march´e, nous sommes
int´eress´es par l’esp´erance math´ematique du rendement
futur Et Rt+1 compte tenu de l’information que nous
disposons aujourd’hui.
Pour les rendements ind´ependants,
Et Rt+1,t = E Rt+1,t.
Pour une s´erie stationnaire,
E Rt+1,t = µR
et la moyenne d’´echantillon des rendements observ´es
ˆµR =
1
N
N−1
i=0
rt−i
repr´esente un estimateur non biais´e pour l’esp´erance
math´ematique de la distribution inconditionnelle
E ˆµR = µR.

5. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
L’erreur du rendement moyen
L’allocation d’actif est tr`es sensible `a l’estimation du
rendement.
L’erreur type du rendement moyen :
σˆµR
=
σR
√
N
o`u N est le nombre d’observations, σR est l’´ecart type
du rendement.
L’erreur statistique de l’estimation de rendement
±1.96 σˆµR
peut ˆetre plus grande que la moyenne du rendement !

6. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Exemple : l’erreur du rendement mensuel
05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
Date
Rendement

7. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Comment r´eduire l’erreur ?
´Etendre l’historique
N ↑ ⇒ σˆµR
=
σR
√
N
↓,
µR
σˆµR
↑
Est-ce que les donn´ees pour des p´eriodes ´eloign´ees sont
toujours pertinentes ?
Changer la fr´equence ?
Rτ+T,τ = Rτ+T,τ+T−1 + Rτ+T−1,τ+T−2 + · · · + Rτ+1,τ
o`u, par exemple, T = 21 pour jour → mois .
E Rτ+T,τ = µR · T, VRτ+T,τ = σ2
R · T, N =
N
T
V ˆµRτ+T,τ
=
σR ·
√
T
N /T
= σˆµR
· T

8. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Exemple : l’erreur du rendement quotidien
05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Date
Rendement

9. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Comparaison : rendements mensuels/quotidiens
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Date
Rendement
−4
−2
0
2
4
x 10
−3
Date

10. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Chevauchement d’intervalles (1)
On cherche l’estimation du rendement mensuel ˆµRT
(T = 21 jours) `a partir de N = 2520 observations
quotidiennes.
Pour les intervalles sans chevauchement, il y a
N /T = 120 observations.
L’´ecart type du rendement moyen
σRτ+T,τ
N /T
=
σR
√
T
N /T
=
σR T
√
N
Pourrait-on profiter du grand nombre (et de la
relativement petite variance) des rendements mensuels
et du grand nombre d’observations quotidiennes en
mˆeme temps ?

11. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Chevauchement d’intervalles (2)
Pour les intervalles avec chevauchement,
rt,t−T , rt−1,t−T−1, . . .
le nombre d’observations est n = N − T + 1.
Cependant, l’´ecart type du rendement moyen n’est pas
´egale `a
σR
√
T
√
n
parce que les rendements mensuels ne sont plus
ind´ependants.
Le vrai ´ecart type du rendement moyen est
σRT
√
n
1 −
T2 − 1
3nT

12. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
L’estimateur de James-Stein (1)
Le choix du portefeuille d´epend des rendements de
plusieurs actifs.
L’estimateur devrait minimiser une certaine fonction
d’erreur totale au lieu des erreurs pour chacun de
rendements.
L’estimateur de James-Stein ˆµJS pour un vecteur de
rendements moyens
ˆµ
(i)
JS = (1 − ˆw) ˆµ
(i)
R + ˆwµ0
o`u ˆw est un certain poids optimal,
ˆµ
(i)
R est le rendement moyen pour l’actif i,
µ0 est une n’importe quelle constante

13. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
L’estimateur de James-Stein (2)
L’estimateur de James-Stein est biais´e, mais plus
efficace que ˆµR selon une certaine fonction d’erreur
quadratique.
Voir P. Jorion. Bayes-Stein Estimation for Portfolio
Analysis. Journal of Financial and Quantitative
Analysis. 1986. 21(3). 279–92 pour plus de d´etails.

14. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Rendement arithm´etique compos´e
Si on veut pr´edire des rendements arithm´etiques
compos´es (par exemple, un rendement annuel en
utilisant les donn´ees mensuelles, T = 12)
Et Rt+T,t
et les rendements sont ind´ependants et identiquement
distribu´es,
Et Rt+T,t = [E (1 + Rt+1,t)]T
− 1 = (1 + µR)T
− 1.
Probl`emes :
Mˆeme si µR est connu pr´ecis´ement, (1 + µR )
T
− 1 ne
repr´esente pas bien les rendements observ´es.
En raison de l’erreur d’estimation de ˆµR , l’estimateur
(1 + ˆµR )
T
− 1 est biais´e.

15. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Probl`eme 1 : p´eriode de composition T = 60
−1 0 1 2 3 4 5 6
0
2000
4000
6000
8000
Rendement, T =60
Nombred’observations,m=500000
N. d’obs.
Moyenne
Mediane

16. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Probl`eme 1 : p´eriode de composition T = 120
−1 0 1 2 3 4 5 6
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Rendement, T =120
Nombred’observations,m=500000
N. d’obs.
Moyenne
Mediane

17. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Probl`eme 1 en Matlab
mu = (1+11.8/100)^(1/12)-1;
sigma = 20.3 / 100 / sqrt(12);
T = 120; % P´eriode de composition
m = 5e5; % Nombre d’essais
rT = zeros(m,1);
for i = 1:m
% T rendements al´eatoires
r = normrnd( mu, sigma, 1, T );
% Rendement compos´e
rT(i) = prod( 1 + r, 2 )-1;
end;
ErT = ( 1 + mu )^T - 1; % Moyenne
MrT = median(rT); % M´ediane

18. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Probl`eme 1 : solution approximative
ln (1 + Rt+1,t) ∼ N µ, σ2
E Rt+1,t = exp µ +
σ2
2
− 1 = µR
σ2
R = exp σ2
− 1 (1 + µ)2
σ2
= ln 1 +
σR
1 + µ
2
≈ σ2
R
µ = ln (1 + µR) −
σ2
2
≈ µR −
σ2
R
2
La m´ediane de exp [ln (1 + Rt+T,t)] est ´egale `a l’exp de
la m´ediane de ln (1 + Rt+T,t), c.-`a-d. `a exp (µT).
Plus g´en´eralement, le rendement m´edian compos´e
≈ exp [E ln (1 + Rt+T,t) T] − 1.

19. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Probl`eme 2 : l’estimateur biais´e
ˆµR =
1
N
N−1
i=0
rt−i , EˆµR = µR
E (1 + ˆµR)T
= (1 + µR)T

20. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Probl`eme 2 : p´eriode de composition T = 60
−1 0 1 2 3 4 5 6
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Rendement, T =60
Nombred’observations,m=500000
N. d’obs.
M. estim.
Vraie m.

21. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Probl`eme 2 : p´eriode de composition T = 120
−1 0 1 2 3 4 5 6
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Rendement, T =120
Nombred’observations,m=500000
N. d’obs.
M. estim.
Vraie m.

22. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Probl`eme 2 en Matlab
N = 120; % Nombre de donn´ees
T = 120; % P´eriode de composition
m = 5e5; % Nombre d’essais
% Estimations du rendement compos´e
muTe = ( 1 + normrnd( mu, sigma / sqrt( N ),...
m, 1 ) ) .^ T - 1;
% L’esp´erance math´ematique estim´ee
EmuTe = mean( muTe );
% La vraie esp´erance math´ematique
muT = ( 1 + mu ) ^ T - 1;

23. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Probl`eme 2 : le biais
Si ˆµR ∼ N µR, σ2
R /N
E (1 + ˆµR)T
= (1 + µR)T
×


1 +
[T/2]
k=1
T!
2k (T − 2k)!k!


σR
√
N
1 + µR


2k




24. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Table de mati`ere
Anticipations du march´e
Estimation des rendements
Estimation des variances et corr´elations
Mod`ele EWMA

25. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Matrice de covariance
La variance, la covariance et la corr´elation :
σ2
Ri
≡ V Ri ≡ E (Ri − E Ri )2
,
σRi Rj
≡ cov (Ri , Rj ) ≡ E (Ri − E Ri ) (Rj − E Rj ) ,
ρRi Rj
≡ corr (Ri , Rj ) = σRi Rj
σRi
σRj
La matrice de covariance
Σ = σRi Rj
=





σ2
R1
σR1R2 . . . σR1Rn
σR1R2 σ2
R2
. . . σR2Rn
...
...
...
...
σR1Rn σR2Rn . . . σ2
Rn





Tout ensemble, elles permettent de quantifier le risque
du portefeuille.

26. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Covariance vs. corr´elation
σRi Rj
= (σRi
) ρRi Rj
(σRi
)T





σ2
R1
σR1R2 . . . σR1Rn
σR1R2 σ2
R2
. . . σR2Rn
...
...
...
...
σR1Rn σR2Rn . . . σ2
Rn





=





σR1 0 . . . 0
0 σR2 . . . 0
...
...
...
...
0 0 . . . σRn










1 ρR1R2 . . . ρR1Rn
ρR1R2 1 . . . ρR2Rn
...
...
...
...
ρR1Rn ρR2Rn . . . 1





×





σR1 0 . . . 0
0 σR2 . . . 0
...
...
...
...
0 0 . . . σRn






27. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Variance vs. volatilit´e
Volatilit´e est l’´ecart type annualis´e de rendements
logarithmiques
Si les rendements logarithmiques sont ind´ependants et
identiquement distribu´es,
Rt+T,t = Rt+T,t+N−1 + Rt+N−1,t+T−2 + · · · + Rt+1,t
E Rt+T,t = TµR, E (Rt+T,t − E Rt+T,t)2
= Tσ2
R
La moyenne annualis´ee : µR · T
La variance annualis´ee : σ2
R · T
L’´ecart type annualis´e (volatilit´e) : σR ·
√
T

28. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Volatilit´e : exemple
Le rendement moyen et l’´ecart type des rendements
quotidiens de l’indice S&P/TSX
µR = 1.87·10−4
= 0.0187%, σR = 0.0119 = 1.19%
La moyenne annualis´ee, T = 252
µa
R = µR · T = 1.87 · 10−4
· 252 = 0.0470 = 4.70%
La volatilit´e
σa
R = σR ·
√
T = 0.0119 ·
√
252 = 0.189 = 18.9%

29. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Variance de rendements compos´es
Si les rendements ne sont pas ind´ependants, disons
Rt+1,t = α+ρRt,t−1+εt, εt ∼ iid 0, σ2
, |ρ| < 1
V Rt+T,t =
= σ2
T +
2ρ
(1 − ρ)2
(T − 1) (1 − ρ) − ρ 1 − ρT−1
Exemple :
ρ = −0.05, σ = 0.0119, V Rt+T,t = 0.179
On observe une sur-estimation de 5% environs de la
volatilit´e si l’autocorr´elation est ignor´ee.

30. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Estimation de la variance
Pour former les anticipations du march´e, nous sommes
int´eress´es par la variance du rendement futur
Et (Rt+1 − Et Rt+1)2
.
compte tenu de l’information que nous disposons
aujourd’hui.
Pour les rendements ind´ependants Et ≡ E
Pour une s´erie stationnaire, la variance est constante.
La moyenne ´equipond´er´ee
ˆσ2
R =
1
N − 1
N−1
i=0
(rt−i − ˆµR)2
repr´esente un estimateur non biais´e de la variance
inconditionnelle
E ˆσ2
R = σ2
R.

31. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Estimation des corr´elations
En utilisant la mˆeme logique :
ˆσRi ,Rj
=
1
N − 1
N−1
k=0
(ri,t−k − ˆµRi
) rj,t−k − ˆµRj
Notons que les estimateurs
ˆσR = ˆσ2
R, ˆρRi Rj
= ˆσRi Rj
ˆσRi
ˆσRj
sont g´en´eralement biais´es, le biais ´etant habituellement
petit.

32. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Erreur d’´echantillonnage
Si les observations sont i.i.d., l’estimateur de la variance
est non biais´e
E ˆσ2
R = σ2
R.
L’erreur type de l’estimateur de la variance
V ˆσ2
R = σ2
R ·
2
N − 1
L’erreur type de l’estimateur de la volatilit´e
V ˆσa
R
σa
R
≈
V ˆσ2
R
2σ2
R
, V ˆσa
R =
σa
R
2(N − 1)
car
√
1 + x ≈ 1 + x/2 quand x est petit.

33. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Intervalle de confiance (1)
Si R ∼ N µR, σ2
R ,
(N − 1)
σ2
R
· ˆσ2
R ∼ χ2
N−1
Exemple : N = 252 ; l’intervalle de confiance pour le
niveau de confiance 1 − α = 0.95 :
χ2
α/2,251 ≈ 209, χ2
1−α/2,251 ≈ 297
(N − 1) ˆσ2
R
χ2
1−α/2,N−1
,
(N − 1) ˆσ2
R
χ2
α/2,N−1
≈ 0.85 · ˆσ2
R, 1.2 · ˆσ2
R
Matlab :
N = 252; alpha = 0.05;
s2 = nanvar(X); %Calculer la variance de X
s2*(N-1)./chi2inv([1-alpha/2 alpha/2], N-1)

34. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Intervalle de confiance (2)
50 100 150 200 250
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3(N−1)/χ2
,α=0.05
N

35. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Intervalle de confiance pour la volatilit´e
T (N − 1) ˆσ2
R
χ2
1−α/2,N−1
,
T (N − 1) ˆσ2
R
χ2
α/2,N−1
Exemple : `a partir d’un an des donn´ees quotidiennes,
T = 252, N = 252, σR = 0.0119 = 1.19%
L’intervalle de confiance pour le niveau de confiance
95% :
252 · 251
297
· 0.0119,
252 · 251
209
· 0.0119
≈ [0.174, 0.207] = [17.4%, 20.7%]

36. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Chevauchement d’intervalles (1)
L’estimation de la variance n’est donc pas
probl´ematique :
utiliser la fr´equence maximale disponible,
calculer la volatilit´e en utilisant la r`egle de
√
T.
Si on cherche l’estimation de la variance mensuelle ˆσRT
(T = 21 jours) `a partir de N = 252 observations
quotidiennes, il faut la calculer comme σR ·
√
T `a partir
de la variance quotidienne.
Une approche alternative utilisant les rendements
mensuels est moins pr´ecise, parce qu’elle n’implique que
12 observations.

37. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Chevauchement d’intervalles (2)
Une autre alternative existe : pour les intervalles avec
chevauchement,
rt,t−T , rt−1,t−T−1, . . .
le nombre d’observations est n = N − T + 1.
Les rendements ne sont plus ind´ependants et
l’estimateur de variance est biais´e
E ˆσ2
RT
= σ2
RT
· T · 1 −
(T − 1)(3n − T − 1)
3n(n − 1)
Pour N = 252, T = 21, le biais est de 8%.
Cependant, cette approche est de ∼ 1/3 plus pr´ecise
que celle sans chevauchements et peut ˆetre utilis´ee si
l’emploi de la r`egle de
√
T n’est pas souhaitable.

38. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Limitations de l’approche ´equipond´er´ee
L’estimateur ´equipond´er´e est pour la variance
inconditionnelle quand les rendements sont i.i.d.
La p´eriode d’observation devrait donc ˆetre longue.
Un rendement extrˆeme influence l’estimation lorsqu’il
est dans la fenˆetre d’observation.
Lorsqu’il quitte la fenˆetre, la volatilit´e diminue, ce qui
est compl`etement artificiel.

39. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Exemple : les rendements de S&P/TSX
Composite
05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Date
Rendement
Rend. TSX
Ec. type 21j
Ec. type 63j
Ec. type 1an

40. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Exemple : la corr´elation entre S&P/TSX
Composite et S&P 500
05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Date
Correlation
Corr. 21j
Corr. 63j
Corr. 1an

41. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Table de mati`ere
Anticipations du march´e
Estimation des rendements
Estimation des variances et corr´elations
Mod`ele EWMA

42. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Mod`ele EWMA
Exponentially weighted moving average
ˆσ2
R,t = λˆσ2
R,t−1 + (1 − λ) r2
t−1 = (1 − λ)
∞
k=1
λk−1
r2
t−k
ˆσRi Rj ,t = λˆσRi Rj ,t−1 + (1 − λ) ri,t−1rj,t−1
= (1 − λ)
∞
k=1
λk−1
ri,t−krj,t−k
Si R ∼ i.i.d 0, σ2
R , les estimations du mod`ele EWMA
sont non biais´ees
E ˆσ2
R,t = λE ˆσ2
R,t−1 + (1 − λ) E r2
t−1 = σ2
R

43. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
EWMA : l’erreur d’estimation
Si R ∼ N 0, σ2
R
V ˆσ2
R,t = 2σ4
R ·
1 − λ
1 + λ
L’erreur type de la volatilit´e
V ˆσR,t ≈ σR
1 − λ
2(1 + λ)
Pour λ = 0.96
V ˆσR,t
σR,t
≈
1 − 0.96
2 · (1 + 0.96)
≈ 10%
L’erreur r´eelle est plus grande parce que l’historique est
limit´ee.

44. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
EWMA : ´ecart type
05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Date
Rendement
Rend. TSX
λ=0.9
λ=0.96
Ec. type 63j

45. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
EWMA : corr´elation
05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
λ=0.9
λ=0.96
Ec. type 63j

46. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
EWMA en Matlab
N = length(r1); lambda = 0.95;
V = zeros(N,3); % Deux variances et la covariance
for j = 2:length(r1)
% Attention aux NaNs!
if(isnan(r1(j))||isnan(r2(j)))
V(j,:)= V(j-1,:);
else
V(j,:) = lambda * V(j-1,:)+ (1-lambda)...
*[r1(j-1)^2 r2(j-1)^2 r1(j-1)*r2(j-1)];
end
end
% Les ´ecarts type et la corr´elation
V(:,1:2) = sqrt( V(:,1:2));
V(:,3) = V(:,3)./ V(:,1) ./ V(:,2);

47. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Anticipations du
march´e
Rendements
Var. et corr.
EWMA
Conclusion
Les m´ethodes discut´ees ci-dessus d’estimation de la
variance se basent sur l’hypoth`ese que les rendements
sont i.i.d.
La m´ethode equipond´er´ee est fortement influenc´ee par
le choix de la fenˆetre d’observation.
Le mod`ele EWMA permet d’´eviter la dynamique
artificielle apport´ee par des p´eriodes d’ d’une tr`es forte
volatilit´e. Cependant, il pr´esume toujours que les
rendements sont i.i.d.
Nos estimations des erreurs d’´echantillonnage
s’appuient sur l’hypoth`ese que les rendements sont
distribu´es selon la loi normale.